精品解析：浙江强基联盟2025-2026学年高一下学期5月题库数学试题

2026年高一5月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题清用直径0.5亮米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊三角函数值求解即可. 【详解】. 故选：C. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 4. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】若，则，则． 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理 ， 所以． 6. 在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图可得：. 7. 在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，， 所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，， . 8. 若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数与奇函数性质可推导出为周期函数并可得到周期，再利用代入计算即可得. 【详解】由为偶函数可得，即 由为奇函数可得， 即， 即有，则， 则，故， 即有，故为周期函数且， 由，则， 即，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：的实部，说法正确； 选项B：的虚部是实数，不是，说法错误； 选项C：，说法正确； 选项D：共轭复数实部不变、虚部变号，得 ，说法正确. 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为16 C. 的最小值为9 D. 的最小值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正数的性质、特值法，结合基本不等式、不等式的性质逐一判断即可. 【详解】因为是正实数， 所以由，所以，故A正确； 当，时，满足，而，故B错误； 由，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为9，故C正确； 因为为正数， 所以由，由，得，故D错误． 11. 在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 当时，存在两个点，使得 D. 当时，的周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据，确定点是位置，即可取得的体积是否为定值，判断A；B.根据在平面的射影是否和垂直，判断B；C.确定点的位置，从而确定C；根据三角形三条线段所在三角形，展开成一个平面，即可求解周长的最小值. 【详解】当时，取中点，中点，则点在线段上运动． 由，平面，平面，知平面， 则三棱锥的体积为定值，故A正确； 点为正方形边及内部的点， 过点向平面作投影，投影点为，则平面，则， 若，则平面， 则点满足，这与点在正方形中相矛盾，故B错误； 当时，取中点，中点，则点在线段上运动． 当点位于点点时，易证平面，则， 或者在点时，易证平面， 则， 即存在2个点，满足，故C正确； 当时，点在线段上运动，如图将和翻折到与在同一平面， 可知的周长的最小值在、、、 共线时取到，即， 此时，，， 所以， ， 所以根据余弦定理得 ， 所以， 所以的周长的最小值为，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量计算公式结合题设可得答案. 【详解】根据投影向量定义知：在上的投影向量为. 13. 已知复数满足，，其中为虚数单位，则的最大值为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义求的最大值. 【详解】由复数的几何意义可知，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 对应的点为定点，则表示，两点间距离， 即求定点和单位圆上的点连线的最大值，由解析几何知识得最大值为. 故答案为：6 14. 在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，可得在平面上，即可得该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体，结合锥体体积公式与割补法可求出四棱锥与四棱锥的体积比值，即可得. 【详解】作交于点，由，则， 又，故，则在平面上， 该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体， 连接，则 ， 则， 故，，则. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在上的值域． 【答案】（1），单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的周期及单调性求解即可. （2）结合正弦型函数的单调性求值域即可. 【小问1详解】 的最小正周期． 令，，则，， 所以函数单调递增区间为． 【小问2详解】 当时，， 又函数在区间上递增，在上递减，且， 故当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值1， 故在上的值域为． 16. 如图，在长方体中，，，为线段上的动点， （1）求三棱锥的体积； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）三棱锥以为底面，高为，直接代入体积公式计算； （2）由得，计算和面积；利用等体积法，以 体积为媒介，求出点到平面的距离. 【小问1详解】 ， 易知的长即为三棱锥的高， 所以 ． 【小问2详解】 记点到平面的距离为， 由 ，， 由勾股定理，， 又平面，为直角三角形，则， 由（1）知. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，， （1）求； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①；条件②；条件③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）若选①不存在，若选②③，． 【解析】 【分析】（1）根据化简即可求解； （2）结合三角形的性质可知选①不存在， 选②，由余弦定理结合三角形面积公式即可求解； 选③，由正弦定理可得，结合余弦定理化简即可求解. 【小问1详解】 在中，,则 由正弦定理可得： . 所以 ， 即， 解得或（舍）， 由，则． 【小问2详解】 若选①得，不存在， 若选②由余弦定理知 ，得， 故， 若选③由正弦定理知，得， 余弦定理 ， 故． 18. 如图，已知三棱锥，，，，，， （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）由，则是的中点， 又，则， 又，，则，且， 所以在中，有 ，， 所以在中，有 ， 又，则在中，有，所以， 又，且，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角函数的定义，及勾股定理推出，且，进而结合线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），先根据三角形外接圆的定义，及正弦定理求出该外接圆的半径，再根据外接球的定义，及勾股定理求出外接球的半径，进而即可求出该外接球的表面积； （3）法一：根据面积射影定理公式即可求解； 法二：先作出平面与平面的交线，再找出平面与平面的平面角，进而求出该平面角的余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设外接圆的半径为，为该外接圆圆心，则在直线上， 由正弦定理可得，则 ， 结合（1）有，则 ， 设三棱锥外接球的半径为，为该外接球的球心， 则在过圆的圆心且垂直于平面的直线上， 结合（1）有平面，则在平面内，所以平面， 设 ，过作 ，且在上，则， ，， 在中，有 ， 在中，有 ， 即 ，解得，所以， 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 法一：结合（2）可知在平面的投影三角形为， 又结合（1）（2）有，，所以， 又结合（2）有，，则为等腰三角形， 则边上的高为，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 法二：如图延长与相交于点，则平面与平面的交线为， 过作，且在上， 结合（1）有平面，又平面，则 ， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以 ， 所以是平面与平面所成角， 结合（1）（2）有，， ，， 则，即 ，解得，则， 所以在中，有， 所以， 又平面，又平面，则， 所以平面与平面所成角的正切值为， 故平面与平面所成角的余弦值为． 19. 已知函数， （1）若，当时，求的最小值； （2）若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据基本不等式、公式法解绝对值不等式，结合基本不等式取等条件分类讨论进行求解即可； （ⅱ）根据任意性的定义，结合复合函数的单调性的性质分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，当且仅当时取等， 故当时，最小值为2． 【小问2详解】 （ⅰ）由，或， 即， ，当且仅当时取等号， 即当时，函数的最小值为2， 所以当时，方程有解， 即方程，或有解， 即或有解，当有解时，， 当有解，， 所以； （ⅱ）由题意得当时，，， ①当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，； ②当时，在上单调递减，单调递增． ，设表示中最大的数， ， 且，即， 解得，； ③当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， ； ④当时， ，符合题意； ⑤当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，． 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一5月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题清用直径0.5亮米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，若，则实数（ ） A. 2 B. C. D. 5. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的实部为1 B. 的虚部为 C. D. 10. 已知正实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为16 C. 的最小值为9 D. 的最小值为3 11. 在棱长均为1的直三棱柱中，点满足，其中，，点为线段的中点，点为线段上的动点，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得 C. 当时，存在两个点，使得 D. 当时，的周长的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面向量，，则在上的投影向量为________．（用表示） 13. 已知复数满足，，其中为虚数单位，则的最大值为_____. 14. 在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数在上的值域． 16. 如图，在长方体中，，，为线段上的动点， （1）求三棱锥的体积； （2）若，求点到平面的距离． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，， （1）求； （2）已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①；条件②；条件③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18. 如图，已知三棱锥，，，，，， （1）求证：平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知函数， （1）若，当时，求的最小值； （2）若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $