第12章定义、命题、证明 期末复习综合测试卷 2025--2026学年苏科版七年级数学下册测试卷

**基本信息** 苏科2024版七年级数学第12章期末复习卷，覆盖定义、命题、证明核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，强化推理意识与空间观念，适配期末综合复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|命题定义、三角形内角和、折叠问题|基础题辨析概念（如第1-2题），中档题结合图形计算（如第3-9题）| |填空题|6/18|命题结构、假命题判断、角平分线计算|第12题多维度辨析假命题，强化逻辑思维| |解答题|8/72|证明推理、创新定义（准直角三角形、二倍角三角形）|第23题“二倍角三角形”探究，第24题动态几何问题，培养创新意识与推理能力|

（苏科2024版）《第12章定义、命题、证明》 期末复习综合测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【答案】B 【分析】命题的定义为：判断一件事情的语句叫做命题．根据定义判断语句是否对一件事情作出判断即可得到结果． 【详解】解：选项A、画一条线段是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项B、对顶角相等，对对顶角的大小关系作出了明确判断，符合命题的定义． 选项C、过点作直线的垂线是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项D、今天天气好吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题． 2．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 【答案】B 【分析】可以判断真假的陈述句是命题，正确的命题是真命题，再逐项判断即可． 【详解】解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求； 选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求； 选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求； 选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求． 3．如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，，则的度数为(　　)    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质可以求得的度数，然后即可得到的度数，再根据三角形内角和，即可求得的度数． 【详解】解： ，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义． 假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可． 【详解】解：∵当，时， ∴，，即成立， 又∵，即不成立， ∴此例可作为原命题的反例， 故选：B． 5．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：∵直线、， ∴， ∵，， ∴． 6．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 7．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确等腰直角三角尺的锐角、另一个三角尺的锐角，再由得内错角，最后利用三角形外角性质，算出． 【详解】解：一副直角三角尺的固定角度为：等腰直角三角尺的锐角，另一个三角尺的锐角， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 8．若四边形的四个外角的度数比为，则其中最大的内角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用多边形外角和为的性质，结合比例求出各外角的度数，再根据内角与相邻外角互补的关系求解，最大内角对应最小的外角． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，四边形四个外角的度数比为， ∴设四个外角的度数分别为，，，， 列方程得 解得， ∵内角与相邻外角的和为，外角越小，对应内角越大， ∴最小外角为，其对应的内角即为最大内角， 计算得最大内角度数为 ． 9．如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，折叠的性质，得到，平角的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10．如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（　　） A．10 B．25 C．30 D．70 【答案】A 【分析】先由三角形内角和定理求得∠A＝∠B＝40°，再由折叠性质求得∠EDF＝∠A＝40°，最后由“准直角三角形”定义求解即可． 【详解】解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝40°， ∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处， ∴∠EDF＝∠A＝40°， 当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°， ∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°， ∴x＝25°或x＝10°， ①当x＝25°时，即∠DEB＝25°， ∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°， ∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°， ∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°， 此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°， ∴△CDF不是“准直角三角形”； ②当x＝10°时，即∠DEB＝10°， ∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°， ∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°， ∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°， 此时2∠CDF+∠CFD＝90°， ∴△CDF是“准直角三角形”； 综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10， 故选：A． 【点睛】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理．理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 【答案】两条平行线被第三条直线所截 【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中“如果”所引出的部分是题设，“那么”所引出的部分是结论． 【详解】解：命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”可改写为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”，因此这个命题的题设为两条平行线被第三条直线所截． 12．下列命题中，假命题是__________（填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查的是真假命题的判断，涉及平行线及其性质，直线的位置关系，钝角的定义，不等式的性质，根据以上基础概念逐一判断即可． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题； ②同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行，故②是假命题； ③大于度，小于平角的角是钝角，故③是假命题； ④两直线平行，同位角相等，故④是假命题； ⑤若，则，描述正确，故⑤是真命题． 故①②③④是假命题， 故答案为：①②③④ 13．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 【答案】 【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 15．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 【答案】7或8 【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可． 【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得：， 整理得， 多边形每个内角满足内角， ∴少算的2个内角和的范围， 即， 移项得， 不等式同除以得， 为正整数， ∴或． 16．如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 【答案】24或45 【分析】分三种情况：或或分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． ①如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； ∴①， 由折叠知， ∵， ∴ ，② ∴得：； ∴， 由折叠知， ∴ ； ②如图，当时， 则； ③如图，当时，不合题意； 综上可知，的度数为或． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，． (1)若，求的度数； (2)点F在上，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质求得，进而利用三角形的外角性质求解即可； （2）先利用同角的补角相等得到，则，然后利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（8分）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又， ， 即． 19．（8分）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 20．（8分）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 21．（9分）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 22．（9分）如图，在中，，，平分． (1)若，，则_________； (2)计算：若，求的度数； (3)猜想：、、的关系_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出，再利用角平分线定义得，接着由得，根据三角形内角和得到，然后利用进行计算； （2）由三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，接着利用互余得到，所以，然后整理得出，将其代入计算即可． （3）同（2）得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：猜想：． ∵， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 23．（10分）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 【答案】[理解]20；[应用] ；[拓展] 或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识点，掌握分类讨论思想、方程思想、数形结合思想成为解题的关键． [理解]设的最小，则，然后根据三角形的内角和即可解答； [应用]由是“二倍角三角形”的最小角，不妨假设，则，，由三角形的内角和得，由此可得出，进而解得，据此即可解答； [拓展]先设，再用的代数式表示出，然后根据“二倍角三角形”的定义进行分类讨论即可解答． 【详解】解：[理解] 设的最小，则， ∵，， ∴，解得：． 故答案为：20． [应用] 不妨假设，则，， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，解得：， ∴的最大取值为． [拓展] 设， ∵为的平分线， ∴， ∵是是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得：， 又∵是二倍角三角形， ∴有以下六种情况： ①当时，则，解得：， ； ②当时，则，解得：，不合题意，舍去； ③当时，则，解得：，不合题意，舍去； ④当时，则，此方程无解； ⑤当时，则，解得：， ∴； ⑥当时，则，解得：， ∴． 综上所述：当或或时，是二倍角三角形． 24．（12分）如图1，在一副三角板中，，， ． (1)如图2，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小；②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由；③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为 ． (2)如图3，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，的值为 ． 【答案】(1)①； ②，理由见详解； ③或； (2)或 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键． （1）①由题意易得，则有，然后问题可求解； ②由题意易得，然后可得，进而问题可求解； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可； （2）由题意可分当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当所在直线与所在直线互相垂直时，分两种情况： Ⅰ、如图，于，交于点， ∵， ∴， ∴； Ⅱ、如图，于，交于点， ∵，， ∴， ∴； ∴， 故答案为：或； （2）解：边与三角板的一条直角边平行时，分两种情况： ①当时，如图，延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ②当时，如图， 延长交于点，延长交于点， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $ （苏科2024版）《第12章定义、命题、证明》 期末复习综合测试卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 2．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 3．如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，，则的度数为(　　)    A． B． C． D． 4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 5．如图，直线、，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 6．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 7．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．若四边形的四个外角的度数比为，则其中最大的内角的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（　　） A．10 B．25 C．30 D．70 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 12．下列命题中，假命题是__________（填序号）． ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条直线的位置关系有相交、平行和垂直； ③小于平角的角是钝角； ④同位角相等； ⑤若，则． 13．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ． 14．如图，的度数为___________． 15．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________． 16．如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，． (1)若，求的度数； (2)点F在上，，求证：． 18．（8分）如图，平分的外角，且交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 19．（8分）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 20．（8分）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 21．（9分）综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 22．（9分）如图，在中，，，平分． (1)若，，则_________； (2)计算：若，求的度数； (3)猜想：、、的关系_________． 23．（10分）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”、例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． 【理解】若为“二倍角三角形”，，则这个三角形中最小的内角为______； 【应用】已知是“二倍角三角形”中最小的内角，通过计算确定的最大取值； 【拓展】如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当是二倍角三角形，直接写出的度数． 24．（12分）如图1，在一副三角板中，，， ． (1)如图2，若一副三角板的直角顶点重合． ①当时，求的大小；②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由；③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为 ． (2)如图3，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $