第七章 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学单元复习讲义以“定义-性质-应用”逻辑链系统构建概率分布知识体系，通过对比表格清晰呈现两点分布、二项分布、超几何分布的核心特征与适用场景，结合题型思维导图梳理9类典型问题的解题脉络，突出正态分布“3σ原则”等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“情境化问题链”设计，如通过投壶比赛、导弹命中率等实例引导学生用数学思维分析独立重复试验与二项分布的关系，培养数据观念与模型意识。基础题夯实概念理解，综合题（如分布列与期望综合应用）提升逻辑推理能力，助力分层教学，为教师精准把握学情和学生自主复习提供有效支持。

第七章 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 目录 题型1：两点分布 4 题型2：独立重复试验 7 题型3：二项分布 15 题型4：超几何分布 36 题型5：二项分布与超几何分布的综合应用 45 题型6：正态密度函数 56 题型7：正态曲线的性质 59 题型8：正态曲线概率的计算 65 题型9：正态分布的实际应用 69 1. 两点分布（0-1分布) 对于只有两个可能结果的随机试验，且两个结果发生的概率之和为1，那么的分布列为 0 1 其中，我们称服从两点分布或0-1分布，且. 提醒 一般地，我们用0表示事件不成功，用1表示事件成功. 2. 伯努利试验与二项分布 (1) 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 显然，重伯努利试验具有如下共同特征: ①同一个伯努利试验重复做次; ②各次试验的结果相互独立. 提醒 重复意味着各次试验成功的概率相同. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为. 如果随机变量的分布列具有上述的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 提醒 (1)二项分布的适用范围:①各次试验中的事件是相互独立的;②每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生；③随机变量是这几次独立重复试验中事件发生的次数. (2)二项分布的本质:二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 3. 二项分布的均值与方差 若，则，. 4. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中， . 如果随机变量的分布列具有上述的形式，那么称随机变量服从超几何分布列. 提醒 超几何分布的适用范围件及本质 (1) 适用范围:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考察某类个体个数的概率分布. (2) 本质:超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的,其实质是古典概型. 5. 正态曲线 (1) 定义 我们把函数，（其中，为参数）称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线. (2) 正态曲线的性质 ①当无限增大时，曲线无限接近轴； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的区域的面积为1； ⑤当一定时,曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中，如图乙所示. 6. 正态分布 (1) 定义：若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，其图像称为标准正态曲线. 提醒 (1)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计.是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. (2)随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，就是落在区间的概率的近似值. (2) 原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则. ①； ②； ③. 题型1：两点分布 【例1.1.】 若随机变量X服从两点分布，其中，________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】两点分布、两点分布的方差 【详解】随机变量X服从两点分布，因为， 故， 所以 . 【例1.2.】 若随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】两点分布 【详解】随机变量X服从两点分布，因此， 而，所以， 故，所以. 【例1.3.】 若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】方差的性质、均值的性质、两点分布 【详解】由题意知，的分布列为 则，，故A，C正确； ，故B正确； ，故D错误. 【例1.4.】 已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】两点分布 【详解】因为X服从两点分布，所以，结合条件得，． 【例1.5.】 已知随机变量服从两点分布，，则其成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.9 【知识点】两点分布的均值、两点分布 【分析】设成功的概率为，根据期望的公式计算即可. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ，成功的概率为. 【例1.6.】 抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 【答案】(1)的分布列如下： 0 1 2 (2)证明过程见解析，的分布列如下： 0 1 【难度】0.76 【知识点】独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列、两点分布 【分析】（1）先列出的可能取值，再计算概率，列出分布列； （2）先列出的可能取值，再计算概率，证明服从两点分布，再求出分布列. 【详解】（1）的可能取值为： ，，， 分布列如下： 0 1 2 （2）记，则的可能取值为： ，, , 因为的取值只有和两种可能，所以服从两点分布, 分布列如下： 0 1 题型2：独立重复试验 【例2.1.】 某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】先根据“答完4题结束游戏”的条件，算出事件的概率；再结合“第2题答对”的限制，算出事件的概率；最后代入公式，即可得到所求概率. 【详解】设事件为“答完4题就结束游戏”，事件为“第2题答对”， 则所求为条件概率 ， ， ， 所以. 【例2.2.】 某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】由题意，运用次独立重复试验中恰好发生次的概率公式求解即可． 【详解】由题意，每名患者被治愈的概率均为，且各患者是否被治愈相互独立，该试验属于次独立重复试验. 根据次独立重复试验中恰好发生次的概率公式： （其中）， 结合题意得，则有． 【例2.3.】 在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】实际问题中的组合计数问题、独立重复试验的概率问题 【分析】因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数，计算概率得到答案. 【详解】因为点移动6次后，点在直线上，所以点水平移动的次数为偶数. 第一种情况，点水平移动2次（即向右移动2次，向左移动0次），， 第二种情况，点水平移动4次（即向右移动3次，向左移动1次），， 第三种情况，点水平移动6次（即向右移动4次，向左移动2次），， 则所求的概率． 【例2.4.】 团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A，B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【详解】在此次比赛中，四局结束比赛包含两种情况：①前3局A两胜一负，第四局A胜；②前3局A一胜两负，第四局A负． 则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为． 【例2.5.】 在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号为时，接收为和的概率分别为和.若发送信号为的概率是，发送信号为的概率是. (1)分别求接收信号为和的概率； (2)已知接收信号为，求发送信号是的概率. (3)现采用重复发送3次+多数判决，发送信号为的概率仍是，发送信号为的概率仍是，求最终判决错误的概率. 【答案】(1)0.39；0.61 (2) (3)0.01555 【难度】0.55 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先定义事件，再梳理条件概率，最后套用全概率公式可得结果； （2）根据结果，反推原因，可使用贝叶斯公式算出条件概率； （3）用二项分布计算每种情况的条件概率，再用全概率公式计算总错误可得结果. 【详解】（1）设“发送的信号为”，“接收的信号为”，则“发送的信号为”，“接收的信号为”. 由题意得，，， ，，， 则， ； （2）； （3）错判发送， 错判发送， 判错 . 【例2.6.】 某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分．负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜．假设每局比赛甲队获胜的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响． (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为．求． (2)若两队共进行局比赛，．当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了（，，，，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值． (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为．已知．证明：． 【答案】(1)； (2)，； (3)证明见解析. 【难度】0.42 【知识点】计算条件概率、独立重复试验的概率问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）应用独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率； （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求，； （3）由全概率公式得，即，再应用作商、基本不等式得，即可得结论. 【详解】（1）依题意 （2）由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又， 故， 对于对应，即，又， 所以； （3）由全概率公式得 ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 故成立. 【例2.7.】 某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.52 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、利用全概率公式求概率 【分析】(1)利用n次独立重复试验中恰好k次成功”的二项分布模型求解； (2)利用全概率公式求解，再考虑其单调性； (3)全概率公式和条件概率公式的综合应用. 【详解】（1）甲在象棋比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，共胜1场，故概率为． （2）证明：甲在游戏中总得分为2，设甲在比赛中得分为M，总分为N，易知M可能为1或2， 由全概率公式， 因为二次函数在上单调递增， 所以当p越大时，越大． （3）象棋比赛中在事件A发生的条件下，若B不发生，则存在乙、丙、丁中的某人在比赛中得两分，且在抽奖中得两分，并且甲在抽奖中得0分， A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， A与同时发生时，有， 由全概率公式， 所以． 【例2.8.】 甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)； 【难度】0.3 【知识点】由递推关系证明等比数列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【详解】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 题型3：二项分布 【例3.1.】 某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”． (1)求一个测试样片组为“智能组”的概率； (2)现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 【难度】0.62 【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列 【分析】（1）使用二项分布概率公式，独立事件概率公式求解； （2）使用二项分布概率公式，期望公式求解. 【详解】（1）设甲、乙方案修复成功的张数分别为，，则，， 则，， ，， ，， “智能组”成功分为三种情况： 当，时，， 当，时，， 当，时，， 所以一个测试样片组为“智能组”的概率为. （2）由题意可知，，可能的取值为：0，1，2，3， ，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 【例3.2.】 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【答案】(1)0.93； (2)11； (3)他愿意购买“准时保”. 【难度】0.74 【知识点】利用全概率公式求概率、二项分布的方差、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式求解. （2）由（1）的结论，利用二项分布的方差公式列式求解. （3）由（1）的结论，求出购买“准时保”的期望，与给定条件比对即可. 【详解】（1）令事件“外卖点餐准时送达”，“选择甲餐厅”，“选择乙餐厅”， 依题意，，， 由全概率公式得， 所以该用户每次外卖点餐准时送达的概率为0.93. （2）依题意，的所有可能取值为，， 则，由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为11. （3）他愿意购买“准时保”. 设他购买“准时保”的净收益为元，则的所有可能取值为， ，， 显然，即亏损期望不超过元， 所以他愿意购买“准时保”. 【例3.3.】 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位. (1)移动4次后，质点最终所在的位置的坐标为多少的概率最大？ (2)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求的数学期望与方差. 【答案】(1) (2)数学期望为，方差为 【难度】0.65 【知识点】二项分布方差与均值的关系、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）根据题意，得到随机变量可能取值为，，，，，结合独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，比较概率大小即可； （2）由题知质点次移动中向右移动的次数为，而，设为次移动后的坐标值，根据题干的信息找到，根据二项分布的期望和方差计算易得与，进而求出，. 【详解】（1）设随机变量为次移动后的坐标值，可取值为：，，，， ， ， · 所以质点最终所在的位置的坐标为的概率最大 （2）设随机变量为次移动后的坐标值，质点次移动中向右移动的次数为，则 ， ， 则的期望为： ， 则的方差为； ， 所以移动 次后，质点最终所在位置的坐标的数学期望为，方差为. 【例3.4.】 某商业综合体对场内81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得（为正整数）位顾客的星级评价（一星至五星评价），且每店获得任一顾客五星评价的概率均为.假设顾客给予评价时互不影响． (1)当时，记某店获得的五星评价率（五星评价数与评价人数之比）为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)随机选择一店了解评价情况，当为奇数时，求该店五星评价率超过的概率． 【答案】(1)分布列为，数学期望； (2)所求概率为。 【难度】0.61 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、二项分布的均值 【分析】（1）由题意顾客给出五星评价的人数服从二项分布，据此求出五星评价率的概率，得出分布列，再由二项分布的数学期望及数学期望性质计算求解； （2）由（1）可得该店五星评价率超过的概率，再由组合数的性质求解即可. 【详解】（1）因为任一顾客给某店五星评价的概率为，且顾客给予评价时互不影响， 所以n 位顾客给某店五星评价数服从二项分布 ， 因为五星评价率， 所以当时，， 所以分布列为： X 1 P 所以. （2）由（1）知，该店五星评价率超过的概率为 , 由组合数性质知，， 记， 所以，且， 所以. 即为奇数时，该店五星评价率超过的概率为. 【例3.5.】 入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 (3)12 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立重复试验的概率问题、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算即可. （2）判断的可能取值，结合题干规则利用乘法公式和加法公式计算即可. （3）利用二项分布结合二项式定理求最值即可. 【详解】（1）由频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）由题意知，壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 壶3投中的概率为，壶3未投中的概率为， 这位学生在“过关比赛”中投中次数的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以这位学生在“过关比赛”中投中次数的分布列为 0 1 2 3 则. （3）壶2投中的概率为. 记这位同学投中壶 2的次数为，则. 则，. 假设投中壶2的次数为时概率最大，则 ，即， 解得，又，所以. 投完 20次之后，这位同学投中壶 2的次数为12时，概率最大. 【例3.6.】 在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； (3)现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求． 【答案】(1)与不相互独立 (2)8 (3) 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、独立事件的判断 【分析】（1）先分别计算，再验证是否满足； （2）利用二项分布的概率公式列出与的比值，通过判断比值与1的大小关系确定的最大值点； （3）先确定的所有可能取值，再分和两种情况计算，最后利用期望公式计算期望. 【详解】（1）由题意得， 因为，， 所以，所以与不相互独立． （2）由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 所以， 又因为且 所以当时，有最大值． （3）由题意可知，， ①当时，实际情况为前次发射的导弹恰有一枚击中目标，且第次发射的导弹击中目标，； ②当时，实际情况为两种，第一种为前次发射的导弹都没击中目标，第二种为前次发射的导弹恰有一枚击中目标， 所以， 所以， 记，记， 不妨令， 可设， 对比系数得，解得，所以， 故， 所以. 【例3.7.】 “十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 【答案】(1)（i）4，3； （ii）的分布列为 0 1 2 3 (2)或时，取得最大值. 【难度】0.43 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、写出简单离散型随机变量分布列、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】（1）（i）按分层抽样比例计算，从100人中抽取10人，得出关注特种机器人4人、表演机器人3人；（ii）确定的所有可能取值，用组合数计算各取值概率，列出分布列； （2）利用二项分布概率公式，通过相邻两项比值法判断单调性，求得最大时的值. 【详解】（1）（i）由题可知，抽取的10人中，关注“特种机器人”的有人， 关注“表演机器人”的有人. （ii）的所有可能取值为， ， ， ， . 则的分布列为 0 1 2 3 （2）由题可知，，故. 令，则， 令，可得，令， 可得，令，可得， 所以或时，取得最大值. 【例3.8.】 小明同学设计了一个游戏：有三枚硬币，其中一枚硬币为正常硬币（有正面与反面），一枚为“全正”硬币（两面均为正面），一枚为“全反”硬币（两面均为反面），现将这三枚硬币分别装入三个外观相同的箱子中（每个箱子中装一个）． 游戏规则如下：玩家每局从中随机选取一个箱子后打开观察其中硬币（不可翻转硬币），观察完后有一次更换所选箱子的机会（可以不更换），若玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币，则玩家该局获胜． (1)若将所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，求该硬币为正常硬币的概率． (2)现玩家针对游戏规则制定如下策略：若所选箱子中硬币为“正面朝上”，则不更换选择；若所选箱子中硬币为“反面朝上”，则在剩余两个箱子中任意选取一个作为最终选择，试探究该策略是否为最佳策略，若是，请说明理由；若不是，请写出你的最佳策略． (3)若玩家按（2）中最佳策略独立进行（）局游戏，将获胜局数不少于局的概率记为，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)解法一：根据题意，选择的箱子中为“全正”硬币才能获胜，要使获胜的概率最大，则当所选箱子中硬币为“反面朝上”时必须更换选择，所以最佳策略只需要考虑：当所选箱子中硬币为“正面朝上”时是否更换选择． ①当所选箱子中硬币为“正面朝上”时不更换选择，“反面朝上”时更换选择（即题中玩家的策略）， 若第一次选到“全正”硬币（概率为）：必出现正面朝上，不换直接获胜，贡献； 若第一次选到正常硬币（概率为）：出现“正面朝上”时不更换，获胜的概率为0， 出现反面朝上的概率为，换后从剩余箱选中“全正”的概率为，贡献； 若第一次选到“全反”硬币（概率为）：必出现反面朝上，换后选中“全正”的概率为，贡献， 玩家该局获胜（正面不换反面换）的概率为．              ②无论所选箱子中硬币为“正面朝上”还是“反面朝上”都更换选择， 玩家该局获胜（无论正面反面都换）的概率为．         因为，所以该玩家制定的策略是最佳策略．    解法二：设所选箱子中硬币为“正面朝上”时更换选择的概率为，“反面朝上”时更换选择的概率为， 则玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币的情况有： ①玩家选择的箱子中为正常硬币且正面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为. ②玩家选择的箱子中为“全正”硬币且正面朝上，不更换箱子，则选中“全正”硬币的概率为. ③玩家选择的箱子中为正常硬币且反面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为. ④玩家选择的箱子中为“全反”硬币且反面朝上，选择更换箱子后选中“全正”硬币，概率为． 故玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币的概率为 ， 因为，，所以， 故当且仅当，即且时概率有最大值， 即正面不换反面换获胜的概率最大为. 故该玩家制定的该策略为最佳策略． (3) 【难度】0.32 【知识点】独立重复试验的概率问题、建立二项分布模型解决实际问题、利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）直接根据全概率公式及贝叶斯公式求解可得； （2）解法一：先直接计算该策略（正面不换，反面换）的获胜概率为，再计算无论正面还是反面都换获胜的概率，通过比较概率的大小，从而得该策略为最佳策略；解法二：设正面换的概率为，反面换的概率为，从而得到获胜的概率，由，进而可得最佳策略必是（正面不换）且（反面换），即该策略为最佳策略； （3）设玩家前局游戏中获胜局数为，，再根据前局游戏中获胜局数为三种情况计算局中获胜局数不少于局的概率，再作差比较大小可得. 【详解】（1）记事件所选箱子中的硬币为“全正”，所选箱子中的硬币为“全反”， 所选箱子中的硬币为“正常”， 所选箱子中观察到硬币正面朝上， 则，且，，， 由全概率公式：， 再由贝叶斯公式，所求概率为. 因此所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，则该硬币为正常硬币的概率为. （2）略 （3）设玩家前局游戏中获胜局数为，由（2）知，且. 前局中至少获胜局包含以下几种情况： ①玩家前局游戏中获胜局且后两局连胜， 概率为； ②玩家前局游戏中获胜局且后两局至少胜一局， 概率为； ③玩家前局游戏中至少获胜局， 概率为．       综上， ， 故，因此． 【例3.9.】 某校园社团为分析一款文创产品在学生群体中的受欢迎程度与传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定名学生进行研究，假设每名学生对该产品的“基础心动度”参数均相同，记为．规则如下：第一天，研究团队从名学生中随机招募（，且）名进行初始体验，每名学生体验后购买的概率为，且彼此相互独立．从第二天起，每一天每名购买者会推荐未购买者参与体验，一旦成为购买者，将参与后续的推荐传播，以此类推． (1)当，时，求第一天结束，初始体验的学生中恰有3名成为购买者的概率； (2)求第一天结束，名初始体验的学生中，成为购买者的人数为奇数的概率； (3)对于任意一位未购买者，若某天有（）名购买者尝试向他推荐，则他当天成为购买者的概率为．当，，时，求在前两天，学生甲成为购买者的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际校园场景中，一款产品有时会突然“爆发式”走红． 【答案】(1) (2) (3)，答案见解析 【难度】0.4 【知识点】二项展开式的应用、利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）设表示第一天结束时成为购买者的人数，则，利用二项分布概率公式计算即得； （2）因 ，取为奇数，即得成为购买者的人数为奇数的概率，将二项展开：，替换为，得，两式相减即得成为购买者的人数为奇数的概率； （3）甲在前两天能成为购买者包括两种情形：甲是初始体验的两人之一的条件下，甲在前两天成为购买者与甲不是初始体验中的两人的条件下，甲在前两天成为购买者.利用互斥事件的概率加法公式分别求出两事件的概率，再由全概率公式求得甲在前两天成为购买者的概率，即可说明一款产品有时会突然“爆发式”走红的原因. 【详解】（1）设表示第一天结束时成为购买者的人数，则， 所以． （2）由（1）可知 ，则， 所以成为购买者的人数为奇数的概率，(为奇数）， 考虑二项展开，， 则， 两式作差，(为奇数)， 所以成为购买者的人数为奇数的概率. （3）甲在前两天能成为购买者包括以下两种情形： 情形一：甲是初始体验的两人之一的概率为，甲在前两天成为购买者分两种情况： ①第一天成为购买者，概率为； ②第一天没有成为购买者，概率为，但第一天另一位初始体验的学生成为购买者， 并推荐甲成为购买者，概率为 ，故甲第二天成为购买者的概率为 ， 因此，在甲是初始体验的两人之一的条件下， 甲在前两天成为购买者的概率为 ． 情形二：若甲不是初始体验中的两人，其概率为，甲在前两天成为购买者有两种情况： ①第一天有1人成为购买者，再由此人成功推荐甲成为购买者， 概率为 ； ②第一天有2人成为购买者，甲在第二天被成功推荐成为购买者， 概率为， 因此，在甲不是初始体验中的两人的条件下，甲在前两天成为购买者的概率为 ． 综上，甲在前两天成为购买者的概率为． “爆发式走红”的原因：随着购买者人数增加，每天尝试推荐传播的购买者人数增大， 使得非购买者成为购买者的概率迅速提高，传播速度急剧加快，形成爆发态势． 【例3.10.】 在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想.例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立.那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场.设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率. (1)若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率； (2)记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明： (3)网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）.每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）.记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.25 【知识点】组合数的性质及应用、建立二项分布模型解决实际问题、利用全概率公式求概率 【分析】（1）合理分析目标事件的情况，再结合二项分布概率公式求解概率即可. （2）合理分析题意，进而结合全概率公式证明目标等式即可. （3）结合题意得到，进而结合组合数的性质证明即可. 【详解】（1）设事件为“5局3胜”的赛制中，A选手获得最终胜利， 则事件等效于进行5局比赛且A至少胜3局. 记5局比赛中A获胜的局数为，由题意得， 所以. （2）设进行局比赛，赢的局数为， 则， 在“局胜”的赛制中，A第一局胜的条件下，A获得最终胜利有两种情况： ①若第2局A输，则后续打满局比赛，至少胜局； ②若第2局A胜，则后续打满局比赛，至少胜局； 由全概率公式得 ， 所以 . （3）不妨设有无数名种子选手， 若上半区的所有种子选手先被抽完，则当“上半区抽完名种子选手时， 下半区至多抽取了名种子选手”， 得到“总共有名种子选手，至少抽取了名上半区种子选手”. 设总共有名种子选手时，来自上半区的有名，则， 所以. 事件“”等效于在在“局胜”的赛制中， 每局获胜概率都为，最终A获胜， 由对称性可知，则， 所以， 因为， 又，所以， 所以，故. 【例3.11.】 某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【难度】0.47 【知识点】服从二项分布的随机变量概率最大问题、计算条件概率、利用导数证明不等式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由题意知，当时，再根据二项分布，结合条件概率求解即可； （2）由题意知，再根据导数求解最值即可得答案； （3）由题知，，，令，进而将问题转化为证明，再构造函数，，证明，，最后结合不等式放缩得即可证明. 【详解】（1）解：因为连续取件芯片，故障芯片的件数为随机变量，芯片独立出厂, 所以服从二项分布，即，故当连续抽取4件芯片时， 所以 且， 所以 . （2）解：当时， 故恰好出现2件故障芯片的概率为，， 所以， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 若对任意，恒有，则实数的最小整数值为1. （3）证明：因为，，所以，， 所以 令，则，， 故要证，只需证， 只需证，只需证 只需证， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 又， 所以，， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以成立，证毕. 题型4：超几何分布 【例4.1.】 （多选）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（    ） A．的可能取值为0，1，2，3 B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求超几何分布的概率、超几何分布的均值、均值的性质 【分析】由题可知服从超几何分布，且，，，，，即可判断选项A；根据离散型随机变量分布列概率的性质即可判断选项B；超几何分布的均值公式即可判断选项C；由离散型随机变量均值的性质即可判断选项D. 【详解】由题可知服从超几何分布，且，，，，. 易知的可能取值为1，2，3，故选项A错误； ，故选项B正确； 由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确； 由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误. 故选：BC. 【例4.2.】 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 【答案】(1)小明解答不正确，根据超几何分布， (2) 数学期望 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、均值的性质、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据题意得出这个零件中不合格零件数，利用随机变量服从超几何分布即可求解； （2）根据题意得出随机变量与随机变量的关系，从而得到随机变量的取值范围和对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件与个合格零件的方法数是种， 因此. （2）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为. 【例4.3.】 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． (1)若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； (2)求使得最大的的值． 【答案】(1)， (2)在时取得最大值． 【难度】0.52 【知识点】求超几何分布的概率 【分析】（1）根据超几何分布进行直接求解即可； （2）易知，再根据函数单调性解不等式可得当时，，当时，，所以在时取得最大值. 【详解】（1）因为，所以服从超几何分布， 其中，，． ，． （2）当时，． 当时，． 设，则． 由，解得， 即时，， 即时，， 所以在时取得最大值． 【例4.4.】 现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞. (1)若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示） (2)现进行养殖. （i）假设当鱼塘中鱼的尾数为时，年增长量为，捕捞量为，受到环境制约，考虑简单模型，且为常数.当 时，给出合理的，使得下一年的鱼群数目达到能使年增长量最大的水平； （ii）当鱼塘中鱼的尾数为时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后有1尾有标记，试给出的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的的值作为的估计值）. 【答案】(1) (2)（i）当时，鱼群的数目增长情况良好.    （ii）的估计值为或. 【难度】0.48 【知识点】计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求题设中的概率； （2）（i）根据时取最大值可得；（ii）利用不等式法可求的估计值. 【详解】（1）设为“这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记”，则. （2）（i）由题设年增长量为， 当时，年增长量取最大值， 令，则， 故当时，鱼群的数目增长情况良好. （ii）设，由题设仅1尾有标记的概率为， 令，则，而， 故，故的估计值为或. 【例4.5.】 一个盒子里装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，，现进行两次摸球试验： 第一次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．第一次试验完成后，将球放回盒子，再进行第二次试验； 第二次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列及期望； (2)若，且，求； (3)求的方差（，且，结果用，表示），并探究，具有怎样的关系时，最大？ 【答案】(1) 1 2 3 (2) (3)，当为偶数时时最大；当为奇数时时最大 【难度】0.42 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、方差的期望表示、求超几何分布的概率 【分析】（1）由表示的元素个数，写出对应可能值及其对应概率，写出分布列，并求出期望值； （2）根据题设得，将代入得到方程，即可求参数； （3）由题，，结合得到含的表达式，再由二次函数性质分析最值. 【详解】（1）由题意表示的元素个数，可能取值为1，2，3，总取法为， 表示两次摸出的球恰有1个公共元素，取法为，则， 表示两次取的球有2个公共元素，取法为，则， 表示两次摸出的球有3个公共元素，取法为，则， 所以的分布列为： 1 2 3 （2）由已知，表示第二次从个球中取出2个球，其中恰有个球的编号属于， ，代入，则， 化简得，解得或，又，，所以； （3）由题，， 则随机变量服从超几何分布， ， 固定时，的大小由决定， 是开口向下的二次函数，对称轴为且： 当为偶数时，时最大； 当为奇数时，时最大. 【例4.6.】 某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； (3)记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 【答案】(1) (2)当能被整除时，和；当不能被整除时，；（表示的整数部分） (3)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.22 【知识点】超几何分布的均值、方差的性质、超几何分布的方差、求超几何分布的概率 【分析】（1）利用对立事件概率公式计算至少参加一次的概率； （2）由题意求出的组合表达式，再通过解不等式，确定，进而找到取最大值对应的m； （3）（i）结合超几何分布的期望公式即可求得；（ⅱ）利用服从超几何分布的离散型随机变量的方差的性质，求的，再通过不等式放缩证明结论. 【详解】（1）设社团“星火社”至少参加一次博览会为事件M，则； （2）当时，同时收到两次邀请的社团数为， 仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为， 则由乘法计数原理知事件所含基本事件数为， 此时， 令，即得， 解得， 则当能被整除时， 在和处取得最大值， 当不能被整除时，在处取得最大值； （表示的整数部分） （3）记“某社团参加周一的博览会”为事件A，“某社团参加周三的博览会”为事件B， 记两次都参加的社团数，则，S满足超几何分布， （i）； （ii）证明：， 所以 . 题型5：二项分布与超几何分布的综合应用 【例5.1.】 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】二项分布的方差、超几何分布的方差、二项分布的均值、超几何分布的均值 【分析】由题意分析可知服从二项分布，服从超几何分布，由二项分布和超几何分布的性质依次分析各个选项， 对于选项ABD，可通过特殊值赋值验证发现其时错误的. 【详解】对于甲，从中依次有放回的摸出n张，每次摸到数字卡牌的概率为，重复做次，所以， 对于乙，从中一次性摸出n张卡牌，不放回，所以服从超几何分布. 对于A，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故A错误； 对于B，，，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等， 如取，则，故B错误； 对于C，由二项分布的期望公式可得，由超几何分布的期望公式可得，故C正确； 对于D，利用特殊值赋值验证发现其并不会相等，如取，则， ，故D错误. 故选：C. 【例5.2.】 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）. (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差. 【答案】(1)分布列见解析， (2)技术攻坚成功的概率为， 【难度】0.77 【知识点】超几何分布的均值、二项分布的方差 【分析】判断随机变量X服从超几何分布，计算各取值对应概率得到分布列，再求解数学期望； 判断随机变量Y服从二项分布，计算的概率得到攻坚成功概率，再代入二项分布方差公式求解。 【详解】（1）由题意可知，X的可能取值为，X服从参数为的超几何分布， 概率公式为： 计算各概率的值 ， ， 所以分布列为 X 0 1 2 3 （2）由题意，每个零件合格的概率为，且各零件是否合格相互独立，因此. 技术攻坚成功要求合格零件数超过半数，即， 分别计算对应概率： 因此技术攻坚成功的概率： 由二项分布的方差公式可得： 【例5.3.】 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】(1)小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 (2)（i）分布列见解析；；（ii）当时，无论小王如何调整A、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分；理由见解析 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【详解】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， （i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 【例5.4.】 为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.62 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可； （2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意可知的可能取值有， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. （2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行轮答题． 【例5.5.】 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 【答案】(1) X 1 2 3 P ， (2)时，最大 【难度】0.62 【知识点】求超几何分布的概率、求离散型随机变量的均值、服从二项分布的随机变量概率最大问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可；（2）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可． 【详解】（1）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取人， 甜度偏好分数在这组中抽取人， 故，，， 因此，的分布列为： X 1 2 3 P 故，， ． （2）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数k服从二项分布，即， ，则， 当，即时当，即时， 因此，，且， 所以，当时，最大． 【例5.6.】 某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】(1) (2)（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【难度】0.56 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、服从二项分布的随机变量概率最大问题、指定区间的概率、求超几何分布的概率 【分析】（1）利用正态分布的对称性，结合已知，计算求解； （2）（i）识别分布类型，求出相关概率和分布列，进而计算期望值； （ii）写出的表达式，构造数列，分情况讨论相邻两项的比值确定单调性，找出单调性的分界点，即为对应的值． 【详解】（1）由题意， ． （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望． （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 【例5.7.】 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)组采用赛制二更有利于胜出，答案见解析 【难度】0.4 【知识点】独立事件的乘法公式、建立二项分布模型解决实际问题、求超几何分布的概率 【分析】（1） 利用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，从而求得数学期望； （2） 设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：，利用相互独立事件的概率公式求解即可； （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，可得，利用二项分布的概率公式求出组获得冠军的概率； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，则组取得胜利概率为， 两个概率作差比较大小即可得到结论. 【详解】（1）由题意知随机变量的取值可以为0，1，2，3，     ，，，. 所以的分布列为 0 1 2 3      的数学期望. （2）设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为、、，则至少有两人做对该题的事件为：， 所以竞赛小组能进入决赛的概率为 （3）按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则，组取得胜利的概率为；     按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完，不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则，     ，     已知，所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 题型6：正态密度函数 【例6.1.】 已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 【例6.2.】 “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、正态密度函数 【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意， 所以平均数为，方差为，所以AB选项正确. 依题意， 而，即，所以C选项错误. ，所以D选项正确. 故选：C 【例6.3.】 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 【例6.4.】 已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】3δ原则、正态密度函数 【分析】计算，可判断函数的对称性，再计算，即可排除选项. 【详解】或，因为， 所以或，即或， 或或 因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC； 当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B； 故选：D 题型7：正态曲线的性质 【例7.1.】 已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】正态曲线的性质 【详解】由题意，，对比选项可知，只有D正确. 【例7.2.】 （多选）把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线，下列说法中正确的是（   ） A．曲线仍然是正态曲线 B．曲线和曲线的最高点的纵坐标相等 C．以曲线为正态分布的总体的方差比以曲线为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线为正态分布的总体的均值比以曲线为正态分布的总体的均值大2 【答案】ABD 【难度】0.75 【知识点】正态曲线的性质 【详解】对于A，正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位得到曲线，则曲线是正态曲线，A正确， 对于B, 由于左右平移只改变横轴方向上的量，故曲线和曲线的最高点的纵坐标相等，B正确， 对于CD, 由于左右平移只改变横轴方向上的量,即曲线的总体均值比的总体均值大2，但方差不变,C错误，D正确. 【例7.3.】 （多选）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的对称性求出和的值，再比较两条密度曲线的对称轴位置与最高点高度，从而判断各选项的正误. 【详解】对于A：因为，且，根据正态分布的对称性， ，A正确； 对于B：的对称轴是，的对称轴是， 所以的对称轴在的右边，B错误； 对于C：因为，且， 又， 所以，解得，C正确； 对于D：因为正态分布密度曲线的最高点为， 所以的最高点为，的最高点为， 因为，所以的最高点在的最高点的上方，D正确； 故选：ACD. 【例7.4.】 设随机变量，若，且，则________. 【答案】0 【难度】0.65 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【详解】根据正态曲线的对称性可得，，故， 所以，解得. 【例7.5.】 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象对称中心为_____． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】判断或证明函数的对称性、正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由条件结合正态分布性质可得，再证明，由此可得结论. 【详解】因为，所以， 因为， 所以对任意实数，有， 所以的图象对称中心为. 【例7.6.】 已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布对称性转化概率 【详解】由题，， 则原不等式转化为， 由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此 【例7.7.】 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为0.4kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】正态曲线的性质 【详解】由题图可知甲曲线关于直线对称，乙曲线关于直线对称， ∴，，故A，C正确； ∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确； ∵乙曲线的峰值为1.99，即，∴，故D错误． 【例7.8.】 已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，； ，. 对于A，，，无法推出，故A错误； 对于B，； ，，故B错误； 对于C，D，，，得；由，无法确定与0.9的大小关系，故C不一定成立，D正确. 【例7.9.】 已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 【答案】 【难度】0.45 【知识点】组合数的性质及应用、独立重复试验的概率问题、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的对称性、二项分布及组合数的性质得与同分布，与同分布，进而有与同分布，得，利用对称性求概率和. 【详解】由，则与同分布， 由，则， 显然，即与同分布， 随机变量X，Y相互独立，所以与同分布， 则，即的概率分布关于对称， 其中为连续性随机变量，则为连续型随机变量，故， 所以. 题型8：正态曲线概率的计算 【例8.1.】 若随机变量，且，则（   ） A．0.18 B．0.22 C．0.09 D．0.27 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【详解】因为，且，所以，则， 故（或）. 【例8.2.】 某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】特殊区间的概率 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由，得 . 故选：D 【例8.3.】 为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.68 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以．故C正确． 【例8.4.】 某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数 【详解】∵ 直径服从正态分布，∴ 正态分布曲线的对称轴为，. ∵ ， ∴ . 又∵ ，根据正态分布的对称性，点与点关于对称轴对称， ∴ ，解得，即. 综上可得，，故选项C正确. 【例8.5.】 某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（   ） A．450 B．475 C．500 D．525 【答案】C 【难度】0.62 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、3δ原则 【分析】先解出的估计值，再求解即可 【详解】行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，说明数据在这两个区间的分布对称，得. 区间的频率为，而，故近似有，解得. 认证比例，所以，因此最接近的选项是C. 【例8.6.】 （多选）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.76 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据学生的体育成绩，求得期望和方差，再结合正态分布曲线的对称性，求得相应的概率，即可求解. 【详解】由题意知，学生的体育成绩， 可得期望，方差， 即，，故A、B正确； 由，， ， 所以，故D正确； 因为， 所以， 即，故C错误. 【例8.7.】 模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（    ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】指定区间的概率、标准正态分布的应用、3δ原则 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性，结合给定的定义逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，因此，B正确； 对于C，，， 因此区间不具有较好构建度，C错误； 对于D，，而， 因此区间具有较好构建度，D正确. 【例8.8.】 一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 【答案】 / 【难度】0.5 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、指定区间的概率、利用全概率公式求概率 【分析】由关于对称，推得；粒子8步右行步数服从二项分布且具有的对称性，结合与独立，用全概率公式展开，再将求和式配对并利用前一问结论相加化简，即可求得概率为. 【详解】①已知，正态曲线图像关于对称， 故， 因此. ②由题意，，满足，且与独立， 由全概率公式：  (1) 令，则, 即等价于  (2) (1)(2)两式相加 结合第一空的结论， 得. 题型9：正态分布的实际应用 【例9.1.】 某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 【答案】60 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】根据满足：，由求解. 【详解】因为营业额不低于4000元的天数为90， 所以， 所以， 所以该公司每天营业额在的天数约为， 故答案为：60 【例9.2.】 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的对称性求值. 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 【例9.3.】 一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【答案】(1) (2)（i）万人（ii） 0 1 2 3 【难度】0.62 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、利用二项分布求分布列、正态分布的实际应用 【分析】（1）先确定符合条件的频数区间，得出符合条件的总人数，再用组合数分别计算总情况数和符合条件的情况数，进而求出概率； （2）（i）根据已知条件确定正态分布的两个参数，确定分布，利用正态分布的对称性结合附表计算概率，再利用概率乘以该市总人口，得出对应人数；（ii）将独立重复试验转化为二项分布，求出单次成功概率，进而确定分布类型，再利用二项分布概率公式求出分布列及期望． 【详解】（1）由频数分布表知，旅游支出不低于元的市民人数为：人， 则从人中随机抽取人的总情况数为：； 符合条件的情况数为：； 符合条件的概率为：． （2）由频数分布表，结合题意可得各组中间值为：， 则样本平均数为， 已知，则； （i）元即为千元，则， 由正态分布的性质：， 则， 该市万市民中，支出在元以上的市民人数约为： 万人． （ii）元即千元，正态分布关于对称，则， 随机变量表示支出在元以上的人数，故， 则，，， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： ． 【例9.4.】 某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【难度】0.68 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、求离散型随机变量的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【详解】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 【例9.5.】 某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【难度】0.6 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解； （2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解． 【详解】（1） ， ． （2）由（1）可知，，，结合参考数据得， （i），， ，区间长度为， 根据正态分布的对称性，概率近似等于， 已知，， ； （ii）利用正态分布对称性：， ， 其续航里程不低于的概率约为． 【例9.6.】 成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.66 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、二项分布的方差、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【详解】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 两点分布、二项分布、超几何分布与正态分布 目录 题型1：两点分布 4 题型2：独立重复试验 5 题型3：二项分布 7 题型4：超几何分布 11 题型5：二项分布与超几何分布的综合应用 13 题型6：正态密度函数 16 题型7：正态曲线的性质 18 题型8：正态曲线概率的计算 19 题型9：正态分布的实际应用 21 1. 两点分布（0-1分布) 对于只有两个可能结果的随机试验，且两个结果发生的概率之和为1，那么的分布列为 0 1 其中，我们称服从两点分布或0-1分布，且. 提醒 一般地，我们用0表示事件不成功，用1表示事件成功. 2. 伯努利试验与二项分布 (1) 伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 显然，重伯努利试验具有如下共同特征: ①同一个伯努利试验重复做次; ②各次试验的结果相互独立. 提醒 重复意味着各次试验成功的概率相同. (2) 二项分布 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为. 如果随机变量的分布列具有上述的形式，则称随机变量服从二项分布，记作. 提醒 (1)二项分布的适用范围:①各次试验中的事件是相互独立的;②每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生；③随机变量是这几次独立重复试验中事件发生的次数. (2)二项分布的本质:二项分布是放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是相同的. 3. 二项分布的均值与方差 若，则，. 4. 超几何分布 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，其中， . 如果随机变量的分布列具有上述的形式，那么称随机变量服从超几何分布列. 提醒 超几何分布的适用范围件及本质 (1) 适用范围:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考察某类个体个数的概率分布. (2) 本质:超几何分布是不放回抽样问题,在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的,其实质是古典概型. 5. 正态曲线 (1) 定义 我们把函数，（其中，为参数）称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线. (2) 正态曲线的性质 ①当无限增大时，曲线无限接近轴； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的区域的面积为1； ⑤当一定时,曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示； ⑥当一定时,曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中，如图乙所示. 6. 正态分布 (1) 定义：若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为.特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，其图像称为标准正态曲线. 提醒 (1)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计.是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计. (2)随机变量落在区间的概率为，即由正态曲线，过点和点的两条轴的垂线，及轴所围成的平面图形的面积，就是落在区间的概率的近似值. (2) 原则 在实际应用中,通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值,这在统计学中称为原则. ①； ②； ③. 题型1：两点分布 【例1.1.】 若随机变量X服从两点分布，其中，________. 【例1.2.】 若随机变量X服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知随机变量X服从两点分布，且，则（   ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【例1.5.】 已知随机变量服从两点分布，，则其成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【例1.6.】 抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记向上的点数大于4的次数为． (1)求的分布列； (2)记，证明服从两点分布，并求的分布列． 题型2：独立重复试验 【例2.1.】 某数学答题闯关游戏，共5道题，若答对2道题就结束游戏，否则一直答完5道题．甲同学每道题答对的概率都为，且各题是否答对互不影响．在答完4题就结束游戏的条件下，第2题答对的概率为_____． 【例2.2.】 某药企研发的一种新药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙名患有该疾病的患者服用了这种药物，则恰有2名患者被治愈的概率为（     ） A． B． C． D． 【例2.3.】 在平面直角坐标系中，位于坐标原点处的点按下述规则移动：点每次移动一个单位长度，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向四个方向移动的概率均为．点移动6次后，点在直线上的概率为________. 【例2.4.】 团结协作、顽强拼搏是中国女排精神，为学习女排精神，A，B两校排球队进行排球友谊赛，采取五局三胜制，每局都要分出胜负，根据以往经验，单局比赛中A校排球队胜B校排球队的概率为，设各局比赛相互间没有影响，则在此次比赛中，四局结束比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号为时，接收为和的概率分别为和.若发送信号为的概率是，发送信号为的概率是. (1)分别求接收信号为和的概率； (2)已知接收信号为，求发送信号是的概率. (3)现采用重复发送3次+多数判决，发送信号为的概率仍是，发送信号为的概率仍是，求最终判决错误的概率. 【例2.6.】 某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分．负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜．假设每局比赛甲队获胜的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响． (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为．求． (2)若两队共进行局比赛，．当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了（，，，，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值． (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为．已知．证明：． 【例2.7.】 某次象棋活动上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场象棋比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，若为平局则都积0分.象棋比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得额外奖励.已知每场象棋比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果互不影响、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在象棋比赛中积1分的概率； (2)记甲在活动中总得分为2的概率为，证明：p越大时，越大； (3)若，记事件A为“甲在象棋比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得额外奖励”，求． 【例2.8.】 甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 题型3：二项分布 【例3.1.】 某非遗传承工作室针对传统手工艺进行数字化复原测试，经技术测算：使用AI智能修复技术（甲方案）修复一张破损纹样的成功率为，使用人工精细修复技术（乙方案）修复一张破损纹样的成功率为．现组建3个测试样片组，每组包含4张待修复纹样，其中2张用甲方案修复，2张用乙方案修复．若某个样片组中，甲方案修复成功的张数超过乙方案修复成功的张数，则称该组为“智能组”． (1)求一个测试样片组为“智能组”的概率； (2)现观察3个这样的测试样片组，用X表示这3个组中“智能组”的个数，求X的分布列和数学期望． 【例3.2.】 某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为，选择乙餐厅的概率为，甲餐厅的准时送达率为，乙餐厅的准时送达率为．已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立． (1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率． (2)在该用户的次外卖点餐中，记准时送达的次数为，若的方差大于，求的最小值． (3)平台推出“准时保”，每单需支付元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付．该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由． 【例3.3.】 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位. (1)移动4次后，质点最终所在的位置的坐标为多少的概率最大？ (2)若移动次后，质点最终所在位置的坐标为，求的数学期望与方差. 【例3.4.】 某商业综合体对场内81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得（为正整数）位顾客的星级评价（一星至五星评价），且每店获得任一顾客五星评价的概率均为.假设顾客给予评价时互不影响． (1)当时，记某店获得的五星评价率（五星评价数与评价人数之比）为，求随机变量的分布列和数学期望； (2)随机选择一店了解评价情况，当为奇数时，求该店五星评价率超过的概率． 【例3.5.】 入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能.为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果.活动中，高三年级 500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发编织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶 3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当学生投完三支箭，挑战结束.某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，设这位学生在“过关比赛”中投中的次数为，求分布列和的数学的期望. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投 20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶 2的概率，那么在投完 20次之后，这位同学投中壶 2多少次的概率最大?(只需写出结论) 【例3.6.】 在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． (1)若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； (2)若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； (3)现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求． 【例3.7.】 “十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 【例3.8.】 小明同学设计了一个游戏：有三枚硬币，其中一枚硬币为正常硬币（有正面与反面），一枚为“全正”硬币（两面均为正面），一枚为“全反”硬币（两面均为反面），现将这三枚硬币分别装入三个外观相同的箱子中（每个箱子中装一个）． 游戏规则如下：玩家每局从中随机选取一个箱子后打开观察其中硬币（不可翻转硬币），观察完后有一次更换所选箱子的机会（可以不更换），若玩家最终选择的箱子中为“全正”硬币，则玩家该局获胜． (1)若将所选箱子打开后发现其中硬币为正面朝上，求该硬币为正常硬币的概率． (2)现玩家针对游戏规则制定如下策略：若所选箱子中硬币为“正面朝上”，则不更换选择；若所选箱子中硬币为“反面朝上”，则在剩余两个箱子中任意选取一个作为最终选择，试探究该策略是否为最佳策略，若是，请说明理由；若不是，请写出你的最佳策略． (3)若玩家按（2）中最佳策略独立进行（）局游戏，将获胜局数不少于局的概率记为，试比较与的大小． 【例3.9.】 某校园社团为分析一款文创产品在学生群体中的受欢迎程度与传播规律，构建如下概率模型：研究团队选定名学生进行研究，假设每名学生对该产品的“基础心动度”参数均相同，记为．规则如下：第一天，研究团队从名学生中随机招募（，且）名进行初始体验，每名学生体验后购买的概率为，且彼此相互独立．从第二天起，每一天每名购买者会推荐未购买者参与体验，一旦成为购买者，将参与后续的推荐传播，以此类推． (1)当，时，求第一天结束，初始体验的学生中恰有3名成为购买者的概率； (2)求第一天结束，名初始体验的学生中，成为购买者的人数为奇数的概率； (3)对于任意一位未购买者，若某天有（）名购买者尝试向他推荐，则他当天成为购买者的概率为．当，，时，求在前两天，学生甲成为购买者的概率（用含的式子表示）；基于此模型，简要说明为什么在实际校园场景中，一款产品有时会突然“爆发式”走红． 【例3.10.】 在概率中，等效转换是计算复杂比赛概率的重要思想.例如：两位选手进行3局2胜制比赛，每局选手获胜的概率为选手获胜的概率为，且每局比赛相互独立.那么选手在“3局2胜制”的赛制中获胜的概率，可等效为：选手在3场比赛中至少赢2场.设3场比赛中选手获胜的场数为，那么服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出选手获胜的概率. (1)若，求选手在“5局3胜”的赛制中获胜的概率； (2)记选手在“局胜”的赛制中获胜的概率为；在“局胜”的赛制中，选手第一场比赛获胜的条件下，最终获胜的概率为，证明： (3)网球大满贯赛事有两个签表，上半区有名种子选手，下半区有名种子选手（且）.每次抽签都等可能地随机选择一个签表，并抽出一名种子选手进入正赛，抽中后种子选手保留在签表内（不重复抽取）.记上半区的所有种子选手先被抽完的概率为，证明：. 【例3.11.】 某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 题型4：超几何分布 【例4.1.】 （多选）一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（    ） A．的可能取值为0，1，2，3 B． C． D． 【例4.2.】 某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 【例4.3.】 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． (1)若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； (2)求使得最大的的值． 【例4.4.】 现有一处鱼塘，要进行合理养殖与合理捕捞. (1)若鱼塘中有600尾鱼，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘（该标记不会在短期损坏），第二次随机打捞20尾鱼，求这20尾鱼中至少有一尾鱼有标记的概率；（用组合数的式子表示） (2)现进行养殖. （i）假设当鱼塘中鱼的尾数为时，年增长量为，捕捞量为，受到环境制约，考虑简单模型，且为常数.当 时，给出合理的，使得下一年的鱼群数目达到能使年增长量最大的水平； （ii）当鱼塘中鱼的尾数为时，第一次打捞30尾鱼后进行标记后放回鱼塘，第二次随机打捞25尾鱼后有1尾有标记，试给出的估计值（以使得仅1尾有标记的概率最大的的值作为的估计值）. 【例4.5.】 一个盒子里装有个大小相同的小球，编号分别为1，2，3，…，，且，，现进行两次摸球试验： 第一次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．第一次试验完成后，将球放回盒子，再进行第二次试验； 第二次：从中不放回地随机摸出个球，记所摸球的编号组成的集合为．设随机变量表示的元素个数． (1)若，，求的分布列及期望； (2)若，且，求； (3)求的方差（，且，结果用，表示），并探究，具有怎样的关系时，最大？ 【例4.6.】 某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； (3)记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 题型5：二项分布与超几何分布的综合应用 【例5.1.】 甲乙两人分别从一个装有a张数字卡牌，b张字母卡牌（大小质地均相同）的袋子中摸n张牌，甲选择从中依次有放回的摸出n张，记摸数字卡牌的数目为X；乙选择从中一次性摸出n张卡牌，记摸出卡牌中数字卡牌的数目为Y．下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为R（单位：）. (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有3个.现从这7个零件中随机抽取3个.记X表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求X的分布列及数学期望； (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取5个零件进行检测，若合格的零件数Y超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及Y的方差. 【例5.3.】 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； (2)记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【例5.4.】 为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【例5.5.】 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味），统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (2)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称为“七分糖爱好者”，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，每次抽取互不影响且每次被抽到的概率相同（以样本估计总体、用频率代替概率），记抽到个“七分糖爱好者”的概率为，问当为何值时最大？ 【例5.6.】 某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【例5.7.】 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出8位候选人，然后在这8人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. (1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围8位候选人之中，现从这8人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为，求的分布列与数学期望； (2)预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； (3)假如只有组与组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.组每道题先做对的概率都为，组先做对的概率都为，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 题型6：正态密度函数 【例6.1.】 已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【例6.2.】 “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（    ） A．该地水稻的平均株高为 B．该地水稻株高的方差为100 C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小 D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大 【例6.3.】 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【例6.4.】 已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 题型7：正态曲线的性质 【例7.1.】 已知随机变量X服从正态分布，则（    ） A． B． C． D． 【例7.2.】 （多选）把一条正态曲线沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线，下列说法中正确的是（   ） A．曲线仍然是正态曲线 B．曲线和曲线的最高点的纵坐标相等 C．以曲线为正态分布的总体的方差比以曲线为正态分布的总体的方差大2 D．以曲线为正态分布的总体的均值比以曲线为正态分布的总体的均值大2 【例7.3.】 （多选）已知随机变量X服从正态分布，随机变量服从正态分布，，且和相应的分布密度曲线分别为，则（    ） A． B．的对称轴在的对称轴的左边 C． D．的最高点在的最高点的上方 【例7.4.】 设随机变量，若，且，则________. 【例7.5.】 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则的图象对称中心为_____． 【例7.6.】 已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 【例7.7.】 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为0.4kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【例7.8.】 已知随机变量，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例7.9.】 已知随机变量X，Y相互独立，且X服从，Y服从，若，则______ 题型8：正态曲线概率的计算 【例8.1.】 若随机变量，且，则（   ） A．0.18 B．0.22 C．0.09 D．0.27 【例8.2.】 某校舞蹈队队员的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，则（    ） （附：若，则，） A．0.6827 B．0.8414 C．0.9544 D．0.9772 【例8.3.】 为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 【例8.4.】 某精密仪器厂生产一种微型轴承钢珠，其直径（单位：）服从正态分布.若，且，则下列描述正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例8.5.】 某新能源汽车企业为优化电池续航算法，抽取了10000辆同型号车辆在标准工况下的单次充电实际行驶里程（单位：公里）．统计数据经整理得到频率分布直方图（图中部分数据缺失）．已知行驶里程在的频率为0.34，在的频率为0.34，且该数据近似服从正态分布．该企业计划对续航表现优异的车辆颁发“超长续航认证”，要求行驶里程不低于m公里，且认证比例控制在2.28%左右．根据正态分布模型（参考数据：，），则m的估计值最接近（   ） A．450 B．475 C．500 D．525 【例8.6.】 （多选）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 【例8.7.】 模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（    ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 【例8.8.】 一随机变量服从正态分布，则， _____.已知一粒子在数轴上从原点出发，每一步等可能向左或向右移动，随机变量表示走完8步后，粒子向右移动的总步数，与相互独立，则_____. 题型9：正态分布的实际应用 【例9.1.】 某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 【例9.2.】 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【例9.3.】 一个研究性学习小组为了了解某市市民年春假旅游支出情况（单位：千元），对随机选取的名市民年旅游支出进行问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表： 组别（支出费用） 频数 4 3 9 (1)从这位市民中随机抽取两人，求这两人2026年旅游支出费用均不低于元的概率； (2)若市民年旅游支出费用近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （i）假定该市年常住人口为万人，试估计有多少市民年旅游支出费用在元以上； （ii）若在该市随机抽取3位市民，设其中年旅游支出费用在元以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 附：若，则，． 【例9.4.】 某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【例9.5.】 某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【例9.6.】 成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $