专题10 离散型随机变量分布列及数字特征7大题型（期中复习讲义）高二数学下学期人教A版

专题10 离散型随机变量分布列及数字特征（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01利用随机变量分布列的性质求概率、均值、方差 题型02两相关随机变量的分布列 题型03均值与方差的性质与应用 题型04求离散型随机变量的期望 题型05求离散型随机变量的方差与标准差 题型06求离散型随机变量的分布列、期望 题型07均值、方差在决策中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 随机变量分布列 理解随机变量的意义，能根据实际问题列出所有可能取值及对应概率； 高频必考，常在解答题第一问出现，考查从实际问题中抽象出分布列的能力 分布列的概率计算 能结合古典概型、互斥事件、独立事件、条件概率等方法准确计算分布列中各取值的概率 贯穿所有概率统计题目，是求分布列和数字特征的基础，计算准确性是关键 分布列的期望与方差 理解期望是取值的加权平均（反映平均水平），方差是衡量取值分散程度的量（方差越大波动越大） 核心必考，常与分布列结合出现在解答题中，考查期望、方差的计算及实际意义解释 分布列的性质 掌握分布列的两条基本性质（概率非负、和为1）求解分布列中的未知参数 基础题型，常在求分布列时作为验证步骤，或在已知分布列求参问题中出现 均值与方差的性质 掌握线性变换下期望与方差的变化规律；能灵活运用这些性质简化计算 常与分布列结合考查，熟练运用性质可大幅减少计算量，是解题技巧关键点 均值、方差在决策中的应用 能根据实际问题背景，综合运用均值和方差进行方案比较与决策判断（如收益最大化、风险最小化） 应用类题型，常在解答题最后一问出现，考查利用数字特征解决实际问题的能力 知识点01 离散型随机变量 1、随机变量的定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.通常用字母表示. 注意：随机变量是将随机试验的结果数量化，随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件。 2、离散型随机变量的定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如． 知识点02 离散型随机变量的分布列 1、设离散型随机变量的可能取值为,称取每一个值的概率为X的概率分布列，简称分布列，用下来表格表示： … … … … 2、它具有以下性质： ①； ②. 知识点03 离散型随机变量的均值与方差 1、定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则均值（期望）． 则方差，标准差为．在方差计算中，经常利用进行简化。 2、意义： （1）均值与平均数的区别在于，均值是概率意义下的平均值，不同于算术平均值。 （2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差和标准差反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 知识点04 离散型随机变量的均值与方差的性质 1、若，都是离散型随机变量，且（），则由与之间分布列的关系有． 2、，（为常数） 3、 4、若，是两个相互独立的随机变量，则, 题型一 利用随机变量分布列的性质求概率、均值、方差 答｜题｜模｜板 离散型随机分布列： … … … … 分布列的性质： （1）； （2） 【典例1】（多选）（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高三上·江西南昌·期末）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（    ） A．当为等差数列时， B．当数列满足时， C．数列的通项公式可能为 D．当数列满足时， 【变式1】（多选）（2026·河北·模拟预测）若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 题型二 两相关随机变量的分布列 答｜题｜模｜板 一般地，如果是一个离散型随机变量，都是实数且，，则也是一个离散型随机变量．由于的充要条件是，因此． 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【变式2】（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 题型三 均值与方差的性质与应用 答｜题｜模｜板 1、若变量之间存在着的关系，应注意均值与方差性质的应用，利用进行求解。 2、均值与方差的关系式 3、若，是两个相互独立的随机变量，则, 对任意X，Y都成立（无需独立） 【典例1】（25-26高二下·重庆·月考）随机变量X的取值有0，1，2，若，，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【典例2】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 【变式1】（多选）（2026·四川成都·二模）设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）设，为随机变量，，，，则（    ） A．22 B．6 C．8 D．4 题型四 求离散型随机变量的期望 答｜题｜模｜板 求均值的步骤： （1）理解随机变量X，将问题划分为若干个互斥事件，写出X的分布列（包括X取值与取值对应的概率） （2）按方差计算公式算出 【典例1】（福建福州市八县市协作校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 【典例2】（陕西西安市临潼区华清中学等校2026届高三下学期数学学科练习）已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（    ） A． B． C． D．2 【变式1】（25-26高三下·云南曲靖·月考）掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为a，b，令，则的数学期望＝（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 题型五 求离散型随机变量的方差与标准差 答｜题｜模｜板 求方差与标准差的方法： 1、定义法：先求均值 ，再计算每个取值与均值的差的平方 ，求和得方差 。 标准差。 2、公式法：先求，，则 （计算更简便）。 3、若  是常见分布（如二项、泊松），直接用其方差公式，这在后期学过更多的分布时可用。 【典例1】（25-26高二下·江苏南通·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·安徽淮南·二模）设，随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知随机变量X的概率分布表如下： 0 1 其中，，都是正数，若随机变量X的数学期望，方差，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六 求离散型随机变量的分布列、期望 答｜题｜模｜板 1、先求分布列，再算数字特征，涉及综合题时，通常先根据题意建立随机变量的分布列，再代入均值、方差的定义式计算。 2、利用性质简化运算，若随机变量可分解为若干个简单随机变量的和（如二项分布、指示变量之和），可利用均值与方差的可加性（独立时方差可加）简化计算 【典例1】（2026·山西晋中·模拟预测）有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用三类药物.服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.2  5.5  6.2  6.5  6.3  5.8  5.4  6.0  5.3  5.8 B 5.5  6.0  5.6  5.0  5.7  6.2  6.4  5.9  5.7  5.1 C 5.1  4.9  5.3  5.2  5.5  6.2  5.7  5.5  5.8  5.6 已知该生理指标正常范围是. (1)从服用类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率； (2)30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望. 【典例2】（25-26高二下·江苏无锡·期中）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段．实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立．其中实验室检测阶段包括环节Ⅰ和环节Ⅱ，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立．某公司汽车研发出甲、乙两款车型，现对其进行性能检测．实验室检测阶段中甲车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，乙车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，路面检测环节中甲、乙款车合格的概率分别为，． (1)已知甲款车型进入到路面检测，求甲在Ⅰ、Ⅱ环节都通过的概率； (2)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (3)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值． 【变式1】（2026·广东肇庆·二模）树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 题型七 均值、方差在决策中的应用 答｜题｜模｜板 利用均值和方差比较随机变量的取值情况，一般是先比较均值，均值相同，再比较方差，方差反映随机变量取值的稳定情况。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 【典例1】（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【典例2】（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 【变式1】（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 3．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南通·月考）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·浙江衢州·期中）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（多选）（2027高三·全国·专题练习）设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 3．（25-26高三下·山东·月考）已知随机变量所有可能的取值为，若，则（   ） A．存在 B．任意 C．存在 D．任意 4．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 5．（25-26高二下·吉林长春·月考）将个标号不同的红球和个标号不同的白球排成一排. (1)求个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为个白球之间红球的个数，求的分布列； (3)求的期望和方差. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 2．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 3．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 4．（2026·浙江·二模）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为，，，…，，共计2026枚，即． (1)甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为．例如：当时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算，，，的值； （ⅱ）记，求； (2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望取到最大值，并说明理由． 5．（25-26高二下·江苏盐城·月考）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 离散型随机变量分布列及数字特征（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01利用随机变量分布列的性质求概率、均值、方差 题型02两相关随机变量的分布列 题型03均值与方差的性质与应用 题型04求离散型随机变量的期望 题型05求离散型随机变量的方差与标准差 题型06求离散型随机变量的分布列、期望 题型07均值、方差在决策中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 随机变量分布列 理解随机变量的意义，能根据实际问题列出所有可能取值及对应概率； 高频必考，常在解答题第一问出现，考查从实际问题中抽象出分布列的能力 分布列的概率计算 能结合古典概型、互斥事件、独立事件、条件概率等方法准确计算分布列中各取值的概率 贯穿所有概率统计题目，是求分布列和数字特征的基础，计算准确性是关键 分布列的期望与方差 理解期望是取值的加权平均（反映平均水平），方差是衡量取值分散程度的量（方差越大波动越大） 核心必考，常与分布列结合出现在解答题中，考查期望、方差的计算及实际意义解释 分布列的性质 掌握分布列的两条基本性质（概率非负、和为1）求解分布列中的未知参数 基础题型，常在求分布列时作为验证步骤，或在已知分布列求参问题中出现 均值与方差的性质 掌握线性变换下期望与方差的变化规律；能灵活运用这些性质简化计算 常与分布列结合考查，熟练运用性质可大幅减少计算量，是解题技巧关键点 均值、方差在决策中的应用 能根据实际问题背景，综合运用均值和方差进行方案比较与决策判断（如收益最大化、风险最小化） 应用类题型，常在解答题最后一问出现，考查利用数字特征解决实际问题的能力 知识点01 离散型随机变量 1、随机变量的定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.通常用字母表示. 注意：随机变量是将随机试验的结果数量化，随机变量的取值对应于随机试验的某一随机事件。 2、离散型随机变量的定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如． 知识点02 离散型随机变量的分布列 1、设离散型随机变量的可能取值为,称取每一个值的概率为X的概率分布列，简称分布列，用下来表格表示： … … … … 2、它具有以下性质： ①； ②. 知识点03 离散型随机变量的均值与方差 1、定义：一般地，若离散型随机变量的分布列如下表所示， …… …… 则均值（期望）． 则方差，标准差为．在方差计算中，经常利用进行简化。 2、意义： （1）均值与平均数的区别在于，均值是概率意义下的平均值，不同于算术平均值。 （2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差和标准差反映了随机变量取值的离散程度。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 知识点04 离散型随机变量的均值与方差的性质 1、若，都是离散型随机变量，且（），则由与之间分布列的关系有． 2、，（为常数） 3、 4、若，是两个相互独立的随机变量，则, 题型一 利用随机变量分布列的性质求概率、均值、方差 答｜题｜模｜板 离散型随机分布列： … … … … 分布列的性质： （1）； （2） 【典例1】（多选）（25-26高二上·江西九江·期末）已知随机变量的分布列如下，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，由分布列的性质求解判断；对B，由分布列求解判断；对C，先求出，再根据均值的性质求解；对D，根据条件概率公式计算. 【详解】对于A，由分布列的性质可知：，解得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 【典例2】（多选）（25-26高三上·江西南昌·期末）设随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则下列说法中正确的是（    ） A．当为等差数列时， B．当数列满足时， C．数列的通项公式可能为 D．当数列满足时， 【答案】ACD 【分析】由题意可得，结合等差数列的性质判断A；利用等比数列的前项的和，求出的值，从而求出的值，再求出的值，即可判断B；通过验证当时，是否满足，从而判断C；令，2，3，，，从而可得，，2，3，，，利用累乘法求得，2，3，，，再代入，求出的值即可判断D. 【详解】由已知可得， 对于A，当为等差数列时，则，故，故A正确； 对于B，由，2，，时， 则， 所以， 则，故B错误； 对于C，显然， 又， 所以，故C正确； 对于D：令，2，3，，， 则， 所以 即，，2，3，，， 于是有，2，3，，， 又， 即, 所以， 解得，所以，故D正确. 【变式1】（多选）（2026·河北·模拟预测）若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（   ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据概率之和为1求出判断A；然后结合均值和方差的概念计算判断B，C，应用均值性质求解新的离散型随机变量的均值判断D. 【详解】由题意得，解得，A正确； 由，B选项正确； ，故D选项正确； 因为，故C选项错误； 【变式2】（多选）（2025·广东江门·模拟预测）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，求出，再依次判断选项即可． 【详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 题型二 两相关随机变量的分布列 答｜题｜模｜板 一般地，如果是一个离散型随机变量，都是实数且，，则也是一个离散型随机变量．由于的充要条件是，因此． 【典例1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如下表，若随机变量，则__________. 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质可知各概率，再根据概率的加法可得解. 【详解】由已知可得， 解得， 则， 故答案为：. 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列如下表所示，则（    ） X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量分布列求概率即可. 【详解】由题得，则， 故． 故选：C. 【变式1】（25-26高二上·全国·单元测试）设离散型随机变量的分布列为下表，若随机变量，则（    ） 0 1 2 3 0.1 0.6 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【分析】根据离散型随机变量取各个值的概率和为1求得，由求出结果． 【详解】由分布列的性质知，所以． 因为，所以． 故选：A． 【变式2】（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则_______ X 0 1 2 3 P a 5a 【答案】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据随机变量之间的函数关系即可求解. 【详解】由分布列的性质可知： 解得 ， 由 ， 等价于 ，由表可知 ； 故答案为： 题型三 均值与方差的性质与应用 答｜题｜模｜板 1、若变量之间存在着的关系，应注意均值与方差性质的应用，利用进行求解。 2、均值与方差的关系式 3、若，是两个相互独立的随机变量，则, 对任意X，Y都成立（无需独立） 【典例1】（25-26高二下·重庆·月考）随机变量X的取值有0，1，2，若，，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】因为，所以①， 又因为，所以，即②， 联立①②，解得，， 所以， 所以. 【典例2】（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知离散型随机变量、满足，其中的分布如下：，且，则___________. 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质和期望可得，进而可得，结合方差的性质即可得结果. 【详解】由题意可得：，解得， 可得， 又因为，所以. 【变式1】（多选）（2026·四川成都·二模）设随机变量X的分布列为 X 1 2 P p 其中．若，则一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先通过求出未知参数，再依次计算和，最后验证选项. 【详解】依题意，， 已知，代入得：，故A错误，B正确； ， 代入得：，C正确； ，D错误. 【变式2】（25-26高二下·辽宁沈阳·月考）设，为随机变量，，，，则（    ） A．22 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】先根据变量的线性关系求出，再根据求解即可. 【详解】因为随机变量，满足，，， 所以，，即，解得， 所以，由方差公式得. 题型四 求离散型随机变量的期望 答｜题｜模｜板 求均值的步骤： （1）理解随机变量X，将问题划分为若干个互斥事件，写出X的分布列（包括X取值与取值对应的概率） （2）按方差计算公式算出 【典例1】（福建福州市八县市协作校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题）一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取 1 个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定的可能取值，分别计算每个取值的概率，再根据数学期望公式计算. 【详解】依题意知：的取值为， 故（第一次摸到红球）， （第一次摸到非红球，第二次摸到红球）， （前两次摸到非红球，第三次摸到红球）， （前三次摸到非红球，第四次摸到红球）， 期望：， . 【典例2】（陕西西安市临潼区华清中学等校2026届高三下学期数学学科练习）已知集合，现随机选取中5个元素构成子集，记该子集中的最小数为，则随机变量的数学期望是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先由题意确定的所有可能取值，再分别求出对应的概率，进而可求出结果. 【详解】由题意可得的所有可能取值为， 随机选取集合中5个元素构成子集，有个子集， 集合中以正整数为最小数的5元子集共有个， 所以， 所以 . 【变式1】（25-26高三下·云南曲靖·月考）掷一枚均匀的骰子2次，记出现的点数分别为a，b，令，则的数学期望＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举基本事件，即可求解概率，进而由期望公式求解. 【详解】掷一枚均匀的骰子2次，共出现36个基本事件， 其中较小点数为1点的情况有：，共11种； 其中较小点数为2点的情况有：，共9种； 较小点数为3点的情况有：，共7种； 较小点数为4点的情况有：，共5种； 较小点数为5点的情况有：，共3种； 较小点数为6点的情况有：，共1种； 故 【变式2】（2026·重庆·模拟预测）某商场有4种礼品，每次随机抽取一种（有放回），共抽4次． 记为被抽到次数最多的礼品的抽中次数（若并列，则取该次数），则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】确定随机变量的取值，分别计算每个取值的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】被抽到次数最多的礼品的抽中次数的可能取值为1，2，3，4. ：4次抽取中每个礼品都恰好被抽到1次，即4个礼品的排列， 故. ：4次都抽到同1个礼品，故. ：有1个礼品被抽到3次，另1个礼品被抽到1次，故. 所以. 故. 题型五 求离散型随机变量的方差与标准差 答｜题｜模｜板 求方差与标准差的方法： 1、定义法：先求均值 ，再计算每个取值与均值的差的平方 ，求和得方差 。 标准差。 2、公式法：先求，，则 （计算更简便）。 3、若  是常见分布（如二项、泊松），直接用其方差公式，这在后期学过更多的分布时可用。 【典例1】（25-26高二下·江苏南通·月考）甲、乙两名选手参加羽毛球单打比赛，比赛采用三局两胜制，先赢得两局的选手获胜．每局比赛没有平局，且甲选手每局获胜的概率都是，记比赛结束时的局数为随机变量，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出随机变量的分布，再利用期望的定义及方差的期望表示列式，借助二次函数求出范围. 【详解】随机变量的所有可能值为2，3， ，， 当时，令， 则， ， 因此， 二次函数的开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以， 即的取值范围为. 【典例2】（2026·安徽淮南·二模）设，随机变量的分布列为 0 1 则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】C 【分析】根据方差公式，结合二次函数性质判断即可. 【详解】. . 结合二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故AB错误. 最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·月考）已知随机变量X的概率分布表如下： 0 1 其中，，都是正数，若随机变量X的数学期望，方差，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查离散型随机变量的数字特征，结合概率分布表的性质及离散型随机变量的期望与方差公式，列出相应的数量关系解决问题. 【详解】解：由概率分布表性质可知，解得， 又，则， 整理得，所以. 又由概率的性质，，所以， 综上. 【变式2】（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可． 【详解】∵，同理， 由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 题型六 求离散型随机变量的分布列、期望 答｜题｜模｜板 1、先求分布列，再算数字特征，涉及综合题时，通常先根据题意建立随机变量的分布列，再代入均值、方差的定义式计算。 2、利用性质简化运算，若随机变量可分解为若干个简单随机变量的和（如二项分布、指示变量之和），可利用均值与方差的可加性（独立时方差可加）简化计算 【典例1】（2026·山西晋中·模拟预测）有30名同种疾病患者随机分成三组，每组各10名，分别服用三类药物.服药一段时间后，记录了三组患者的生理指标数据，如下表： A 5.2  5.5  6.2  6.5  6.3  5.8  5.4  6.0  5.3  5.8 B 5.5  6.0  5.6  5.0  5.7  6.2  6.4  5.9  5.7  5.1 C 5.1  4.9  5.3  5.2  5.5  6.2  5.7  5.5  5.8  5.6 已知该生理指标正常范围是. (1)从服用类药物的患者中各随机选出1人，分别求选出的1人指标在正常范围内的概率； (2)30名患者中有5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2，现从这5名患者中随机选出2人，记X为选出的2人中指标不在正常范围的人数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)；； (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据统计表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，得到5人中3人指标正常，2人指标不正常，且变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：设从三组选出1人指标正常分别为事件 从组的10个数据为5.2  5.5  6.2  6.5  6.3  5.8  5.4  6.0  5.3  5.8， 其中指标正常的有：5.2  5.5  5.8  5.4  6.0  5.3  5.8，共有7个， 所以概率为； 从组的10个数据为5.5  6.0  5.6  5.0  5.7  6.2  6.4  5.9  5.7  5.1， 其中指标正常的有：5.5  6.0  5.6  5.0  5.7  5.9  5.7  5.1，共有8个， 所以概率为； 从组的10个数据为5.1  4.9  5.3  5.2  5.5  6.2  5.7  5.5  5.8  5.6， 其中指标正常的有：5.1  4.9  5.3  5.2  5.5  5.7  5.5  5.8  5.6，共有9个， 所以概率为. （2）解：由5名患者服药一段时间后，生理指标分别为5.5，6.3，6.4，5.6，5.2， 可得其中有3人指标正常，2人指标不正常， 现从这5名患者中随机选出2人，记为选出的2人中指标不在正常范围的人数， 可得随机变量的可能取值为， 则，，， 所以变量的分布列为 0 1 2 所以期望为. 【典例2】（25-26高二下·江苏无锡·期中）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段．实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立．其中实验室检测阶段包括环节Ⅰ和环节Ⅱ，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立．某公司汽车研发出甲、乙两款车型，现对其进行性能检测．实验室检测阶段中甲车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，乙车通过Ⅰ、Ⅱ环节的概率分别为，，路面检测环节中甲、乙款车合格的概率分别为，． (1)已知甲款车型进入到路面检测，求甲在Ⅰ、Ⅱ环节都通过的概率； (2)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (3)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值． 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析，； 【分析】（1）由条件的概率公式求解即可； （2）先求出甲乙两款车分别能进入路面检测的概率，再根据要求求解即可； （3）由题意可得，分别求出各自的概率，列出分布列，再求均值即可. 【详解】（1）记事件：“甲在Ⅰ、Ⅱ环节都通过”，事件：“甲款车型进入到路面检测”， 则，， 所以 （2）记事件：“甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测”， 为甲款车进入路面检测；为乙款车进入路面检测， 则有，， 则 （3）由题意可得， 由题意可得：甲款车进入量产的概率，乙款车进入量产的概率， 所以，， ， 所以的分布列如下： 所以 【变式1】（2026·广东肇庆·二模）树人中学积极践行“健康第一”理念，为引导学生养成良好的锻炼习惯和健康生活方式，学校举办趣味体育竞赛活动，活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮.已知甲､乙､丙三人通过第一轮的概率分别为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率均为，假设他们之间通过与否相互独立. (1)求从甲､乙､丙三人中随机选出一人且进入第二轮的概率； (2)记甲､乙､丙三人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 . 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为分别求出，，，由题意得到的所有可能取值，分别求出每个可能取值的概率，求出的分布列和数学期望. 【详解】（1）记随机选择甲､乙､丙的事件分别为，进入第二轮的事件记为， 则， 由题意得， 所以 . （2）记甲､乙､丙通过第二轮的事件分别为 则 由题意得的所有可能取值为 则 . . 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望为. 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得0分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得0分，对方得2分，对方发下一次球.已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立. (1)在前两个球发完后，求甲共得2分的概率； (2)设甲这次发球练习的总得分为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) X 0 2 4 6 P . 【分析】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”，“第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”，由，结合互斥事件、独立事件概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率，即可求解. 【详解】（1）设“第（1，2，3）个球甲发球成功”， “第（1，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得2分”， 则，且与相互独立， 与相互独立，与互斥， 所以. （2）X的可能取值为0，2，4，6. ， ， ， . 的分布列为： 0 2 4 6 P 故. 题型七 均值、方差在决策中的应用 答｜题｜模｜板 利用均值和方差比较随机变量的取值情况，一般是先比较均值，均值相同，再比较方差，方差反映随机变量取值的稳定情况。方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。 【典例1】（25-26高二下·宁夏银川·月考）某文创店为推广非遗手作产品，推出消费抽奖优惠活动，消费者购物每满300元可参加一次抽奖，抽奖活动规则如下：抽奖箱内放置3个红球和2个白球，每次从箱中随机抽取2个球．若抽中2个白球，返现金50元；若抽中1个红球和1个白球，返现金30元；若抽中2个红球，返现金20元． (1)顾客恰好消费了300元，设他所获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； (2)顾客B消费了1000元，按活动规则每满300元可参加一次抽奖，剩余金额不足300元不参与抽奖，记顾客B获得的返现总金额为随机变量． ①求顾客B获得返现金额为90元的概率； ②若该文创店同时推出购物享九折的优惠活动（直接减免消费总金额的10%），且两种优惠活动不能同时参加，试通过计算说明顾客B选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) 20 30 50 数学期望为29 (2)①；②选打折 【分析】（1）先求出随机变量的所有取值，再求出其概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①顾客B抽奖三次，获得90元返现的情况有两种：三次返现均为30元，或者一次返现50元、两次返现20元，计算这两种情况的概率之和即可； ②对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题知，随机变量的可能取值为. 则，. 分布列如下： 20 30 50 . （2）①根据题意得消费1000元可以抽3次，返现金额为90元. 获得90元返现的情况有两种：三次抽奖的返现金额均为30元；或其中一次返现50元、两次返现20元. 因此 ②九折省100元，抽奖期望，选打折. 【典例2】（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）随着人工智能技术的发展，智能体已被广泛应用于处理各类任务．在实际应用中，智能体处理的任务通常会根据内容属性、处理难度、业务场景划分为不同类型．常见的任务类型主要有：基础功能类任务、逻辑推理类任务、内容生成类任务、感知识别类任务、交互协作类任务等．由于模型设计与训练方向不同，不同智能体在处理各类任务时的表现存在一定差异．某人工智能实验室为测评甲、乙两款智能体在逻辑推理类任务（类任务）、交互协作类任务（类任务）中的实际表现，对类、类各项任务开展测试，测试结果如下表： 任务类别 智能体甲 智能体乙 测试任务数量 成功完成的数量 测试任务数量 成功完成的数量 类任务 类任务 假设每次测试结果相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计智能体甲、智能体乙成功完成任务的概率； (2)现使用甲、乙两款智能体完成项类任务和项类任务，每项任务仅由其中一款智能体完成，根据两款智能体成功完成不同类型任务的概率，选择概率结果大的智能体完成其擅长的任务类型，估计这项任务中恰有项被成功完成的概率； (3)某企业拟从甲、乙两款智能体中选购一款并获得其使用权，假设该企业所承担的任务中，类任务占比，类任务占比，且两款智能体的购置及使用成本相同，试判断该企业应选购哪款智能体．（结论不要求证明） 【答案】(1)智能体甲成功完成任务的概率为，智能体乙成功完成任务的概率为； (2) (3)选购智能体甲。 【分析】（1）先分别计算甲、乙成功完成任务的频率，再用频率估计概率可得； （2）先分别计算甲、乙成功完成类任务的概率，进而可确定类任务由乙完成，类任务由甲完成，再结合相互独立事件的概率计算可得； （3）分别计算得甲、乙成功任务的期望值的大小，通过期望大小判断可得. 【详解】（1）智能体甲总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此甲成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以甲成功完成任务的概率估计为 智能体乙总测试任务数为 ，成功完成总数为 ， 因此乙成功完成任务的频率为： . 因为用频率估计概率，所以乙成功完成任务的概率估计为. 所以智能体甲成功完成任务的概率为、智能体乙成功完成任务的概率. （2）先计算两款智能体完成不同类型任务的成功率： 甲完成类：​，甲完成类：； 乙完成类：，乙完成类：. 比较概率大小得：，由比较可知类任务乙更擅长，类任务甲更擅长. 因此分配为：类由乙完成，2项类由甲完成。 设“3项任务恰有2项成功”为事件，分两种互斥情况： ①类任务成功，仅1个类任务成功： ， ②类任务失败，2类任务成功：， 因此： . 所以估计这项任务中恰有项被成功完成的概率为. （3）因为类任务占比，类任务占比， 甲完成类的概率​，甲完成类的概率， 所以甲完成任务的期望为； 同理乙完成类任务的概率，乙完成类的概率， 所以乙完成任务的期望为. 所以，故该企业应选购智能体甲. 【变式1】（2026·宁夏·一模）某社团招新分为“线上初审”和“线下复试”两个环节，面试结果受学生准备状态影响：若学生提前认真准备，线上初审通过的概率为0.9，线下复试通过的概率为0.8；若学生未提前准备，线上初审通过的概率为0.5，线下复试通过的概率为0.4；已知参加面试的学生中，提前认真准备的占70%，未提前准备的占30%. (1)（Ⅰ）求一名学生线上初审通过的概率； （Ⅱ）已知一名学生线上初审通过，求他是提前认真准备的概率. (2)社团有两种面试流程方案：方案一：所有学生都依次完成线上初审和线下复试（共2次面试）；方案二：先进行线上初审，若通过则进入线下复试；若未通过，则直接淘汰（即只进行1次面试）.已知每次面试的组织成本相同，以面试次数的期望值为决策依据，应选择哪种方案？ 【答案】(1)（I） 0.78；（II）或0.8077 (2)选择方案二. 【分析】（1）根据全概率公式和贝叶斯公式计算结果； （2）根据题中两个方案计算随机变量的期望，判断哪个方案好. 【详解】（1）设事件：学生提前认真准备，事件：学生未提前准备；事件：线上初审通过. 由题意可得： （I） 根据全概率公式： 所以一名学生线上初审通过的概率为0.78. （II）根据贝叶斯公式： 所以已知线上初审通过，该生是提前认真准备的概率为或0.8077. （2）设方案一的期望面试次数为，方案二的期望面试次数为. ① 方案一：所有学生均参加2次面试，因此期望面试次数. ② 方案二： 设随机变量表示方案二的面试次数，的可能取值为1，2. 所以分布列为： 1 2 0.22 0.78 所以. 因为 所以方案二期望面试次数更少，组织成本更低，因此选择方案二. 【变式2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 【答案】(1)，. (2)75 (3)答案见解析 【分析】（1）先计算和，再推导和；计算、时，先根据期望公式计算、，再利用方差公式计算方差； （2）根据种植面积，确定总产量的方差之和的表达式，利用方差性质展开得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值对应的值； （3）分别计算三种方案下总产量的期望和方差，因为期望反映总产量水平，方差反映稳产性和种植风险，所以结合期望和方差的意义，从三个角度逐一分析三种方案的特点，再给出建议. 【详解】（1）由题设得：， ， . ， ， ， 所以，. （2）由题意可得： 故当时，取得最小值300. （3）全部种植第一种种子：（吨）， 全部种植第二种种子：（吨）， 按（2）最优比例种植：（吨）， 评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高. 建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）若离散型随机变量的分布列为 0 1 2 则________，________． 【答案】 【分析】由分布列中概率和为，求得的值；结合分布列，根据加法公式求得. 【详解】由，得． ． 故答案为： 3．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 4．（25-26高二下·江苏南通·月考）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点分布求，再根据期望和方差公式以及性质，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以， ，， . 5．（多选）（25-26高二下·浙江衢州·期中）设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（多选）（2027高三·全国·专题练习）设随机变量的分布列为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质即可求解，再逐一判断选项即可. 【详解】因为随机变量的分布列为， 所以，解得，A 正确； ，B 正确； ，C 错误； ，D 错误． 故选：AB． 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）现一次性抛掷颗质地均匀的正方体骰子（每颗骰子的点数都是1，2，3，4，5，6），这颗骰子的点数中，最小点数记为随机变量.若的数学期望不大于，则的最小值是________. 【答案】5 【分析】首先求出关于n的表达式，构造函数，根据函数的单调性可求得结果. 【详解】由题意，得随机变量可取颗骰子的点数都不小于的概率为， 点数都不小于的概率为，其中， 所以， 所以， 令，则， 记， 因为都关于单调递减， 所以关于单调递减， 又，，所以的最小值为5. 3．（25-26高三下·山东·月考）已知随机变量所有可能的取值为，若，则（   ） A．存在 B．任意 C．存在 D．任意 【答案】D 【分析】根据分布列的性质可得到的范围及其关系，根据均值与方差的公式可得到的表达式，消去参数或后，根据二次函数的性质可得到的范围，举反例可判断B，作差法比较大小可判断C，换元法可判断D. 【详解】由题意知，，，即，，，所以. 由知，， 因为，，所以，故A错误. 当时，，故B错误. 将代入得， 又，由二次函数的性质可知， 由上知， (或) 所以，即，故C错误. 令， 则的值域等价于函数的值域， 由二次函数的性质知的值域为，故D正确. 4．（2026高三·全国·专题练习）一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）（法1）先求对立事件“摸出的3个小球中没有标记数字3的小球”的概率，再利用对立事件概率公式计算目标概率；（法2）按照摸出的小球中标记数字为3的小球的个数分类，计算概率，然后再利用和事件的概率公式计算即可； （2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，计算时的概率时，（法1）利用分布列概率和等于1计算；（法2）按照摸出小球的情况分类计算即可；最后根据计算结果列出分布列. 【详解】（1）（法1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （法2）摸出的小球中只有1个标记数字为3的小球的概率为. 摸出的小球中有2个标记数字为3的小球的概率为. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （2）由（1）得. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则. （法1）则. （法2）若，则摸出小球的情况有3种. ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时. ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球， 此时. ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球， 此时. 则. 综上，的分布列见下表. 1 2 3 5．（25-26高二下·吉林长春·月考）将个标号不同的红球和个标号不同的白球排成一排. (1)求个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记为个白球之间红球的个数，求的分布列； (3)求的期望和方差. 【答案】(1) (2)的分布列： (3)期望，方差 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球； （2）先确定所有可能取值，再计算相应的概率即可； （3）由的分布列，即可求出的期望和方差. 【详解】（1）根据题意，先从个标号不同的红球中选出个排在两端，方法数为种， 剩下的个球排在中间的个位置，由于这个球各不相同，因此方法数为种， 根据分步乘法计数原理，所有的排法数为种. （2）根据题意，这个球的全排列为种，并且的可能取值为， 当时，即个白球相邻，先对这个白球全排列，再把这个白球看成一个整体，和剩余的个红球全排列， 因此排法数为种，则， 当时，即个白球之间恰有个红球，先对这个白球全排列，再从个红球中选个红球放在白球中间， 再把这个球看成一个整体，和剩余的个红球全排列，因此排法数为种，则， 当时，即个白球之间恰有个红球，先对这个白球全排列，再从个红球中选个红球放在白球中间， 且这个红球有顺序，再把这个球看成一个整体，和剩余的个红球全排列， 因此排法数为种，则， 当时，即个白球之间恰有个红球，先对这个白球全排列，再对中间个红球全排列，因此排法数为种， 则， 因此的分布列为： （3）由（2）中的分布列可知，的期望， 的方差为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026·湖北·二模）某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. (1)若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： (2)现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】(1) (2)该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. （2）解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 2．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，， 所以， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 则， ， 所以 ． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 同理得， ， 则有 ， 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 3．（2026·河北沧州·二模）已知某不透明盒子中有3个黑球、2个红球，盒子外面有足够多的黑球，所有球除颜色以外完全相同.现进行一种摸球游戏，规定从盒子中随机摸出1个球记下颜色，不放回盒子中，然后从盒子外的黑球中拿1个放入盒子中为一次操作.重复以上操作，当盒子中全为黑球时游戏终止. (1)经过2次操作后，记盒子中红球的个数为，求的分布列和数学期望. (2)记次操作后游戏终止的概率为. (i)求关于的表达式; (ii)求的最大值. 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 的数学期望 (2)(i) ；(ii) 【分析】（1）先确定每个随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式计算期望即可； （2）(i)先求出初始项，再分两种情形推导时的递推关系，通过构造等比数列即可求出； (ii)先作差得到的表达式，通过解不等式判断的增减性，得出是的最大值并计算具体数值即可. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为0，1，2， 且， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 的数学期望. （2）（i）由题意知：， 当时，第次操作后游戏终止分两种情形： ①第1次摸出的是黑球，则还需次摸球游戏才能终止，则； ②第1次摸出的是红球，则剩下次摸球中，最后1次摸出红球，中间次摸出的都是黑球，则， 所以， 即当时，. 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. (ii)当时，， 令，得， 两边同时乘以得：，所以，即， 当时上述不等式成立，故， 当时，， 因为是减函数，所以当时，，故， 所以最大，即的最大值为. 4．（2026·浙江·二模）现有质地均匀的150种不同的铜币1，2，3，…，150的数量分别为，，，…，，共计2026枚，即． (1)甲乙两人选择1枚铜币1进行抛币游戏，已知每次抛出铜币1，出现正面向上和反面向上的概率均为．游戏规则如下：若抛币者抛出正面向上，则该抛币者得1分，另一人不得分，且由该抛币者继续抛掷；若抛币者抛出反面向上，则两人均不得分，且换另一人进行下一次抛掷． 现由甲第一次抛掷，记抛掷第n次时甲累计得分恰好为2分且乙累计得分小于2分的概率为．例如：当时，抛掷结果为：“正正；正反；反正；反反”，此时． （1）（ⅰ）计算，，，的值； （ⅱ）记，求； (2)丙从这2026枚铜币中不放回地随机抽取150枚，记抽取的150枚铜币中共包含X种不同的铜币种类，问：当铜币1，2，3，…，150的数量如何分布时，随机变量X的期望取到最大值，并说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ） (2)答案见解析 【分析】（1）（ⅰ） 根据古典概型计算求解；（ⅱ）分为两种情况应用得出通项公式结合错位相减法计算求解； （2）先应用数学期望公式计算，再构造函数，结合组合数的性质计算求解. 【详解】（1）（ⅰ），，，． （ⅱ）分为两种情况： ①第一种情况：甲得2分，乙得0分．此时由乙得0分可知：“反面向上”是成对出现的，所以n必须为偶数，设． 此时第次是“正”，前次可以看成组“反+反”与1次“正”的组合，共k种情况，则； ②第二种情况：甲得2分，乙得1分．此时最后一次是“正”，乙得1分必须有“反+正+反”的组合，若干组“反+反”组合，还有1次“正”，所以n必须是奇数，设． 此时前次可看成1次“正”，1次“反+正+反”，组“反+反”的组合，共种， 则且； 综上：． ， ， 故， 故． （2） 记150种不同质地的铜币1，2，…，150数量为，，…，， 记，则， 故 ， 只需求的最小值即可，记． 假设 铜币 1 2 3 … 150 备注 数量 … 调整 … 由得， 令，可知单调递减，而，即， 故． 综上：只要，，…，中有两个数之差大于等于2，一定能找到，，…，， 使得，故，，…任意两数之差不超过1． 考虑， 故2026个不同种类铜币中分布：其中76种铜币各有14枚，74种铜币各有13枚时，最大， 此时． 5．（25-26高二下·江苏盐城·月考）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为，猜对得奖金元；猜对谜语的概率为，猜对得奖金元．若规定第一道谜语猜错没有奖金，只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择． (1)求张某猜对两道谜语的概率； (2)张某选择先猜哪一道谜语，使获得奖金的数学期望最大？（张某先猜获得的奖金为元，先猜获得奖金为元） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析两个事件之间的独立关系，利用独立事件概率公式计算； （2）列出两种情况的所有可能的奖金取值，列出对应概率，求解数学期望比较即可. 【详解】（1）设猜对第一道谜语为事件,猜到第二道谜语为事件, 两道谜语猜对为独立事件， 因此猜对两道谜语的概率. （2）① 先猜A，奖金为 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望. ② 先猜B，奖金为， 的可能取值为，对应概率： ， ， ， 期望， 因为，因此先猜的期望更大. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $