精品解析：江西省上饶市第三中学2025—2026学年度第二学期初中数学阶段测试二

2025-2026学年度第二学期初中数学阶段测试二 （满分120分 测试时间120分钟） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中是正有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的分类，掌握无理数的定义是解题的关键． 根据正有理数的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、 是无理数，不合题意； B、是正的有理数，符合题意， C、是有理数，不是正有理数，不合题意， D、 是无理数，不合题意． 故选：B． 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，完全平方公式和积的乘方，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3. 大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据几何图形确定三视图，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为涡纹彩陶壶的纵向剖面图，俯视图为同心圆，与左视图和主视图不相同； 故选：A． 4. 甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9环，射击成绩的方差分别是，则四个人当中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵， ∴乙的方差最小 ∴四个人当中成绩最稳定的是乙． 5. 已知一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大，得出k>0，再由y=kx+b的图象与x轴交于点（-2，0），确定不等式kx+b>0的解集． 【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，则函数y随x的增大而增大， ∴k>0． ∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点（-2，0），即当x=-2时，y=0， ∴关于x的不等式kx+b>0的解集是x>-2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，并且考查了一次函数的性质． 6. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数 拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时， 拉力与之间的函数表达式为 C. 当时，此时石块完全浸入水中 D. 当时，此时石块所受浮力不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、一次函数的应用等知识点，采用数形结合的思想解决函数图象问题是解决本题的关键． 结合所给函数图象以及一次函数的相关知识逐个选项分析判断即可解答． 【详解】解：从图象看，石块在下降时拉力不发生变化，对应的拉力为， 当时，此时石块还在水面上方，故A选项错误，不符合题意； 当时，设函数解析式为， ， 解得：， 拉力与之间的函数表达式为，故B选项错误，不符合题意； 从图象看：当时，石块所受的拉力为，拉力开始不变，此时石块完全浸入水中，故C选项错误，不符合题意； 当时，石块所受的拉力不变， 石块的重力为，， 石块所受浮力不变，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式3后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 答案为：． 9. （深度求索）是一家中国的人工智能公司，该公司研发的混合专家语言模型含6710亿个总参数．把数据6710亿用科学记数法表示应是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将亿化为整数形式，再根据科学记数法的定义，将其表示为（其中，为整数）的形式即可． 【详解】解：亿． 10. 如图，在正八边形中，是两条对角线，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和定理，多边形内角和定理，等边对等角，三角形内角和定理，由正多边形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据多边形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 又∵，且（正八边形的对称性）， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第个图案需要的棋子个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图的序号与图中数量的增加规律即可求解． 【详解】解：第个图，数量是； 第 个图，数量是； 第个图，数量是； 第个图，数量是； … ∴第个图，数量是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数量规律，理解序号与数量的关系是解题的关键． 12. 如图，在边长为的正方形中， 为 边上的中点，过点 作的垂线分别交和 的延长线于点 ， ，点 在线段上运动（不与端点重合），点 ， 分别为， 的中点．在点 运动过程中，当成为直角三角形时，的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，直角三角形的存在性；得出，转化为的长是解题关键． 过点 作直线于点 ，由点 是的中点可得，由此可得点 一定在上且求出的长即可．当是直角三角形时，分两种情况讨论即可． 【详解】解：过点 作直线于点 ，则， ∴，则， 点 是的中点， ，； 点 是 的中点， ，， 在正方形中，，， ，又， ， ，即， ，， ， 点 是 的中点， ； 过点 作于点， ∴， ，即， ，； ； 当点 是直角顶点，如图，延长交于点 ， ， ，四边形是矩形， ，， ，， ，即， ． ， ； 当点 是直角顶点， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得或， 或． 故答案为：或或． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在 中，为 上一点，．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数的混合运算、相似三角形的判定及性质： （1）利用实数的混合运算、特殊角的三角函数的混合运算法则即可求解； （2）利用相似三角形的判定及性质即可求解； 熟练掌握其运算法则及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）证明：，， ， ， 即：． 14. 先化简： ，再从，0，，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式因式分解，再将除法转化为乘法，然后化简，再舍去使分母为0的数，然后代入求值即可． 【详解】 ， ∵，，， ∴将代入得： 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，解题时注意0，，2均不能代入进行求值． 15. 如图，有张分别印有 版西游图案的卡片： 唐僧、 孙悟空、 猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“ 孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“ 唐僧”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：共有张卡片， 第一次取出的卡片图案为“ 孙悟空”的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 树状图如图所示： 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴ (至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 16. 2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．某校组织师生观看春晚后，计划购买“骐骐”“骥骥”这两款徽章共40枚作为活动纪念品．已知“骐骐”徽章每枚22元，“骥骥”徽章每枚16元． （1）若该校购买这两款徽章共花费760元，求购买“骐骐”徽章的数量； （2）如果学校购买“骐骐”徽章的数量不少于“骥骥”徽章数量的，求至少购买“骐骐”徽章多少枚？ 【答案】（1）购买“骐骐”徽章20枚 （2）至少购买“骐骐”徽章18枚 【解析】 【分析】（1）设购买“骐骐”徽章 枚，则购买“骥骥”徽章枚，根据题意列出方程求解； （2）设购买“骐骐”徽章 枚，则购买“骥骥”徽章枚，根据题意列出不等式求解． 【小问1详解】 解：设购买“骐骐”徽章 枚，则购买“骥骥”徽章枚． 根据题意，得， 解得． 答：购买“骐骐”徽章20枚． 【小问2详解】 解：设购买“骐骐”徽章 枚，则购买“骥骥”徽章枚． 根据题意得，， 解得． 又∵ 为正整数， ∴ 的最小值为18． 答：至少购买“骐骐”徽章18枚． 17. 在8×8的正方形网格中，经过格点A、B、C，点D为弧 上的任意一点．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在图1中，连接 ，先画出弦 关于圆心 对称的弦，再画出的中点 ； （2）在图2中，连接 ，先在圆上画出点 ，使平分，再画出将弦 绕点 顺时针旋转得到的线段． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握圆的对称性和圆周角定理． （1）连接并反向延长交圆于点 ，连接即可，再根据矩形的性质找出中点连接即可； （2）由题意可得，利用正方形对角线平分对角即可找出点 ；延长和相交于点 ，即为所作． 【小问1详解】 解：如图所示，、点 即为所求； ； 【小问2详解】 如图所示，、即为所求． ． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线 与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接 ， ．若的面积是6． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为第一象限内直线 上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得； （2）根据点的坐标求出直线 的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可． 【小问1详解】 解：∵，的面积是6， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 ∵点，，在的图象上， ∴，， ∴，， 设直线 的解析式为， ， 解得：， ∴直线 的解析式为， ∵轴交x轴于点C， ∴， ∴， 设直线 上在第一象限的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式． 19. 如图，在中，，点 在 上，以 为半径的与 相切于点，分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求和 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接OD． 是的切线， ， ∴． 由题意可知，是的直径， ， ， ， ， ； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得，根据是的直径得，则，然后根据半径相等以及等边对等角，即可作答． （2）先得由（1）知，故，则，，得，运用勾股定理算，得，再证明，得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的切线， ， ∵， ． 由（1）知， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，， 在Rt中，, ． 由（1）知，， 又， ， ． 设， 则， ， 解得或 （舍去）， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形的相关运算，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂 保持垂直．肘关节 与手绢旋转点 之间的水平宽度为（即 的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点 与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点 与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）此时手绢端点 与舞者距离是，在规定范围内，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. （1）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解： （2）过点C作于E，解和求出的长，进而求出手绢端点C与舞者距离即可判断求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在规定范围内，理由如下： 过点C作于E，则， ∵, ∴， ∵， ∴． ∴， ∴在中，, ∵在中，， ∴． ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，重庆市忠县拔山中学校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校七、八年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用 表示，共分成四组：；；；）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：86，75，80，66，82，77，89，96，89，100， 八年级10名学生的成绩在 组中的数据是：83，85，88，88， 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 84 众数 88 方差 92.8 77.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： 　　，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为该校七年级、八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有900人、八年级有950人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人． 【答案】（1）30，86.5，89 （2） 我认为八年级学生掌握安全知识较好． 理由：因为七八年级学生成绩的平均数相等，但八年级学生成绩的中位数86.5大于七年级学生成绩的中位数84； （3）估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有465人 【解析】 【分析】（1）先求出八年级抽取的学生成绩 组所占百分比，再将减去 ， ， 组所占百分比即可确定 的值；根据中位数的确定方法可确定八年级抽取的学生成绩的中位数 的值；根据众数的确定方法可确定七年级学生成绩的众数的值； （2）根据统计量的意义作出判断并说明理由即可； （3）利用样本估计总体的思想即可估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的人数． 【小问1详解】 解： 八年级 组所占百分比为：， 八年级组所占百分比为：， ； 八年级成绩 组有2个数据， 组有1个数据， 组有4个数据，组有3个数据， 中位数是 组的第2、第3个数据的平均数，即（分， 即； 七年级成绩中89出现2次，是出现次数最多的， ， 故答案为：30，86.5，89； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人， 答：估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有465人． 【点睛】本题考查了扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，掌握相关统计量的确定方法和意义是解题的关键． 22. 如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线． （1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（ ） ②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（ ） ③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（ ） （2）已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式； （3）已知抛物线：的顶点为点 ，与 轴交于点 、 ，抛物线：的顶点为点 ，与 轴交于点 、 ，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段 的长． 【答案】（1）√，×，√ （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“互为关联”的抛物线进行一一判断进行解答即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，再根抛物线与关于点中心对称可得顶点坐标为，再根据抛物线与是“互为关联”的抛物线得出在上，从而可得，解出m的值即可得出结果； （3）由抛物线与是“互为关联”的抛物线可得，即，从而可得，，再由可得出，即可得，再根据当时和当两种情况讨论即可． 【小问1详解】 ①抛物线的顶点坐标为（0，0），抛物线，顶点坐标是（1，-1）， 当将x=0代入得y=0，将x=1代入得y=-1， 所以抛物线的顶点在图像上，抛物线的顶点在图像上， 故答案为：√； ②与抛物线是“互为关联”的抛物线有无数条，比如、都与抛物线是“互为关联”的抛物线， 故答案为：×； ③∵设顶点不同的两条抛物线与关联， ∴有 ①+②得， ∴m≠p, ∴， ∴解析式中的二次项系数一定是互为相反数． 故答案为：√； 【小问2详解】 抛物线的顶点 抛物线与关于点中心对称 顶点 抛物线与是“互为关联”的抛物线 在上 解得：， 当时，的顶点， 当时，的顶点， 【小问3详解】 ， 抛物线与是“互为关联”的抛物线 ，即 ， ，即 当时，（舍） 当，即时，， ， 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，解决本题的关键是要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用． 六、解答题 23. 定义：在 中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“ 字平行四边形”． （1）下面的图形中是“ 字平行四边形”的有：_________； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形 （2）在“ 字平行四边形”中，，，则_________． （3）如图，在“ 字平行四边形”中，，，点 是 边上一点，，与的延长线交于点 ，若为“ 字平行四边形”，求的值； （4）如图，在矩形中，点 、 分别是 边和 边上的点，四边形为“ 字平行四边形”，若，求的值． 【答案】（1）C （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据“ 字平行四边形”的定义逐一判断即可； （2）由平行四边形是“ 字平行四边形”， ，可得，推出，得到，推出，即可求解； （3）连接，，由在 字 中，，，可得，，由可得，，则，由大角对大边可得，，若为“ 字平行四边形”，分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可； （4）过点 作于点 ，过点 作于点 ，两种情况：①当时，②当时，结合相关知识求解即可． 【小问1详解】 解：A．正方形的对角线为边长的倍，故不满足； B、矩形的对角线长不等于其中一条边的长，故不满足； C、有一个角是的菱形，有一条对角线的长等于其中一条边的长，故满足； D、有一个角是的平行四边形的对角线，不等于其中一条边的长，故不满足； E．有一个角是的平行四边形，不等于其中一条边的长，故不满足； 故 答 案 为：C； 【小问2详解】 如图， 平行四边形是“ 字平行四边形”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：连接，， 在 字 中，，， ，， ， ， ， 由大角对大边可得，， 若为“ 字平行四边形”，只能分为以下几种情况 ①当时，， 过点 作于点 ， 可得点 为 的中点，，， 又， ， ，； ②当时，， 此时，，矛盾； 综上，若为 字平行四边形，； 【小问4详解】 过点 作于点 ，过点 作于点 ， 四边形为矩形， ，，， 四边形为平行四边形， ，， ，， 即． 四边形为 字平行四边形， 又，． 有以下两种情况： ①当时， ， 为的中点， ． 在矩形中，， 又， ， ， ， ； ②当时， ， 为的中点， ， 设， 则，，． ， ． ， ， ， ， 由可得． ， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期初中数学阶段测试二 （满分120分 测试时间120分钟） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列各数中是正有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，关于它的三视图，说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9环，射击成绩的方差分别是，则四个人当中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 已知一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与x轴交于点（－2，0），则不等式的解是（　　） A. B. C. D. 6. 在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数 拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ） A. 当石块下降时，此时石块在水里 B. 当时， 拉力与之间的函数表达式为 C. 当时，此时石块完全浸入水中 D. 当时，此时石块所受浮力不变 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：______． 8. 分解因式：______． 9. （深度求索）是一家中国的人工智能公司，该公司研发的混合专家语言模型含6710亿个总参数．把数据6710亿用科学记数法表示应是_________． 10. 如图，在正八边形中，是两条对角线，则_________ 11. 如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去，第个图案需要的棋子个数为__________． 12. 如图，在边长为的正方形中， 为 边上的中点，过点作的垂线分别交和 的延长线于点 ， ，点 在线段上运动（不与端点重合），点，分别为，的中点．在点 运动过程中，当成为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在 中， 为 上一点，．求证：． 14. 先化简： ，再从，0，，2中选一个合适的数代入求值． 15. 如图，有张分别印有 版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、 猪八戒、 沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 16. 2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．某校组织师生观看春晚后，计划购买“骐骐”“骥骥”这两款徽章共40枚作为活动纪念品．已知“骐骐”徽章每枚22元，“骥骥”徽章每枚16元． （1）若该校购买这两款徽章共花费760元，求购买“骐骐”徽章的数量； （2）如果学校购买“骐骐”徽章的数量不少于“骥骥”徽章数量的，求至少购买“骐骐”徽章多少枚？ 17. 在8×8的正方形网格中，经过格点A、B、C，点D为弧 上的任意一点．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在图1中，连接，先画出弦关于圆心 对称的弦，再画出的中点 ； （2）在图2中，连接，先在圆上画出点 ，使平分，再画出将弦绕点顺时针旋转得到的线段． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线 与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接 ，．若的面积是6． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为第一象限内直线 上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 19. 如图，在中，，点 在 上，以 为半径的与 相切于点 ，分别交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求和的长． 20. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂 保持垂直．肘关节与手绢旋转点 之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点 与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点 与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了引导学生充分认识心理健康对自身发展的重要性，重庆市忠县拔山中学校开展了以“关爱自我，悦享成长”为主题的心理健康月系列活动．其中该校七、八年级在心理健康月中进行了关于心理健康相关知识的测试，现从七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：；；；）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是：86，75，80，66，82，77，89，96，89，100， 八年级10名学生的成绩在 组中的数据是：83，85，88，88， 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生成绩统计表如下： 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 84 众数 88 方差 92.8 77.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为该校七年级、八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有900人、八年级有950人参加了此次心理健康测试，请估计两个年级参加心理健康测试的成绩不低于90分的共有多少人． 22. 如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上，且抛物线与的顶点不重合，那么我们称抛物线与是“互为关联”的抛物线． （1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①抛物线与抛物线是“互为关联”的抛物线．（ ） ②与抛物线是“互为关联”的抛物线有且只有一条．（ ） ③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数．（ ） （2）已知抛物线：，抛物线与是“互为关联”的抛物线，且抛物线与关于点中心对称，求抛物线的解析式； （3）已知抛物线：的顶点为点，与轴交于点、，抛物线：的顶点为点，与轴交于点 、 ，若抛物线与是“互为关联”的抛物线，且，求线段 的长． 六、解答题 23. 定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”． （1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：_________； A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形 D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形 （2）在“字平行四边形”中，，，则_________． （3）如图，在“字平行四边形”中，，，点 是 边上一点，，与的延长线交于点 ，若为“字平行四边形”，求的值； （4）如图，在矩形中，点 、 分别是 边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $