精品解析：广西壮族自治区百色市2025-2026学年高二下学期5月自主检测练习数学试题

高二自主检测练习 数学 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得，解得， 所以. 2. 已知实数是3与9的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】已知是3与9的等比中项， ，解得． 3. 口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ） A. 0．4 B. 0．5 C. 0．6 D. 0．7 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：用缩小样本空间的方法求解；方法二：用条件概率公式求解. 【详解】方法一：在第一次取得红球后，口袋中还剩5个球，2个红球，3个白球， 所以第二次取得白球的概率为； 方法二：设第一次取得红球为事件，设第二次取得白球为事件， 则第一次取得红球第二次取得白球为事件， 则，， 所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率 . 故选：C 4. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据等差数列前n项和可知， 故. 5. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值. 【详解】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 6. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 【答案】B 【解析】 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 7. 已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件表示“从甲袋取出又放入乙袋中的球是红球”，则事件表示“从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球”， 事件表示“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，故，， 故，故A正确. 8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用但函数判断出分段函数，当时，单调递增和值域，当时，先减后增，有极小值，要使得有三个零点成立，转化为不等式成立即可． 【详解】解：当，恒成立，故在上单调递增， 当，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，有极小值为：，函数的图象如下图： 要使得函数有三个零点， 则，即， 解得：， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得最小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象，利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，直接求出单调区间和极值点，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故选项A正确，选项B和C错误， 对于D，因为，且根据上面分析得到的函数单调性， 由极值的定义知，函数在处取得极大值，所以D正确． 故选：AD． 10. 在的展开式中，则（ ）． A. 各项系数的和是64 B. 各二项式系数的和是64 C. 含的项的系数是15 D. 第4项是系数最大的项 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A令即可判断，对于B利用二项式系数的和为，即可计算，对于C利用通项公式有，令，即可求解，对于D设的系数最大，则有，利用组合数的性质即可求解，进而判断. 【详解】对于A：令有，所以各项系数的和是0，故A错误； 对于B：各二项式系数的和为，故B正确； 对于C：由，令， 所以的项的系数是，故C正确； 对于D：根据通项可知，，要使系数最大，则为偶数，故，，，，故时，系数最大，所以第3项和第5项的系数最大，故D错误. 故选：BC. 11. 如图所示,边长为2的等边三角形为圆锥的轴截面,球O为圆锥的内切球,点为圆锥底面的圆心,C,D为母线PA,PB与内切球O相切的两个切点,MN为圆上异于AB的一条直径.下列说法正确的是（ ） A. B. 球O的体积为 C. 圆锥的表面积为 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A项，已知圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，底面圆半径 ， 圆锥的高为等边三角形的高：，故A错误； 对于B项，轴截面等边三角形的内切圆半径即为内切球的半径， 由 ， 得到； 所以球O的体积为，故B正确； 对于C项，设圆锥的母线长为，则 , 故圆锥的表面积为：，故C正确； 对于D项，以为原点，建立空间直角坐标系， 则 ， 所以 , ， 设 , 则， 设平面 的法向量为， 则，即； 令，则； 由, 所以点到平面的距离为 ； 又因为 ; 所以， 因为， ; 所以, 所以 ， 因为，所以， 所以三棱锥体积的最大值为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据分步计数原理的应用即可求解． 【详解】易知每个人都有种选法，故不同的选法有种． 故答案为：． 13. 数列的前项和为，且满足.则的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和的关系得到，然后再验证不满足该式，最后根据等比数列通项公式即可求解. 【详解】由可得，两式作差得，即， 又，所以，，不满足， 所以 故答案为： 14. 已知实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】，记，表示上的点到直线上的距离， 如下图所示，的最大值、最小值分别在点，处取得，原点到直线的距离为， ，， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性并写出单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是. 【解析】 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为，， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：， 即，所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，得；令，得， 因此函数的单调递增区间是，单调递减区间是. 16. 在数列中，，． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，，，，， 所以， 又， 所以， 当时也成立， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以 ． 17. 