2026年福建省高考数学学科自编模拟卷

**基本信息** 2026年福建省高考数学自编模拟卷，全卷原创，以世界杯足球赛、新能源汽车、AI机器人等时代情境为载体，考查集合、复数、概率统计等知识，注重数学眼光观察现实、数学思维解决问题，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|集合、复数、球冠、双曲线等|第3题结合世界杯足球赛球模型考球冠高，体现科技情境| |多选题|3/18|回归分析、抛物线、立体几何折叠|第9题新能源汽车销量数据考回归方程，培养数据观念| |填空题|3/15|向量投影、函数零点与极值、曲线切线|第14题曲线切线与数列结合，考查创新应用| |解答题|5/77|三角函数图像、导数极值、概率统计、立体几何、椭圆|第17题AI机器人分拣考正态分布与条件概率，第19题无人机航拍椭圆证斜率关系，突出数学思维与表达|

2026年福建省命卷比赛作品 2026年福建省高考数学自编模拟卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1．（原创）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（原创）已知复数在复平面内对应的点为，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 3．（原创）2026年美加墨世界杯足球赛官方用球“三重浪”（TRIONDA）采用了全新的四片式拼接结构和流动几何设计，为了研究其表面浮雕图案对摩擦力的影响，现将其简化成一个标准球模型．已知该标准球体表面积为，若用一个平面去截该球，得到一个半径为4的截面圆，则该平面截得圆面与球面围成的较小部分（即球冠）的高为（ ） A．2 B．3 C4 D．5 4．（原创）的展开式中，含项的系数为（ ） A．80 B． C．240 D． 5．（原创）已知圆：，直线过，当被圆截得的弦长最短时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 6．（原创）池塘里有三片荷叶，一只青蛙最初停在荷叶上，青蛙每次跳跃时，都会以相等的概率跳到另外两片荷叶的任意一片上（即青蛙不能停在原荷叶上不动）．若青蛙连续跳跃4次，则第4次跳跃后，青蛙恰好回到荷叶上的概率为（ ） A． B． C． D． 7．（原创）已知函数有两个不相等的零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（原创）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点．设的面积为，面积为，若双曲线的离心率为2，且，则（ ） A． B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．（原创）我国新能源汽车产业发展迅猛，下表是我国某品牌新能源车在2019~2023年的年销量（单位：万辆）与年份代码（分别对应2019~2023年）的相关数据．根据表中数据，求得关于的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） 年份代码 1 2 3 4 5 年销量（万辆） 6 10 18 24 32 A．变量与之间呈正相关关系 B．回归直线必过点 C． D．根据该回归模型预测，该品牌2026年的年销量将超过45万辆 10．（原创）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线交抛物线：于，两点，交轴于点，则（ ） A． B． C．与等差中项是1 D．是与的等比中项 11．（原创）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个三棱锥，若，则下列选项正确的是（ ） A．三棱锥外接球表面积为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．四面体体积为 D．异面直线与所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（原创）已知：是定义在R上的奇函数，且，若，，则在 方向上的投影向量为___________（用坐标表示）． 13．（原创）已知（其中），在区间有零点，无极值点，则取值范围为___________． 14．（原创）已知曲线：，点在上，在点处作曲线的切线，与交于另一点，记点横坐标为，则数列的前10项和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（原创）（13分）已知函数，的三个顶点均在图像上，其中顶点是图象的一个最高点，顶点是与相邻的图像与轴的交点． （1）若面积等于，求在上的单调递增区间； （2）若两只蚂蚁分别从中的点和点出发，爬行至点和点，使得的三个顶点均在半径为2的圆周上，且，求面积的最大值． 16．（原创）（15分）已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是函数的极值点，求的值，并判断此时零点的个数． 17．（原创）（15分）某工厂引入AI机器人对产品进行自动分拣．已知每天生产的产品总数为10件，其中恰有2件次品，8件正品，机器人将每件产品制造为“合格”或“不合格”，并只将判定为合格的产品送入仓库，每天工作前，系统会对机器人进行状态评估，得到状态指数，服从正态分布，若，则判定机器人状态为“异常”，否则为“正常”．在正常状况下，机器人会将1件次品误判为合格（另1件次品被正确判为不合格），所有正品均为合格．在异常状态下，机器人会将2件次品全部误判为合格，所有正品均判为合格． （1）求某天机器人状态为异常的概率； （2）质检员从某天送入仓库的合格产品中随机抽取3件进行复检，发现恰有1件次品，求该天机器人实际处于异常状态的概率； （3）设从当天合格产品中随机抽取3件，其中次品数为，求期望． 18．（17分）在直三棱柱中，，，，，是的中点，是的中点． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）圆是的外接圆，是圆及内部的一个动点， （i）若，求动点轨迹的长度； （ii）若点只在圆上运动，记与平面所成角为，求的取值范围． 19．（原创）（17分）“高考不是终点，而是你走向广阔世界的起点。”高三毕业季，某学校利用无人机在操场上空航拍集体毕业照。将操场平面抽象为平面直角坐标系，无人机巡航轨迹为椭圆．已知椭圆的离心率，且经过航拍基准点．设椭圆右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，（为坐标原点）．若直线的斜率存在且不为0，证明：的值仅与直线的斜率有关。若直线的斜率依次取1，2，4，构成等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由； （3）若过点的直线绕点旋转，点随之运动．设点，直线与直线的斜率分别为，。求证：直线与关于轴对称． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省命卷比赛作品 2026年福建省高考数学自编模拟卷 参考答案 1．【解题思路】， 【参考答案】A 2．【解题思路】解法一：设，则 解法二：设，则 ， 【参考答案】A 3．【解题思路】由得，截面圆半径，球心到截面距离 【参考答案】A 4．【解题思路】对于， 对于，有二次项，与常数项 要产生项，有以下几种情况： ①中的1次项与中的2次项相乘：令 则1次项为 ②中的3次项与中的常数项相乘，令 则3次项为 综上： 【参考答案】B 5．【解题思路】将代入圆方程，左边 在圆内部，则最短弦垂直于过该点的直径 ， 方程：，即 【参考答案】A 6．【解题思路】此题是典型的马尔科夫链问题，可以用以下两种方法解决： 方法一：递推公式法设为青蛙跳跃次后停在荷叶上的概率，为青蛙跳跃次后不停在 荷叶上（即在上或上）的概率． （1）初始状态：青蛙在上 ， （2）状态转移：①若青蛙第次在上（概率为），那么第次它一 定跳离（调到或），所以它对第次回到的贡献是0 ②若青蛙第次不在上（概率为），比如在上，它下一次跳回 的概率为，同理在上跳回的概率也是． （3）建立递推关系：经过次跳跃后回到的概率为，只能由上一次不 在的状态转移过来 （4）逐步计算：，此为第1次跳跃 ，此为第2次跳跃 ，此为第3次跳跃 ，此为第4次跳跃 方法二：列举法（以为起点） ①第1次跳，只能去或（2种情况） ②第2次跳：若第1次去了，第2次可去或 若第2次去了，第2次可去或 此时共有4种路径：，，，， 其中回到的有2种 ③第3次跳：从出发，去，从出发，去，从出发，去， 从出发，去，此时共有8种路径 ④第4次跳：（我们要找终点是的路径）我们需要第3次结束时不在的 情况，第3次不在的概率是，而总共有条路径 第3次不在的路径数：条 这12条路径上的青蛙，下一步跳回的概率都是 符合条件的路径数为条 【参考答案】B 7．【解题思路】令，则 根据指对同构 原式等价为 即 令，则 原方程有2个不同的零点等价于方程有2个不同的解 令，则，令， 当且时，，单调递减 当时，，单调递增 在处取得极小值 由可知，与一定同号 若，则，在全程单调递减，对于任意一个负数， 水平线和只能相交1次 只有1个零点，不符题意 若，则，当，，单调递减，当时， ，单调递增，有极小值，等价理解为当时， 这条水平线是和曲线相切于只有1个解。当时，水平线“上升” 与这一段的曲线相交一次，再与这段曲线又相交1次，此时得 到2个不同的交点，即为2个不同解 【参考答案】D 8．【解题思路】①基础参数与离心率的转化 焦点坐标， ②面积比例转化纵坐标关系 ，分居轴上下 ③设直线并联立双曲线 设 ，消去， 由韦达定理（有2交点，） 由①得，代入② 【参考答案】C 二、9．【解题思路】①计算样本中心点 ， ②求回归系数 将代入，即 A正确，C错误 ③预测2026年 对应的是，则2026对应的是 将代入回归方程 D对 【参考答案】ABD 10．【解题思路】 过点 可设方程： 整理得：，由韦达定理得 由①得代入②， B正确 设为向量与夹角 取代入 此时，则，明显于A不符 A错 是与的等比中项，D正确 【参考答案】BD 11．【解题思路】如图，和均是以为斜边的， 则为四面体外接球的直径 ， 四面体外接球表面积 A正确 分别作，，垂足分别为， 设平面与平面夹角为， 由已知可得，，， ， B正确 ，同理 ，，平面 平面 C正确 由已知可得，，， 则 异面直线与所成角为，D错误 【参考答案】ABC 12．【解题思路】为奇函数且 ， 在上的投影向量为 【参考答案】 13．【解题思路】 令 在内有零点，无极值点 依题，作向量可得 （I） （II） 综上所述， 【参考答案】 14．【解题思路】由得过点的切线方程为 与联立，求异于的交点横坐标， 即 ，两边约去得， 解得（舍去）或 是以首项为1，公比为的等比数列 【参考答案】 四、解答题 15．（共13分）（1）解：先化简 ………………2分 为最高点，纵坐标为2， 的高就是到轴的距离，即． ………………3分 ………………5分 令 ………………5分 令，单调递增区间为 ………………6分 （2）设，则 ，则 ………………7分 则，展开得 ………………8分 ………………9分 由正弦定理 ………………10分 在中，由余弦定理，设，， ………………11分 ………………12分 ………………13分 16．（共15分）解：（1）当时，，定义域为 ………………1分 切点坐标为 ………………2分 ………………3分 ………………4分 切线方程 即 ………………5分 （2） ………………6分 是极值点 ………………7分 ………………8分 ………………9分 则 ………………10分 在上单调递增 ………………11分 ………………12分 当时，，单调递减 当时，，单调递增 ………………13分 是极小值点，也是最小值点 ………………14分 即函数最小值为0，仅在处取得最小值，其余位置函数值均大于0 有1个零点 ………………15分 17．（共15分）（1），状态异常即 ………………1分 而标准正态分布关于对称 ………………2分 即某天机器人异常状态概率为 ………………3分 （2）设条件为“机器人状态异常”，条件为“机器人状态正常”，条件为“抽取3件恰有1件次品” ………………4分 ， 当正常状态下，入库合格产品共1件次品＋8件正品＝9件 ………………5分 当异常状态下，入库合格产品共2件次品＋8件正品＝10件 根据全概率公式 ………………7分 由贝叶斯公式得 ………………9分 （3）若当天状态正常，进仓库的总产品9件，次品1件 ………………10分 抽到次品的平均数 ………………11分 若当天状态异常，进仓库的总产品为10件，次品2件 ………………12分 抽到次品平均数 ………………13分 两种状态各占一半概率 ………………15分 18．（共17分） 【解析】（1）由题意可知两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，，， 所以，………………1分 则， 设平面的法向量为， 由得， ………………3分 令，则，所以， 取平面的一个法向量， 所以 ………………5分 所以平面与平面夹角的余弦值为． （2）（i）法1：连接，过点作的垂线交圆于点，则线段就是点的轨迹，………………6分 理由如下： 因为平面，平面， 所以，，，平面………………7分 所以平面，又平面，所以，………………9分 因为圆半径为2，为正三角形， 所以由垂径定理可得，线段．………………10分 法2：设，则，， 由得， 因为圆心到直线的距离为， 所以， 所以动点轨迹形状为线段，长度为． （ii）取中点，连接，则有平面………………12分 因为为在平面上的射影，所以，则………………13分 在中，， 所以，………………15分 所以．………………17分 19．（共17分） 解：由题意，椭圆的离心率，即。………………1分 根据椭圆性质，可得。………………2分 所以椭圆方程可设为。………………3分 又因为椭圆经过点，代入方程得： ………………4分 所以，。 故椭圆的标准方程为： ………………5分 （2）解：设直线的斜率为，因为直线过点，所以直线的方程为。 设，。 联立直线与椭圆方程： ………………7分 消去整理得： 由韦达定理可得：， ………………8分 直线的斜率分别为。 因为，所以：， 计算： 代入韦达定理的结果： 分子部分： 分母部分： 所以： ………………10分 结论判断： 设数列满足。 由上可知，其中是直线的斜率。 已知直线的斜率构成等比数列：1，2，4，，即。 代入得： 计算前后项之比： ………………11分 因为比值为常数，所以数列是等比数列，其公比为。…………12分 （3）证明：设过点的直线的方程为（设型方程可避免讨论斜率不存在的情况）。 设，。 联立方程： ………………13分 消去得：，整理得。 由韦达定理：， ………………14分 点的坐标为。直线的斜率分别为： ， 因为，，所以，。 计算： 通分得： ………………15分 将韦达定理代入分子： 分子 因为分子恒为 0，所以 。 即。 ………………16分 这说明直线与的斜率互为相反数，即两直线关于轴对称（轴平分）。 证毕。 ………………17分 学科网（北京）股份有限公司 B D A E F C $ 2026年福建省高考数学学科自编模拟卷（双向细目表） 题号 题型 分值 核心考点 考查内容 难度系数 1 单选题 5 集合 集合的交集、并集、补集运算，元素与集合的关系 0.9 2 单选题 5 复数 复数的加、减、乘、除运算，共轭复数，复数的模 0.9 3 单选题 5 立体几何 圆锥、圆柱、球的体积与表面积计算，空间几何体的结构特征 0.85 4 单选题 5 二项式定理 二项式的展开式，通项，系数的识别与应用 0.85 5 单选题 5 直线和圆 直线与圆的位置关系以及弦长问题 0.75 6 单选题 5 概率与统计 数列的递推关系以及全概率公式的基本应用 0.6 7 单选题 5 导数与函数 利用导数研究函数的单调性、极值、最值，导数在不等式证明、零点问题中的应用 0.6 8 单选题 5 圆锥曲线 双曲线的标准方程，离心率和定点定值问题 0.5 9 多选题 6 概率与统计 经验回归方程以及正负相关，结合散点相关进行性质的综合判断 0.75 10 多选题 6 圆锥曲线和数列 抛物线的标准方程方程，直线与抛物线的位置关系以及数列基本性质的应用 0.65 11 多选题 6 立体几何 柱锥台球的表面积，体积相关性质的应用 0.6 12 填空题 5 平面向量 平面向量的模，夹角，投影向量知识的综合应用 0.75 13 填空题 5 三角函数的图像与性质 三角函数的图像与零点以及相关系数的综合求解 0.55 14 填空题 5 导数与数列 利用导数研究函数的切线问题以及等比数列性质的综合应用 0.5 15 解答题 13 解三角形 三角函数的单调性以及恒等变化，正余弦定理以及面积公式的综合应用 0.7 16 解答题 15 导数与函数 利用导数研究极值点和切线问题，以及函数零点的判断 0.7 17 解答题 15 概率与统计 离散型随机变量的分布列，全概率公式和贝叶斯公式的理解使用以及正态分布相关性质的综合引用 0.6 18 解答题 17 立体几何 两平面的位置关系，空间向量的应用以及动点存在性和轨迹问题 0.5 19 解答题 17 圆锥曲线和数列 圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，弦长、面积、定点、定值问题以及数列性质的综合使用 0.4 学科网（北京）股份有限公司 $