专题02 导数及其应用（11大常考题型）（期中复习知识清单）高二数学下学期人教A版

专题02 导数及其应用（11大常考题型） 知识点1 平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到 ，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 知识点2 瞬时变化率 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，． 上述过程，通常也记作 ． 知识点3 导数的定义 函数在处的导数定义式： 实质：函数在处的导数即函数在处的 瞬时变化率 ． 知识点4 割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 切线 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ 知识点5 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 斜率 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 （c为常数） （，且） （，且） 知识点7 导数的运算法则 已知为可导函数，且． （1） ． （2） ，特别地， ． （3），特别地，． 知识点8 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 ． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于 对 的导数与对的导数的乘积 ． 知识点9 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点10 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点11 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 大 ， 0 .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 小 ， 0 ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点12 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点13 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 极值 ； （2）将函数的各 极值 与 端点 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点14 二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 知识点15 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点16 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点17 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 知识点18 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 具体函数的单调性 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式1-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数， ． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）确定定义域，求导函数，令解出不等式即可求单调区间； （2）法一：参变分离得，再对函数进行求导分析，根据其单调性确定最值即可解得. 【详解】（1）定义域为，， 令得，令得， 所以的增区间为， 减区间为． （2）法1： 因为，所以， 即， 令， 因为在单调递增且． 所以当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 故当时，， 所以． 【变式1-2】（24-25高二下·吉林四平·月考）已知函数. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间为，递减区间为； (2)最大值为2，最小值为. 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）由（1）的结论，确定在区间上单调性，进而求出最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则，， 所以在区间上的最大值和最小值分别为. 【变式1-3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若时，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）对进行求导，利用导数即可直接得到函数的单调区间； （2）对进行求导，分和两种情况进行讨论即可求得a范围. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题意得， 当时，函数在单调递减，在单调递增， 即，解得,所以; 当时，函数在恒单调递增，即， 所以也满足题意； 综上：. 含参可分离函数的单调性 【例2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）根据题意，求得，分和，两种情况，再结合两根得到大小，分三种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得 且， 故曲线在点处的切线方程. （2）由函数，其定义域为， 且， ① 若，可得 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ② 若时，则，令，可得或， 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上递增，在上递减， 综上可得：当时，在上递增，在上递减； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 【变式2-1】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)若，求的最小值 (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）求出导数，判断单调性，可求最小值； （2）求导，分类讨论，结合导数符号可判断单调性； （3）化简函数解析式，分离参数，研究函数性质，结合公共点的个数可得答案. 【详解】（1）时，，， 令得或（舍）， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. （2）， 当时，时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； 当时，，且不恒为0，在定义域内单调递增； 当时，时，，单调递增； 时，，单调递减；时，，单调递增； 综上，时，时，单调递减，时，单调递增； 时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增； 时，在定义域内单调递增； 时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增. （3）， 令可得，，令，， 时，，为增函数，时，，为减函数，有最大值. 又，无限趋近时，趋近于0，简图如下， 所以，解得，即的取值范围为. 【变式2-2】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，对求导，分析函数单调性，确定的最值，可证明曲线与直线只有一个交点； （2）求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （3）由（2）中的结论可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，求导得：， 令，得；令，得； 则函数在上递增，在上递减，故， 所以曲线与直线只有一个交点. （2）函数的定义域为， ， 当时，对任意的，， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为； 当时，对任意的，，此时函数的增区间为； 当时，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （3）由（2）可知，若函数既存在极大值，也存在极小值，则或， 故实数的取值范围是. 