目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. （1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； （2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 【答案】（1）答案见解析 （2）同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 【解析】 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列. （2）求出回答“回收报废电力设备”题得分的期望，再与比较得解. 【小问1详解】 依题意，的可能取值为，，， 则，， ， 所以的分布列为 0 10 30 0.4 0.24 0.36 【小问2详解】当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得； 当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记为该同学的累计得分，则的可能取值为，，， ，， 因此， 因为，所以， 所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题. 18. 已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率为，椭圆C上一点为这两个条件即可求椭圆的标准方程； （2）根据平行或垂直关系求出相关直线，再根据直线的联立分别求出点的横坐标即可证明. 【小问1详解】 依题意得，解得， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 联立椭圆C的方程，与直线AB的方程，消去y得， ，设，， 得，， 设，所以，， 所以直线MO的斜率为，MO的方程为， F的坐标为， 过F且与AB垂直的直线方程为， 由与联立消去y得，P点的横坐标为4， 直线m的方程为，直线l的方程为， 由与联立消去y得，Q点的横坐标也为4，所以直线轴． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明:． 【答案】（1）当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过对函数求导，根据导数的符号，对参数分类讨论，直接分析函数的单调性； （2）解法 1 ，利用第 (1) 问的单调性结论，通过证明，将恒成立问题转化为函数在特定区间上单调递减，得到参数范围；解法 2 构造辅助函数，通过多次求导，分析其单调性与最小值，反推参数的取值范围； （3）将原不等式等价变形，利用进行放缩，只需证明，再结合第 (2) 问的结论，通过构造函数证明，且两处等号不同时成立，完成证明. 【小问1详解】 根据题意，， 时，恒成立，在上单调递增， 时，由得；由得， 所以在上单调递增；在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 解法1：在上恒成立， 又∵，∴等价于在上恒成立， 设 ， 在上恒成立， ∴ 在单调递增， 所以，即当，， 要使在上恒成立，只需在上递减， 由（1）得，解得． 解法2：设，， 设，则 ， ①当时在恒成立，所以在单调递增， 所以所以在单调递增，所以，满足题意， ②当时，使得，，所以在单调递减， 所以，，所以在单调递减， 所以，不符合题意， 综上得满足题意． 【小问3详解】 证明：即 当，，故只需证 由（2）得在取等号， ，定义域为，， 当时；当时， 在处取得最小值，因此，即， 综上，两处取等条件不同时成立 所以，原命题成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二自主检测练习 数学 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数是3与9的等比中项，则（ ） A. B. C. D. 6 3. 口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（ ） A. 0．4 B. 0．5 C. 0．6 D. 0．7 4. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数在处取得极小值，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（ ） A. 264种 B. 288种 C. 312种 D. 336种 7. 已知甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个红球和3个白球.从甲袋中随机摸出一个球放入乙袋，再从乙袋中摸出一个球，则从乙袋中摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得最小值 D. 函数在处取得极大值 10. 在的展开式中，则（ ）． A. 各项系数的和是64 B. 各二项式系数的和是64 C. 含的项的系数是15 D. 第4项是系数最大的项 11. 如图所示,边长为2的等边三角形为圆锥的轴截面,球O为圆锥的内切球,点为圆锥底面的圆心,C,D为母线PA,PB与内切球O相切的两个切点,MN为圆上异于AB的一条直径.下列说法正确的是（ ） A. B. 球O的体积为 C. 圆锥的表面积为 D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有________种． 13. 数列的前项和为，且满足.则的通项公式为__________. 14. 已知实数满足，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性并写出单调区间. 16. 在数列中，，． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 17. 目前，我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新，加强回收循环利用能力建设是“两新”政策部署的重要内容.某校为了加快学生对这方面知识的了解，组织了知识问答活动，有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题，每位参加活动的同学随机选择一类问题进行回答，若回答错误，则活动结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，活动结束.“拯救海洋”类问题回答正确，每题得10分，“回收报废电力设备”类问题回答正确，每题得20分，答错均不得分.若某同学参加了此次活动，该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6，回答“回收报废电力设备”类问题时正确的概率为0.5，且第一题答题正确的情况下，第二题答题正确的概率会增大0.1. （1）若该同学先回答“拯救海洋”类问题，记为该同学的累计得分，求的分布列； （2）为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答哪类问题？ 18. 已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C于A，B两点，M为AB中点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过F且与AB垂直的直线与直线OM交于P点，过O点作一条与AB平行的直线l，过F作与MO垂直的直线m，设，求证：直线轴． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，证明:． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $