山东省泰安市岱岳区2025--2026学年八年级数学下册期末备考重难点特训

**基本信息** 泰安市岱岳区八年级下学期期末备考特训卷，涵盖二次根式、方程、四边形、相似等核心知识，通过测量旗杆、智能充电桩等真实情境题，融合运算能力、推理意识与模型观念，实现基础巩固与能力提升的梯度训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题40分|二次根式、一元二次方程、平行四边形判定等|基础概念辨析，如同类二次根式判断、正方形性质多结论证明| |填空题|5题20分|二次根式求值、菱形折叠、根与系数关系等|结合图形变换（折叠）与实际问题（影长计算），考查空间观念| |解答题|8题90分|相似应用、方程与函数综合、矩形证明等|以测量旗杆（相似）、充电桩优化（方程与函数）为载体，体现模型意识与应用意识|

泰安市岱岳区2026年八年级下学期期末备考重难点特训 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．1或 4．（本题4分）如图，在边长为2的菱形中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）某种商品两次降价，每件售价从100元降到64元．则平均每次降价（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 7．（本题4分）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 8．（本题4分）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 9．（本题4分）在中，D、E分别是、上的点，、交于点F，下列不能判定的是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）若，则代数式的值为 _____． 12．（本题4分）如图，在菱形中，，点和分别是和上一点，沿将折叠，点恰好落在边的中点上．若，则的长为______． 13．（本题4分）已知两个不相等的实数，分别满足方程和，则代数式的值为___________． 14．（本题4分）如图，中，，，，以为直角边作，，且，连接，则的长度为______． 15．（本题4分）如图，学校为了照明，在墙上方安装一个小型灯杆（点为灯泡的位置，、、三点在一直线上），当小明站在处时，他在地面上的影长，小亮站在处时，他在地面上的影长．小亮和小明之间的距离，已知小明的身高为．小亮的身高为，灯杆的高为，则墙的高为___________． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算： (1) (2) 17．（本题10分）解方程 (1)（用配方法） (2) 18．（本题11分）如图，在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 19．（本题11分）如图，小华利用网络画板在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)与的位似中心的坐标为___________； (2)以点为位似中心，在图中轴的左侧画出的位似图形，且与的位似比为． 20．（本题12分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)若，求方程的根． 21．（本题12分）数学实践： 学习了相似三角形的知识后，小明利用周末来到河边，准备利用所学知识测量河对岸一根旗杆的高度以下是他的实践报告，请根据报告内容，写出任务解决的求解过程． 实践任务 测量河对岸旗杆的高度 实践工具 带刻度的标杆、皮尺 实践过程 ①小明直立于地面，眼睛到地面的距离为，在他和旗杆之间直立一根带刻度的标杆； ②眼睛看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点； ③向旗杆方向前进一定的距离，眼睛再次看向旗杆顶部，标记视线落在标杆上的点； ④画出几何示意图如图，测量相关数据，并利用相似三角形的知识求旗杆的高度． 测量数据 米； 米； 米；米； 米． 任务解决 求河对岸旗杆的高度． 22．（本题13分）为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了150个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，第三个月新建充电桩216个． (1)求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率； (2)若市场上有A，B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是每个0.7万元．该市决定再追加购买A，B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱？ 23．（本题13分）如图，已知为斜边上的中线，过点D作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市岱岳区2026年八年级下学期期末备考重难点特训》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A A B D C D C 1．A 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，判断同类二次根式的关键是化简后是否含有相同的被开方数，需将各选项化简为最简二次根式，再比较被开方数是否与相同即可． 【详解】解：选项A：，化简后为，被开方数为2，与相同，属于同类二次根式； 选项B：，结果为整数，无二次根式部分，与不是同类二次根式； 选项C：已是最简二次根式，被开方数为6，与不是同类二次根式； 选项D：，化简后为，被开方数为3，与不是同类二次根式． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 在中，是的中线， ， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．根据一元二次方程的定义及根的性质求解，注意二次项系数不能为0的限制条件． 【详解】解：将代入方程，得， 解得，即， ∵二次项系数，即， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ， ， ． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设平均每次降价，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价， 则， 解得：，（舍）， 即平均每次降价， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 7．D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各种特殊的平行四边形的判定方法是解题关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析选项即可． 【详解】解：如图，    A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确； B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确； C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确； D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意． 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 9．D 【分析】根据三角形相似的判定定理，判断解答即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：若，已经具备的条件是一对公共角相等即， 故A. ，符合两边对应成比例且夹角相等，故能判定    ，不符合题意； B. 即，由，得，得，故能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意；     D. ，夹角不相等，无法判定相似，错误，符合题意， 故选：D． 10．C 【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．借助正方形的性质和已知条件，易证，故结论①正确；利用①可得，故结论③正确；且可得，可证得，故结论④正确；而，所以结论⑤不正确；根据相似三角形的性质得到，可判断②错误． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为中点，， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，即，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，结论④正确； ∵，， ∴， ∴和不相似，结论⑤不正确． ∵，，和不相似，， ∴，，， ∴， ∴，故②错误， 综上可知正确的结论为：①③④，共计3个． 故选：C． 11．2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先求出和的值，再将代数式变形为，最后将数值代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴ , 故答案为：2． 12． 【分析】此题考查菱形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作交的延长线于点，由，求得，则，所以，，由菱形的性质得，则，由折叠得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，，点为的中点， ， ， 由折叠得， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为： 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据两个不相等的实数，分别满足方程和，可知、是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数关系可得：，，计算可得． 【详解】解：两个不相等的实数，分别满足方程和， 、是一元二次方程的两个实数根， 整理， 可得：， ，， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，过作交的延长线于，由余角的性质推出，判定，推出，求出，，得到，由勾股定理求出． 【详解】解：过作交的延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据得到，根据得到，根据相似三角形对应边成比例可得：，，把用含的代数式表示出来，可得：，解方程即可求出墙的高度. 【详解】解：设墙高为，则， ， ， ， ， ， ，， ， 整理得：， ， ， ，，， ， 整理得：， ， 解得：， ， 答：墙的高为． 故答案为：． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的除法、乘法、化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先计算二次根式的乘法、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）利用配方法可得，再两边同时开平方解方程即可得； （2）利用配方法可得，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 18．(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由，D是的中点，得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质，由，得，根据勾股定理求出，再根据矩形性质求出的长． 【详解】（1）证明：，D为的中点， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：， ， 为的中点，， ∴， ， 四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟记矩形性质与判定及等腰三角形性质是解题关键． 19．(1) (2)如图所示 【分析】本题考查了位似图形的定义与作图． （1）根据位似图形的对应点的连线交于一点，该点即为位似中心即可求解； （2）根据位似图形的定义和作图方法即可作出图形． 【详解】（1）解：与的位似中心为点M， 位似中心的坐标为； 故答案为：； （2）解：如图所示． ． 20．(1) (2)， 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用根与系数的关系得到，由于，于是可求出k的值，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， 即k的取值范围为； （2）根据根与系数的关系得， ， ， 解得， ， 符合题意， 原方程化为， 解得，． 21．旗杆的高度为8.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 先求出米，米，米，再计算出米，米，米，接着证明，根据相似三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质得到，然后利用解方程组的方法可求出，最后计算即可． 【详解】解：延长交于点，交于点，如图， 米，，， ， 米，米，米， 米， 米；米， （米），米， ， ， ，即， ， ， ，即， 得， 解得（米）， ， 解得（米）， （米）， 答：求旗杆的高度为米． 22．(1)这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为 (2)本次追加购买最少花费60万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，利用该市第三个月新建充电桩的数量该市第一个月新建充电桩的数量（这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率），列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设本次追加购买m个A种充电桩，则追加购买个B种充电桩，根据购买A种充电桩的个数不超过B种充电桩的个数，列出一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再设本次追加购买共花费w万元，利用总价单价数量，列出w关于m的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为； （2）解：设本次追加购买m个A种充电桩，则追加购买个B种充电桩， 根据题意得：， 解得：， 设本次追加购买共花费w万元， 根据题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值， 答：本次追加购买最少花费60万元． 23．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，，即可证明； （2）求出．根据，则，即可求出得到答案． 【详解】（1）证明：∵为斜边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：在中，，， ∴．， ∵， ∴， 即， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $