第七章 离散型随机变量的分布列与数字特征 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学讲义通过表格呈现离散型随机变量分布列的性质，结合“提醒”梳理随机变量定义、均值方差公式等核心概念，构建“概念-性质-应用”的知识体系，突出分布列性质与数字特征的内在逻辑联系。 讲义亮点在于题型分层设计，从离散型随机变量的辨析（题型1）到决策问题（如游戏奖励方案选择，题型6），引导学生用数学思维推理概率关系，用数学语言表达实际问题的解决方案。每个题型配典型例题，基础生掌握方法，优秀生深化应用，助力教师实施精准复习教学。

第七章 离散型随机变量的分布列与数字特征 目录 题型1：离散型随机变量 3 题型2：求离散型随机变量的分布列 5 题型3：离散型随机变量的分布列的性质 10 题型4：离散型随机变量的均值 13 题型5：离散型随机变量的方差 23 题型6：决策问题 31 1. 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.通常用字母表示. 提醒 （1）一般地,如果一个试验满足下列条件:①试验可以在相同的情形下重复进行;②)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果，这种试验就是随机试验. （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数来表示.如掷一枚硬币,X=0表示反面向上，X=1表示正面向上. （3）随机变量的线性关系:若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量. 2. 离散型随机变量及其分布列 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.用小写英文字母表示随机变量的取值，例如. 设离散型随机变量的可能取值为,取每一个值的概率，则称表 … … … … 为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列.它具有以下性质： ①； ②. 提醒 （1)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. (2) 性质②可以用来检查所写出的分布列是否有误,也可以用来求分布列中的某些参数. 3. 离散型随机变量的数学期望与方差 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望.称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差,记为. 提醒 (1)描述了相对于均值的偏离程度,而是上述偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度. (2) 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中;方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (3) 方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数. 题型1：离散型随机变量 【例1.1.】 （多选）下列问题中的ξ是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C．体积为1 000 cm3的球的半径长为ξ D．射手对目标进行一次射击，所得分数为ξ（击中得1分，未击中得0分） 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】判断随机试验中的随机变量、离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【分析】本题考查离散型随机变量的判定，核心依据是：离散型随机变量的所有可能取值可以按一定次序一一列举出来，且取值具有随机性. 【详解】 选项A：表示一天内经过大桥的该品牌轿车辆数，可能取值为0，1，2，…， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确； 选项B：表示歌曲一天内的点击次数，可能取值为0，1，2，…， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确； 选项C：体积为的球的半径可由公式唯一确定， 是固定值，不是随机变量，错误； 选项D：表示射手一次射击的得分，可能取值为0（未击中）、1（击中）， 可一一列举，属于离散型随机变量，正确. 【例1.2.】 袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【分析】利用随机变量的定义可得出结果. 【详解】因为取到白球时停止，所以最少取球次数为，即第一次就取到了白球； 最多次数是次，即把所有的黑球取完之后才取到白球． 由题意可知，随机变量的可能取值有. 【例1.3.】 某人对一个密码锁进行密码尝试，最多尝试4次，一旦输入正确就停止尝试，记尝试次数为X，则事件表示的试验结果是（   ） A．第4次尝试正确 B．第4次尝试错误 C．前3次尝试均错误 D．前3次尝试均正确 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【分析】根据变量的意义进行判断. 【详解】事件表示尝试次数为4次.根据规则，进行第4次尝试的充要条件是前3次尝试均错误，故事件与‘前3次尝试均错误’等价. 【例1.4.】 抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断随机试验中的随机变量 【详解】抛掷一枚均匀硬币两次，则抛掷硬币的次数为，不是随机变量，A不满足； 出现正面的次数是随机的，可作为随机变量，B满足； 出现正面或反面的次数，标准不明确，不是随机变量，C不满足； 出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，不是随机变量，D不满足. 【例1.5.】 下面给出四个随机变量： ①1天内的温度； ②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码； ④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】离散型随机变量与连续型随机变量的区分 【详解】离散型随机变量是指其可能取到的值可以一一列举出来的随机变量. 对于①，一天内的温度可以取某一区间内的任意数，不能一一列举出来，故①不是离散型随机变量； 对于②，一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数可以是等，这些值可以一一列举出来，故②是离散型随机变量； 对于③，从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码可以是，这些值可以一一列举出来，故③是离散型随机变量； 对于④，一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置可以取直线上的任意一点，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量. 综上，②③是离散型随机变量. 题型2：求离散型随机变量的分布列 【例2.1.】 某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) 0 50 100 150 200 【难度】0.64 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）按“两人费用均为0元、均为50元、均为100元”三类情况分类，利用独立事件概率乘法公式计算每类概率，再求和得到费用相同的概率. （2）先确定随机变量（两人健身费用之和）的所有可能取值，再结合两人不同费用的组合情况，用独立事件概率公式计算各取值的概率，列出分布列. 【详解】（1）依题意，两人都付0元的概率； 两人都付50元的概率； 两人都付100元的概率， 则甲、乙两人所付的健身费用相同的概率为. （2）由题意知，的所有可能取值为0，50，100，150，200， ， 所以的分布列为 0 50 100 150 200 【例2.2.】 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【答案】(1)0.85 (2) 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【难度】0.82 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式求解即可. （2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可. 【详解】（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B， 用事件表示机器人成功，则 由全概率公式得. （2）由题意得的取值可能为. ， ， ， 的分布列为 0 1 2 0.02 0.26 0.72 【例2.3.】 现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． (1)停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； (2)停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； (3)求的分布列． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【难度】0.41 【知识点】计算古典概型问题的概率、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）按取球规则，需第一次取红球，则可以发生停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球； （2）利用全概率公式求解； （3）先列出箱球的情况，再对应求箱子内剩余的白球个数对应的概率，最后列分布列. 【详解】（1）A箱原有2红1白共3个球：若第一次取出白球，A箱剩余2个红球， 只剩同色，停止取球，剩余2个球； 若第一次取出红球（概率为），A箱剩余1红1白，两种颜色都存在，需继续取球， 取1次后剩余1个球，停止，因此恰好剩1个球的概率为； （2）先分析A箱停止后的所有可能结果，概率分别为： 剩2个红球时：此时概率 ​，混入B箱后，B箱有5红球3白球； 剩1个红球：此时概率 ​，混入B箱后，B箱有4红球3白球； 剩1个白球：此时概率，混入B箱后，B箱有3红球4白球； B箱不剩红球等价于红球先被全部取完，剩余全为白球， 由排列的等可能性，该事件概率等于最后一个球是白球的概率，即白球数除以总球数， 即对R个红球W个白球，红球先取完（停止后不剩红球）等价于所有排列最后一个是白球，每个球等可能在最后一位，概率为； 由全概率公式可得停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率 ； （3）A 箱三种情况 剩2红：，并入B：5 红 3 白 剩1红：，并入B：4 红 3 白 剩1白：，并入B：3 红 4 白 B 箱条件概率 5红3白： ，，，， 4红3白： ， ，，， 3红4 白：，，，，， 综上所述，的可能取值是0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以的分布列是 0 1 2 3 4 题型3：离散型随机变量的分布列的性质 【例3.1.】 已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】根据可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由题意，得. 所以对应，共个取值， 则，即，解得. 【例3.2.】 已知随机变量的分布列为，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【详解】由题意得， 解得． 【例3.3.】 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 【例3.4.】 已知，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【详解】由题意可知. 【例3.5.】 设随机变量X的分布列，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【详解】， 因为， 所以，解得。 所以， 所以. 【例3.6.】 （多选）设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.72 【知识点】利用不等式求值或取值范围、利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】根据分布列的性质判断A；结合概率的加法公式及不等式的性质判断BCD. 【详解】由题意知，，，故A正确. ，. 因为，则，，， 所以，，，故B正确，CD错误. 题型4：离散型随机变量的均值 【例4.1.】 从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分. 按照规则从容器中任意摸取2个球，所得分数的期望为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【详解】得2分的概率为，得3分的概率为， 得4分的概率为， 则得分数的期望为. 【例4.2.】 五声音阶是中国传统音乐的基础音阶结构，按音高从低到高的顺序分别是宫、商、角、徵、羽．甲、乙两位同学进行“辨音”练习，甲随机弹奏五声音阶中的3个不同音符，乙按顺序说出是哪三个音符．由于乙是初学者，不能正确分辨绝对音高及相差音程（指音高间的差距），只能正确分辨所听音符的相对音高．已知甲依次弹奏了徵、角、羽三个音，乙根据听到的相对音高关系，按顺序猜测这三个音．用表示乙的猜测结果与甲弹奏的音在相同位置一致的个数，则__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【详解】表示乙的猜测结果与甲弹奏的音（徵、角、羽）在相同位置一致的个数，的可能值为0，1，2，3. 乙猜测三个音的所有可能顺序有种； 甲弹奏的顺序是徵、角、羽，则乙猜测的顺序与甲完全不同的情况有：角、羽、徵和羽、徵、角共2种，则； 乙猜测的顺序与甲只有一个位置相同的情况有：徵、羽、角，羽、角、徵和角、徵、羽，共3种，则； 若乙猜测的顺序与甲有两个位置相同，则第三个位置也必然相同，所以不存在只有两个位置相同的情况，即； 乙猜测的顺序与甲完全相同的情况只有徵、角、羽，则； . 【例4.3.】 乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜. (1)若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率； (2)若比赛采用三局两胜制（当一队获得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲获胜的概率，再求和； （2）首先分析得到，再分别求概率，以及数学期望. 【详解】（1）设事件为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事件， 事件为“甲发球，甲败2次”，事件为“乙发球，甲败2次”，事件为“甲发球，甲败1次，乙发球，甲败1次”， 这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢， ，， , ； （2）随机变量的所有可能取值为2,3， ， ， 所以. 【例4.4.】 某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有六名男生和四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加社区活动，其余5人参加社区活动. (1)求参加社区活动的同学中包含且不包含的概率； (2)用表示参加社区活动的女生人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）由题意，所求概率：； （2）由题意可取， 则， ， ， 则的分布列如下： 所以 . 【例4.5.】 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 4 【难度】0.68 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）通过“从袋中取两个标号为2的球的概率”列组合数方程，解方程即可得到； （2）先确定的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，最后整理分布列求期望即可. 【详解】（1）从一个袋子中任取两个球的总组合数为， 取到两个标号为2的球的组合数为， 由取到的标号都是2的概率是，得， 整理得，解得或（舍去） （2）的可能取值为. ， ， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 【例4.6.】 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会，一旦考试通过，便可领取资格证书，不再参加后续考试，否则继续参加考试，直至用完三次机会．某考生小王决定参加考试，如果他参加考试通过的概率依次为0.4，0.6，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： (1)小王在一年内领到证书的概率； (2)小王在一年内参加考试次数的分布列； (3)假设每次考试需缴纳80元报名费，求小王在一年内缴纳的报名费（单位：元）的分布列． 【答案】(1) (2)X的分布列： 1 2 3 0.4 0.36 0.24 (3)Y的分布列： 80 160 240 0.4 0.36 0.24 【难度】0.76 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【详解】（1）（1）设事件“第次考试通过”（），则一年内领到资格证书的概率为 ． （2）， ． 分布列为： 1 2 3 0.4 0.36 0.24 （3），则由（2），分布列为： 80 160 240 0.4 0.36 0.24 【例4.7.】 2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【难度】0.56 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意，分为恰有两人通过和三人都通过，结合相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）分别求得三人通过第二轮的概率分别为，，，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为， 若恰有两人通过的概率为， 若三人都通过的概率为， 所以求这3人中至少有2人通过第一轮的概率. （2）解：根据题意，小明通过第二轮的概率为， 小华通过第二轮的概率为，小方通过第二轮的概率为， 则这3人中通过第二轮的人数为的可能取值为， 当时，即3人都未通过第二轮，其概率为， 当时，即3人仅有1人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人仅有2人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人都通过第二轮，其概率为， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 【例4.8.】 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. (1)求此题需要仲裁的概率； (2)求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； (3)求此题得分的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以 【难度】0.54 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11，由此求解即可； （2）先计算一评二评给分相同的概率，再计算一评二评给分不同的概率，即可求解； （3）由随机变量可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望. 【详解】（1）根据规则，只有当一评，二评的分数差绝对值大于1时，才需要仲裁， 所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11， 两种情况的概率之和为：. （2）设事件为“一评，二评给分不同”，事件为“最终得满分13分”， 一评二评给分相同的概率为, 因此，， . （3）由题意可得的可能取值为：，，，，， 则， ， ， ， 所以的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以. 【例4.9.】 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为． (1)求，和，； (2)求的数学期望（用含有的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.44 【知识点】利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先结合独立事件乘法公式求出，，再利用全概率公式求，. （2）当乙口袋中有个黄球时，甲口袋中有个黄球，乙口袋中有个红球，甲口袋中有个红球．先求一次操作后乙口袋黄球数的条件期望，再取期望得到递推关系． 【详解】（1）依题意，，， ， . （2）设某次操作前乙口袋中有个黄球，其中． 则甲口袋中有个黄球，乙口袋中有个红球，甲口袋中有个红球． 一次操作中，乙口袋中黄球数增加的概率为，乙口袋中黄球数减少的概率为． 因此，在已知的条件下， 两边取期望，得． 令，则．又，所以，即． 故，从而． 题型5：离散型随机变量的方差 【例5.1.】 将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】由题意得，的可能取值为，分别计算其概率，然后利用方差的公式计算即可. 【详解】的可能取值为， ，， ，， 所以， 则， 所以，故D正确． 【例5.2.】 将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________． 【答案】/ 【难度】0.42 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】的可能取值为0，1，2，利用排列组合知识求得，，的排列数，求得分布列，进而利用方差公式求解即可. 【详解】由题意知, 的可能取值为0，1，2. 由将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧， 当，即，之间没有其它字母时.先将，全排，有种排法， 再把，的全排看作一个大元素，与剩下的3个元素全排列，有种排法， 因此共有种排法； 当，即，之间只有，之一时，先将，全排列有种排法， 再在，中选1个放入，之间，有种选法， 再把这三个元素的排列看作一个大元素，和剩下的2个元素全排，有种排法， 因此共有种排法； 当，即，都在，之间时，先将，全排，有种排法， 把，全排列，有种排法， 再把，全排作为一个大元素放入，之间有1种放法， 再把这4个元素的排列看作一个大元素与全排，有种排法， 因此共有种排法. 所以基本事件共有种. 其中，，， 所以， 所以. 【例5.3.】 有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】(1) 6 7 8 9 10 (2)均值为，方差为 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）的可能取值为6,7,8,9,10，求出相应的概率，得到分布列； （2）的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，利用期望和方差公式进行求解. 【详解】（1）由题意，的可能取值为6,7,8,9,10， ， ， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 （2）由题意，的可能取值为0,1,2， 表示抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均没有正确解答， 故， 表示抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， 表示抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题，且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 【例5.4.】 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10  12.5  8  9.5  9  11 高二年级 7.5  8  8.5  10  9.5  11  12 高三年级 7  4.5  6  5  7.5  10.5  11  12.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求； (2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望； (3)试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）． 【答案】(1)估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300，400，500 (2)以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 (3)高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为高一高二高三 【难度】0.64 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、计算几个数据的极差、方差、标准差、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）根据分层抽样的定义，结合题设可知高二、高三学生人数，再根据样本数据综合体育活动时间五天内低于10小时的人数比例求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出每一个对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可； （3）根据样本数据，求出方差大小可得答案． 【详解】（1）由题可知，用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6，7，8， 已知高一学生人数为600，所以高二、高三学生人数分别为700，800， 而综合体育活动时间五天内低于10小时的人数， 高一、高二高三占比分别为， 由， 因此，估计高一、高二、高三学生综合体育活动时间没有 达到“通知”要求人数分别为300，400，500； （2）由题可知，综合体育活动时间达到通知要求的， 高三有3人，另5人没有达到要求，所以的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）高一年级样本数据的平均数为， 其方差为 ， 高二年级样本数据的平均数为 ， 其方差为 ， 高三年级样本数据的平均数为 ， 其方差为 ， 所以. 所以高一、高二、高三三个年级体育活动时间的方差大小关系为 高一高二高三. 【例5.5.】 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.44 【知识点】用频率估计概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； 设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， （2）（i）由表格中的数据得，分别求得男、女教师达到预期的概率为和，得到变量的取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （ii）分别求得甲、乙学区赋分为5的概率为和，以及所有样本赋分为5的概率为，结合二点分布的方差公式，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为. （2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为. （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为， 赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以. 题型6：决策问题 【例6.1.】 某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)甲应该选择方案B，理由见解析 【难度】0.68 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用独立事件的概率求解； （2）X的可能取值为1，2，3，分别求得其概率，列出分布列； （3）若甲选择方案A，得到获奖金的期望，若甲选择方案B，Y的可能取值为0，1，2，3，分别求得概率，由，比较选择. 【详解】（1）设事件“甲通过三关”，则， 则甲通过三关的概率为. （2）X的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 P （3）若甲选择方案A，则他所获奖金的期望为元. 若甲选择方案B，设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则， 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 因为，所以甲应该选择方案B. 【例6.2.】 甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】(1)的分布列见解析 (2)甲应该选择项目二，理由见详解 【难度】0.6 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据题意分析X、Y可取的值，进而可得X，Y的分布列； （2）分别求X，Y的期望和方差，进而比较大小，即可分析判断. 【详解】（1）由题意可知：X可取的值为：，10， 其分布列为 X 10 P Y可取的值为：，0，6， 其分布列为 Y 0 6 P （2）对于项目一：（万元）， ； 对于项目二：（万元）， ； 因为，， 即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二． 【例6.3.】 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛（满分100分），经统计参赛同学的成绩（单位：分）近似服从正态分布，已知． (1)从参赛同学中随机抽取3人，设表示这3人中成绩在内的人数，求的分布列和方差； (2)该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案： 方案一：参赛同学只能抽奖1次，抽奖获得价值150元、100元、10元的学习用品的概率分别为，，； 方案二：参赛同学的成绩低于只能抽奖1次，不低于的抽奖2次，每次抽奖获得价值100元、40元的学习用品的概率分别为，． 请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大? 【答案】(1)分布列见解析，方差为 (2)若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据二项分布写出概率及分布列再应用方差公式计算求解； （2）分别计算方案一和方案二时的学习用品价值金额的期望，再比较分析即可. 【详解】（1）由， 可知， 由题意可知的取值范围是，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 ξ 0 1 2 3 则． （2）若采用方案一，获得学习用品价值金额的期望为元． 若采用方案二，当成绩低于时，获得学习用品价值金额的期望为元； 当成绩不低于时，设获得学习用品价值金额为，则的取值范围为， ，， 所以获得学习用品价值金额的期望为元． 综上，若成绩低于，采用方案一获得学习用品价值金额的期望较大；若成绩不低于，采用方案二获得学习用品价值金额的期望较大 【例6.4.】 数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 【答案】(1)； (2)应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式，理由见解析. 【难度】0.5 【知识点】利用全概率公式求概率、离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由全概率公式求出考生盲选得6分的概率； （2）分别求出“盲选1个选项”和“盲选2个选项”的期望，比较大小，若期望一样大，再求方差，比较大小. 【详解】（1）该考生得6分的概率； （2）设该考生“盲选1个选项”得分为，可取0，2，3， ； ； ． 所以的期望； 的方差 设该考生“盲选2个选项”得分为，则可取0，4，6， ； ； . 所以的期望； 的方差 所以“盲选1个选项”和“盲选2个选项”虽然得分期望值相同，但是， 所以应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式． 【例6.5.】 2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. (1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)五局三胜对甲有利，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式 【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜； （2）三局两胜X的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差. （3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论. 【详解】（1）设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”， 则. （2）X的所有可能取值为0，1，2， ，，. 所以期望为； 方差为； （3）采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率： . 令， 因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利. 【例6.6.】 某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【难度】0.62 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、二项分布的均值 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 【例6.7.】 联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】(1)①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. (2)分布列见解析；期望为 (3)Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【难度】0.4 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【详解】（1）分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 （2）分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． （3）验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 离散型随机变量的分布列与数字特征 目录 题型1：离散型随机变量 3 题型2：求离散型随机变量的分布列 4 题型3：离散型随机变量的分布列的性质 5 题型4：离散型随机变量的均值 6 题型5：离散型随机变量的方差 8 题型6：决策问题 10 1. 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.通常用字母表示. 提醒 （1）一般地,如果一个试验满足下列条件:①试验可以在相同的情形下重复进行;②)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪个结果，这种试验就是随机试验. （2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数来表示.如掷一枚硬币,X=0表示反面向上，X=1表示正面向上. （3）随机变量的线性关系:若X是随机变量,Y=aX+b,a,b是常数,则Y也是随机变量. 2. 离散型随机变量及其分布列 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.用小写英文字母表示随机变量的取值，例如. 设离散型随机变量的可能取值为,取每一个值的概率，则称表 … … … … 为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列.它具有以下性质： ①； ②. 提醒 （1)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. (2) 性质②可以用来检查所写出的分布列是否有误,也可以用来求分布列中的某些参数. 3. 离散型随机变量的数学期望与方差 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望.称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差,记为. 提醒 (1)描述了相对于均值的偏离程度,而是上述偏离程度的加权平均,刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度. (2) 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中;方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. (3) 方差是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数. 题型1：离散型随机变量 【例1.1.】 （多选）下列问题中的ξ是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ C．体积为1 000 cm3的球的半径长为ξ D．射手对目标进行一次射击，所得分数为ξ（击中得1分，未击中得0分） 【例1.2.】 袋中装有大小相同的个黑球，个白球，从袋中每次任意取出个球且不放回，直到取出的球是白球，记所需要的取球次数为随机变量，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 某人对一个密码锁进行密码尝试，最多尝试4次，一旦输入正确就停止尝试，记尝试次数为X，则事件表示的试验结果是（   ） A．第4次尝试正确 B．第4次尝试错误 C．前3次尝试均错误 D．前3次尝试均正确 【例1.4.】 抛掷一枚均匀硬币两次，能作为随机变量的是（   ） A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 【例1.5.】 下面给出四个随机变量： ①1天内的温度； ②一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ③从10张已编号的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出卡片的号码； ④一个沿直线运动的质点，它在该直线上的位置为． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：求离散型随机变量的分布列 【例2.1.】 某健身俱乐部周末开展促销活动，促销期间俱乐部的收费标准如下表： 健身时间（小时） 收费标准 免费 50元／人 100元／人 现有甲、乙两人相互独立地来该俱乐部健身，已知甲、乙不超过1小时离开的概率分别为小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人健身的时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付的健身费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量，求的分布列. 【例2.2.】 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2. (1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率； (2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列. 【例2.3.】 现有两个不透明的，箱子装有大小质地一样，只有颜色不同的若干小球，其中箱子中装有2个红球，1个白球，箱子中装有3个红球，3个白球．先从箱子采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，并将箱子剩余的球混入箱子后再从箱中采取不放回的方式依次取球，当箱子内的小球颜色只剩一种时，停止从箱子取球，记为停止从箱子取球时，箱子内剩余的白球个数． (1)停止从箱子取球时箱子恰好剩一个球的概率； (2)停止从箱子取球时箱子不剩红球的概率； (3)求的分布列． 题型3：离散型随机变量的分布列的性质 【例3.1.】 已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知随机变量的分布列为，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【例3.3.】 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 设随机变量X的分布列，则 （    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 （多选）设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 题型4：离散型随机变量的均值 【例4.1.】 从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分. 按照规则从容器中任意摸取2个球，所得分数的期望为（    ） A． B．3 C． D． 【例4.2.】 五声音阶是中国传统音乐的基础音阶结构，按音高从低到高的顺序分别是宫、商、角、徵、羽．甲、乙两位同学进行“辨音”练习，甲随机弹奏五声音阶中的3个不同音符，乙按顺序说出是哪三个音符．由于乙是初学者，不能正确分辨绝对音高及相差音程（指音高间的差距），只能正确分辨所听音符的相对音高．已知甲依次弹奏了徵、角、羽三个音，乙根据听到的相对音高关系，按顺序猜测这三个音．用表示乙的猜测结果与甲弹奏的音在相同位置一致的个数，则__________． 【例4.3.】 乒乓球，被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜. (1)若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率； (2)若比赛采用三局两胜制（当一队获得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望. 【例4.4.】 某学校开展社会实践进社区活动，高二某班有六名男生和四名女生报名参加活动，从中随机一次性抽取5人参加社区活动，其余5人参加社区活动. (1)求参加社区活动的同学中包含且不包含的概率； (2)用表示参加社区活动的女生人数，求的分布列和数学期望. 【例4.5.】 甲､乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个，标号为1的有3个，标号为2的有个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是. (1)求的值； (2)从两个袋子中各取一个小球，用表示这两个小球的标号之和，求的分布列和期望. 【例4.6.】 某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会，一旦考试通过，便可领取资格证书，不再参加后续考试，否则继续参加考试，直至用完三次机会．某考生小王决定参加考试，如果他参加考试通过的概率依次为0.4，0.6，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求： (1)小王在一年内领到证书的概率； (2)小王在一年内参加考试次数的分布列； (3)假设每次考试需缴纳80元报名费，求小王在一年内缴纳的报名费（单位：元）的分布列． 【例4.7.】 2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【例4.8.】 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. (1)求此题需要仲裁的概率； (2)求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； (3)求此题得分的分布列及数学期望. 【例4.9.】 甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为． (1)求，和，； (2)求的数学期望（用含有的式子表示）． 题型5：离散型随机变量的方差 【例5.1.】 将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，若一个球的号码与放入该球的盒子的号码恰好相同，我们称之为一个“完美归位”，设“完美归位”的个数为，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________． 【例5.3.】 有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【例5.4.】 为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》（下称“通知”）．接到通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表（单位：小时），五天内的综合体育活动时间不低于10小时的可认为达到“通知”要求． 高一年级 10  12.5  8  9.5  9  11 高二年级 7.5  8  8.5  10  9.5  11  12 高三年级 7  4.5  6  5  7.5  10.5  11  12.5 (1)已知高一学生有600人，试估计高一、高二、高三各有多少学生综合体育活动时间没有达到“通知”要求； (2)从被调查的高三年级8名学生中，随机选取3人，记这3人中综合体育活动时间达到“通知”要求的人数为，求的分布列和数学期望； (3)试根据样本数据，直接判断三个年级体育活动时间的方差大小关系（用“”连接）． 【例5.5.】 为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 题型6：决策问题 【例6.1.】 某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【例6.2.】 甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【例6.3.】 某校组织了“AI人工智能”知识竞赛（满分100分），经统计参赛同学的成绩（单位：分）近似服从正态分布，已知． (1)从参赛同学中随机抽取3人，设表示这3人中成绩在内的人数，求的分布列和方差； (2)该校为调动学生参赛的积极性，设置两种抽奖方案： 方案一：参赛同学只能抽奖1次，抽奖获得价值150元、100元、10元的学习用品的概率分别为，，； 方案二：参赛同学的成绩低于只能抽奖1次，不低于的抽奖2次，每次抽奖获得价值100元、40元的学习用品的概率分别为，． 请分析参赛同学采用哪种方案获得学习用品价值金额的期望较大? 【例6.4.】 数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． (1)求该考生得6分的概率； (2)假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 【例6.5.】 2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. (1)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； (3)如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【例6.6.】 某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【例6.7.】 联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． (1)设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． (2)设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． (3)切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $