精品解析：山东德州市六校联考2025-2026学年第二学期第二次素养检测试题试卷 九年级数学

2025-2026学年第二学期第二次素养检测试题试卷 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. DeepSeek-V3是一款采用混合专家（MoE）架构的大语言模型，凭借其庞大的参数量，在自然语言处理领域展现出强大的能力．截止2026年3月，它的参数量已经高达6850亿，将6850亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和内接于，与相交于点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A. 作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B. 以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C. 先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D. 以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 8. 某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B. 第一次购买节能灯的单价是元 C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 9. 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 10. 已知点在抛物线（为常数，）上，点在直线上．若有且仅有一个整数使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：________． 12. 若为方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 14. 现有四张正面分别标有数字，，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为，，则使得代数式有意义的概率为________． 15. 如图，在中，，，点为上一点，点为上一点，若，则的最大值为________． 三、解答题（共90分） 16. 按要求完成作答 （1）计算：； （2）先化简分式，然后在、、、中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 17. 4月23日是“世界读书日”，每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝活动．为庆祝“世界读书日”，某校组织了“共读一本名著”活动，并举行了名著阅读知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，均在75分以上，其分为五个等级：A：；B：；C：；D：；E：，其中记为优秀），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：77，84，85，89，90，90，95，95，95，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在D组中的数据为：91，93，90，92． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 90 90 中位数 90 众数 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，n=______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有800名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七，八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 18. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标． 19. 为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 20. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 21. 如图，在中，，点P是斜边上一个动点，以为直径作，交于点D，与的另一个交点为E，连接，． （1）当时，求证：； （2）若，，，求的长． 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）若点在抛物线上，点在抛物线上．①若的最小值为，求整数的值； ②若的值与无关，求的值以及抛物线的解析式． 23. 如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． （1）【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． （2）【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第二次素养检测试题试卷 九年级数学 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题（共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 的相反数为． 2. 下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. DeepSeek-V3是一款采用混合专家（MoE）架构的大语言模型，凭借其庞大的参数量，在自然语言处理领域展现出强大的能力．截止2026年3月，它的参数量已经高达6850亿，将6850亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：6850亿． 4. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图为． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，此项错误； B、，此项正确； C、，此项错误； D、，此项错误． 6. 如图，和内接于，与相交于点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质得到，根据同弧所对圆周角相等得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A. 作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B. 以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C. 先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D. 以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆周角性质定理，中位线性质定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行分析，从而判断出结果． 【详解】解：A、连接， 为直径， ，可得到为切线． B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，可得到为切线． C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接， ， ，可得到为切线． D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点， 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆的切线的作法，包含了圆周角的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理，相似三角形的判定与性质，熟悉性质是本题的关键． 8. 某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（ ） A. 方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B. 第一次购买节能灯的单价是元 C. 第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D. 如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 9. 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出的范围即可. 【详解】解：由题意， 把代入，得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴的值可以是18. 10. 已知点在抛物线（为常数，）上，点在直线上．若有且仅有一个整数使得成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用作差法得到关于的二次函数，利用二次函数开口方向和对称轴位置，判断满足条件的唯一整数，通过相邻整数点的函数值符号列出不等式组，解不等式组求出的范围即可． 【详解】解：∵点在抛物线上，点在直线上， ∴，， 令， ∵， ∴二次函数开口向上，且的对称轴为， 要使仅有一个整数满足，即，由对称轴位置可知，满足条件的唯一整数只能是， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 二、填空题（共20分） 11. 请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负的；分式有意义的条件：分式的分母不能为0，据此解答即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则且， 即且， 所以写出一个使在实数范围内有意义的的值是1（答案不唯一）． 12. 若为方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 3 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系可得到，，，则，再代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 13. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象关于原点中心对称和直线过原点，可得点A、B的横纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值，最后代入即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，， ，两点关于原点对称， ，， ，， ，， 则，解得． 14. 现有四张正面分别标有数字，，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为，，则使得代数式有意义的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 1 2 2 2 由表知，共有12种等可能结果，其中的有4种结果， 所以使得代数式有意义的概率为． 15. 如图，在中，，，点为上一点，点为上一点，若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求出，得出，则当最小时，最大，令中点为点F，连接，则点D在以F为圆心，为半径的圆上，则当最小时，最小，当时，最小，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当最小时，最大， 令中点为点F，连接， ∵， ∴点D在以F为圆心，为半径的圆上， ∵中点为点F，， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，最小，此时，， ∴，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 三、解答题（共90分） 16. 按要求完成作答 （1）计算：； （2）先化简分式，然后在、、、中选择一个你认为合适的的值，代入求值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算锐角三角函数值，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘法，然后计算加减即可； （2）先计算括号里的，进行通分，然后因式分解，除法转化为乘法运算，进行约分后，再进行加减运算即可；最后根据分式有意义的条件，确定合适的的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， ，， 的值不能取，，，只能取， 当时，原式． 17. 4月23日是“世界读书日”，每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝活动．为庆祝“世界读书日”，某校组织了“共读一本名著”活动，并举行了名著阅读知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，均在75分以上，其分为五个等级：A：；B：；C：；D：；E：，其中记为优秀），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：77，84，85，89，90，90，95，95，95，100． 八年级10名学生的竞赛成绩在D组中的数据为：91，93，90，92． 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 90 90 中位数 90 众数 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，n=______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有800名学生、八年级有1000名学生参加了此次竞赛，估计该校七，八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有多少名？ 【答案】（1）；95；40 （2）见解析 （3）1180 【解析】 【分析】（1）利用中位数、众数的定义进行计算即可； （2）利用平均数、中位数、众数进行比较即可； （3）根据“样本估计总体”进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中，95出现次数最多，则众数； 八年级共10名学生，D组有4人，占比，则； 由扇形统计图可知，八年级竞赛成绩A组有人、B组有1人、C组有1人，D组有4人， 则中位数位于D组， 将D组的数据从小到大排列为：90，91，92，93， 则中位数为， 故答案为：；95；40； 【小问2详解】 解：七、八年级平均数相同，八年级的中位数大于七年级的中位数，说明八年级整体竞赛成绩更好； 【小问3详解】 解： （名） 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生共有1180名． 18. 如图，在菱形中，，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）菱形的对角线与相交于点E，将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，求平移后点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，如图，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点代入即可得到结论； （2）设菱形向右平移个单位长度，此时，由在反比例函数的图象上．得到，求出m，再根据平移的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图， ， ， 菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上． ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵菱形， ， 又 ∵， ，即， 设菱形向右平移个单位长度，此时， ∵E在反比例函数的图象上． ∴， 解得． ∵， ∴平移后的坐标为． 19. 为响应“绿色出行”号召，某社区计划采购共享单车和共享电动车两种代步工具，已知共享电动车的单价比共享单车贵200元，用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同． （1）求共享单车和共享电动车的单价各是多少元？ （2）该社区计划采购两种代步工具共30辆，且共享单车的采购数量不大于共享电动车采购数量的2倍，请问采购多少辆共享单车时，总费用最少？最少总费用是多少元？ 【答案】（1）共享单车单价500元，共享电动车单价700元 （2）采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元 【解析】 【分析】（1）设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元，根据“用9000元购买共享单车的数量与用12600元购买共享电动车的数量相同．”列出方程，即可求解； （2）设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆，根据题意，列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设共享单车单价为x元，则共享电动车单价为元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解， 共享电动车单价：（元）， 答：共享单车单价500元，共享电动车单价700元． 【小问2详解】 解：设采购共享单车m辆，总费用w元，则采购共享电动车辆， ， 又， ， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最小值， （元）， 答：采购20辆共享单车时总费用最少，最少费用17000元． 20. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 21. 如图，在中，，点P是斜边上一个动点，以为直径作，交于点D，与的另一个交点为E，连接，． （1）当时，求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即． ∵为的直径， ∴， ∴， 即． ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质以及解直角三角形． （1）先证，再结合，证得，由为的直径，以及三角形内角和定理，证得，即证得，最后证得； （2）连接．先求的长，从而推出，再在中，求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）若点在抛物线上，点在抛物线上．①若的最小值为，求整数的值； ②若的值与无关，求的值以及抛物线的解析式． 【答案】（1） （2）①；②，抛物线为：． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式求解即可； （2）①求解，再分情况讨论即可；②由，结合的值与无关，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点坐标为：． 【小问2详解】 解：①∵点在抛物线上，点在抛物线上． ∴，， ∴， ∵的最小值为， 当时，函数为，不符合题意， 当时，函数为二次函数且有最小值， 最小值为：， 解得：或， ∵为整数，则， 当时，函数没有最小值，不符合题意． ② ； ∵的值与无关， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． 23. 如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接． （1）【问题发现】如图1，在和中，． 填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________． （2）【类比探究】 如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由． （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长． 【答案】（1）①；② （2）不成立，理由见详解 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，特殊角的锐角三角函数等知识点． （1）①根据等边三角形的判定和性质证明，继而得到． ②根据等边三角形的性质和角平分线的定义得到，继而得到，根据，得到． （2）通过证明，得到对应边成比例，进而证明，得到对应边成比例、对应角相等，进而得到，． （3）证明不可能是直角，根据和，分两种情况讨论，根据（2）中的结论，得到的长为或． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴和是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴； ②∵平分， ， ∴ ， ∴， 由①可知，， ∴； 【小问2详解】 解：（1）中的结论不完全成立，理由如下， ∵， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（1）中的结论不成立，正确的结论是 ； 【小问3详解】 解：由（2）知为直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形，且， ∴不可能是直角，分两种情况讨论， 如图，当时， 在中， ， 由（2）知， ∴； 如图，当时， 在中， ， ∴， ∴当是直角三角形时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $