精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2025-2026学年九年级下学期期中考试数学试卷

丰城九中2025——2026学年下学期初三年级数学期中作业 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据实数运算的法则对各选项进行计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是实数的运算及特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，点，，在数轴上，为原点．若，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了线段的和差倍分，有理数的乘法计算，科学记数法，正确掌握线段的数量关系是解题的关键． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质，可得，由对顶角相等，可得，根据三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，圆心在轴上的经过，两点，则的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据一次函数与坐标轴的交点，求得的坐标，进而根据得出，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵直线与坐标轴交于，两点， 当时， ∴， 当时，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6. 二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象和系数的关系的应用，本题熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据图象分别求出、、的符号，即可判断①，根据对称轴求出，代入即可判断②，把代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点关于直线的对称点的坐标，根据对称轴即可判断④中和的大小，结合和代入二次函数的解析式即可判断⑤ 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， ∵对称轴为，且过点， ∴二次函数的图象交轴的负半轴于一点， ， 对称轴是中线， ， ， ， ①正确； ， ， ②正确； 把代入得：， 从图象可知，当时， 即， ③错误； 关于直线的对称点的坐标是， 又当时，随的增大而增大，， ， ④正确； ∵，即，， ∴，即， ∴⑤正确； 综上所述：正确的有①②④⑤； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 8. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 9. 如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解答的关键． 10. 若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为________．（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的求法，掌握相应公式是解题的关键．圆锥的侧面积底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，，，边的中点在轴上，将沿轴向右平移得到．若经过点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由由平移的性质可知，点A到点D的平移方式与点B到点E的平移方式相同，先证明得到点E为的中点，则，即可得到，点B向右平移3个单位长度到点E；再证明是等腰直角三角形，求出，则，由此即可求出． 【详解】解：由平移的性质可知，点A到点D的平移方式与点B到点E的平移方式相同， ∴， ∴， ∵点G是的中点，即， ∴， ∴点E为的中点， ∵，， ∴， ∴，点B向右平移3个单位长度到点E； ∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵向右平移3个单位长度到点D， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，平移的性质，相似三角形的性质与判定，两点中点坐标公式等等，正确求出点A和点E的坐标是解题的关键． 12. 如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 【详解】解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得，； 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根的定义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义，零指数幂等计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：． 14. 计算：．下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 （1）甲同学解法的依据是________．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请写出完整的解答过程，并从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】（1）③ （2），4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据乘法分配律，即可解答； （2）利用乘法分配律化简计算，然后把符合条件的x值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：③； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点，使得平分； （2）在图②中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用垂径定理即可在图①中的圆上找一点，使得平分； （2）利用矩形的性质，垂径定理和同弧所对圆周角相等即可在图②中的圆上找一点，使得平分． 【小问1详解】 解：如答图①，点，即为所求． 【小问2详解】 解：如答图②，点即为所求． 16. 云南九大高原湖泊是我国唯一不冰冻的湖区，是不可多得的“高原明珠”，被当地人亲切地称为“海子”，这些湖泊具有调节区域气候、维持区域生态系统平衡和生物多样性等重要功能．今年五一，小昆计划从九大湖泊中的异龙湖、泸沽湖、杞麓湖三个景点随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；将异龙湖记为，泸沽湖记为，杞麓湖记为． （1）小明选择游玩杞麓湖属于______（填序号）． ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）求小昆，小明两人选择游玩的景点互不相同的概率． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（）根据不可能事件的定义即可判断求解； （）画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求概率，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩， ∴小明选择游玩杞麓湖属于不可能事件， 故选：③； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，所有可能出现的结果共有种，其中小昆，小明两位同学选择游玩的景点互不相同的情况有种， ∴小昆，小明两位同学选择游玩的景点互不相同的概率． 17. 如图，在矩形中，对角线和相交于点O，E是上一点，连接并延长至点F，使得． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，再由等边对等角及等量代换得出，利用平行线的判定即可证明； （2）根据相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形中是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵点O为线段的中点， ∴， ∵ ∴． 【点睛】题目主要考查矩形的性质及相似三角形的判定和性质，平行线的判定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 【小问1详解】 证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）将点分别代入，求出，的值即可得出答案； （2）确定得，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图像交轴于点， 当时，得， ∴， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴， 即的面积为． 20. 2021年，河南省多地义务教育阶段学校积极响应教育部号召，提供课后延时服务，并因地制宜，各具特色．河南省某市教育局为了解该市中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学中各随机抽取100名学生的家长进行问卷调查，将每位学生家长对延时服务的评分记为x，将所得数据分为5组（A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70；E.0≤x＜60），并对数据进行整理、分析，得到部分信息如下： a．甲中学延时服务得分情况扇形统计图 b．乙中学延时服务得分情况颊数分布表（不完整） 组别 频数 A 15 B C 30 D 10 E 5 c．将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下： 81，81，81，82，82，83，83，83，83，83． d．甲、乙两中学延时服务得分的平均数中位数、众数如下表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 75 79 80 乙 78 b 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　． （2）已知乙中学共有3000名学生，若对延时服务的评分在80分以上（含80分）表示认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格． （3）小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好．”你同意小明的说法吗？请写出一条理由． 【答案】（1）10，82.5 （2）1650 （3）同意，理由见解析 【解析】 【分析】（1 ）先求出B组对应的百分比，再根据百分比之和为1可得a的值；求出乙中学B组人数，再根据中位数的定义可得b的值； （2 ）用总人数乘以样本中成绩在80分以上（含80分）人数所占比例即可； （ 3）根据中位数、平均数和众数的意义求解即可． 【小问1详解】 B组对应百分比为×100%＝40%， ∴a%＝1﹣（40%+25%+18%+7%）＝10%，即a＝10， 乙学校B组人数为100﹣（15+30+10+5）＝40（人）， 其中位数为第50、51个数据的平均数，而这两个数据为82、83， ∴其中位数b＝＝82.5， 故答案为：10、82.5． 【小问2详解】 估计乙中学学生的家长认为该校延时服务合格的人数为3000×＝1650（人）． 【小问3详解】 同意．因为乙中学延时服务得分的平均数大于甲中学． 【点睛】本题考查了统计图的意义，样本估计总体思想，中位数的计算，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算方法是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，是攀爬梯，是支撑梯．在攀爬梯上焊接了块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，最上面一层踏板正好可以连接两边的梯子与．已知． （1）求这架人字梯的张角的大小； （2）求人字梯的最高点到水平地面的距离．（结果精确到)（参考数据：，，，） 【答案】（1）=23° （2）203.4cm 【解析】 【分析】（1）过A作AF⊥DE于点F，在Rt△ADF中，可求得∠DAF的正弦值，对照题中给出的数值，可求得∠DAF的度数，根据等腰三角形三线合一，可得∠BAC的度数； （2）在Rt△ADF中，运用锐角三角函数可得AF的长，由AD=AM，则可得点M到DE的距离为2AF，点M到DE的距离，加上点D到BC的距离，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，过A作AF⊥DE于点F， 由题意可得，AD=AE， ∴DF=EF==8cm，∠DAF=， 在Rt△ADF中，sin∠DAF=， ∴∠DAF=11.5°， ∴=23°． 【小问2详解】 解：在直角三角形ADF中，cos∠DAF=≈0.98， ∴AF=0.98AD=39.2cm， ∵AD=AM=40cm， ∴点M到DE的距离为2AF=78.4cm， ∵相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为， ∴人字梯的最高点到水平地面的距离为78.4+5×25=203.4cm． 【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题意作出辅助线，由三角函数值得到角的度数是解题的关键． 22. 某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价P（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量y与时间t的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠元给村里的特困户，在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）第30天利润最大，最大利润为2450元 （3） 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为，根据题意直线经过点代入计算即可． （2）分和两种情况，根据日利润=单件利润×数量，计算各自最值，后比较两个最值即可． （3）设时的日利润为w元， 根据题意，得-，根据抛物线的性质计算即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，根据题意直线经过点， 代入得， 解得， ∴日销售量y与时间t的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设时的日利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，w有最大值，且为2450元； 设时的日利润为m元， 根据题意，得 ， ∵在对称轴的左侧，m随t的增大而减小， ∴当时，m有最大值，且为2301元； ∵， ∴当时，日利润最大，且为2450元． 【小问3详解】 设时的日利润为w元， 根据题意，得 ， ∴抛物线的对称轴为， ∵日销售利润随时间t的增大而增大，且， ∴t位于对称轴的左侧， ∴， 解得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式确定，抛物线的增减性和最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y． 【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________； （2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________； （4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围． 【答案】（1）①3；②；（2）；（3）0或1；或；（4）点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积公式求解即可； （2）当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解； （3）分当和当时，即可求解； （4）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【详解】解：（1）①若，则； ②y关于x的函数关系式为； 故答案为：3；； （2）由题意可知，当时，点与点重合， ∴，此时， 连接， 由题图（2）可知点与点重合时，，即， 在中，，即， ∴（负值已舍）， 当点在上运动时，， ∴， ∴在中，， ∴， 即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为； （3）当时，， 则时，， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 则时，， 解得或； 当时，，此时， 当时，，此时， ∴当时，的长为0或1，此时y关于x的函数图象上点的坐标为或； 故答案为：0或1；或； （4）由（2）知，，， 又∵D为的中点， ∴， 取的中点，连接， ∴，是的中位线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， 分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合， 点在线段(不含点)上运动时，点在内部， 当点运动到点处时，，此时； 当，； ∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为． 【点睛】本题是正方形综合题，主要考查了正方形的性质、求函数解析式、勾股定理、三角形中位线等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中2025——2026学年下学期初三年级数学期中作业 满分：120分 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点，，在数轴上，为原点．若，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，圆心在轴上的经过，两点，则的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：=______． 8. 已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 9. 如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为__________． 10. 若圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为________．（结果保留π）． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，，，边的中点在轴上，将沿轴向右平移得到．若经过点，则点的坐标为______． 12. 如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式组： （1）； （2）． 14. 计算：．下面是甲同学的部分计算过程： 解：原式 （1）甲同学解法的依据是________．（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请写出完整的解答过程，并从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 15. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过，，三个格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中的圆上找一点，使得平分； （2）在图②中的圆上找一点，使得平分． 16. 云南九大高原湖泊是我国唯一不冰冻的湖区，是不可多得的“高原明珠”，被当地人亲切地称为“海子”，这些湖泊具有调节区域气候、维持区域生态系统平衡和生物多样性等重要功能．今年五一，小昆计划从九大湖泊中的异龙湖、泸沽湖、杞麓湖三个景点随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；小明准备从异龙湖、泸沽湖两个景点中随机选择一个进行游玩，每一个被选到的可能性相等；将异龙湖记为，泸沽湖记为，杞麓湖记为． （1）小明选择游玩杞麓湖属于______（填序号）． ①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件 （2）求小昆，小明两人选择游玩的景点互不相同的概率． 17. 如图，在矩形中，对角线和相交于点O，E是上一点，连接并延长至点F，使得． （1）求证：； （2）若，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 19. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 20. 2021年，河南省多地义务教育阶段学校积极响应教育部号召，提供课后延时服务，并因地制宜，各具特色．河南省某市教育局为了解该市中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学中各随机抽取100名学生的家长进行问卷调查，将每位学生家长对延时服务的评分记为x，将所得数据分为5组（A．90≤x≤100；B．80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70；E.0≤x＜60），并对数据进行整理、分析，得到部分信息如下： a．甲中学延时服务得分情况扇形统计图 b．乙中学延时服务得分情况颊数分布表（不完整） 组别 频数 A 15 B C 30 D 10 E 5 c．将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下： 81，81，81，82，82，83，83，83，83，83． d．甲、乙两中学延时服务得分的平均数中位数、众数如下表： 学校 平均数 中位数 众数 甲 75 79 80 乙 78 b 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　． （2）已知乙中学共有3000名学生，若对延时服务的评分在80分以上（含80分）表示认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格． （3）小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好．”你同意小明的说法吗？请写出一条理由． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，是攀爬梯，是支撑梯．在攀爬梯上焊接了块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，最上面一层踏板正好可以连接两边的梯子与．已知． （1）求这架人字梯的张角的大小； （2）求人字梯的最高点到水平地面的距离．（结果精确到)（参考数据：，，，） 22. 某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价P（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示： （1）求日销售量y与时间t的函数关系式？ （2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠元给村里的特困户，在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围． 六、解答题（本大题共1小题，共12分） 23. 综合与实践： 【问题提出】如图（1）在中，，D为的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y． 【初步感悟】（1）当点P在上运动时，①若，则_________；②y关于x的函数关系式为_________； （2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）． 【延伸探究】（3）当时，的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________； （4）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，求点A在内部时x和y的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $