7.3.4 正切函数的性质与图象课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3 三角函数的性质与图象 7.3.4 正切函数的性质与图象 第七章 三角函数 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 学习目标 01 4 必备知识解读 02 知识点1 正切函数的图象与性质 函数 图象 __________________________________________________________________（渐近线： ， ） 定义域 , } 6 值域 周期性 是周期函数，最小正周期为 奇偶性 是奇函数，图象关于原点对称 单调性 在每一个开区间 内都是单调递增的 （在整个定义域上不具有单调性） 零点 零点为 图象的对称性 对称中心为, ;无对称轴 续表 7 一般地， 的函数图象称为正切曲线. 特别提醒 我们可以采用三点两线法绘制正切函数的简图.“三点”是指 ， ，；“两线”是指直线和 .在三点、两线确定的情况下，可大致 画出正切函数在区间， 内的简图.#1.2 8 典例详解 例1-1 画出函数 的图象，并探究其性质. 图7.3.4-1 【解析】将函数图象中位于 轴下方的图象翻折 至轴上方，即可得函数 的图象，如图7.3.4-1 所示. 由图可知函数 的性质为 （1）定义域为 ,，值域为 ； （2）函数的最小正周期为 （与 的最小正周期 相同）； （3）函数图象的对称轴为直线， ； . . 9 （4）函数 是偶函数． （5）函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 10 【归纳总结】 函数和函数的最小正周期是 ，函数 和函数 的最小正周期是 ，函数和的最小正周期都是 ，注 意与正余弦函数作区分. 11 重难拓展 知识点2 正切型函数的图象与性质 【教材链接】本知识点是对教材第58页【想一想】的深挖和探究. 1 正切型函数的图象 作正切型函数 的图象，可以考虑三点两线法或 图象变换法. （1）三点两线法 描点、画渐近线：描出三点,, ,并用虚线画出直线 及 . 连线：将三点用光滑曲线连接，并无限接近两渐近线. 12 （2）图象变换法 有先平移后伸缩和先伸缩后平移两种途径. 2 正切型函数的性质 函数 定义域 , } 值域 周期性 是周期函数，最小正周期为 奇偶性 当时为奇函数，当 时为非奇非偶函数 单调性 每一个单调区间可由 求得 13 典例详解 例2-2 [教材改编P58例1]函数 的定义域是_____________________. ，} 【解析】易知 ，， ， .故函数的定义域为 ， }. 14 例2-3 (2025·陕西省渭南市期中)已知函数 ，则下列说法正确的是 ( ) B A. 在定义域内是增函数 B.函数图象的对称中心是点 C. 是奇函数 D.函数图象的对称轴是直线 【解析】根据正切函数的单调性，可得选项A错误； 令，,求得， ，故选项B正确； 选项C显然错误； 函数 的图象无对称轴，故选项D错误. 15 题型解析 03 题型1 正切函数的定义域问题 例4 函数 的定义域是( ) A A.， } B.， } C. ， } D. 且 ， } 【解析】对于函数，应有存在，且， ，且 ， ， 即， ，故选A． 17 例5 下列与函数 的图象不相交的一条直线是( ) C A. B. C. D. 思路点拨 直线与正切型函数的图象不相交，也就是函数在 处无定义， 求出函数定义域即可． 【解析】由，，得， ， 则当时，，即直线 与函数图象不相交. 18 1.正切函数的定义域为 ，，求正切型函数 的 定义域时，只需令 ，，求出 的解集即可. 2.与正切型函数复合的函数定义域，除要注意正切函数的限制外，还要注意其余函 数的限制，如中，中，且中 . 19 【变式题】 1.(2025·山东省菏泽市成武第一中学月考)函数 的定义域为( ) D A.，} B.， } C.，} D.， } 【解析】令,，解得, ， 所以函数的定义域为, }. 20 题型2 图象及其应用问题 1 图象识别 例6 [教材改编P59练习A T4]函数 在一个周期内的图象是( ) A A. B. C. D. 21 【解析】 由函数知，这个函数的最小正周期 ， 由此可排除B，D；把函数解析式化为 ，显然这个函数的图象只是 将的图象向右平移了 个单位长度（三角函数的图象变换规则都相同）， 比较图象可知A正确． 将的图象向右平移个单位长度，可以得到 的图象， 再把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得 到 的图象，比较图象可知A正确． （优解） 由解析式,知, ，故 选A. . . 22 解决与正切（型）函数有关的图象识别问题的常用方法 1.作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案. 2.性质法：研究相关函数的性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性、图象的对称 性等），排除相关选项，从而确定正确答案. 23 2 解不等式 例7 不等式 的解集为_________________________________. ,｝ 图7.3.4-2 【解析】作出函数在区间 上的图象，如图 7.3.4-2所示.观察图象可得，在内，满足条件的 的取 值范围为 .由正切函数的周期性知，不等式的解 集为 , ｝. 24 解关于正切函数的不等式的步骤 （1）将不等式化为 或或或 的形式； （2）在同一平面直角坐标系中画出在一个周期（通常是 ）内的图 象和直线 ； （3）借助图象写出不等式在一个周期 内的解集，此解集的两端同时加上 即不等式的解集. 25 3 图象交点个数 例8 在区间内，函数与函数 的图象交点的个数为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 26 图7.3.4-3 【解析】 在同一平面直角坐标系中，作出 与在， 内的图象，如图7.3.4-3所示. 当时，有 （利用单位圆中的正弦线、 正切线即可证明），所以由图象可知它们有3个交点． 由得 ， 即，解得或 ． ，时， ，， 满足；满足 ， 故所求交点个数为3． 27 名师点评 方法1是利用数形结合思想，通过观察两图象交点的个数得到最后的结果； 方法2是利用方程思想，采用解方程的方法得到最后的结果. 28 正切（型）函数与其他函数的综合问题，如方程解的个数、图象交点的个数是近年 来的命题热点，解决此类问题一般要用到转化与化归、数形结合等数学思想，学习 时应特别注意. 29 4 由函数的图象确定函数解析式 图7.3.4-4 例9 (2025·河南省南阳市期中)已知函数 ， 的部分图象如 图7.3.4-4，则 ____. 30 【解析】由图象可知，此函数的最小正周期的一半等于 ，故函数的最 小正周期为，所以 . 又函数图象过点，所以，即 ，所以 ， 又,所以 . 由函数图象过点可得 . 综上， . 故 . 31 由正切型函数 的图象确定函数的解析式的关键是抓住图象中的关 键点（与坐标轴交点、渐近线与轴交点），先确定函数的周期，然后由 确定 的大小；再根据图象（渐近线）与轴交点，确定 值；最后结合图象上其余点 的坐标求出 的值. 32 题型3 单调性问题 1 比较大小 例10 比较大小：，， . 思路点拨 可根据正切函数的单调性进行比较. 【解析】由诱导公式可知 , 因为,函数在， 上单调递增，所以 ， 即 . 33 正切函数的单调性在比较大小中的应用思路 利用正切函数的单调性比较两个正切值的大小，先将两个角利用函数的周期性或诱 导公式转化到同一个单调区间内，再比较两个正切值的大小. 34 2 求单调区间 例11 [教材改编P59 T5](2025·上海师范大学附属中学月考)函数 的 单调递减区间为_______________________. , 【解析】（（先利用诱导公式将的系数化为正值）） . 由 , 得 . 故函数的单调递减区间为 . . . 35 正切型函数单调区间的求解思路 已知正切函数在开区间 上单调递增，求正切型函 数的单调区间，只需由解出 的取值范围即可，当，时，所求范围为单调递增区间，当与 中只有一个 小于0时，所求范围为单调递减区间. 36 3 求参数 例12 (2025·湖北省荆州市期末)直线与函数 的图象 的相邻两个交点的距离为 ，若在上单调递增，则 的取值 范围是( ) B A.（0, B.（0, C.（0, D.（0, 37 【解析】易知直线与函数 的图象的相邻两个交点的距离为 一个周期，则 ， 所以，所以 . 由， , 解得， , 所以函数在 上单调递增, 又在 上单调递增， 即，解得 . 故的取值范围是（0, . 38 【变式题】 2.(2025·辽宁省名校联盟模拟)已知函数，若 在区间 ，内单调递减，则 的取值范围是( ) C A. B.， C. D.， 39 【解析】由在区间，内单调递减,得，而 在区 间，内单调递增，故， ，得 ，，所以 的单调递增区间为 ，，所以，， ，所以 ，解得，，由,得 ， 由,得 ， 40 所以且，故或 . 当时， ; 当时， . 综上所述，， ． 题型4 值域（最值）问题 例13（1）已知，求函数的最值及相应的 的值. 【解析】 . 因为，所以 . 故当，即时，取得最小值，为1；当，即时， 取 得最大值，为5. 42 （2）求函数,且 的值域. 【解析】因为 ， 所以 . 图7.3.4-5 令,由，, 的图象 （如图7.3.4-5所示）可得，函数 , 的值域为 . 43 （1） （2） 44 与正切函数相关的值域（最值）问题的求法 已知角的范围，求正切函数的值域时，若角的范围在一个单调区间内，可直接运用 正切函数的单调性得到正切函数的值域；若角的范围不在一个单调区间内，则要结 合函数图象求正切函数的值域. 45 题型5 周期性问题 例14 (2025·河南省新乡市期末)函数 的图象的相邻两支截直线 所得的线段长为，则 ____. 【解析】的图象的相邻两支截直线 所得的线段长度为函数的最小 正周期，所以该函数的最小正周期是，所以，解得 ，所以 . 当时， ． 46 例15 (2025·河南省南阳市期中)已知函数，点 和 是其图象上相邻的两个对称中心，则在区间， 上的最大值为___. 0 【解析】由和是图象上两个相邻的对称中心得 ， ，，则 . 则在区间， 上单调递增， . 47 1.函数的最小正周期为，函数 的最小正 周期也为 . 2.函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为 . 3.函数的图象的两个相邻对称中心的距离为 . 48 题型6 对称性问题 例16 (2025·陕西省咸阳市期末)函数 的图象的一个对称中心为( ) C A. B. C. D. 【解析】令（【易错点】正切函数 图象的对称中心是 ,而不是）, ， 得,，当时， ， 所以函数图象的一个对称中心为 . . . 49 例17 若函数的图象的一个对称中心是点，则 的最小值 为( ) B A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】因为正切函数图象的对称中心为点 （正切函数图 象的对称中心包括图象与轴的交点，以及渐近线与 轴的交点），所以令 , 则，所以函数 的图象的对称中心为点 ,又的图象的一个对称中心是点 ， 所以令，解得 . 因为，所以当时， 取得最小值,为3. . . 50 求正切型函数图象的对称中心的基本方法 求正切型函数 图象的对称中心的基本方法仍然 是基本函数法，即熟记基本函数的对称中心，再用 整体代换 其中的 即可，即： 令,解得,故 图象的对称中心的坐 标为 . 51 知识测评 04 建议时间：30分钟 1.函数 的值域是( ) B A. B. C. D. 【解析】由，可得，结合函数 的图象,可 得函数的值域为 . 53 2.下列不等式中，正确的是( ) B A. B. C. D. 54 【解析】对于A， , , ,A错误; 对于B,, , ,B正确; 对于C,, , ,C错误; 55 对于D,, , , , ,D错误. 3.新定义 准偶函数 (2025·广东省清远市期末)对于函数,若存在常数,使得 取定义域内的每一个值，都有,则称 为准偶函数.下列函数中是 准偶函数的是( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意可得准偶函数的图象关于直线 对称，即准偶函数的图 象存在不是 轴的对称轴.选项A，C中函数的图象不存在对称轴，选项B中函数图象 的对称轴为轴，选项D中函数的图象存在不是 轴的对称轴. 57 4.新定义 平行曲线 (2025·上海南汇中学期中)我们把正切函数在整个定义域内的图 象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两 条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线 相交于 ，两点，且，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由题意知，最小正周期，所以,解得 ，所以 ,所以 . 58 5.［多选题］曲线 的对称中心可能是( ) BCD A. B. C. D. 【解析】令，则 ． 当时， ，故A错误； 当时，，所以 为曲线的对称中心，故B正确； 当时，，所以 为曲线的对称中心，故C正确； 当时，，所以为曲线的对称中心，故D正确.故选 ． 59 6.函数 的最小正周期为___. 图D 7.3.4-1 【解析】 由图象知的最小正周期为 . 7.函数 的最小正周期是__，定义域是____________________． {} 【解析】函数的最小正周期是，因为， ，解得 ，，所以函数的定义域为{， }． 画出其图象如图D 7.3.4-1所示. 60 8.设函数和, ，若它们的最小正周期之 和为,且,,求, 的解析式. 【答案】的最小正周期 ， 的最小正周期 . , . , , ， ， 61 ， . 又, , 化简得 解得 , . 高考模拟 05 建议时间：35分钟 图7.3.4-1 9.图7.3.4-1中的图象分别是； ; ；在， 内的大致图象， 那么由到 对应的函数关系式应是 ( ) D A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 64 65 10.(2025·广东省中山市月考)已知函数 ，其函数图 象的一个对称中心是 ，则该函数的一个单调递减区间是( ) D A. B. C. D. 【解析】函数图象的一个对称中心是 ，所以 ，,解得，，又，所以 ，所 以.令 ， ，解得 ，.所以函数 的单调递减区间为 ，.当时，得的一个单调递减区间为 ． 66 11.(2025·湖南省娄底市期末)已知函数，点 和是函数图象的相邻的两个对称中心，且函数在区间， 内单调 递减，则 ( ) A A. B. C.或 D. 67 【解析】正切函数图象相邻两个对称中心的距离, 函数 的最小正周期 ，即 ，解得.又在区间， 内单 调递减，，.由， ,得 ，.,可取和 . 68 当时，，则 ，由 ，，得， ，即函数 的单调递减区间为，，令,得函数 的一个单 调递减区间为， ，满足条件; 当时，,则,易得此时 的单调递 减区间为, , 令，得函数的一个单调递减区间为，，不满足条件.综上， ,故 选A. 图7.3.4-2 12.［多选题］已知函数 的部分图象如图7.3.4-2所示，下列关于函数 的表述不正确的是( ) ACD A.函数的图象关于点 对称 B.函数在， 上单调递减 C.函数的图象关于直线 对称 D.函数的图象上所有的点向左平移 个单位长度 得到函数 的图象 70 【解析】根据函数的部分图象知， 的最小 正周期，.易知 ， ，可得 ， . ,,， 函数.当 时， ,的图象不关于点 对称，A错误. 当，时，，在， 上单调递减，B正确. 当时，，的图象不关于直线 对称，C错误. 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到 的图象，不是函数 的图象，D错误. 71 13.(2025·上海市松江二中三模)设定义在区间上的函数 的图象与 的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线 与函数 的图象交于点，则线段 的长为__． 【解析】令,两边同乘,得 , ,解得或（舍去）， 点 的纵坐标 ， . 72 14.(2025·辽宁省朝阳市建平县实验中学月考)设函数 ，已知函数的图象与 轴相邻两个交 点的距离为，且图象关于点 对称． （1）求 的解析式； 【答案】由题意，知函数的最小正周期（直线与函数 图象 的相邻两个交点的距离为的一个周期），即 ． 因为，所以，所以 ． 因为函数的图象关于点 对称， 所以,,即, ， 又,所以 . 故 . . . 73 （2）求 的单调区间； 【答案】令 ,,得, , 所以函数的单调递增区间为, ,无单调递减区间. （3）求不等式 的解集． 【答案】由（1）知， . 由,得 , ,即 , . 所以不等式的解集为, }. 74 15.(2025·山东省昌邑市期中)已知函数,其中 , . （1）当，,时，求函数 的最大值与最小值; 【答案】当时,函数 , , 当时, 函数取得最小值，为 ， 当时,函数取得最大值，为 . 75 （2）若函数为奇函数，求 的值； 【答案】由题意得，函数 ， 为奇函数， ， , , . （3）求 的取值范围，使在区间, 上单调. 【答案】易知函数图象的对称轴为直线 ， 要使在区间, 上单调， 则或，即或 , 解得 或 ,.故 的取值范围为 , . 76 谢谢观看 数学人教B版必修第三册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 77 $