广西壮族自治区百色市凌云县中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年广西百色市凌云中学高二（下）月考数学试卷（3月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数f′（1）=8，则的值为（　　） A. -8 B. -16 C. 16 D. 8 2.已知向量=（m,1，-2），=（1，1，0），=（-1，1，n），若（+）⊥，则m+2n=（　　） A. 1 B. 2 C. -2 D. -1 3.在等比数列{an}中，a2a5a7=3，a3a6=2，则a1a9=（　　） A. B. 2 C. D. 1 4.设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=-f′（2）•x2+x,则f′（2）=（　　） A. 1 B. 0 C. D. 5.某电视台连续播放5个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的5个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（　　） A. 12种 B. 20种 C. 42种 D. 60种 6.已知函数y=f（x）的图象如图所示，设函数y=f（x）从-1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为（　　） A. v1＞v2 B. v1=v2 C. v1＜v2 D. 不确定 7.与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆的方程是（　　） A. B. C. D. 8.以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数y=f（x）在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，则（a,b）内至少存在一个点x0∈（a,b），使得f（b）-f（a）=f′（x0）（b-a），其中x=x0称为函数y=f（x）在闭区间[a,b]上的“中值点”.请问函数f（x）=5x3-3x在区间[0，1]上的“中值点”的个数为（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列求导数计算正确的是（　　） A. （）′=- B. （）′= C. （xlnx）′=lnx+1 D. （tanx）′= 10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（　　） A. 甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12种排法 B. 5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法 C. 5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法 D. 5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法 11.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，，AA1=2，点B，D在以线段AC为直径的圆O上运动，且B，D，O三点共线，点M，N分别是线段BC，C1D1的中点，下列说法中正确的有（　　） A. 存在点B，使得平面ABC1与平面BB1C1C不垂直 B. 当直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，直线A1C与直线AB1垂直 C. 当AB=2时，过点A1，B，N的平面截该四棱柱所得的截面周长为 D. 当AB=2时，过MN的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线f（x）=（3x+2）lnx+2在点（1，f（1））处的切线方程为______. 13.已知数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式为______. 14.曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标.定义：若f′（x）是f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，则曲线y=f（x）在点（x,f（x））处的曲率.已知f（x）=cos（x-1）-lnx,则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的曲率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知函数f（x）=x3+x-54. （1）求曲线y=f（x）在点（3，-24）处的切线方程； （2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标. 16.(本小题15分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1=4. （1）求{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn. 17.(本小题15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1C的中点，AA1=AB=2，平面A1BC⊥平面ABB1A1. （1）求证：BC⊥平面ABB1A1； （2）若△A1BC的面积为2，求平面ABD和平面CBD夹角的余弦值. 18.(本小题17分) 现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ （1）老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人； （2）4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； （3）2名老师之间必要有男女学生各1人. 19.(本小题17分) 已知函数f（x）=x（x-a）2+b在x=1处取得极大值. （1）求a的值； （2）若f（x）有且只有3个零点，求实数b的取值范围. 1.【答案】  【解析】解：因为f′（1）=8， 则=-2=-2f′（1）=-16． 故选：B． 结合导数定义即可求解． 本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题． 2.【答案】  【解析】解：向量=（m,1，-2），=（1，1，0），=（-1，1，n）， 则， 由于（+）⊥，所以-m-1+2-2n=0， 整理得m+2n=1． 故选：A． 直接利用向量垂直的充要条件和坐标运算求出结果． 本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 3.【答案】  【解析】解：在等比数列{an}中，a2a5a7=3，a3a6=2， ∴，整理得， 则a1a9==（）2=． 故选：C． 利用等比数列的性质求解． 本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】  【解析】解：， 所以f′（x）=x2-2f′（2）x+1， 则f′（2）=4-4f′（2）+1， f′（2）=1． 故选：A． 先对函数求导，然后把x=2代入即可求解． 本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：已知电视台连续播放5个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的5个广告播放顺序不变， 则不同的播放方式有=42种． 故选：C． 结合分步乘法计数原理求解即可． 本题考查了分步乘法计数原理，属基础题． 6.【答案】  【解析】解：∵函数y=f（x）从-1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2， ∴v1＜v2， 故选：C． 利用平均变化率公式，即可得出结论． 本题考查函数在某区间上的平均变化率公式，比较基础． 7.【答案】  【解析】解：椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点在x轴上，设其方程为， 可得a2-b2=5． 又所求椭圆的长轴长为，即，得a=2， ∴a2=20，则b2=20-5=15， ∴所求椭圆的方程是． 故选：C． 求椭圆的焦点坐标，确定所求椭圆的焦点位置，结合条件利用待定系数法求椭圆方程． 本题考查椭圆标准方程的求法，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】  【解析】解：由拉格朗日中值定理，f（0）=0，f（1）=2，f'（x）=15x2-3， 则f（1）-f（0）=f'（x0）×1⇒f'（x0）=2， 则，，因为x∈[0，1]，所以共1个解． 故选：D． 根据定义，代入拉格朗日中值定理，令f（b）-f（a）=f（x0）（b-a），找到f'（x）=2，解方程． 本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题． 9.【答案】  【解析】解：对于A：，故A正确； 对于B：==，故B不正确； 对于C：，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 由导数的四则运算及复合函数求导法则判断即可． 本题主要考查导数的四则运算及复合函数求导法则的应用，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：已知甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念， 对于A，甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有=12种排法， 即A正确； 对于B，5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有=24种排法， 即B正确； 对于C，5人站成一排，甲不在两端，共有=72种排法， 即C错误； 对于D，5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有=78种排法， 即D正确． 故选：ABD． 结合捆绑法、间接法及分步乘法计数原理逐一判断即可． 本题考查了排列、组合及简单计数问题，属基础题． 11.【答案】  【解析】解：对A选项，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱， ∴BB1⊥底面ABCD，又AB⊂底面ABCD， ∴AB⊥BB1，又AC为底面圆的直径，∴AB⊥BC， 又BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面ABC1， ∴平面ABC1⊥平面BB1C1C，∴A选项错误； 对B选项，当直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积最大时，底面矩形ABCD面积最大， 而底面矩形最大时，矩形ABCD为正方形，此时直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体， 根据正方体的性质可知A1C在平面ABB1A1内的射影为A1B，而AB1⊥A1B， ∴根据三垂线定理可知A1C⊥AB1，∴B选项正确； 对C选项，当AB=2时，又，∴AB=BC=2，此时直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体， 如图，取CC1中点P，易知NP∥A1B，且NP=A1B， ∴过点A1，B，N的平面截该四棱柱所得的截面为等腰梯形A1BPN， 又等腰梯形A1BPN的周长为=，∴C选项正确； 对D选项，由C选项分析可知：当AB=2时，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体， ∴易知MN==， ∴过MN的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小为以MN为直径的小圆面积， ∴所得截面面积的最小值为=，∴D选项错误． 故选：BC． 根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，正方体的性质，球的性质，即可分别求解． 本题考查立体几何的综合应用，属中档题． 12.【答案】  【解析】解：因为f（x）=（3x+2）lnx+2，所以f′（x）=3lnx+， 所以f（1）=2，f′（1）=5， 所以所求切线方程为y-2=5（x-1），即为5x-y-3=0． 故答案为：5x-y-3=0． 根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解． 本题考查函数的切线方程的求解，属基础题． 13.【答案】  【解析】解：根据题意，数列{an}的前n项和为， 当n=1时，有a1=S1=2， 当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=-4n+5， a1=2不符合该式， 故an=． 故答案为：an=． 根据题意，由数列的前n项和与通项的关系，分析可得答案． 本题考查数列的前n项和与通项的关系，涉及数列的通项公式，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：根据题意，f（x）=cos（x-1）-lnx, 则f′（x）=-sin（x-1）-，f″（x）=-cos（x-1）+， 故f″（1）=-1+1=0， 则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的曲率=0． 故答案为：0． 根据题意，求出函数的二阶导数f″（x），进而可得f″（1）=0，结合“曲率”的计算公式，计算可得答案． 本题考查导数的计算，注意“曲率”的计算公式，属于基础题． 15.【答案】  【解析】（1）求导得f'（x）=3x2+1，将x=3代入f'（x），得到f'（3）=28，即切线的斜率k=28． 切线方程：y-（-24）=28（x-3），即y+24=28x-84，整理得y=28x-108． （2）设切点坐标为（x0，y0），先求切线的斜率，因为f'（x）=3x2+1，所以切线的斜率． 切线方程为1）（x-x0），又因为，所以切线方程为． 因为切线过原点（0，0），将其代入切线方程并展开得：． 得，解得x0=-3． 将x0=-3代入得：y0=-84． 求切线的斜率k,将x0=-3代入得：k=3×（-3）2+1=3×9+1=28． 切线方程为y-0=28（x-0），即y=28x. （1）求导，结合导函数求解切线方程即可． （2）结合切线的性质求解即可． 本题考查导数的综合应用，属于中档题． 16.【答案】  【解析】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的通项与前n项和的关系，数列的错位相减法求和，属于中档题． （1）由数列的通项与前n项和的关系，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和． 17.【答案】  【解析】（1）由面面垂直的性质定理可得AE⊥平面A1BC，再由线面垂直的定义及判定定理即可证明； （2）由三角形的面积求得|BC|=2，再建立空间直角坐标系，求出平面ABD和平面CBD夹角的法向量，由向量的夹角公式计算即可． 本题考查线面垂直的证明和平面与平面所成角的求法，属于中档题． 18.【答案】  【解析】解：（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的3名男学生有种站法，所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． （1）按照特殊元素先排的原则即可；（2）互不相邻问题，利用插空法；（3）利用捆绑法即可． 本题考查排列组合的应用，属于中档题． 19.【答案】  【解析】（1）因为f（x）=x（x-a）2+b, 则f′（x）=3x2-4ax+a2， 因为函数f（x）在x=1处取得极大值， 则f′（1）=a2-4a+3=0， 解得a=1或a=3． 当a=1时，f′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）， 当或x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在和（1，+∞）上单调递增， 当时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在上单调递减， 所以f（x）极小值为f（1），不合题意； 当a=3时，f′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）， 当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增， 当1＜x＜3时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（1，3）上单调递减， 此时，函数f（x）极大值f（1），合乎题意． 综上，a=3． （2）由（1）可知，a=3，f（x）=x（x-3）2+b, 函数f（x）的增区间为（-∞，1）、（3，+∞），减区间为（1，3）， 所以，函数f（x）极大值f（1）=4+b,极小值f（3）=b, 又因为f（x）有且只有3个零点， 则， 解得-4＜b＜0， 因此，实数b的取值范围是（-4，0）． （1）由题意可得f′（1）=0，可求出a的值，然后就a的值进行检验，即可得出实数a的值； （2）分析函数f（x）的单调性与极值，根据函数f（x）的零点个数可得出关于实数b的不等式组，由此可解得实数b的取值范围． 本题考查导数的应用，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$