【变式2-3】（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数， (1)令函数. ① 讨论函数的单调性； ② 当且时，若有两个零点，求a的取值范围. (2)证明：. 【答案】(1)①答案见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性；②分、两种情况讨论，结合函数的单调性，求出参数的取值范围； （2）方法一 ：依题意即证，，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；方法二：即证，令，，，利用导数证明；方法三：首先证明，当时，，从而转化为证明，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①因为  所以， 所以， 当时，当时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减； 当时，当时，，即在，上单调递增； 当时，，即在上单调递减. 当时，当时，，即在，上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. ②i.当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 因为，，且， 所以，即. ii.当时，在，上单调递增，在上单调递减， 在时取得极大值，且 ， 因为，所以，则， 所以在只有一个零点； 综上，的取值范围为. （2）方法一 ：，，则. 要证，即证，. 令，， 则. 令，，则， 所以当时，，所以在上单调递增. 因为，， 所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，. 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 由，得，所以. 两边取对数，得，所以， 所以，即. 因为，所以，即. 方法二：要证，即证，即证. 令，，，. 易得，则令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 易得. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故. 方法三： 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即， 当且仅当时等号成立，所以当时，， 要证，即证， 若，即，则. 令，，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即证得成立. 含参不可分离函数的单调性 【例3】已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)已知且，求证：； (3)若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间. （2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得. （3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解. 【详解】（1）函数定义域为，又， 设，则， ①当时，恒成立，且至多一点处为，函数在上单调递减； ②当时，有两个零点， 则当或时，，即；当时，，即， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时，时，， 则，令， 于是， 所以 ， 所以（且）. （3）函数， 由于与同号，则只有一个零点， 令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点， 由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意； 当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得， 由， 则，由（2）知，当时，， 则，即， 因此， 由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点， 显然， 而，则，于是当时，存在三个不同的零点， 所以的取值范围是. 【变式3-1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解. 【详解】（1）因为，由题知，所以的值为. （2）易知定义域为，因为， 令，则， 当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增， 当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增， 当，即时，由，得到， ①时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， ②时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在单调递减上. 综上，当时，在区间上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在单调递减上. （3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且， 要证，即证， 又 ， 即证，即证在区间上恒成立， 令，则， 令，则在恒成立，即在区间上单调递增， 又，所以时，， 则在区间上单调递减， 所以，即当时， 又，所以当时，，故命题得证. 【变式3-2】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，其中 (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； （3）结合（2）中的结论可得，，然后构造函数，，利用导数即可得到，从而得证. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，，，，∴，， ∴， 构造函数，， ， 记，， 令，解得，（舍去）， 当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 又，，∴时，，即， ∴在上单调递减，∴，∴， 综上所述即证：. 【变式3-3】（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，求得其最大值，即可得证； （2）求得，令，分和，结合导数的符号和二次函数的性质，即可求解； （3）由（2）知，且在上有两个解，得到，化简，转化证明，不妨设，即证，令，得到，设，，求得，结合函数的单调性和，即可得证. 【详解】（1）证明：当时，，其定义域为，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，则， 所以当时，； （2）解：函数的定义域为， 且， 令，， （ⅰ）当时，由（1）得在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，为开口向上的二次函数，对称轴为， 由，且， ①当时，，可得在上恒成立， 所以在上单调递增； ②当时，，令，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 在上单调递减；当时，在上单调递增. （3）证明：因为存在两个极值点， 由（2）知，且方程在上有两个解， 由韦达定理得， 则 ， 要证成立，只需证， 即证，由得， 不妨设，即证，即证， 令，即证， 设，，则， 函数在上递增，，所以成立， 所以. 恒成立问题 【例4】（24-25高二下·广东中山·期中）已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)极小值0，无极大值； (2). 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求得的单调性，再求极值即可； （2）求导，设新函数，分类讨论函数的正负，从而得出函数的单调性，找出符合题意的的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 时，，即单调递减；时，，即单调递增； 故在处有极小值，无极大值， 所以有极小值0，无极大值. （2）由题意得，，令， 易得在为增函数， ①若，即时， 则时，所以单调递增， 故，符合题意； ②若，即时， ， 故存在，使得， 时，即，单调递减；时，即，单调递增， 故时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【变式4-1】（24-25高二下·云南·期中）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求a、b的值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求，再利用切点在切线上以及即可求出； （2）分和两种情况，分别研究的正负性； （3）参变分离，令，通过导函数研究其单调性，求其最小值即可. 【详解】（1）由，                         由题可知，，                     将切点代入切线方程，得． （2）， 当时，恒成立，此时在在上单调递增；             当时，得；得； 则在上单调递增，在上单调递减，                      综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在单调递增． （3）由得， 令， 则，   则得；得或；          所以在和上单调递减，在上单调递增， 又，时， 所以，故， 故a的取值范围为 【变式4-2】（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，直接写出的单调区间； (3)当时，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，利用点斜式方程即可求解； （2）对函数求导，令，即可求得的单调递增区间；令，即可求得的单调递减区间； （3）当时，，原不等式可化为，故即可.设，对求导，研究函数的单调性，求的最小值即可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴，，∴. ∴曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，∴. 令，解得；令，解得， ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，，∴. ∵对恒成立，∴对恒成立， 即对恒成立，∴. 设，则. ∵，∴，. 令，，则， ∴在上单调递增. 又，， ∴由零点存在性定理可知：，使得，即， ∴时，，，在上单调递减； 时，，，在上单调递增. ∴当时，取得最小值. ∴，即的取值范围为. 【变式4-3】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数在处取到极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值； (3)若恒成立 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）求，再根据求出值，再检验即可； （2）结合（1）可得在上的单调性，即可求最值； （3）参变分离得出恒成立，通过构造函数研究其最小值即可. 【详解】（1）由题意知，， 因函数在处取到极值，则，解得， 此时， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极值点，故符合题意. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又， 则的最小值为，最大值为. （3）由恒成立可得恒成立， 令，则， 令，则， 故当时 ，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，，且时 ，， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，因此， 即实数的取值范围是. 能成立（有解）问题 【例5】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【详解】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 【变式5-1】（24-25高二下·河北·期中）已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值； （2）由题意可知，在上有解，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由题，则， 即在上恒成立. 令，， 因为函数、在上均为增函数， 所以，在上单调递增，且． 则当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增． 所以，所以实数的最大值为． （2）不等式在上有解，即在上有解， 令， 则， 当时，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 所以在处取得最小值为， 所以，即实数的取值范围为． 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 【变式5-3】（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （3）由题意得出，利用导数求解即可. 【详解】（1）因为，定义域为R，， 由可得，由可得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （2），其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. （3）当时，若，对使得，则， 由（1）可知，函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 利用导数证明不等式 【例6】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】(1)①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间； ②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得； （2）（法一）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解； （法二）设，求得，设，得到，进而求得的单调性，求得，令，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. （2）解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式6-1】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，． (1)若，判断的单调性； (2)若，求a的值； (3)已知，．若，证明：． 【答案】(1)在上单调递增，在上递减 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求导，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，即，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】（1）由题意有：，因为， 令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上单调递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 【变式6-2】（24-25高二下·福建·期中）已知函数（）. (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）通过求导判断在上单调递增，根据参数分类讨论函数在上的单调性，分析其极值，即可确定参数的取值范围； （2）利用（1）得到，将待证不等式等价转化为要证（），构造函数（），求导判断其单调性，结合即可得证. 【详解】（1），， 令，因，由， 可得在上单调递增，即在上单调递增. 当时，在上恒成立， 故得在上单调递增，则，符合题意； 当时，. 令，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故. 所以，又在上单调递增，且， 故，使得， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. （2）由（1）得，当，时，， 即，要证不等式，（）， 只需证， 即证，即只需证（）， 设（）， 则， 当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立. 【变式6-3】（24-25高二下·四川内江·期中）已知函数． (1)若函数在单调递减，求a的范围； (2)若恒成立，求a的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在区间上单调递减，则导函数对于任意恒成立，分离参数求出最值即可. （2）分、讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【详解】（1） 由题意得对于任意恒成立，则恒成立，所以， 从而． （2）由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾 ②当时，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以． 记， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以． 又，所以，所以． （3）先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即． 所以， 再证． 由（2）可知，当时等号成立， 令，则，即， 所以， 累加可得， 所以． 导数与函数的零点 【例7】已知函数． (1)若，求函数在上的零点个数； (2)若有两个零点，求证：． 【答案】(1)有一个零点． (2)证明见解析 【分析】（1）先求出，再结合单调性及函数零点的概念可得零点的个数； （2）先证，根据建立等式关系，再结合换元法，用表示，再建立函数，根据的单调性及最值可证得，再证明，利用，根据可解出（记），结合（1）可知，建立新函数，再利用导数结合的单调性可得出、的不等式，整理可证的结论． 【详解】（1）当时，，所以， 当时，. 所以在上单调递减，所以在上至多有一个零点． 又，， 故在上只有一个零点． （2）先证．依题设有， 于是 记，，则，故． ，． 记函数，， 则，在上单调递增，． 又，所以． 再证． ，故，也是的两个零点． 由，得． 当时，；当时，． 由（1）知是的唯一最大值点，故有 记函数，则，故在上单调递增. 故当时，；当时， 于是 整理，得， 即 同理， 故， ， 于是 综上，． 【变式7-1】（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数． (1)当时，求在点处切线方程； (2)若在上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据,进行求导,求出,进而求出切线方程; （2）根据在具有两个零点，转化为的图象与有两个交点，利用导函数分析函数的单调性和最值，即可求解的范围. 【详解】（1）由，则， 故，， 则切线方程，即. （2）由在具有两个零点， 则具有两个零点， 设， 则，令则， 所以，，在单调递增， ，，在单调递减， 所以，又，， 因为的图象与有两个点，所以. 【变式7-2】（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知函数， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，设函数，讨论函数零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出函数的解析式，对函数求导，将切点坐标代入函数和导数中，即可求得切线方程. （2）方法一：分别讨论时的单调性和最值，进而确定零点个数；方法二：讨论时的单调性和最值，进而确定零点个数，时利用放缩法，先证明，再证明，进而确定零点个数. 【详解】（1）当时， 求导得，所以，又 所以在点处的切线方程为 （2）当时，，所以， 令，求导得， 因为，所以在上单调递增，所以. 因为，所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以有唯一零点； 下证当时，无零点 法一：当时，因为， 所以， 令，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 又，， 故在上有唯一的零点β，即， 因此有 当时，，即；当时，，即． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为最小值． 由，得， 所以在时， 因为，所以，又因为当时，，所以． 所以． 因此当时，没有零点. 综上所述，时，有1个零点；当时，没有零点 法二：（放缩法）先证 记，则 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，即，当且仅当时等号成立 再证： 由得，即， 所以，当且仅当，即时等号成立 所以 因此当时，没有零点． 【变式7-3】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出和的值，利用导数的几何意义和点斜式可得出所求切线的方程； （2）由恒成立可得在上恒成立，令，对求导，求出，即可得出答案. （3）利用导数分析函数的单调性、极值，并求出、，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则，， 所以，函数的图象在处的切线方程， 即； （2）若恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 即实数的取值范围为. （3），则. ，当时，. 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值. 又，， ，则， 在上的最小值是. 又在上有两个零点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 方程的根与图象交点 【例8】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数及函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可；将方程解的个数转化为与交点的个数，根据函数的单调性及零点作出函数示意图，数形结合即可求解； （2）将所证不等式等价转化为证明，令，，设，多次求导研究其单调性，即可证明. 【详解】（1）当时，，则， 当时；当时， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有极小值，无极大值. 方程解的个数，转化为与交点的个数， 由于在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，解得.且时，；时，，    所以，当时，方程有0个解， 当或时，方程有1个解， 当时，方程有2个解. （2）要证， 不妨设，即证， 两边同时除以并化简，即证， 令，则，设， ，令，则在上恒成立， 得在上单调递增， 故，故在上单调递增. 所以，从而命题得证. 【变式8-1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)过点作曲线的切线，求此切线的方程； (2)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设过点与曲线相切的切线的切点为，根据导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，可得出切点坐标，进而可得出所求切线的方程； （2）求得，利用导数分析该函数的单调性与极值，根据函数的零点个数可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）由题，设过点与曲线相切的切线的切点为， 则切线斜率或， 所以切点为或， 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为； 当切点为时，切线斜率为，则切线方程为，即. 综上，所求切线方程为或； （2）令，， 由得或；由得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则和分别为的极大值点和极小值点. 在处取得极大值，在处取得极小值. 又有三个不同的实根，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 【变式8-2】（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数 (1)若曲线在点处的切线斜率为求的值； (2)若有个实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义可得，解之即可； （2）利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出当方程有个实数解时实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由导数的几何意义可得，整理可得，解得. （2）由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由图可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 此时，方程有个实数解. 故实数的取值范围是. 【变式8-3】（24-25高二下·天津滨海新区·期中）已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. (3)方程无实数根， 求实数的范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导后根据求解即可； （2）求导后根据导函数的正负区间，进而求得原函数的单调区间，从而得到极值即可. （3）由（2）可得的最小值及取值情况，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，又，解得； （2）由（1）定义域为，且为增函数. 令可得， 故当时，，即在单调递减； 当时，，即在单调递增. 故在处有极小值，无极大值. 综上可得单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. （3）由（2）可得在单调递减，在单调递增， 在处有极小值，即， 且当时， 因为方程无实数根， 所以与无交点， 所以，即，所以实数的取值范围为. 隐零点设而不求 【例9】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)的最小值为，无最大值. (2) 【分析】（1）对求导，令导数为得.根据导数正负判断单调性，时递减，时递增，所以处取最小值，无最大值. （2）由不等式参变分离变形得恒成立，设.借助导数得到最值，进而得到. 【详解】（1）已知，所以. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，则，所以在上单调递减. 当时，，，则，所以在上单调递增. 由上述单调性可知，在处取得极小值，同时也是最小值. 将代入可得：. 因为当时，，所以函数无最大值. 则的最小值为，无最大值. （2）原不等式等价于 即,在上恒成立， 等价于,在上恒成立， 令 令,则为上的增函数， 又当时, 在存在唯一的零点,即 由 又有在上单调递增， ∴b的取值范围是 【变式9-1】（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，且，求的最小值． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)1 【分析】（1）由题可得，据此可得单调性及极值情况； （2）由题可得，令，可得，据此再令，由其单调性及零点存在性定理可得单调性及最值，据此可得答案. 【详解】（1）因为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，函数取得极大值，无极小值. （2）因为不等式恒成立， 即恒成立， 由于，则，设， 则， 设，则，所以在上单调递减， 又，， 所以存在，使，即． 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 所以． 又，则，由于恒成立，，且 所以的最小值为1． 【变式9-2】已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)两个零点 (3) 【分析】（1）由偶函数的定理建立等式，求出； （2）代入，得到，写出，令后在求导.由解析式可知当时，恒成立.当时，，得到单调递增，由二分法知道在存在唯一零点.由此知道函数的单调区间，再由二分法得到函数零点. （3）当时，恒成立，所以当时，由，求出的范围.再将的范围分为，，三个范围，由三角函数的性质以及导函数判断函数单调性建立不等式，最后求出的范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以. 即， 解得：. （2）当时，. ，， 令，则. 当时，， 当时，，单调递增， 又，， 所以存在，使得. ，，单调递减，，，单调递增， 而，，，所以在上存在一个零点. 综上，函数在有两个零点. （3）当时，；当时，， 则或. （ⅰ）当时，，，成立； （ⅱ）当时， 若，则，单调递增， 所以； 若，则，，成立； （ⅲ）当时，若，则成立； 只要考虑，此时令， 则，递增，，， 所以存在，使得， 若，则，递减；若，则，递增. 所以，解得. 此时，所以，从而. 若，则函数，当时，显然成立，当时，因为,所以恒成立，即符合题意 综上，. 【点睛】方法点睛，本题是函数综合问题，考查了利用导函数得到函数单调性，由函数单调性解决不等式恒成立问题.本题需要先通过三角函数的值域先得到不等式在某个区间恒成立，再通过某个特殊值得到的范围，然后通过函数解析式的特殊性，分别讨论的范围内不等式恒成立.本题用到了隐零点的方法求得函数的最小值，要想不等式大于等于零恒成立，转变为最小值大于等于零，然后解得的范围. 【变式9-3】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究的单调性，结合，进行分类讨论，由此得出结论； （2）利用放缩法，根据得，设，求导后，设，根据的单调性，得，使得有最小值，计算即可证明. 【详解】（1），因为， 所以：当时，，则在上单调递增； 当时，由得 若，即，当时，，则， 所以在上单调递减； 若，即，当，，单调递增； ，，单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当，在上单调递减； 当，在单调递增；在单调递减； （2）当时，， 要证，即证， 又，且即证， 设， ， 再设， ，且， ，使，即使， 当，，当，，且， 则，即， ， ，即. 利用导数研究双变量问题 【例10】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，即可求出实数的取值范围； （3）不妨设，分析可知，函数在区间上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出与的大小. 【详解】（1）因为，则，所以，又 所以在处的切线方程为，即. （2）令，其中，则， 由，可得. 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时，由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减， 故，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增， 先比较与的大小，即比较与的大小关系， 令，其中，所以， 故函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，故， 【变式10-1】（24-25高二下·广东湛江·期中）设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析. (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可． 【详解】（1）的定义域为． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为， 取得． （2）． （i）时，在单调递增． （ii）时，令，则， ，． 则单调递增．单调递减． 综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知，因为是方程的两根，所以．可得. 等价于． 其中． 因此待证式等价于，两侧同时加，得， 即证，等价于， 由且得， 记，则， 记，则，所以单调递减， 所以，则，所以单调递减，所以，证毕． 【变式10-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，即可求出实数的取值范围； （3）不妨设，分析可知，函数在区间上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出与的大小，再结合不等式的性质可得出与的大小关系. 【详解】（1）因为，则，所以， 所以在处的切线方程为，即. （2）令，其中，则， 由，可得. 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时，由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减， 故，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增， 先比较与的大小，即比较与的大小关系， 令，其中，所以， 故函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，故， 因为，故，所以， 故. 【变式10-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)在R上单调递增； (2)（i）；证明见解析. 【分析】（1）由题可得，然后由题意结合基本不等式可得的单调区间； （2）（i）由题可得，令，可得方程有两个相异正根，据此可得答案；（ii）由（i）可得，要证，即证，然后通过研究的单调性可完成证明. 【详解】（1）当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； （2）（i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 【点睛】关键点睛：对于极值问题，常转化为函数导函数的变号零点问题；对于双变量或多变量问题，问题关键为消元，所以要从题目信息中找到变量间的数量关系. 导数中的极值点偏移问题 【例11】已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 【变式11-1】已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，分析函数单调性，根据极值定义即可求解； （2）令，则，令，则，令，则，分析单调性可得，即对任意恒成立．继而可得，由单调性可得，令，利用导数分析单调性可得，即对任意恒成立．可得，继而可得，由即可证明. 【详解】（1）定义域为，， 令，解得或， 当时，；当时，． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值为，极小值为． （2）证明：由（1）知． 令，则 ． 令，则． 令，则． 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，． 又，． 在上单调递增，，，即． 令，则 ． 在上单调递增， 在上恒成立， 在上单调递增，， 对任意恒成立． ．又． 在上单调递增，且， ．由，得， ，． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题是高考数学中的热点和难点，通常作为压轴题出现，这类题通常考查学生的逻辑推理能力和函数与方程思想，以下是三种常见的解法： （1）构造法：构造函数，通过判断其在时的符号来确定与的大小关系；代换，结合，得到与的大小关系；再利用函数的单调性解决问题. （2）利用对称性：找到函数的极值点，构造对称函数，分析的单调性，利用其对称性来证明极值点偏移。 （3）增量法：令，，通过比较与的大小来证明极值点偏移；再利用函数单调性和对称性进行推导. 【变式11-2】已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的极小值点为，代入函数求解； （2）首先求出的范围，再通过构造对称函数证明，根据的范围即可证明。 【详解】（1），当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值， 由，解得或（舍去）. 故的值为。 （2）由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 【点睛】方法点睛：本题属于极值点偏移问题：解决此类问题的方法主要有：利用对数平均不等式，构造对称函数，换元法构造函数等。 关键点点睛：本题采用的构造对称函数，解题的关键有两点： 1：参数的取值范围； 2：构造， 【变式11-3】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 导数中的一题多解 一、单选题 1．若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】解法一：先对求导得，设与直线切点为，写出切线方程，根据直线得到关于和的方程组，求出. 再对求导，设其与直线切点为，根据导数等于切线斜率以及切点在切线上列方程，求出. 解法二：设两条曲线的切点分别为，，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率列出方程组，求解得到，，再同理求出，进而得到. 【详解】解法一：令，，则， 设直线与的切点为， 则切线方程为，即， 又因为，所以，解得，，所以切线方程为， 令，则， 设直线与的切点为，所以  ①， 又因为切点在直线上，所以，即  ②， 由①和②可得，所以，解得． 解法二：设切点分别为，， ．∴，． 同理．∴，∴，∴． 故选：B． 二、解答题 2．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况分别求解即可； （2）方法一：由已知可得恒成立，令，通过求导判断函数的单调性可得的最小值，即可求解；方法二：令，通过求导判断函数的单调性可得，对变形，将函数分为两部分，分情况讨论即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， ①当时，，在上单调递增， ②当时，由得， 令得；令得； ∴在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）方法一： 当时，恒成立， 即恒成立，令，只需， ， 令，， 当时，，单调递增， ∵，， ∴，使得，即， 令，则， ∵，∴时单调递增， ∴，即，① 时，，，单调递减， 时，，，单调递增， 故在处取得最小值， 结合①可得， ∴，解得； 方法二： 令，则，令得， ∴，单调递减；，，单调递增， ∴，即，①当且仅当时等号成立， ，， 由①知当且仅当时等号成立， 令，，，在上单调递增， ，， ∴，使得， ∴当即时，，∴恒成立， 当时，∵，∴， 则必有， ∴使得不符合题意， 综上可知，. 3．已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值． (2) 【分析】（1）求出导函数，进而求出函数的单调区间，根据极值的概念求解即可. （2）法一：参变分离，令，利用导数求解在区间上的最小值即可得解； 法二：将问题转化为恒成立，令，利用导数求在区间上的最小值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，由得， 解方程，可得， 解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，无极大值． （2）法一：对任意恒成立也即恒成立， 令，下求在区间上的最小值即可． ，解不等式，可得， 所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以，所以，所以， 所以实数的取值范围为． 法二：对任意恒成立也即恒成立， 令，求在区间上的最小值． 则，解不等式，可得，所以在区间上单调递增， 解不等式，可得，所以在区间上单调递减， 所以， 所以可得， 所以实数的取值范围为． 4．已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1)讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2)求函数的图象与函数的图象的交点个数. 【答案】(1)单调性见解析，证明见解析 (2)2 【分析】(1)利用导数思想，结合分段讨论，能得到函数的单调区间，并利用，可得，结合赋值可比较大小； (2)利用交点问题转化为方程解的个数问题，再构造函数转化为函数零点个数问题，从而利用求导来判断单调性，结合特殊点的取值正负，可确定零点所在的区间及个数. 【详解】（1）令，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由，得， ①当时，，在上单调递增； ②当时，对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递减； ③当时，，所以对任意恒成立， 此时在恒成立，在上单调递增； ④当时，令得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增,在上单调递减； 因此， 取得，，即； 取得，，即; 故. （2）法一：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则. 令，则. 因此在上单调递增，由于为增函数，， 故， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，， 故在，分别存在唯一零点 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 法二：题意等价于方程的不同解的个数， 令，又等价于函数的不同零点个数， 则， 令，则，， 故在上单调递增，且，， 因此存在，使得当时，；当时，， 故在递减，在递增， 而，，， 故在，分别存在唯一零点， 因此函数的图象与函数的图象的交点个数为. 5．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）方法一分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证；方法二利用泰勒展开式，进行放缩证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）法一：因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需，， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以，即当时，有不等式成立. 法二：由于，由（1）可知且所以， 由泰勒展式可得，解得， 所以． 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则． 6．已知． (1)讨论函数在的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性. （2）方法一，分离参数，令，利用导函数判断单调性求出最值即可，方法二，分离参数，令，则，利用导函数求出最值即可 【详解】（1）由题可得，令，得． ①若，则，即， 故当时，，在上单调递减． ②若则，即， 当时，，故在上单调递增， 当时，，在上单调递减．- （2）法一：当时，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得（☆）， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得， 由，得，故， 故， 因此，故b的取值范围为．- 法二：当时，即恒成立， 令，则， 而，- 令，则， 令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即， 当且仅当时取等号． 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为． 7．已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【答案】(1)①的单调递减区间为，单调递增区间为；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①当时，求得，令，可得，求得在单调递增，且，进而得到的单调区间； ②令，求得，令，得到，得到在上单调性，结合零点存在性定理，得到存在，使得，进而求得的单调性与，进而证得； （2）（法一）由，得到，令，取得，得到在上递增，进而得到，令，求得，得到的单调性与最小值，即可求解； （法二）设，求得，设，得到，进而求得的单调性，求得，令，求得，得到函数的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，函数，可得，则， 令，可得， 所以在单调递增，且， 当时，，即，在单调递减； 当时，，即，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. ②证明：令，可得， 令，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 可得， 又由，可得，则， 所以，即. （2）解：（法一）由，可得，则， 令，可得，所以在上递增， 又由，可得，所以， 令，可得， 由，解得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，所以实数的取值范围为. （法二）设，则， 设，则， 因为在上递增，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，则， 所以在递减， 因为，所以，所以， 所以实数的取值范围为. 8．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． (3)为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与 轴交点的纵坐标记为，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导函数，按照和分类讨论研究其单调性即可. （2）（法一）设，令，则，根据导数研究其单调性，进而求解最值，即可得解. （法二）设，多次求导研究其单调性，进而求出最值，即可得解. （3）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程及，利用导数法证得，从而结合等差数列求和公式证明不等式即可. 【详解】（1）函数，则，定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）（法一）设， 则，令，则，即当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， ， ， 所以，即. （法二）根据题意可知恒成立， 设， 则， 令， 则在定义域上单调递增，易知， 即，使得， 即时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则， 所以，即 （3）由题设，则， 则，， 此时在处的切线方程为， 令得与轴交点纵坐标为； ， 对于且，则，即在上单调递增， ，即， ，得证． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 导数及其应用（11大常考题型） 知识点1 平均变化率 对于函数，设自变量x从变化到 ，相应地，函数值y从变为 ，这时，x的变化量为，y的变化量为．我们把比值，即 叫做函数从到的平均变化率． 知识点2 瞬时变化率 设函数在附近有定义，自变量在处的改变量为，当无限接近于0时，若平均变化率无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数在处的瞬时变化率． 记作：当时，． 上述过程，通常也记作 ． 知识点3 导数的定义 函数在处的导数定义式： 实质：函数在处的导数即函数在处的 ． 知识点4 割线斜率与切线斜率 设函数的图象如图所示，直线AB是过点与点的一条割线，此割线的斜率是 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的 ．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝ ＝ 知识点5 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点6 常用基本初等函数的求导公式 原函数 导函数 （c为常数） （，且） （，且） 知识点7 导数的运算法则 已知为可导函数，且． （1） ． （2） ，特别地， ． （3），特别地，． 知识点8 复合函数的导数 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作 ． （2）复合函数的求导法则 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为 ，即对的导数等于 ． 知识点9 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点10 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点11 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点12 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点13 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 ； （2）将函数的各 与 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点14 二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 知识点15 恒成立问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点16 能成立（有解）问题常见类型 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点17 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 知识点18 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 具体函数的单调性 【例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数， ． (1)求的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围． 【变式1-2】（24-25高二下·吉林四平·月考）已知函数. (1)求单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式1-3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若时，总有成立，求实数的取值范围. 含参可分离函数的单调性 【例2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式2-1】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数 (1)若，求的最小值 (2)讨论的单调性； (3)若有两个不同的零点，求的取值范围． 