11.1.3 多面体与棱柱 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦多面体与棱柱，通过“尝试发现”从生活实例抽象多面体定义，逐步过渡到棱柱的定义、分类及特殊类型，构建从一般到特殊的立体几何学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活形成概念，用动态思维理解棱柱形成，通过例题和结构化小结培养空间观念与推理意识。如例2求长方体体对角线，练习B辨析命题，助力学生发展数学思维，教师可利用分层练习提升教学效果。

第十一章 立体几何初步 11.1.3 多面体与棱柱 《人教B版2019高中数学必修第四册》 由图11-1-21可以看出，多面体的每个面都是平面多边形．一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体.例如，我们初中学习过的长方体、棱锥等都是多面体. 同长方体类似，围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点. 把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体.本书中说到的多面体，如不特别声明，均指凸多面体. 多面体至少有4个面．多面体可以按照围成它的面的个数来命名．例如，图11-1-21中的4个多面体可分别称为五面体、八面体、十面体、十二面体． 图11-1-22所示的一个六面体中，有8个顶点，12条棱． 一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．图11-1-22所示的多面体中，A'C＇是一条面对角线，而BD＇是一条体对角线． 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面．图11-1-22中画出了多面体的一个截面BCEF． 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）. 例1 如图11-1-23所示的多面体，其各个面都是边长为2的等边三角形． （1）写出AB所在直线与ΔEBC所在平面的位置关系，并用符号表示； （2）求这个多面体的表面积． 解(1)不难看出，AB所在直线与ΔEBC所在平面有且只有一个公共点，即AB∩平面EBC=B. (2)一个边长为2的等边三角形,其高为,面积为,又因为给定多面体是一个八面体，因此表面积为8. 如不特意声明,以后将不再区分一个多面体的棱和这条棱所在的直线,也不再区分多面体的一个面和这个面所在的平面.在此前提下,例1的(1)可简单地说成”AB与平面EBC的关系”. 图11-1-24所示的多面体，都有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱，棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面（底面水平放置时，分别称为上底面、下底面），其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱. 棱柱可以用底面上的顶点来表示．例如，图11-1-24(1）所示的棱柱可表示为棱柱ABC-A'B'C'，图11-1-24(2）所示的棱柱可表示为棱柱AC1． 过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高.棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积. 如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱（不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱）.特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱．图11-1-24中，(1）是斜棱柱，(2)(3）都是直棱柱，且（3）是正棱柱． 从动态形成的角度来看，一个棱柱可以看成一个底面的所有点沿同一个方向移动相同的距离所形成的几何体. 当移动方向与底面垂直时，形成的是直棱柱； 当移动方向与底面不垂直时，形成的是斜棱柱。 直棱柱中底面是正多边形的，又可以称为正棱柱。 教学中将棱柱的定义由原来的“两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体”,变为了“两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,由这些面所围成的多面体”,这样更严谨更容易理解. 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.不难看出，底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体．例如，图11-1-25中，除（1）外，其他的都是平行六面体，且（3)(4)(5）都是直平行六面体，（4）为长方体，(5）为正方体． 不难看出，在平行六面体中，相对的面都是互相平行的. 棱柱可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱. 例2 如图11-1-26所示长方体ABCD−A′B′C′D′中，已知AB=a,AD=b,AA′=c，求长方体的体对角线AC＇的长. 解 连接AC,AC'.因为是长方体，所以AB⊥BC,AC⊥CC′. 在RtΔABC中，可知AC2=a2+b2 在RtΔACC′中，可知AC′== 例3 如图11-1-27是棱长都为1的直平行六面体ABCD−A1B1C1D1,且∠DAB=60∘. （1）写出直线AB与直线CC1，直线AC1与平面ABCD，平面ABCD 与 平面A1B1C1D1之间的位置关系； （2）求这个直平行六面体的表面积； （3）求线段AC1的长. 解 (1)直线AB与直线CC1异面，直线AC1∩平面ABCD=A, 平面ABCD//平面A1B1C1D1 (2)底面ABCD是如图11-1-28所示的菱形，由已知可得 BD=1,AC= 因此该底面的面积为×1×=. 又因为每个侧面的面积为1，所以表面积为+4. (3)因为是直平行六面体，所以CC1⊥平面ABCD，从而CC1⊥AC. 在RtΔACC1中，由AC=,CC1=1可知AC1=2. 练习A ①圆柱是不是多面体？为什么？ ② 指出图中所示多面体的顶点数、棱数、面数. ③ 用符号表示出图中所示多面体的所有顶点、棱、面. ④记A为所有多面体组成的集合，B为所有棱柱组成的集合，C为所有斜棱柱组成的集合，D为所有正棱柱组成的集合，写出集合A,B,C,D之间的关系. 不是。因为圆柱不是由若干个平面多边形围成的几何体。 顶点分别是A，B，C，D；棱分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD； 面分别是面ABC，面ABD，面ACD，面BCD。 顶点数是 7 个，棱数是 12 条，面数是 7 个。 C⊂B⊂A，D⊂B⊂A，C∩D=∅. 练习B ①把直棱柱沿任意一条侧棱剪开，然后在一个平面上将所有侧面展开，得到的是一个什么平面图形？ ② 已知一个四面体的各个面都是边长为2的等边三角形，求这个四面体的表面积． ③ 如图所示的多面体中，哪些棱所在的直线与AB所在的直线异面？哪些面所在的平面过AB所在的直线？哪些面所在的平面与AB所在的直线相交？ 矩形 与AB所在直线异面的棱有CC'，DD'，EE'，FF'，B'C'，C'D'，E'F'，F'A'；过AB所在直线的平面有面ABCDEF，面AA'B'B；与AB所在直线相交的平面有面BB'C'C，面AA'F'F，面CC'D'D，面EE'F'F. 练习B ④ 判断下列命题的真假. （1）侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； （2）底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱； （3）棱柱的侧面都是平行四边形； （4）斜棱柱的侧面都不可能是矩形． ⑤ 是否存在既没有面对角线也没有体对角线的多面体？如果存在，请举出实例；如果不存在，请说明理由. (1) 真命题； (2) 假命题；底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． (3) 真命题； (4) 假命题.斜棱柱的侧面都是平行四边形，当然可以是矩形. 存在，如四面体。 练习B ⑥春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结．售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注：长方体点心盒的高小于长、宽.） 我们先设长方体点心盒的长为x,宽为y,高为z且z<x,z<y. 图(2)捆扎的彩绳长度：2x+2y+4z x1+y1>m1,z+x2>m2,x3+y4>m3,y5+z>m4 x6+y6>m5,x5+z>m6,x4+y3>m7,y2+z>m8 ∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+y1+y2+y3+y4+y5+y6+4z>m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7+m8 即售货员说法正确 小结 1.多面体 定义 一般地,由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体,围成多面体的各个多边形称为多面体的面;相邻两个面的公共边称为多面体的棱;棱与棱的公共点称为多面体的顶点 凸多面体 把多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体.本书说到的多面体如不特别声明,均指凸多面体 面对角线体对角线 一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的面对角线;连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线 截面 一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个截面 表面积 多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)  小结 ①如图,进一步了解多面体中的概念. ②多面体至少有四个面、四个顶点、六条棱,并不是所有的多面体都有体对角线(如四面体). ③面对角线和体对角线是两个不同的概念. ④多面体命名：按面的数量，四面体、五面体、六面体……； 小结 直棱柱、斜棱柱、正棱柱 如果棱柱的侧棱垂直于底面,则可知棱柱所有的侧面都是长方形,这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱),特别地,底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱 三棱柱、四棱柱、五棱柱 棱柱可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱,可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱 平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.在平行六面体中,相对的面都是互相平行的 .底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体． 定义 多面体,有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱 底面、侧面、侧棱、高、侧面积 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时,分别称为上底面、下底面),其他各面称为棱柱的侧面,两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱,过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高,棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积 2棱柱 小结 ①四棱柱的演变 ②棱柱的表示方法： 用上下底面对应顶点字母表示： 例：三棱柱ABC-A1B1C1；简写：棱柱AC1 ③棱柱通用几何性质 上下底面平行且全等； 所有侧棱平行且相等； 侧面全部为平行四边形（直棱柱侧面是矩形）； 平行于底面的截面，与底面全等； 对角面：过两条侧棱的截面，是平行四边形（直棱柱对角面为矩形） 巩固提升 C 1.下列几何体中是棱柱的有（ ） 棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱。 观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个. 故选C 巩固提升 2.下列命题中,真命题的个数是(　　) ①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱; ②侧面都是矩形的棱柱是长方体; ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; ④有两个相邻的侧面互相垂直的棱柱是直棱柱; ⑤有两个相邻的侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱. A.0 B.1 C.2 D.3 B 如图,图中几何体满足①中的条件,但不是棱柱;②中一定为直棱柱但不一定是长方体;③中直四棱柱的底面可以是任意四边形,不一定是矩形;④中有两个相邻的侧面互相垂直,但不一定与底面垂直,所以不一定是直棱柱;⑤中,当相邻的两个侧面垂直于底面时,它的交线即侧棱必垂直于底面,所以为直棱柱,故⑤是真命题.选B. 巩固提升 3. 如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D'∥FG∥BC,则剩下的几何体是　　　,截去的几何体是　　　 .  五棱柱 　三棱柱 4.(多选题)下列说法中,真命题是(　　) A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的各个侧面都是平行四边形 C.棱柱的两个底面是全等的多边形 D.棱柱的各面中,至少有两个面互相平行 BCD 棱柱中两个互相平行的平面不一定是底面,也可能是两个互相平行的侧面,故A错误,其他都正确. 巩固提升 5.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的体对角线,那么一个五棱柱的体对角线的条数为(　　) A.20　　　　B.15　　　　C.12　　　　D.10 如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的体对角线有2条:AC1,AD1,同理,从顶点B,C,D,E出发的体对角线均有2条,共2×5=10(条). D 巩固提升 6.一个直平行六面体的侧棱长是9,底面相邻的两边的长都是6,夹角是60°,则此直平行六面体的体对角线长是(　　) A.3　　　　 B.3 C.3或3　 　　　D. 直平行六面体的体对角线有4条,共2对,分别相等.底面菱形的对角线长分别是6和 6,所以此直平行六面体的体对角线长是=3或=3. C 7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,高为5,则一质点从A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线长为(　　) A.　　　　B.10　　　　C.5　　　　D.13 D 如图,将正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面沿AA1展开两次,则最短路线长为其对角线长.易知展开图是长为2×3×2=12,宽为5的矩形,所以最短路线长为=13. 巩固提升 8.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高的和为384,对角线AC1的长为366,则该长方体的表面积为　　　　.  解析　设长方体的长、宽、高分别为a,b,c, 则由已知得a+b+c=384,a2+b2+c2=3662,所以(a+b+c)2=3842,即a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=3842,所以2(ab+bc+ac)=3842-3662=750×18=13500 13500 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点，点O是线段BD1上的动点，则OM的最小值为________． 连接BM，MD1， 在△BMD1中，BM＝MD1＝，BD1＝2，则点M到BD1的距离为＝. 巩固提升 10.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1． (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，且长方体的顶点都在这两个面上，其余各面都是矩形(作侧面)，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱． (2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1． 巩固提升 11.将下图中的正方体截去一角,得到一个三角形截面ABC,则△ABC是(　　) A.锐角三角形　　　　B.钝角三角形 C.直角三角形　　　　D.以上均有可能 设PA=x,PB=y,PC=z,BC=a,AC=b,AB=c. 由正方体的性质可得PA,PB,PC两两垂直,故x2+y2=c2,y2+z2=a2, z2+x2=b2. 在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=== >0,所以∠BAC为锐角.同理,∠ABC和∠ACB也是锐角,所以△ABC为锐角三角形. A 巩固提升 12.14.右图为一正方体形状的木块,A为顶点,B,C分别为棱的中点,则过点A,B,C的平面截该木块所得截面的形状为(　　) A.等腰三角形　　 B.等腰梯形 C.五边形　 　　D.六边形 C 如图,延长BC,与两条棱的延长线分别交于点E,F,连接AE,AF,分别交棱于点M,N,连接BM,CN,则截面为五边形AMBCN. $