微专题6 解三角形中的“三线”问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形中的‘三线’问题”专题，覆盖高线、角平分线、中线三大核心考点，对接高考评价体系，通过2023新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷真题实例，分析“三线”问题在高考中的高频考查权重，归纳出正弦定理、余弦定理、面积法等常考题型的解题路径，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”的复习策略，如以2023新高考Ⅰ卷高线问题为例，运用等面积法结合正弦定理高效求解，培养学生的数学思维与运算能力。特设“学霸笔记”总结角平分线定理、中线向量法等技巧，帮助学生掌握解题关键，教师可据此精准指导学生突破考点，提升高考冲刺效率。

微专题6　解三角形中的“三线”问题 1 视角一　三角形的高线问题 例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； 解析：在△ABC中，A＋B＝π－C，因为A＋B＝3C，所以3C＝π－C，所以C＝. 因为2sin (A－C)＝sin B，所以2sin ＝sin ， 展开并整理得(sin A－cos A)＝(cos A＋sin A)， 得sin A＝3cos A，又sin2A＋cos2A＝1，且sinA>0，所以sin A＝. 2 (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析：由正弦定理， 得BC＝×sin A＝. 由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C， 得52＝AC2＋2－2AC·3cos ， 整理得AC2－3AC＋20＝0， 解得AC＝或AC＝2， 3 由(1)得，tan A＝3>，所以<A<， 又A＋B＝，所以B>， 即C<B，所以AB<AC，所以AC＝2. 设AB边上的高为h，则×AC×BC sin C， 即5h＝2＝30， 解得h＝6， 所以AB边上的高为6. 4 学霸笔记：在△ABC中，有 (1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC； (2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD； (3)a＝c·cos B＋b·cos C． 5 　跟踪训练　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin 2A－sin B cos C＝sin C cos B，b2＋c2－a2＝20. (1)求A； 解析：由sin 2A－sin B cos C＝sin C cos B得，2sin Acos A＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A， 因为sin A≠0，则cos A＝，0<A<π，故A＝. 6 (2)若AC边上的高为2，求sin B sin C. 解析：由(1)知A＝，则sin A＝，由余弦定理得cos A＝， 因为b2＋c2－a2＝20，所以bc＝20，AC边上的高为2， 由等面积法得S△ABC＝bc sin A＝，解得c＝4，所以b＝5， a2＝b2＋c2－20＝21⇒a＝. 由正弦定理得，解得sin B＝，sin C＝，故sin B sin C＝. 7 视角二　三角形的角平分线问题 例2 (2026·聊城模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(b－a＋c)－3ac＝0. (1)求B； 解析：因为(a＋b－c)(b－a＋c)－3ac＝0，所以b2－(a－c)2－3ac＝0， 所以－ac＝a2＋c2－b2，所以cos B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝. 8 (2)若∠ABC的角平分线交AC于点D，且AD＝2DC＝，求BD. 解析：因为AD＝2DC＝，所以b＝， 因为BD平分∠ABC，所以＝2，即c＝2a， 由(1)知，－ac＝a2＋c2－b2，解得a＝1，c＝2， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△DBC，所以ac sin B＝a·BD sin c·BD sin ， 整理得BD＝. 9 学霸笔记：如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线， (1)角平分线定理：； (2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积． 10 　跟踪训练　(2026·漯河模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos B－b cos A＝a－c. (1)求角B； 解析：由已知及正弦定理得sin A cos B－cos A sin B＝sin A－sin C， ∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，sin A>0， ∴sin A cos B－cos A sin B＝sin A－sin (A＋B)＝sin A－sin A cos B－cos A sin B， ∴2sin A cos B＝sin A，∴cos B＝，∴B＝. 11 (2)若BD是△ABC的一条内角平分线，b＝4，BD＝，求△ABC的周长． 解析：在△ABC中，由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD， 可得ac sin ∠ABC＝BD·c·sin ∠ABD＋BD·a·sin ∠CBD. 又BD平分∠BAC，则∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝， ∴， 整理得3(a＋c)　①. 12 又由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，即a2＋c2－ac＝16， 则有16＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－(a＋c)　②， 由①②解得a＋c＝2或a＋c＝－(舍)， 所以△ABC的周长为2＋4. 13 视角三　三角形的中线问题 例3 (2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，D为BC的中点，且AD＝1. (1)若∠ADC＝，求tan B； 解析：因为D为BC的中点， 所以S△ABC＝2S△ADC＝2××AD×DC sin ∠ADC＝2×， 解得DC＝2， 所以BD＝DC＝2，a＝4. 14 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由余弦定理得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝. 在△ADC中，由余弦定理得b2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝1＋4－2＝3，所以b＝. 在△ABC中，由余弦定理得cos B＝， 所以sin B＝.所以tanB＝. 15 (2)若b2＋c2＝8，求b，c. 解析：因为D为BC的中点，所以BD＝DC. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理得， 得1＋BD2－c2＝－(1＋BD2－b2)， 所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝，所以a＝2. 在△ABC中，由余弦定理得cos ∠BAC＝， 16 所以S△ABC＝bc sin ∠BAC＝ ＝， 解得bc＝4. 则由解得b＝c＝2. 17 学霸笔记：(1)可根据两角互补或面积相等用正弦、余弦定理建立方程求解． (2)采用向量法使问题简化：在△ABC中，若D为边BC上的中点，则，两边平方即可得到三角形边长之间的关系． 18 　跟踪训练　(2026·保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c－b＝a cos C＋c cos A. (1)证明：c＝2b； 解析：证明：在△ABC中利用正弦定理，化简c－b＝a cos C＋c cos A， 得sin C－sin B＝sin A cos C＋cos A sin C，即sin C－sin B＝sin (A＋C)， ∵A＋B＋C＝π，∴sin B＝sin (A＋C)，则sin C－sin B＝sin B，即sin C＝2sin B， 利用正弦定理可得c＝2b. 19 (2)记AB的中点为D，若CD＝3，且a＝b＋2，求△ABC的周长． 解析：∵c＝2b，则AD＝BD＝b， 在△ACD中由余弦定理的推论，得cos ∠ADC＝， 在△BCD中由余弦定理的推论，得cos ∠BDC＝， ∵cos ∠ADC＋cos ∠BDC＝0，得a2－b2＝18，即(a－b)(a＋b)＝18， 又a＝b＋2，则a＋b＝9，解得a＝，则c＝2b＝7， 则△ABC的周长为a＋b＋c＝16. 20 微专题6 21 1．(15分)(2026·苏州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＋cos A＝2sin B，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求A； 解析：因为a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝. 又因为B∈(0，π)，所以B＝，所以sin A＋cos A＝2sin B＝， 得sin A＋cos A＝sin ＝， 得sin ＝1，又因为A∈(0，π)，所以A＝. 2 4 3 1 22 (2)若△ABC的周长为3＋，求AB边上的高． 解析：在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D， 所以∠ACD＝∠A＝，∠BCD＝. 设AD＝x，则在△ACD中，CD＝x，AC＝x， 则在△BCD中，BD＝x，BC＝2x， 所以△ABC的周长为x＝3＋， 所以x＝1. 记AB边上的高为h， 所以h＝CD＝1. 2 4 3 1 23 2．(15分)(2026·河北部分示范性高中联考)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，BC－AC＝2，AB边上的高为3. (1)求AC的长； 解析：△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由三角形面积公式可得bc sin 120°＝，解得b＝6，即AC＝6. 2 4 3 1 24 (2)点E在BC上，AE平分∠BAC，求AE的值． 解析：由(1)可得a＝b＋2＝8， 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE＝60°， 因为S△ABC＝S△ABE＋S△CAE，所以bc sin 120°＝c·AE sin 60°＋b·AE sin 60°， 即6c＝c·AE＋6AE，故AE＝， 由余弦定理有b2＋c2－2bc cos 120°＝a2，即36＋c2＋6c＝64， 即c2＋6c－28＝0，解得c＝－3(负根已舍去)， 所以AE＝. 2 4 3 1 25 3．(15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝10，c＝6，且b＝a cos C－. (1)求角A； 解析：因为b＝a cos C－，由正弦定理，得sin B＝sin A cos C－. 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin B＝sin (π－B)＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以cos A sin C＝－. 因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos A＝－. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 2 4 3 1 26 (2)若D是BC中点，求AD的长度． 解析：方法一　在△ABC中，由余弦定理BC2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，得BC2＝196，所以BC＝14. 因为D是BC的中点，所以BD＝CD＝7. 在△ABD中，cos ∠ADB＝；在△ACD中，cos ∠ADC＝. 因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos ∠ADC＝cos (π－∠ADB)＝－cos ∠ADB， 所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，即＝0. 因为AB＝c＝6，AC＝b＝10，BD＝CD＝7，所以AD2＝19，所以AD＝. 2 4 3 1 27 方法二　如图，AD是BC边上的中线，所以， 所以·cos A， 由题知＝10，＝6，A＝，所以＝19，＝， 所以AD＝. 2 4 3 1 28 4．(15分)(2026·西安模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sin C＋cos C＝. (1)求B； 解析：由sin C＋cos C＝可得sin B sin C＋sin B cos C＝sin A. 因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 所以sin B sin C＝cos B sin C. 由sin C≠0，得tan B＝，又0<B<π，则B＝. 2 4 3 1 29 (2)若a＋c＝2，求边AC上的角平分线BD长； 解析：如图，在△ABC中， 由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos ∠CBA，因为b＝，∠CBA＝， 所以(a＋c)2－3ac＝3，又a＋c＝2，所以ac＝. 由S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， 得ac sin a×BD×sin c×BD×sin ， 整理得BD＝. 2 4 3 1 30 (3)若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围． 解析：因为BE是边AC上的中线，则， 两边取平方，2＝＝[(a＋c)2－ac]. 由(2)已得(a＋c)2＝3＋3ac，代入可得， 由正弦定理，＝2， 则a＝2sin A，c＝2sin C＝2sin ， 2 4 3 1 31 所以ac＝4sin A sin ＝4sin Acos A＋) ＝sin 2A＋1－cos 2A＝2sin ＋1. 因为△ABC为锐角三角形，则有解得<A<， 则<2A－<. 2 4 3 1 32 由正弦函数的图象性质，可得<sin ≤1， 故得2<ac≤3，所以∈， 故边AC上的中线BE的取值范围为. 2 4 3 1 33 $