【变式2-2】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数. (1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点； (2)讨论的单调性； (3)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围. 【变式2-3】（24-25高二下·四川遂宁·期中）已知函数， (1)令函数. ① 讨论函数的单调性； ② 当且时，若有两个零点，求a的取值范围. (2)证明：. 含参不可分离函数的单调性 【例3】已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)已知且，求证：； (3)若函数有三个不同的零点，求正数的取值范围． 【变式3-1】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【变式3-2】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数，其中 (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若函数存在两个极值点，，且，证明：． 【变式3-3】（24-25高二下·海南海口·期中）已知函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，证明：. 恒成立问题 【例4】（24-25高二下·广东中山·期中）已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 【变式4-1】（24-25高二下·云南·期中）已知函数． (1)若在处的切线方程为，求a、b的值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求a的取值范围． 【变式4-2】（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，直接写出的单调区间； (3)当时，，，求的取值范围. 【变式4-3】（24-25高二下·福建厦门·期中）已知函数在处取到极值. (1)求实数的值； (2)求函数在上的最值； (3)若恒成立 ，求实数的取值范围. 能成立（有解）问题 【例5】（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【变式5-1】（24-25高二下·河北·期中）已知函数． (1)当时，恒成立，求实数的最大值； (2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【变式5-3】（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数，. (1)求的单调区间和极值； (2)若在单调递增， 求的取值范围; (3)当时，若，对使得，求的取值范围. 利用导数证明不等式 【例6】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 【变式6-1】（24-25高二下·重庆南岸·期中）已知函数，． (1)若，判断的单调性； (2)若，求a的值； (3)已知，．若，证明：． 【变式6-2】（24-25高二下·福建·期中）已知函数（）. (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若，求证：. 【变式6-3】（24-25高二下·四川内江·期中）已知函数． (1)若函数在单调递减，求a的范围； (2)若恒成立，求a的值； (3)求证：． 导数与函数的零点 【例7】已知函数． (1)若，求函数在上的零点个数； (2)若有两个零点，求证：． 【变式7-1】（24-25高二下·四川广元·期中）已知函数． (1)当时，求在点处切线方程； (2)若在上有两个零点，求的取值范围． 【变式7-2】（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知函数， (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，设函数，讨论函数零点的个数． 【变式7-3】（24-25高二下·陕西咸阳·期中）已知函数 . (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 方程的根与图象交点 【例8】（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，其中. (1)当时，求出函数的极值并判断方程的解的个数； (2)当时，证明：对于任意的实数，都有. 【变式8-1】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数. (1)过点作曲线的切线，求此切线的方程； (2)若关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围. 【变式8-2】（24-25高二下·天津和平·期中）已知函数 (1)若曲线在点处的切线斜率为求的值； (2)若有个实数解，求的取值范围. 【变式8-3】（24-25高二下·天津滨海新区·期中）已知函数，满足. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. (3)方程无实数根， 求实数的范围. 隐零点设而不求 【例9】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知函数，， (1)求函数的最值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式9-1】（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若不等式恒成立，且，求的最小值． 【变式9-2】已知函数，其中. (1)若函数是偶函数，求； (2)当时，讨论函数在上的零点个数； (3)若，，求的取值范围. 【变式9-3】（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知函数， (1)试讨论在上的单调性 (2)若，求证： 利用导数研究双变量问题 【例10】（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由. 【变式10-1】（24-25高二下·广东湛江·期中）设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 【变式10-2】（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由． 【变式10-3】（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 导数中的极值点偏移问题 【例11】已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【变式11-1】已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【变式11-2】已知函数. (1)若的极小值为-4，求的值； (2)若有两个不同的极值点，证明：. 【变式11-3】已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 导数中的一题多解 一、单选题 1．若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．e 二、解答题 2．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，恒成立，求的取值范围． 3．已知函数． (1)求的极值； (2)若对任意恒成立，求实数m的取值范围． 4．已知函数的定义域为，导函数为，满足，. (1)讨论函数()在上的单调性，并证明：； (2)求函数的图象与函数的图象的交点个数. 5．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 6．已知． (1)讨论函数在的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 7．已知函数. (1)若 ①求函数的单调区间； ②求证： (2)若对任意，都有（为自然对数的底），求的取值范围. 8．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． (3)为正整数，当时，曲线在点处的切线记为，直线与 轴交点的纵坐标记为，证明：． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $