11.1.4 棱锥与棱台 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦棱锥与棱台的定义、结构特征、分类及侧面积计算，课堂导入从生活物体抽象几何模型，通过观察总结充要条件，衔接棱柱知识，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生建立空间观念。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例抽象几何模型，通过定义辨析和性质推导培养数学思维，如例1结合正六棱锥高与斜高计算强化逻辑推理。小结系统梳理知识结构，练习分层设计，助力学生提升空间观念与运算能力，也为教师提供丰富教学资源。

第十一章 立体几何初步 11.1.4棱锥与棱台 《人教B版2019高中数学必修第四册》 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱. 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥. 棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥．因此，图11-1-31中，(2）是一个四棱锥，(3）是一个三棱锥，(4）是一个五棱锥． 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．例如，如图11-1-32所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC. 过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段（或它的长度）称为棱锥的高.棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积. 图11-1-32中，PO为棱锥P-ABCD的高，因此 PO⊥面ABCD， 从而可知 ∠POA=∠POB=∠POC=∠POD=90o 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥.可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高. 例1 如图11-1-33是底面边长为1且侧棱长为的正六棱锥P-ABCDEF． （1）写出直线PA与直线CD，直线PA与平面ABCDEF之间的关系； （2）求棱锥的高与斜高； （3）求棱锥的侧面积． 解 （1）直线PA与直线CD异面，直线PA∩平面ABCDEF=A. （2）作出棱锥的高PO，因为是正六棱锥，所以O是底面的中心，连接OC，可知OC=1. 在RtΔPOC中，可知 PO==1 设BC的中点为M，由ΔPB是等腰三角形可知，PM⊥MC，因此PM是斜高，从而 PM=PC2−MC2= （3）因为ΔPBC的面积为×BC×PM=,所以棱锥的侧面积为. 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台.原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱.棱台可用上底面与下底面的顶点表示. 例如，如图11-1-35所示的棱台ABCD-A1B1C1D1，可以看成是从棱锥P-ABCD上截去棱锥P−A1B1C1D1得到的. 同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱台的高.棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积. 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高. 棱台可以按底面的形状分类.例如，图11-1-34(2）是一个四棱台，(3）是一个三棱台． 例2 如图11-1-36所示是一个正三棱台，而且下底面边长为2，上底面边长和侧棱长都为1.O与O＇分别是下底面与上底面的中心． （1）求棱台的斜高； （2）求棱台的高． （1）因为是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰梯形． 如图11-1-37所示，在梯形ACC′A′中，分别过A′,C＇作AC的垂线A′E与C′F，则由AC=2,AA′=A′C′=C′C=1可知AE=FC=，从而 A′E=C′F= 即斜高为 （2）根据O与O＇分别是下底面与上底面的中心，以及下底面边长和上底面边长分别为2和1，可以算出 BO=2B′O′=. 假设正三棱台A′B′C′−ABC是由正棱锥V-ABC截去正棱锥V−A′B′C′得到的，则由已知可得VO是棱锥V-ABC的高，VO＇是棱锥V−A′B′C′的高，O'O 是所求棱台的高. 因此ΔVBO是一个直角三角形，画出这个三角形，如图11-1-38所示，则B'O＇是ΔVBO的中位线. 因为棱台的棱长为1，所以BB′=1，VB=2，从而VO== 因此 O′O=VO=.因此棱台的高为. 练习A ①设计一个平面图形，使它能够围成一个所有面都是等边三角形的正三棱锥. ②写出棱锥中任意两个侧面的位置关系. ③写出棱锥中任意一条侧棱与底面的位置关系. ①写出棱台中上底面与下底面的位置关系. ⑤ 写出棱台中任意两条侧棱的位置关系. 连接正△ABC 的各边中点 D，E，F.沿 DE，EF，DF 翻折至 A，B，C 重合，就形成一个正三棱锥. 相交 相交 平行 相交，延长后交于同一点 练习B ①四棱锥中，与一条侧棱异面的棱有几条？ ②如图，已知四棱锥S-ABCD中，SO是四棱锥的高，以点S，O 以及A,B,C,D中任意一点为顶点的三角形是否都是直角三角形？ ③已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16，侧棱长为2,求这个棱锥的斜高与高. ④ 一个三棱台的上、下底面面积之比为4:9，若棱台的高是4cm，求截得这个棱台的棱锥的高. ⑤ 设正三棱台的上底面边长为2cm，下底面边长以及侧棱长均为5cm，求这个棱台的高. 两条 是，因为 SO 分别垂直于 OA，OB，OC，OD. 斜高是2，高是6 12cm 小结 一、棱锥 1. 棱锥定义 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥。 多边形面：底面 有公共顶点的三角形面：侧面 相邻侧面公共边：侧棱 各侧面公共顶点：顶点 顶点到底面的垂线段长度：棱锥的高 2. 棱锥分类 按底面多边形边数划分：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特殊：三棱锥也叫四面体，四个面全是三角形。 小结 3. 正棱锥 定义 底面是正多边形，顶点在底面的投影是底面正多边形中心的棱锥。 正棱锥性质 所有侧棱长度相等； 各个侧面是全等的等腰三角形； 侧面等腰三角形底边上的高叫做斜高，所有斜高相等； 棱锥的高、斜高、底面正多边形边心距构成直角三角形； 如图四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC. 4.棱锥的表示 小结 二、棱台 1. 棱台定义 用平行于棱锥底面的平面截取棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。 原棱锥底面：下底面（面积大） 截取形成的截面：上底面（面积小） 侧面：梯形 相邻侧面公共边：侧棱 上下底面之间的垂线段长度：棱台的高 2. 棱台分类 由三棱锥截得：三棱台；四棱锥截得：四棱台，以此类推。 小结 3. 正棱台 定义 由正棱锥截取得到的棱台。 正棱台性质 上下底面是相似的正多边形； 所有侧棱长度相等； 各侧面是全等的等腰梯形； 等腰梯形的高为棱台斜高，全部斜高相等； 棱台的高、斜高、上下底面边心距之差构成直角梯形； 4.棱台的表示 可用上底面与下底面的顶点表示.如图所示的棱台ABC-A'B'C'. 巩固提升 1.下图中的几何体是不是棱台?为什么? 都不是 图1侧棱延长后没交于一点 图2须用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 图1 图2 巩固提升 2.下面说法中，正确的是(　　) A.上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B.棱台的所有侧面都是梯形 C.棱台的侧棱长必相等 D.棱台的上下底面可能不是相似图形 A错误：除了要求上下底面平行且相似外，棱台还必须满足各侧棱的延长线交于一点这一关键条件. B正确：棱台由平行于棱锥底面的平面截得，因此其所有侧面都是梯形. C错误：只有正棱台的侧棱长才相等，一般棱台的侧棱长不一定相等. D错误：棱台的上下底面是由平行平面截取棱锥形成的，因此它们一定是相似图形. B 巩固提升 3.下列描述中,不是棱锥的结构特征的是(　　) A.三棱锥有4个面是三角形 B.棱锥的侧面都是三角形 C.棱锥都有两个互相平行的多边形面 D.棱锥的侧棱交于一点 4.若一个正棱锥的各侧棱长和底面边长均相等,则该棱锥一定不是(　　) A.正三棱锥　　　　B.正四棱锥 C.正五棱锥　　　　D.正六棱锥 C 因为正六边形的顶点到中心的距离等于底面边长,所以正六棱锥的侧棱长必定大于底面边长. D 巩固提升 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中任取4个,构成的正三棱锥的个数为(　　) A.16　　　　B.12　　　　C.10　　　　D.8 以A为顶点,可知三棱锥A-A1BD为正三棱锥,同理,三棱锥B-AB1C,三棱锥C-BC1D,三棱锥D-ACD1,三棱锥A1-AB1D1,三棱锥B1-A1BC1,三棱锥C1-B1CD1,三棱锥D1-A1C1D均为正三棱锥,此类三棱锥共有8个; 易知三棱锥A1-BC1D,三棱锥A-B1CD1为正三棱锥,此类三棱锥共有2个. 所以正三棱锥的个数为8+2=10. C　 巩固提升 6.下列说法中,正确的个数是(　　) ①由五个面围成的多面体只能是三棱柱; ②由若干个平面多边形所围成的封闭几何体是多面体; ③仅有一组对面平行的五面体是棱台. A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 ①中,由五个面围成的多面体可以是四棱锥、三棱台,所以①中说法不正确;易知②中说法正确; ③中,仅有一组对面平行的五面体还可以是三棱柱,所以③中说法不正确. B 巩固提升 7.已知某n棱锥有m个面,k条棱,若3k=5m,则n=(　　) A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 8.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC=2,S△ABC=1,∠BAC为锐角,侧棱PA=PB=PC=2,一只小虫从A点出发,绕棱锥侧面爬行一周后回到A点,则小虫爬行的最短距离为(　　) A.2　　　　B.2　　　　C.-　　　　D. n棱锥的侧棱数为n,底面边数为n,侧面数为n,则棱数k=2n,面数m=n+1,又3k=5m,所以6n=5(n+1),解得n=5. B　 根据已知三角形面积，∠是锐角，根据正弦定理可求A=30°. 易知△ABC≌PBC,故∠CPB=30°.易知△PAB,△PAC为正三角形,所以∠APB=∠APC=60°.将三棱锥的侧面沿侧棱PA展开,得到如图所示的多边形,其中∠APA'=60°+60°+30°=150°.连接AA',易知|AA'|即为根据余弦定理求得最短距离为 D 巩固提升 9.(多选）正三棱台的上、下底面边长分别是2和6,侧棱长是5,则下列说法正确的是(   ) A.该正三棱台的上底面积是B.该正三棱台的侧面面积是60 C.该正三棱台的表面积是12+10D.该正三棱台的高是 因为正三棱台的上底面为正三角形,其边长为2,所以上底面面积为S1=×2× =,所以A正确;正三棱台的侧面为等腰梯形,所以侧面积为S2=3×=12.所以B错误;该正三棱台的下底面面积为S3= ×6× =9.所以该三四棱台的表面积为=S₁+S₂+S₃=12+10,所以C正确;设h 为正三棱台的高，根据勾股定理可得52=h2+,解得h= , 所以 D 错误. AC 规律总结 棱锥和棱台的侧面积 棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平 面图形.这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题. S正棱锥侧=ch'，S正棱台侧= h' （c,c'分别表示上、下底面周长，h'代表斜高） 巩固提升 10.正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 如图，在正三棱锥S-ABC中，AB＝a，SO＝a， 于是OD＝·AB·sin 60°＝a， 从而SD＝＝，故三棱锥的侧面 积为S＝×3a×＝a2． A 巩固提升 11．已知正四棱台两底面边长分别为2和4． (1)若侧棱长为3，求棱台的表面积； (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 解：(1)如图，设O1，O分别为上、下底面的中心， 分别取BC，B1C1的中点E，F，连接OE，EF，O1F，则EF为正四棱台的斜高，EF＝＝＝， 则棱台的表面积S＝×(2×4＋4×4)×+2×2+4×4＝12＋20． (2)连接OO1．因为两底面面积之和为22＋42＝20， 所以正四棱台的侧面积为4××(2＋4)×EF＝20，解得EF＝， 所以正四棱台的高O1O＝EF2−(OE−O1F)2＝． $