四川省成都市树德中学2026届高考适应性考试数学试题

树德中学高2023级高考适应性考试数学试题 一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 的. 1.已知全集U=1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,B={2,4,则(4A)⌒B=() A.{2 B.{2,4,5} C.{2,4 D.{4 2.命题“x∈R,2-x≤0的否定是() A.x∈R,2x-x>0 B.x∈R,2x-x>0 C.x∈R,2-x≤0 D.x∈R,2x-x≥0 3.已知复数二满足iz=1+3i,则z=() A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 4.若不等式m2+2x+c<0的解集是 则不等式cx2-2x+a≤0的解集是（) C.[-2,3] D.[-3,2] 5.当直线：x+y-1=0(m∈R)与圆C:x2+y2-2x-4=0相交所得弦长最短时，实数l的值为() A.1 B.2 C.-1 D.-√5 6.已知数列{a}为正项等比数列，44，=4，则log24+1og24+…+log241的值为() A.10 B.16 C.15 D.11 7已知F是双曲线C:号芳1a>06~0)的右焦点，直线-：与双前线C交于M,N两点，共中M 在第一象限，NF3到MF1,且∠MN-,则双曲线C的离心率为() A.3 B.V D.3 3 2 c.5 2,0<x≤1 8已知函数®户化-少>则函数的的的零点不数为(】 A.2 B.0 C.3 D.无穷 高三适应性考试数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9.下列命题中正确的是() A.数据4,4,5,6,6,6,7,9,12,12,13的70%分位数是9 B.频率分布直方图中各个小矩形的面积和为1 C.分层随机抽样中每个个体入样的概率不相等 D.将总体划分为两层，其个体数分别为m,,通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分 别为，和s,,若=2，则总体方差52=m52+”5 ntn m+n 10.己知数列{4}的前n项和S,=m2-3n,则() A.{a}是公差为2的等差数列 B.4.=2n-4 数列 是等差数列 D.la+la+…+la=67 11.已知函数f()=2sim(ax),其中常数o>0.将函数y=f(x)的图象向左平移T个单位，再将所得图象 6 上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数y=8(x)的图象. A.若0=2，则g(x)=2sim(4x+T)+1 3 B.若a=2x0写引则8)∈1-5,3 C.若)在[-]上单调递，则(0引 D.若0=2.8)在区间a]上至少含有30个零点，则b-a的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量ā=(2，-14)，b=(3,4),则a在b方向上的投影向量的坐标为 13.(-二”展开式中只有第5项的二项式系数最大，则各项系数之和为 14.将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱， 则该圆柱体积的最大值为 学第1页共2页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（本题满分13分)在直角坐标系xOy中，动圆P与圆C:(x-2)+y2=1外切，且与直线x=-1相切， 记P的轨迹为E. (1)(5分)求E的方程： (2)(8分)若直线1与E交于x轴异侧两点A,B,且OAOB=20.证明：1过定点 16.(本题满分15分)已知a=(V3simx,-cosx),b=(cosx,cosx),f(x)=a.i. (1)(5分)求函数f(x)的解析式及周期： (2)(10分)设VAC的内角A,B,C所对的边分别为，c,若f()=号且b-5,求VABC周长 的最大值 17.(本题满分15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA=AC=2,BC=1,AB=√5. (1)(5分)若AD⊥平面PAB,证明：AD∥平面PBC; (2)(10分)若PAL底面ABCD,ADLCD,二面角A-CP-D的正弦值为V6 求AD的长. 高三适应性考试数 b 18（本题满分17分)设函数f(国=asin x+n2x+,a,6.ceR. (1)(4分)若a=b=1,c=0,求f(x)在[-元，0]上的最小值： (2)(13分)已知c=1. (i)(7分)若f(x)在R上单增，求a+b的最大值： (i)（6分)证明：对任意neW*,3cos2x+3cos4x+.+3cos22m-1x+cos22mx+3+2≥0. 19.(本题满分17分)在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地 向左、向右、向上或向下移动一个单位 (1)(4分)若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为P,,求P4,P2m; (2)(13分)从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位， ()(6分)设质点在第2秒末移动到点(c,y),记x2+y2的取值为随机变量X,求X的分布列和数学期望 E(X); (ii)(7分)记第n秒末质点回到曲线|y=x|上的概率为9，，求m. 参考公式：∑(C)=C k=0 学第2页共2页 树德中学高2023级高考适应性考试数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B C D B A ABD ABC ACD 12.（-6,-8) 13.114.64V6 9 兀 2,0<x≤1 咩解7面树T-少得/)在区阿+刊上的函数值都是区何同-L网上相应厘 的一半，n∈N*，又0<x≤1时，f)=2是增函数，即f(x)≤f)=2, 所以f侧=2因此x∈a-1为时，f)≤f0=2令h)=,它在 (0,+m)上是减函数，0=2n=2=f0,h(2)=1=f(2),当n≥3 时，M0子，作业=网和)子在Q+1图象，知图，由 图可知在x>2时，f(x)的图象与h(x)的图象没有交点，所以在(0，+∞)上， 它们只有两个交点， 所以g(x)的零点个数为2.故选：A. 1由婴设)=2血2x,将晒数因的网象向左半移爱个单位得v=爱司-2sn2+到) 再各点的横坐标缩短为原来的号倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则g()-2m4+写+1，故A 正确 5元 因为x∈ 0 g()∈[-1,3]故B错误 3 因为o>0, 根据题意有{，4 π 2→0<0 故C正确 3 Γ2 令8(x)=0得sin4x+ +方令1=4+弩设=8)在区间[a小上的30个零点分别为 π1 1,X2,,X30, 则-4化+6=4+-在4+4b+写 上有30个零点，要使b-a最小，则a=x1,b=x0, 因为y=smt在每个周期内各有两个函数值为-二，所以15个周期里面有30个零点， 2 则b-a最小时，若5=4+亚=7匹 86元 3 ”,所以 左名答，即ba的最小自为答、枚D正骑 6 高三适应性考试数 14.【详解】如图，由圆台的轴截面可知，当母线长等于上、下底面圆的半径之和时，圆台有内切球 因为6=2+4，所以该圆台有内切球， 故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大 记内切球半径为R,可得2R=√6-(4-2)2=4W2,R=2W2. 记圆柱的底面半径为r,高为h, E 易知圆柱体积最大时其外接球为圆台的内切球， 所以R2=8=r2+ 则-8,0<45 此时圆挂的体积”=rh=动8-子8勋子 设f仞=8h-尼，0<h<42,则f")=8-三P 当[54]时的<0，单调港减 所以f(mx=f 4V6)_646 3 9，所以该圆柱体积的最大值为4V6, 9 π 15.【详解】(1)由题意，动圆圆心P到点(2,0)的距离比其到直线x=-1的距离大1， .圆心P到点C(2,0)的距离等于它到直线x=-2的距离， .圆心P的轨迹E是以点C(2,0)为焦点，以直线x=-2为准线的抛物线， 设E的方程为2=2p(p>0,则号=2，p=4,B的方程为2=8x.5分 (2)当直线1斜率为0时，1与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线的方程为x=m+儿A,),B(3,),联立>=8x x=my+n 得y2-8y-81=0,△=642+32n>0,+2=8,%y=-8n, OA.OB=x2+y2=(y+m)(%2+n)+y2=(m2+1)4y2+n(4+y2）+n=m-81=20 .n=10,或n=-2,由题n=-2(舍去)，则n=10,.1过定点M(10,0).8分 16.【详解】(1)由a=（V3sinx,-cosx),万=(cosx,cosx), 奥r)=a6=maor-o=9n2-cs2x+l)=sf2x-君片所以T=万5分 2 2@m28引m28}-1 6 :B为VABC的内角，0<B<π.故-匹<2B-亚<11m 6 66 2B-=匹.则B= 62 3 .4分 又b=√3，由余弦定理b2=a2+c2-2 accosB,得3=2+c2-ac,即(a+c)-3ac=3. 由均值不等式c2)得：a-e广-3〔2s3.即as3=a-0s12,从面a+e25, 4 学 第3页共2页 当且仅当a=c=√3时取等号，此时VABC为等边三角形. 周长最大值：a+b+c=2W3+√3=3√3.6分 17.【详解】(1)证明：AC=2,BC=1,AB=√3，即BC2+AB=AC2, ∴.∠ABC=90°，即BC⊥AB,AD⊥平面PAB,ABC平面PAB, AD⊥AB,∴.AD∥BC,又BCC平面PBC,ADI平面PBC, AD∥平面PBC;… 5分 (2)PA⊥底面ABCD,CD,ADC底面ABCD,PA⊥CD,PA⊥AD,又AD⊥CD, 以点D为原点，以DA,DC所在的直线为x,y轴，过点D作PA的平行线为=轴，建立空间直角坐标系如图 所示：令AD=t,则A(4,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0),DC=√4-，则C0,V4-P,0), AC=（-t,V4-t,0,Ap=(0,0,2), 设平面ACP的法向量为=(，4，)， 顶G=0={-+v4-%=0 AP=025=0 令=4-，则y=t,=0,=(N4-16,0, 设平面CPD的法向量为n=(,y2,), 「z,Dp=0,+23=0 2-DC=0V4-ty2=01 令3=t，则书=-2，为=0，%=(-2,0，)， 二面角A-CP-D的正弦值为6，则余弦值为 3 3 .6分 又二面角为领角，号ko4,风 3 2W4-t2 2W4+元，解得t=V5,所以AD=V2…4分 18.解：(1)f(x)=sinx+ f(x)=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(cosx+1)(2cosx-1) 则f()在[-，-]上单减，[-，0上单增 3 所以)的最小值为（马=35 3 4 4分 (2)(i)f(x)=asinx+5sim2x+x 因为f(x)在R上单增，所以f(x)=acosx+bcos2x+1≥0恒成立. 取x= 2π 3,有-1(a+b)≥-1，则4+b≤2 当a居f国号o+号 ,2 4 11 0s2x+-cosx+ (2c0sx+1)2≥0 3 3 os2x+1=4cos 3 3 33 因此I+b的最大值为211分 4 2 (ii)由(i)可知一cosx+二cos2x+1≥0对任意的x∈R恒成立， 3 3 4 2 则对任意x∈R,必有-cos2x+二cos4x+1≥0 3 3 高三适应性考试数 3c094x+ 2 c0s8x+1≥0： 3 … 4 2 cos22n-2x+2cos2m-1x+1≥0； 3 3 3cos2xx+c082x+1≥0： 2 4 2 上述式子累加可得：弓c0sx+2cos2x+cos4++cos2-刘+号c0s2x+2n≥0 又因为c0sx≤1，则4+2[cos2x+c0s4x+…+cos2x-灯+2cos2nx+2n≥0 2 3[cos 2x+cos 4x+...+cos 22x]+cos 22x+3n+220 因此3c0s2x+3c0S4x+.+3c0s22m-1x+c0S2nx+3n+2≥0 ..17分 1解：1)第4秒未质点口到原点。则必定向左移动2步，向右移动两步，故A号-8 C-3 第2秒末质点回到原点，则必定向左移动n步，向右移动n步，故P2m= C 2n …4分 (2)(i)因在1秒末，质点会等可能地出现在L,0),(-1,0),(0,),(0,-1)四点处，故在第2秒末可能 运动到点(-1,1)，1,1)，1-1)，(-1，-1)各两种情形，(0,2)，(2,0)，(0，-2)，(-2,0)各一种情形，(0,0)有4种情形， 共计16种情形，随机变量X表示x2+y2的取值，故X的可能取值为0,2,4 41 对应的概率分别为：PX=0GPCK=2)= =合安x=0=话= 二 故X的分布列为： X 0 2 4 P 1 4 2 1 期望为B（X）=0X十2X十4X=2……10分 4 2 4 (ii)第2n秒末质点要回到原点，则必定向左移动k步，向右移动k步，向上移动n-k步，向下移动n-k 步设第2m秒末质点要回到原点的概率为以，则以-公CCC点1了 (2n月 42m4(k利)[(n-k)灯 a脚eiee =1（23(2 k=0 记第n秒末质点的位置为(x,yn),定义4，=xn+y,yn=x-y,则4+1-4=士l,+1-V=士l 1 易知41-4.与y+-Y,取士1的概率均为 又因为x|y一(x+)(x-)=0故|x曰Hy台=0或ya=0 则q2m=p(m=0或V2m=0)=p(4m=0)+p(Vm=0)-P(u2m=0且V2m=0) 又易知p(u2m=0)=p(yn=0)=Pm’Pm=0且Vm=0)=Pn 学第4页共2页 所以gx=2p-%,-2C (C) 42n 17分 高三适应性考试 数学第5页共2页