第八节 解三角形中的综合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形中的综合问题”专题，依据高考评价体系梳理了多三角形问题、最值范围问题等核心考点，结合2022年新高考Ⅰ卷真题及2026年多地模拟题，明确多三角形拆分、边角关系转化、最值求解等高频考查方向，归纳求角度、边长、面积及范围等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+素养落地”的复习策略，如以2022新高考Ⅰ卷真题为例，通过三角恒等变换与基本不等式结合突破最值问题，培养学生数学思维与运算能力。“学霸笔记”总结三角形拆分、公共条件交叉使用等技巧，助力学生掌握解题方法，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第八节　解三角形中的综合问题 1 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　多三角形问题 例1 (2026·长沙模拟)如图，在平面凸四边形ABCD中，tan ∠ABD＋tan ∠ADB＝. (1)求∠ADB； 2 解析：∵tan ∠ABD＋tan ∠ADB＝， ∴， 故， 由两角和的正弦公式可得， 3 又在△ABD中，∠ABD＋∠ADB＋∠BAD＝π，∴sin (∠ABD＋∠ADB)＝sin (π－∠BAD)＝sin ∠BAD≠0，， 故cos ∠ADB＝，由三角形内角范围知∠ADB＝. 4 (2)若AD＝BD＝4，∠ACB＝，求CD. 5 解析：∵AD＝BD＝4，∠ADB＝，∴△ABD为边长为4的等边三角形， 在△ABC中，∠ACB＝，由正弦定理得，∴BC＝＝8sin ∠BAC， 在△ABC中，由于∠BAC＋∠BCA＋∠ABD＋∠CBD＝π， ∴∠BAC＋＋∠CBD＝π，∴∠BAC＋∠CBD＝，∴BC＝8sin ∠BAC＝8sin ，故BC＝8cos ∠CBD， 6 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD×BC×cos ∠CBD， 即CD2＝42＋BC2－8×BC×cos ∠CBD，化简得CD2＝42＋BC2－BC·BC，∴CD2＝16，即CD＝4. 7 学霸笔记：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 8 　跟踪训练　如图，在四边形ABCD中，点O为AB的中点，AB＝2，OC＝OD＝CD＝，且∠COB＝. (1)求四边形ABCD的周长； 9 解析：因为OC＝OD＝CD， 所以△OCD是等边三角形，且∠COD＝，又∠BOC＝， 所以∠AOD＝∠BOD＝. 又点O为AB的中点，AB＝2，所以OB＝OA＝1. 在△OBC中，由余弦定理得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos ∠COB＝1＋3－2×1×＝1，所以BC＝1. 10 在△OAD中，由勾股定理可得AD2＝OD2＋OA2＝3＋1＝4，所以AD＝2， 所以AB＋BC＋CD＋DA＝2＋1＋， 故四边形ABCD的周长为5＋. 11 (2)求四边形ABCD的面积． 12 解析：因为OB＝OA＝1，OC＝OD＝CD＝， 结合三角形的面积公式可得 S四边形ABCD＝S△OBC＋S△OCD＋S△OAD ＝OB·OC sin ∠COB＋OC·OD·sin ∠COD＋OD·OA sin ∠DOA ＝， 故四边形ABCD的面积为. 13 命题点二　解三角形中的最值、范围问题 考向1　利用基本不等式求最值、范围 例2 (链接·2022年新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)若C＝，求B； 14 解析：由已知条件，得sin 2B＋sin A sin 2B＝cos A＋cos A cos 2B. 所以sin 2B＝cos A＋cos A cos 2B－sin A sin 2B＝cos A＋cos (A＋2B)＝cos [π－(B＋C)]＋cos [π－(B＋C)＋2B]＝－cos (B＋C)＋cos [π＋(B－C)]＝－2cos B cos C，所以2sin B cos B＝－2cos B cos C， 即(sin B＋cos C)cos B＝0. 由已知条件，得1＋cos 2B≠0，则B≠， 所以cos B≠0，所以sin B＝－cos C＝. 又0＜B＜，所以B＝. 15 (2)求的最小值． 解析：由(1)知sin B＝－cos C＞0，则B＝C－， 所以sin A＝sin (B＋C)＝sin ＝－cos 2C. 由正弦定理得 ＋4sin2C－5≥2－5， 当且仅当sin2C＝时等号成立，所以的最小值为－5. 16 学霸笔记：在解决三角形问题时，主要涉及边与角的关系，特别是在应用余弦定理计算周长、面积时，会出现三角形两边的平方和、两边的积、两边的和等代数式，应注意使用基本不等式求最值． 17 　跟踪训练　(2026·新余模拟)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin B＋＝sin . (1)求A； 18 解析：因为2sin B＋sin ＝sin ，C＝π－(A＋B)， 则2sin B＋sin ＝sin ， 可得2sin B＋sin (A－B)－cos (A－B)＝sin (A＋B)－cos (A＋B)， 则2sin B＝[sin (A＋B)－sin (A－B)]－[cos (A＋B)－cos (A－B)]＝cos A sin B＋sin A sin B. 19 又因为B∈(0，π)，则sin B≠0，可得cos A＋sin A＝2，则＝1， 且A∈(0，π)，则A＋∈，可得A＋，所以A＝. 20 (2)若b cos C＋c cos B＝1，求△ABC面积的最大值． 21 解析：设＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，则a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C. 因为b cos C＋c cos B＝1，即2R sin B cos C＋2R sin C cos B＝1， 可得2R sin (B＋C)＝2R sin A＝1，即a＝1. 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即b2＋c2－bc＝1. 又因为b2＋c2≥2bc，则2bc－bc≤1，解得bc≤2＋， 22 当且仅当b＝c＝时等号成立， 可得S△ABC＝bc sin A＝， 所以△ABC面积的最大值为. 23 考向2　利用三角函数的性质求最值、范围 例3 (2026·内江模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（）＝sin2(B＋C)＋3sinB sin C，a＝. (1)求A的值； 解析：由题意得(sin B＋sin C)2＝sin2A＋3sinB sin C， ∴sin2B＋sin2C＝sin2A＋sinB sin C， ∴由正弦定理可得b2＋c2＝a2＋bc，即b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝. 又A∈(0，π)，∴A＝. 24 (2)求△ABC的周长的取值范围． 25 解析：由a＝及正弦定理得， ∴a＋b＋c＝sin B＋2sin ＝sin B＋cos B＋) ＝3sin B＋cos B＋sin ＋. 26 由于△ABC为锐角三角形，则解得<B<， 则<B＋<，∴<sin ≤1， 则a＋b＋c＝2sin ＋∈， 即△ABC周长的取值范围为. 27 学霸笔记：解决此类问题时，首先通过正弦定理与余弦定理，将问题转化为某一内角的三角函数，再借助三角恒等变换和三角函数的性质求出最值或范围． 28 　跟踪训练　(2026·益阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； 解析：因为，由正弦定理得， 化简得2cos C sin B＝sin A cos C＋cos A sin C＝sin (A＋C)＝sin B， 又因为0<B<π，则sin B≠0，可得2cos C＝1，即cos C＝， 且0<C<π，所以C＝. 29 (2)若c＝3，求a＋b的取值范围． 30 解析：因为c＝3，C＝，由正弦定理得， 则a＝2sin A，b＝2sin B＝2sin (A＋C)＝sin A＋3cos A， 可得a＋b＝3sin A＋3cos A＝6sin . 因为0<A<，则<A＋<， 可得sin ∈，所以3<a＋b≤6. 即a＋b的取值范围为(3，6]. 31 课时作业29 32 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2＝b2＋c2，则A的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案：B 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 33 解析：由余弦定理得cos A＝，当且仅当b＝c时取等号，因为0<A<π，y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以0<A≤，即A的最大值为.故选B. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 34 2．如图，在平面四边形ACBD中，AB＝2，BD＝，∠ABD＝∠ACD＝，∠CAD＝，则CD的长为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：B 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 35 解析：∵在△ABD中，AB＝2，BD＝，∠ABD＝，∴由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD，即AD2＝4＋2－2×2××cos ＝2，∴AD＝，又在△ACD中，∠CAD＝，∠ACD＝，∴由正弦定理得，即，解得CD＝.故选B. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 36 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且C∈，则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：B 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 37 解析：由题知，由正弦定理得即c2＝6ab.设＝t得a＋b＝tc，由三边关系可得a＋b>c，所以t>1.由余弦定理得cos C＝＝3t2－4.因为C∈，所以cos C∈，则有<3t2－4<1，整理得<t2<，解得t∈.故选B. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 38 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，M是BC的中点，BM＝2，AM＝c－b，则△ABC面积的最大值为(　　) A． B．2 C．3 D．3 答案：B 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 39 解析：在△ABM中，由余弦定理得cos B＝.在△ABC中，由余弦定理得cos B＝.∴.即b2＋c2＝4bc－8.∵∠BAC∈(0，π)，∴cos ∠BAC＝∈(－1，1)，则bc∈(4，12)． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 40 又∵sin ∠BAC＝，∴S△ABC＝bc sin∠BAC＝.则当bc＝8时，S△ABC取得最大值2.故选B. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 41 5．(2026·泉州模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A sin ＝，a＋c＝2，则(　　) A．cos C＋cos A cos B＝sin A cos B B．b的取值可能为 C．b的取值可能为 D．△ABC面积的最大值为 答案：ACD 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 42 解析：∵cos A sin ＝sin ，则cos Asin B＋)＝sin C－cos C＝sin (A＋B)＋cos (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＋cos A cos B－sin A sin B，整理得sin A cos B＝sin A sin B，∵sin A≠0，∴cos B＝sin B，即tan B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝，对于A，∵cos C＋cos A cos B＝－cos (A＋B)＋cos A cos B＝sin A sin B＝sin A， 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 43 sin A cos B＝sin A，∴cos C＋cos A cos B＝，故A正确；∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－＝1，当且仅当a＝c＝1时等号成立，∴1≤b<2，故B错误，C正确；S△ABC＝＝，当且仅当a＝c＝1时等号成立，∴△ABC面积的最大值为，故D正确．故选ACD. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 44 6．已知∠A＝，M，N分别是∠A两边上的动点，若MN＝2，则△AMN面积的可能取值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：AB 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 45 解析：设AM＝x，AN＝y，在△AMN中，由余弦定理得MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠MAN，即4＝x2＋y2－xy，即xy≤4＋2，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以S△AMN＝xy sin ＋1，显然A和B符合，C和D不符合．故选AB. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 46 7．(2026·呼和浩特模拟)在△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，则△ABC面积的最大值为________． 3 解析：由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC，即36＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝AB2＋AC2＋AB·AC≥3AB·AC(当且仅当AB＝AC时等号成立)．所以AB·AC≤12.所以S△ABC＝×AB·AC·sin 120°≤.故△ABC面积的最大值为3. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 47 8．(2026·蚌埠模拟)在△ABC中，若cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则sin C的取值范围为________． 解析：由cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，得1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，由正弦定理得a2＋b2＝2c2，则cosC＝，当且仅当a＝b时等号成立．又C∈(0，π)，且余弦函数y＝cos x在(0，π)上单调递减，则C∈，而正弦函数y＝sin x在上单调递增．因此sin C∈，所以sin C的取值范围为. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 48 9．(13分)如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD＝90°，∠D＝45°，AD＝2，AC＝5. (1)求cos ∠ACD； 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 49 解析：方法一　在△ACD中，由正弦定理得，可得sin ∠ACD＝. 又因为AC>AD，所以∠D>∠ACD，即∠ACD为锐角，所以cos ∠ACD＝. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 50 方法二　在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos 45°，即25＝4＋CD2－2×2×CD×，解得CD＝(负值舍去)， 所以cos ∠ACD＝. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 51 (2)若BC＝2，求AB. 解析：在△ABC中，由(1)得cos ∠ACD＝， AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos (90°－∠ACD)＝52＋2×5×2sin ∠ACD＝25， 所以AB＝5. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 52 10．(15分)(2026·长春模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知4S＝(a2＋b2－c2)． (1)求C； 解析：由余弦定理可得cos C＝，所以a2＋b2－c2＝2ab cos C. 由三角形面积公式可知S＝ab sin C及4S＝(a2＋b2－c2)，可得2ab sin C＝2ab cos C，即sin C＝cos C. 因为cos C≠0，所以tan C＝. 又C∈(0，π)，所以C＝. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 53 (2)若c＝4，求△ABC面积的最大值． 解析：由(1)知C＝. 因为c＝4，所以由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝16. 由重要不等式可得a2＋b2≥2ab，所以16＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，即ab≤16， 当且仅当a＝b＝4时等号成立，ab有最大值为16. 所以S＝ab sin C＝， 所以△ABC的面积的最大值为4. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 54 11．(15分)(2026·重庆模拟)已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝sin2B－sinA sin C，b＝2. (1)求角B； 解析：由(sin A－sin C)2＝sin2B－sinA sin C可得sin2A－2sinA sin C＋sin2C＝sin2B－sinA sin C，即sin2A＋sin2C－sin2B＝sinA sin C， 由正弦定理，可得a2＋c2－b2＝ac，又由余弦定理，cos B＝， 因为B∈(0，π)，故B＝. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 55 (2)求a＋c的取值范围． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 56 解析：由正弦定理，可得， 则a＝sin A，c＝sin C，因为C＝π－－A， 故a＋c＝sin A＋sin C＝sin A＋sin ＝sin A＋cos A＋)＝2sin A＋2cos A＝4sin . 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 57 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<A<，所以<A＋<， 所以<sin ≤1， 则a＋c＝4sin ∈， 所以a＋c的取值范围为. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 58 12.(15分)(2026·淮南模拟)已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2B＋sin (A＋B－C)＝＋sin (A－B－C)，且△ABC的面积大小为4. (1)求边BC长的最大值； 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 59 解析：由条件知sin 2B＋sin (A＋B－C)－sin (A－B－C)＝， 即sin 2B＋sin (A＋B－C)＋sin (B－A＋C)＝， 展开得2sin B cos B＋2sin B cos (A－C)＝， 所以sin B[－cos (A＋C)＋cos (A－C)]＝， 展开得sin A sin B sin C＝. 设△ABC的外接圆半径大小为R， 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 60 则根据正弦定理得S△ABC＝ab sin C＝2R2sin A sin B sin C＝R2＝4， 解得R＝4， 所以BC＝2R sin A＝8sin A≤8， 所以当A＝时，边BC的长最大，最大值为8. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 61 (2)当边BC长取到最大值时，求△ABC的周长． 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 62 解析：由(1)知A＝，BC＝8，此时B＋C＝， 所以sin C＝sin ＝cos B，sin A sin B sin C＝sin B sin C＝sin B cos B＝， 所以(sin B＋cos B)2＝1＋2sin B cos B＝1＋2×. 因为B∈， 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 63 所以sin B＋cos B＝，即sin B＋sin C＝， 所以AC＋AB＝2R sin B＋2R sin C＝8×， 所以△ABC的周长为8＋4. 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 1 64 $