7.3.4 正切函数的性质与图像 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图像，系统涵盖定义域、值域等性质及正切型函数的探究。通过正切线变化引导性质推导，类比正弦函数研究方法，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“正切线如何变化”等问题培养数学思维的推理意识。用对比表格梳理正切与正切型函数性质，强化数学语言表达。结合比较正切值大小等实例，落实数学眼光的抽象与几何直观，助力学生深化理解，教师高效教学。

7.3.4 正切函数的性质和图像 第七章 三角函数 22051 1.能利用正切线探究正切函数的性质和图像. 2.能应用正切函数的图像和性质解决相关问题. 学习目标 22051 2 对于任意一个角x，只要 ，就有唯一确定的正切值与之对应，因此，y=tan x是一个函数，称为正切函数. 复习导入 22051 正切函数的性质和图像. 1.如何做出正切线？ 2.随着角x的大小变化，正切线有何变化？ 根据正切线的变化特点和规律，可以得出 y=tan x的哪些性质？ 3.正切函数在定义域上是单调递增吗？有 最大最小值吗？ 4.如何判断正切函数的奇偶性？ 如图，角x过直角坐标系原点，终边交单位圆于点A. 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 零点 新知探究 22051 思考：类比正弦函数的研究方法，正切函数的单调性能不能拓展到整个定义域内呢？ 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 零点 奇函数 上单调递增 归纳 22051 正切函数的图像. 1.补充完整表格内容，作出y=tan x在 内的图像. 3.如何画出函数y=tan x在定义域范围内的图像？作出函数y=tan x的完整图像. x 0 y=tan x 2.如何画出函数y=tan x在 的图像？ 新知探究 22051 一般地，y=tan x的函数图像称为正切曲线. 正弦曲线是中心对称图形，对称中心为 ，正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为 . 正切函数y=tan x，其中 图像： 归纳 22051 例1.比较 的大小. 解：tan 2=tan（2-π)，tan 3=tan（3-π)， 因为 ，所以 ， 显然 ，又y=tan x在 内是增函数， 所以 ，即 . 例题讲解 22051 运用正切函数单调性比较大小的步骤： (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系. 归纳 22051 解：（1）正切函数在 上是增函数，且 ， 所以， . 所以 . 比较下列正切值的大小 （1） ；（2） . （2）因为 ，正切函数在 上是增函数， 巩固练习 22051 思考： 在前面用正弦函数研究正弦型函数时，通过什么方法处理函数中的 ?类比研究正弦型函数的方法，推导出 的性质. 新知探究 22051 正切函数 （其中 为常数，且 ）的性质： 1.定义域：令 ，解不等式，即可求得该函数的定义域. 2.周期性：最小正周期 . 3.对称中心：令 ，解得 ，即对称中心为 . 4.单调性：若 ，一般先用诱导公式化为 ，使x的系数为正值，然后求单调区间.令 ，解不等式，即可求得该函数的单调增区间. 归纳 22051 例2.求函数 的定义域、最小正周期、对称中心和单调区间. 解：根据正切函数的定义域，可知 ，解得 ，即该函数的定义域为： . 令 ，∴ ， 所以该函数的最小正周期为 . 例题讲解 22051 令 ，则函数y=tan z在区间 上单调递增，又 ，解得 ， 所以该函数的单调增区间为 . 令 ，则函数y=tan z的对称中心为 ， 所以有 ，解得 ， 所以该函数的对称中心为 . 例2.求函数 的定义域、最小正周期、对称中心和单调区间. 22051 求函数 的单调区间. 解： 由 ， 得 ， 所以函数 的单调减区间是： ，无增区间. 巩固练习 22051 任务：回顾本课所学知识，完成下列表格. 正切函数y=tan x 正切型函数 定义域 值域 周期 奇偶性 对称中心 单调增区间 R R 最小正周期π 最小正周期 奇函数 时，奇函数；否则非奇非偶 令 ，解不等式即可求出 课堂小结 22051 1. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A.y＝sin(2x+)   B.y＝tan 2x C.y＝2sin(π－x) D.y＝tan(x＋π) D 随堂小练 基础 22051 2.若 ，则x的取值范围是(　　 ) C 22051 4.函数 的定义域是 ， = . 3.函数 的图像的一个对称中心是(　　 ) C 22051 5.求函数y=-tan2x+10tan x-1， 的值域. 解：设tan x=t，∵ ，∴ ， y=-tan2x+10tan x-1=-t2+10t-1=-(t-5)2+24， 当t=1即 时，ymin=8； 当 即 时，ymax= . ∴函数的值域为 . 22051 $