精品解析：第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学四年级

**基本信息** 小学四年级YMO竞赛初选试卷，以20道填空题聚焦计算技巧、几何直观、排列组合等竞赛核心内容，通过连除巧算、新定义运算、自动扶梯行程等问题设计，考查抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|20题|计算（3÷（7÷11）÷…）、几何（直角三角形高）、排列组合（4男3女相间排列）、规律探究（※运算）|以新定义运算（2※4=0）、自动扶梯行程问题等设计，考查创新意识与模型意识，契合竞赛对思维深度的要求。|

第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学四年级 一、填空题。 1. 计算：3÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷49）＝（ ）。 2. 已知“※”满足2※4＝0，3※5＝4，7※8＝41，按此规定，45※2＝（ ）。 3. 观察如下数列： ，那么这个数列一共有（ ）个数。 4. 4名男生，3名女生，全体排成一行，男女相间。一共有（ ）种不同的排法。 5. 计算： （ ）。 6. 计算：（ ）。 7. 如图在直角三角形中， 厘米， 厘米，那么边上的高的长度是（ ）毫米。 8. 计算：1×2＋3×4＋5×6＋⋯＋59×60＝（ ）。 9. 按规律排列的一串算式： ，其中第84个算式的结果是（ ）。 10. 按照规律并计算： （ ）。 11. 已知一个大于1的平方数加上143后还是一个平方数，这两个平方数中较小的那个是（ ）。 12. 在1到800这800个自然数中，去掉所有的平方数和立方数，得到一个新数列 799、800，这个新数列的和是（ ）。 13. A、B、C、D、E、F六个人站队，要求：A和F两人之间最多有两个人，一共有（ ）种站法。 14. 由组成无重复数字的数，由小到大排列的四位数中，第130个数是（ ）。 15. 自动扶梯由下向上匀速运动，每2秒向上移动1级台阶。小明从扶梯底部开始往上走，每秒走3级台阶。已知自动扶梯的可见部分共70级，那么小明从底部走到顶部需要（ ）秒。 16. 一台晚会上有4个演唱节目和3个舞蹈节目，要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目，一共有（ ）种不同的安排。 17. 小王、小李等五个同学照相，站成两排，前排两人，后排三人。小王、小李不能在同一排。一共有（ ）种不同的站法。 18. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，已知男孩速度是女孩速度的两倍，结果男孩用了24秒到达楼下，女孩用了24秒到达楼上。男孩乘电梯（男孩不动）上楼需要用（ ）秒。 19. 如图，三角形的面积是18平方厘米，是中点，是中点，是中点。那么正六边形的面积是（ ）平方厘米。 20. 如图，四边形各边的边长均已标在图中，其中，求四边形的面积是（ ）平方厘米。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学四年级 一、填空题。 1. 计算：3÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷49）＝（ ）。 【答案】21 【解析】 【分析】先把算式中所有的括号展开，由于括号前是除号，展开后括号里的除号要变成乘号，然后再把能够简便计算的数进行两两组合，最后把各式的结果相乘。 【详解】3÷（7÷11）÷（11÷16）÷（16÷49） ＝3÷7×11÷11×16÷16×49 ＝3×（11÷11）×（16÷16）×（49÷7） ＝3×1×1×7 ＝21 2. 已知“※”满足2※4＝0，3※5＝4，7※8＝41，按此规定，45※2＝（ ）。 【答案】2023 【解析】 【分析】根据题意，“※”是一种新规定的运算规则，具体规则题目中没有给出，要先根据题中的3组算式，找出它的计算规则。 把每组算式里前面两个数和计算结果对比，依次尝试加法、减法、乘法、乘方等基础运算，一步步试算，找到统一的计算方法。找到规则后，把数字代入规则，算出45※2的结果。 【详解】根据2※4＝0，容易猜测计算过程为2×2－4＝4－4＝0，假如规则是：a※b＝a×2－b 在3※5中验证：3※5＝3×2－5＝6－5＝1，与题中算式不符。 再猜测2※4＝2×2－4中第二个2不是2倍，而是2本身，即2※4＝22－4。 在3※5中验证：3※5＝32－5＝9－5＝4，与题中算式相符。 在7※8中验证：7※8＝72－8＝49－8＝41，与题中算式相符。 所以得出规则表达式：a※b＝a2－b。 45※2＝452－2＝2025－2＝2023。 3. 观察如下数列： ，那么这个数列一共有（ ）个数。 【答案】132 【解析】 【分析】观察数列可知，将数列划分为（3、4、5、6），（6、7、8、9），（9、10、11、12）……（99、100、101、102），每4个数看作一个周期，每个周期首位数都是3的倍数，第一个周期首位数是1×3，第二个周期首位数是2×3，以此类推，最后一个周期首位数是33×3，由此可知共有33个周期，可得到结果。 【详解】33×4＝132（个） 4. 4名男生，3名女生，全体排成一行，男女相间。一共有（ ）种不同的排法。 【答案】144 【解析】 【分析】总人数男生4人、女生3人，要男女相间，只能是男生开头。如果先排所有男生，那么可利用全排列公式计算4个男生的排列情况。男生排完后会产生中间的3个空隙，恰好对应3名女生的位置，所以再利用全排列公式计算3个女生在这3个空隙的排列情况。结合分步乘法计数原理，将男生排列数和女生排列数相乘，得到总排法数。 【详解】4名不同男生全排列，排法共： 4×3×2×1 ＝12×2×1 ＝24（种） 3名不同女生排在男生之间的3个空位，全排列共： 3×2×1 ＝6×1 ＝6（种） 总排法： 24×6＝144（种） 5. 计算： （ ）。 【答案】1488 【解析】 【分析】我们把这列数按照3个一组进行分组，可以得到一组公差为3的等差数列，然后用等差数列求和公式进行求和即可。等差数列求和公式： 【详解】 ＝（1＋2－3）＋（4＋5－6）＋（7＋8－9）＋…＋（94＋95－96） ＝0＋3＋6＋…＋93 原数列是1到96的自然数列，共96项，3个一组分组，共有96÷3＝32（组），即新的数列项数为32 相邻两项的差为3－0＝3，即公差为3 首项为0，末项为93 代入等差数列求和公式： ＝ ＝16×93 ＝1488 6. 计算：（ ）。 【答案】19900 【解析】 【分析】根据自然数的立方和公式，先求出1~19的立方和。再求出1~19中偶数的立方和，用1~19的立方和减去1~19中偶数的立方和，即可算出1~19中奇数的立方和。 【详解】计算从1到19的所有自然数的立方和： 13＋23＋33＋……＋193＝（1＋2＋3＋……＋19）2 根据等差数列的求和公式，其中1＋2＋3＋……＋19＝（1＋19）×19÷2＝190 所以13＋23＋33＋……＋193＝1902＝36100 计算从2到18的偶数的立方和： 23＋43＋63＋……＋183 ＝23×（13＋23＋33＋……＋93） ＝8×（1＋2＋3＋……＋9）2 ＝8×452 ＝8×2025 ＝16200 计算1~19中奇数的立方和： 36100－16200＝19900 7. 如图在直角三角形中， 厘米， 厘米，那么边上的高的长度是（ ）毫米。 【答案】24 【解析】 【分析】由图可知，直角三角形ABC的面积等于BC×AB，也等于AC×BD，根据直角三角形的勾股定理，已知两条直角边，可得斜边的长，由此可得到结果。 【详解】 AB＝3厘米，BC＝4厘米 ＝＋＝9＋16＝25，AC＝5厘米 S＝AB×BC ＝×3×4 ＝6（平方厘米） S＝AC×BD BD＝2S÷AC ＝2×6÷5 ＝12÷5 ＝2.4（厘米） 2.4厘米＝24毫米 8. 计算：1×2＋3×4＋5×6＋⋯＋59×60＝（ ）。 【答案】36890 【解析】 【分析】先写出通项公式，将通项公式化简拆分，再分别套用等差数列求和公式和平方和公式计算。 【详解】观察算式中的乘法，每个乘法前面的乘数是1、3、5、……、59，后面的乘数是2、4、6、……、60，前面是奇数，后面是偶数，因此可以得出乘法算式的通项为：（2n－1）×2n。 （2n－1）×2n＝4n2－2n 用以上通项公式将原式变形： 1×2＋3×4＋5×6＋⋯＋59×60 ＝（4×12－2×1）＋（4×22－2×2）＋（4×32－2×3）＋⋯＋（4×302－2×30） 将括号展开，把括号里的两项分类结合： ＝（4×12＋4×22＋4×32＋⋯＋4×302）－（2×1＋2×2＋2×3＋⋯＋2×30） ＝4×（12＋22＋32＋⋯＋302）－2×（1＋2＋3＋⋯＋30） 根据平方和公式和等差数列求和公式分别计算两个括号里的算式： ＝4×－2× ＝4×－31×30 ＝4×9455－930 ＝37820－930 ＝36890 9. 按规律排列的一串算式： ，其中第84个算式的结果是（ ）。 【答案】255 【解析】 【分析】加法算式的加号前面的数字排列规律是1、2、3、4…四项是一组；加号后面的数字排列规律是2、5、8、11…其排列规律是第n个数字是3n－1，据此求出第84个式子并计算结果即可。 【详解】84÷4＝21，因此第84个加法算式的第一个加数是4，算式的末项为： 3×84－1 ＝252－1 ＝251 所以第84个加法算式的结果是4＋251＝255。 10. 按照规律并计算： （ ）。 【答案】100 【解析】 【分析】观察数据发现先将1不看，得出（－3＋6），（－10＋15），（－21＋28）……是3、5、7…这样的等差数列，即首项1，公差为2，尾项是19；再结合原算式中的1，计算即可。 根据等差数列求和公式＝（首项＋尾项）×项数÷2，得出结果即可。 【详解】1－3＋6－10＋15－21＋28－…＋190 ＝1＋（－3＋6）＋（－10＋15）＋（－21＋28）＋（－36＋45）＋（－55＋66）＋（－78＋91）＋（－105＋120）＋（－136＋153）＋（－171＋190） ＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 ＝（1＋19）×10÷2 ＝20×10÷2 ＝100 11. 已知一个大于1的平方数加上143后还是一个平方数，这两个平方数中较小的那个是（ ）。 【答案】5041 【解析】 【分析】根据题意可以得出数量关系式：，则 ，最后根据平方差公式，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，再计算得出这两个数即可。 【详解】 143＝143×1＝13×11 ①， b：（143＋1）÷2 ＝144÷2 ＝72 a：72－1＝71 712＝5041 ② ， b：（13＋11）÷2 ＝24÷2 ＝12 a：12－11＝1 12＝1（舍） 则这两个平方数中较小的那个是5041。 12. 在1到800这800个自然数中，去掉所有的平方数和立方数，得到一个新数列 799、800，这个新数列的和是（ ）。 【答案】311455 【解析】 【分析】先计算1到800所有自然数的总和，用等差数列求和公式。 计算1到800中所有平方数的和，先确定最大平方数的底数，再用平方和公式。 计算1到800中所有立方数的和，先确定最大立方数的底数，再用立方和公式。 找出1到800中既是平方数又是立方数的数，即六次方数，计算它们的和，避免重复减去。 根据容斥原理，用总和减去平方数和与立方数和，再加回重复减去的六次方数和，即可得到新数列的和。 【详解】1到800的总和： 1~800中所有平方数的和：因为 ， ，共28个平方数，根据平方和公式：   1~800中所有立方数的和：因为 ， ，共9个立方数，根据立方和公式：   既是平方数又是立方数的数是六次方数： 、、 ），这些数被减了2次，多减了1次，需要补回，它们的和是 。 计算新数列的和  。 13. A、B、C、D、E、F六个人站队，要求：A和F两人之间最多有两个人，一共有（ ）种站法。 【答案】576 【解析】 【分析】“A和F之间最多有2个人”分三类情况：两人相邻（中间0人）、中间1人、中间2人。分别算出每类站法的数量，再相加得到总数。排列时先确定A、F的位置，再排其余4人。 【详解】先分类讨论A、F的位置： 情况1：A、F中间有0人 把A、F看成整体，内部有2种排法：AF、FA。6个位置中相邻位置有5种，剩余4人全排列，站法的数量为： 2×5×（4×3×2×1）＝10×24＝240（种） 情况2：A、F中间有1个人 设位置序号为1~6，满足中间隔1个位置的组合有：（1，3）、（2，4）、（3，5）、（4，6），共4组； A、F可互换，有2种排法，剩余4人全排列，站法的数量为： 2×4×（4×3×2×1）＝8×24＝192（种） 情况3：A、F中间有2个人 满足中间隔2个位置的组合有：（1，4）、（2，5）、（3，6），共3组； A、F可互换，有2种排法，剩余4人全排列： 2×3×（4×3×2×1）＝6×24＝144（种） 总计：240＋192＋144＝576（种） 14. 由组成无重复数字的数，由小到大排列的四位数中，第130个数是（ ）。 【答案】6082 【解析】 【分析】四位数首位不能为0，按首位数字将四位数从小到大进行分类，依次统计每类的个数，逐步定位到第130个数。 【详解】四位数首位不能为0，最小的四位数从千位是2开始。 千位是2时，剩余3位从剩下5个数字中任选3个排列，可能的数有：5×4×3＝60（个） 千位是5时，剩余3位从剩下5个数字中任选3个排列，可能的数有：5×4×3＝60（个） 同理，千位是6时，可能的数有60个。 所以第130个数是千位上是6的第10个数。 当千位上是6时，百位上最小是0，这样的数有4×3＝12（个），第10个数在其中。 剩余数字（十位、个位）是：2、5、7、8，按从小到大的顺序排列所有组合： 十位是2：个位：5、7、8→6025、6027、6028（第1、2、3个） 十位是5：个位：2、7、8→6052、6057、6058（第4、5、6个） 十位是7：个位：2、5、8→6072、6075、6078（第7、8、9个） 十位是8：个位：2、5、7→6082、6085、6087（第10、11、12个） 第10个数是6082，所以总的来看第130个数是6082。 15. 自动扶梯由下向上匀速运动，每2秒向上移动1级台阶。小明从扶梯底部开始往上走，每秒走3级台阶。已知自动扶梯的可见部分共70级，那么小明从底部走到顶部需要（ ）秒。 【答案】20 【解析】 【分析】本题类似于水中行船问题。顺着扶梯的运动方向前进时，实际速度等于扶梯速度加行走速度。以台阶为单位求出扶梯的速度，再加上小明的速度，就是实际速度。用总的台阶数除以速度就是所用的时间。 【详解】扶梯速度：1÷2＝0.5（级/秒） 人本身的速度：3（级/秒） 总速度：0.5＋3＝3.5（级/秒） 70÷3.5＝20（秒） 小明从底部走到顶部需要20秒。 16. 一台晚会上有4个演唱节目和3个舞蹈节目，要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目，一共有（ ）种不同的安排。 【答案】1440 【解析】 【分析】采用插空法，先排演唱节目，利用演唱节目形成的空隙插入舞蹈节目，保证两个舞蹈节目不相邻，再分步计算排列数，最后相乘得到总方案数。 【详解】4个演唱节目排列方式的数量为： 4×3×2×1＝24（种） 4个演唱节目安排好后，会产生两端和节目之间的空位共5个。 从5个空位中选3个插入舞蹈节目，排列方式的数量为： 5×4×3＝60（种） 根据乘法原理，排列方式的总数为：24×60＝1440（种） 【点睛】本题解题关键是运用插空法，利用演唱节目形成的空位插入舞蹈节目，结合乘法原理分步计算总数。 17. 小王、小李等五个同学照相，站成两排，前排两人，后排三人。小王、小李不能在同一排。一共有（ ）种不同的站法。 【答案】72 【解析】 【分析】根据“小王、小李不能在同一排”，分两类讨论：小王在前排、小李在后排和小李在前排、小王在后排。分别算出每类站法数，再相加，计算时先安排两人位置，再排列其余同学的位置。 【详解】情况一：小王在前排，小李在后排 前排共2个位置，选1个给小王，有2种情况； 后排共3个位置，选1个给小李，有3种情况； 剩余3人在剩下3个位置全排列，有3×2×1＝6（种）情况。 情况一的排列方法总数：2×3×6＝36（种）。 情况二：小李在前排，小王在后排 前排2个位置，选1个给小李，有2种情况； 后排3个位置，选1个给小王，有3种情况； 剩余3人在剩下3个位置全排列，有3×2×1＝6（种）情况。 情况二的排列方法总数：2×3×6＝36（种）。 36＋36＝72（种） 一共有72种不同的站法。 18. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，已知男孩速度是女孩速度的两倍，结果男孩用了24秒到达楼下，女孩用了24秒到达楼上。男孩乘电梯（男孩不动）上楼需要用（ ）秒。 【答案】72 【解析】 【分析】先设定未知量，设女孩相对扶梯的速度为1级/秒，则男孩相对扶梯的速度为2级/秒，再设扶梯自身的运行速度为u，扶梯可见总级数为N。列出二人关于N的等式，联立两个N的等式，得到u的级数，再将其回代入任意一个N的表达式，得到N和u的关系。如果男孩不动乘电梯上楼，那么他的速度就等于扶梯速度，所以用总级数N除以u即可得到所需时间。 【详解】解：设女孩速度为1级/秒，由题意男孩速度为2级/秒，扶梯自身速度为u级/秒。 女孩顺扶梯上楼，实际总速度为女孩速度＋扶梯速度，总级数N＝（1＋u）×24； 男孩逆扶梯下楼，实际总速度为男孩速度－扶梯速度，总级数N＝（2－u）×24。 总级数相等，等式化简得扶梯自身的运行速度： 1＋u＝2－u 2u＝1 u＝0.5 总级数：女孩上行速度加上扶梯自身的速度，再乘以女孩上行所花的时间。 N＝（1＋0.5）×24 ＝1.5×24 ＝36（级） 男孩不动时，上楼时间就等于扶梯上行的时间：36÷0.5＝72（秒）。 19. 如图，三角形的面积是18平方厘米，是中点，是中点，是中点。那么正六边形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】48 【解析】 【分析】用分割法把正六边形分成若干个大小相同的小正三角形，根据三角形MNP中小正三角形的数量，求出一个小正三角形的面积，用这个面积乘整个正六边形含有的小正三角形的数量，求出总面积。 【详解】 如图，把正六边形的每条边都二等分，然后隔边连接这些中点，并连接相对的顶点，将整个正六边形分割成24个完全相同的小正三角形。 此时可以发现，三角形MNP正好包含了9个这样的小正三角形。 因此，每个小三角形的面积为：18÷9＝2（平方厘米） 整个正六边形由24个小三角形组成，所以它的面积为：2×24＝48（平方厘米） 20. 如图，四边形各边的边长均已标在图中，其中，求四边形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】96 【解析】 【分析】因为∠A是直角且已知△ABD的两条直角边长，根据勾股定理可求出BD长度，再用勾股定理验证BC、CD、BD的关系即可得出△BCD为直角三角形，即BD为△BCD的高，根据三角形面积公式S＝×底×高，可求出△BCD的面积，再减去△ABD的面积就是四边形ABCD的面积。 【详解】BD＝ ＝ ＝ ＝10（厘米） ＝ ＝ ＝26（厘米） 故△BCD为直角三角形，∠DBC为直角。 S△BCD＝×24×10 ＝12×10 ＝120（平方厘米） S△ABD＝×6×8 ＝3×8 ＝24（平方厘米） 则四边形ABCD的面积为：120－24＝96（平方厘米）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $