专题05 成对数据的统计分析 4考点+12题型+3易错（期末复习知识清单）高二数学下学期人教A版

专题05 成对数据的统计分析 1.相关关系 （1）相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. （2）散点图：将样本中的成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来得到的统计图. （3）正相关与负相关 正相关 负相关 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现　增加的趋势 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现　减小的趋势 （4）线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 2.相关系数：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和.r＝＝，称r为变量x和变量y的样本相关系数. 3，回归模型 （1）一元线性回归模型 我们称为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. （2）最小二乘法和经验回归方程 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中，＝＝，＝－. 4.独立性检验 （1）分类变量：为了表述方便，经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量. （2）列联表定义：观测数据按两个或更多属性进行交叉分类时所列出的频数表，称为列联表. （3）2×2列联表：定义一对分类变量X和Y如下：X＝和Y＝其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋ b＋c＋d 上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}的频数；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}的频数；中间的四个格中的数a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝0，1）的频数；右下角格中的数n是样本容量. （4）分类变量X和Y独立：如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X和Y独立. （5）独立性检验 （1）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验　； （2）χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. （3）对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则： ①当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； ②当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立. 相关关系的判断 【例1】　（多选）下列两个变量存在相关关系的为（　　） A.扇形的半径与面积之间的关系 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收入之间的关系 【变式】（多选）下列说法正确的是（　　） A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B.同一物体的加速度与作用力是函数关系 C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系 散点图 【例2】下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（　　） 【变式】对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图2.由这两个散点图可以判断（　　） A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 样本相关系数的实际应用 【例3】以下是收集到的新房屋的销售价格y（万元）和房屋的大小x（m2）的数据. 房屋大小x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）画出数据的散点图； （2）求样本相关系数r，并作出评价.（精确到0.01，已知＝60 975，＝2 756.8，xiyi＝12 952） 【变式】为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B，C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 145 83 95 72 110 B类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 85 93 90 76 101 C类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 85 92 101 100 112 经计算知A，B的样本相关系数分别为r1＝－0.45，r2＝0.25.请计算出C类学生的样本相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生的学习成绩最稳定.（结果保留两位有效数字，｜r｜越大认为成绩越稳定） C类的参考数据：·≈64， 样本相关系数r＝. 一元线性回归模型 【例4】判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ （1）某公司的销售收入和广告支出； （2）某城市写字楼的出租率和每平方米月租金； （3）航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； （4）某地区的人均消费水平和人均国内生产总值（GDP）； （5）学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； （6）一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； （7）正方形的面积与周长. 【变式】在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是（　　） A.Y＝bx＋a＋e是一次函数 B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 残差 【例5】已知变量x和变量y的一组成对样本数据，其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（    ） A．3.15 B．1.75 C．2.35 D．1.95 【变式】已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 求经验回归方程 【例6】已知变量与的取值如表所示，且，则由该数据算得的线性回归方程可能是 2 3 4 5 6.5 A． B． C． D． 【变式】在2025年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：，则__________． 利用经验回归方程进行预测 【例7】已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A．75万元 B．85万元 C．99万元 D．105万元 【变式】若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元． 非线性回归方程 【例8】已知变量y关于x的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x线性相关，现有一组数据如下表所示，时，预测y值为 . x 1 2 3 4 y e 【变式】“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2026年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）（yi－）＝851.2（其中wi＝）. 2×2列联表 【例9】　在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系. 【变式】在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系. 独立性检验的理解 【例10】（多选）某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是（　　） A.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关” B.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” C.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关” D.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” 【变式】（多选）某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P（χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（　　） A.这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1% B.若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病 C.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 独立性检验 【例11】某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系. 【变式】打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调查所得的数据： 打鼾 心脏病 合计 患病 未患病 每晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 合计 54 1 579 1 633 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？ 回归分析与概率 【例12】汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x（x＝t﹣2014） 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 10 12 17 20 26 (1)计算销量y关于年份代码x的线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由； (2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率． 附：若为样本点， 相关系数公式：r；为回归方程，则，． 【变式】某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据： x 159 165 170 176 180 y 67 71 73 76 78 (1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； (3)从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求． 参考数据：，， 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 独立性检验与概率 【例13】(2025·全国一卷T15)调查1000人是否患某疾病与超声波检测结果的列联表如下： 是否患病 是否患病 检测结果 正常 不正常 合计 患病 20 180 200 不患病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)若检测结果不正常者患病的概率为,求的估计值； (2)能否根据小概率的独立性检验认为样本数据中超声波检测结果是否患该疾病有关？ 【变式】（2025·上海静安·三模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）. 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 3t 100 女性 t 合计 60 (1)求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关； (2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2.706 3.841 6.635 … 易错01忽视回归直线经过样本中心点 【例1】某同学为了解记忆成语的个数与花费的时间单位：秒的关系，做了次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为 ，则的值为（    ） 成语个数个 记忆时间秒 A． B． C． D． 【变式】已知，的取值如表： 0 1 3 4 4.3 4.8 6.7 若，具有线性相关关系，且回归方程为，则__________． 易错02不能将非线性回归的模型进行转化 【例2】下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 【变式】已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示： 1 2 3 4 5 若，则的值大约为（    ） A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04 易错03不理解独立性检验的基本思想 【例3】疫苗是为预防､控制传染病的发生､流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ，. 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断错误的是（    ） A．注射疫苗发病的动物数为10 B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为 C．能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效 D．该疫苗的有效率为 【变式】通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 成对数据的统计分析 1.相关关系 （1）相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. （2）散点图：将样本中的成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来得到的统计图. （3）正相关与负相关 正相关 负相关 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现　增加的趋势 当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现　减小的趋势 （4）线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. 2.相关系数：对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和.r＝＝，称r为变量x和变量y的样本相关系数. 3，回归模型 （1）一元线性回归模型 我们称为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. （2）最小二乘法和经验回归方程 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中，＝＝，＝－. 4.独立性检验 （1）分类变量：为了表述方便，经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量. （2）列联表定义：观测数据按两个或更多属性进行交叉分类时所列出的频数表，称为列联表. （3）2×2列联表：定义一对分类变量X和Y如下：X＝和Y＝其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋ b＋c＋d 上表是关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：最后一行的前两个数分别是事件{Y＝0}和{Y＝1}的频数；最后一列的前两个数分别是事件{X＝0}和{X＝1}的频数；中间的四个格中的数a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝0，1）的频数；右下角格中的数n是样本容量. （4）分类变量X和Y独立：如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X和Y独立. （5）独立性检验 （1）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验　； （2）χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. （3）对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则： ①当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α； ②当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立. 相关关系的判断 【例1】　（多选）下列两个变量存在相关关系的为（　BCD　） A.扇形的半径与面积之间的关系 B.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 C.人的身高与体重之间的关系 D.家庭的支出与收入之间的关系 【答案】BCD 【解析】扇形的半径与面积之间的关系是函数关系，其余均为相关关系. 【变式】（多选）下列说法正确的是（　　） A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系 B.同一物体的加速度与作用力是函数关系 C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系 D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系 【答案】ABD 【解析】闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，所以B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，所以C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，所以D正确. 散点图 【例2】下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（　　） 【答案】D 【解析】对于A，两个变量之间是确定的函数关系，不是相关关系，故错误；对于B，样本点成直线形带状分布，且呈下降趋势，是负相关，故错误；对于C，样本点不成直线形带状分布，故错误；对于D，样本点成直线形带状分布，且呈上升趋势，是正相关，故正确.故选D. 【变式】对变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i＝1，2，3，…，10），得散点图2.由这两个散点图可以判断（　B　） A.变量x与y正相关，u与v正相关 B.变量x与y正相关，u与v负相关 C.变量x与y负相关，u与v正相关 D.变量x与y负相关，u与v负相关 【答案】B 【解析】由变量x，y的散点图1，知随x增大，y也增大，变量x与y正相关，由变量u，v的散点图2，知随u增大，v减小，u与v负相关.故选B. 样本相关系数的实际应用 【例3】以下是收集到的新房屋的销售价格y（万元）和房屋的大小x（m2）的数据. 房屋大小x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22 （1）画出数据的散点图； （2）求样本相关系数r，并作出评价.（精确到0.01，已知＝60 975，＝2 756.8，xiyi＝12 952） 【解】（1）画出散点图如图所示. （2）由表中数据得＝＝109，＝＝23.2， r＝＝＝≈0.96， 由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 【变式】为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了A，B，C三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下： A类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 145 83 95 72 110 B类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 85 93 90 76 101 C类 第x次 1 2 3 4 5 分数y（满分150） 85 92 101 100 112 经计算知A，B的样本相关系数分别为r1＝－0.45，r2＝0.25.请计算出C类学生的样本相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生的学习成绩最稳定.（结果保留两位有效数字，｜r｜越大认为成绩越稳定） C类的参考数据：·≈64， 样本相关系数r＝. 【解】根据C类学生的数据，得＝3，＝98，则（xi－）·（yi－）＝62，所以相应的样本相关系数r3≈≈0.97，从上述所求样本相关系数可知，从C类学生中抽到的学生的成绩最稳定 一元线性回归模型 【例4】判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画？ （1）某公司的销售收入和广告支出； （2）某城市写字楼的出租率和每平方米月租金； （3）航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； （4）某地区的人均消费水平和人均国内生产总值（GDP）； （5）学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； （6）一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； （7）正方形的面积与周长. 【解】（1）（2）（3）（4）（5）能用回归模型刻画，（6）（7）能用函数模型刻画. 【变式】在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是（　　） A.Y＝bx＋a＋e是一次函数 B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 【答案】C 【解析】对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误.故选C. 残差 【例5】已知变量x和变量y的一组成对样本数据，其中，其经验回归方程为，现又增加了2个样本点，，得到新样本的经验回归方程为.在新的经验回归方程下，若样本的残差为，则m的值为（    ） A．3.15 B．1.75 C．2.35 D．1.95 【答案】D 【解析】因为过点，将代入得. 增加两个样本点后x的平均数为，，. 所以新的经验回归方程为，当时，. 所以样本的残差是，解得. 故选：D. 【变式】已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由，可得增加1个样本数据后的平均数为， 因为，所以， 则增加1个样本数据后的平均数为， 所以，解得， 所以新的经验回归方程为，则当时，， 样本点的残差为，故选B. 求经验回归方程 【例6】已知变量与的取值如表所示，且，则由该数据算得的线性回归方程可能是 2 3 4 5 6.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以将分别代入以上四个选择支可得 ，又因为相关关系为负相关，则当取方程 时，这组数据更能接近这条直线，所以选D． 【变式】在2025年3月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 价格 9 9.5 10 10.5 11 销售量 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：，则__________． 【答案】40 【详解】根据题意：，，， 利用经验回归方程进行预测 【例7】已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A．75万元 B．85万元 C．99万元 D．105万元 【答案】B 【解析】由题意得， ∴样本中心为．∵回归直线过样本中心， ∴，解得，∴回归直线方程为． 当时，， 故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元，故选B． 【变式】若某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过________亿元． 【答案】10 【解析】由题意得财政收入x与支出y满足线性回归方程为，其中， 当时，， 因为 ，所以， 所以今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过10亿元， 非线性回归方程 【例8】已知变量y关于x的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与x线性相关，现有一组数据如下表所示，时，预测y值为 . x 1 2 3 4 y e 【答案】/ 【解析】对两边取对数，得 令则 x 1 2 3 4 y e z 1 3 4 6 代入得故 故， 当时， 【变式】“绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展.以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测2026年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据：＝22.72，（wi－）2＝374，（wi－）（yi－）＝851.2（其中wi＝）. 【解】（1）根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型. （2）令w＝x2，则＝w＋. 易知＝11，＝＝≈2.28， ＝－≈22.72－2.28×11＝－2.36， 所以＝2.28w－2.36， 所以y关于x的回归方程为＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得＝79.72≈79.7. 故预测2026年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 2×2列联表 【例9】　在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人.六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主.请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系. 【解】2×2列联表如下： 饮食习惯 年龄 合计 六十岁以上 六十岁以下 以蔬菜为主 43 21 64 以肉类为主 27 33 60 合计 70 54 124 将表中数据代入公式得＝≈0.67，＝＝0.45. 显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系. 【变式】在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了110人，其中女性50人，男性60人.女性中有30人主要的休闲方式是看电视，另外20人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外40人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）由列联表判断性别与休闲方式是否有关系. 【解】（1）2×2列联表如下： 性别 休闲方式 合计 看电视 运动 女 30 20 50 男 20 40 60 合计 50 60 110 （2）根据列联表中的数据，可得女性中休闲方式为看电视的频率为＝0.6，男性中休闲方式为看电视的频率为≈0.333，二者差别较大，可知性别与休闲方式有关系. 独立性检验的理解 【例10】（多选）某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是（　　） A.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟有关” B.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关” C.因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患肺病与吸烟无关” D.因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关” 【答案】AD 【解析】因为χ2＝3.305，且3.305＞2.706，由临界值表知，P（χ2≥2.706）≈0.10，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因为临界值3.841＞3.305，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不正确，D正确. 【变式】（多选）某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1 000名注射了疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P（χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（　　） A.这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1% B.若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病 C.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾病的作用 【答案】CD 【解析】由P（χ2≥6.635）≈0.01可知，C、D正确，A、B不正确. 独立性检验 【例11】某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系. 【解】（1）2×2列联表如下表所示： 教师年龄 对新课程教学模式 合计 赞同 不赞同 老年教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 合计 34 16 50 （2）零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 由公式得χ2＝≈4.963＜6.635＝， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关. 【变式】打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调查所得的数据： 打鼾 心脏病 合计 患病 未患病 每晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1 355 1 379 合计 54 1 579 1 633 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每晚都打鼾与患心脏病有关系？ 【解】零假设为H0：每晚都打鼾与患心脏病没有关系. 由列联表中的数据， 得χ2＝≈68.033＞10.828＝x0.001. 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为每晚都打鼾与患心脏病有关系，此推断犯错误的概率不大于0.001. 回归分析与概率 【例12】汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表： 年份t 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码x（x＝t﹣2014） 1 2 3 4 5 销量y（万辆） 10 12 17 20 26 (1)计算销量y关于年份代码x的线性相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）．若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由； (2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业又随机调查了该地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车．男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车．将频率视为概率，已知一位车主购得新能源汽车，请问这位车主是女性的概率． 附：若为样本点， 相关系数公式：r；为回归方程，则，． 【解】（1）由题意得， ， ， ， 因此，销量与年份代码有较强的线性相关关系： ， ， 关于的线性回归方程为. （2）由题意知，该地区名购车车主中，男车主有名，女性车主有名，购置新能源汽车的男性车主有名，购置新能源汽车的女性车主有名． “一位车主购得新能源汽车”记作事件，“车主是女性”记作事件， 一位车主购得新能源汽车，这位车主是女性的概率为： 【变式】某高中数学兴趣小组，在学习了统计案例后，准备利用所学知识研究成年男性的臂长y（cm）与身高x（cm）之间的关系，为此他们随机统计了5名成年男性的身高与臂长，得到如下数据： x 159 165 170 176 180 y 67 71 73 76 78 (1)根据上表数据，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）； (3)从5名样本成年男性中任取2人，记这2人臂长差的绝对值为X，求． 参考数据：，， 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【解】（1）由表中的数据和附注中的参考数据得 ，，，， ， ，， ∴． 因为y与x的相关系数近似为0.997，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系． （2）由及（1）得， ， 所以y关于x的回归方程为． （3）X的取值依次为2，3，4，5，6，7，9，11， ，，， ，，， ，, X的分布列 X 所以 独立性检验与概率 【例13】(2025·全国一卷T15)调查1000人是否患某疾病与超声波检测结果的列联表如下： 是否患病 是否患病 检测结果 正常 不正常 合计 患病 20 180 200 不患病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)若检测结果不正常者患病的概率为,求的估计值； (2)能否根据小概率的独立性检验认为样本数据中超声波检测结果是否患该疾病有关？ 【解】(1)超声波检查结果不正常患者有200人，患病有180人， 所以 （2）零假设为H0：样本数据中超声波检测结果是否患该疾病无关 所以说认为样本数据中超声波检测结果是患该疾病有关 【变式】（2025·上海静安·三模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）. 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 3t 100 女性 t 合计 60 (1)求t的值，试根据小概率的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关； (2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 … 2.706 3.841 6.635 … 【解】（1）由题意可知：，解得， 2×2列联表如下： 非常喜欢 感觉一般 合计 男性 60 40 100 女性 80 20 100 合计 140 60 200 . 根据小概率值的独立性检验，认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关， 此推断犯错误的概率不大于0.01. （2）设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n， 则，且X的所有可能取值为1，2，3，4. ， ， ， . 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以. 易错01忽视回归直线经过样本中心点 【例1】某同学为了解记忆成语的个数与花费的时间单位：秒的关系，做了次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为 ，则的值为（    ） 成语个数个 记忆时间秒 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据表中数据可得，， 将代入回归直线方程可得， 解得. 【变式】已知，的取值如表： 0 1 3 4 4.3 4.8 6.7 若，具有线性相关关系，且回归方程为，则__________． 【答案】 【解析】将代入回归方程为，可得，应填答案． 易错02不能将非线性回归的模型进行转化 【例2】下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量（单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对与的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为（    ） 第个月 1 2 3 繁殖数量 A．百只 B．百只 C．百只 D．百只 【答案】B 【解析】由两边取自然对数得，令， 则，即与呈线性相关关系， ，， 回归直线必过样本点的中心，，解得， ，则，当时，．故选B 【变式】已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示： 1 2 3 4 5 若，则的值大约为（    ） A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04 【答案】C 【解析】由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以， 所以，解得，故选C 易错03不理解独立性检验的基本思想 【例3】疫苗是为预防､控制传染病的发生､流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 注射疫苗 40 总计 70 30 100 附表及公式： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 ，. 现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断错误的是（    ） A．注射疫苗发病的动物数为10 B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为 C．能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效 D．该疫苗的有效率为 【答案】D 【解析】从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为0.5， 则取得“注射疫苗”的动物为，完善列联表得： 未发病 发病 总计 未注射疫苗 30 20 50 注射疫苗 40 10 50 总计 70 30 100 所以注射疫苗发病的动物数为50-40=10，故选项A正确； 从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为，故选项B正确； 又， 所以能在犯错概率不超过0.05的前提下，认为疫苗有效，故选项C正确； 对于选项D，虽说注射疫苗的动物中不发病的频率为， 但是未注射疫苗的动物中也有不发病的情况，错误，故选D 【变式】通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示： 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 附：，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 则以下结论正确的是（    ） A．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【解析】零假设：我们认为爱好跳绳与性别无关， 因为，， 所以我们的假设成立，即根据小概率值α＝0.001的独立性检验， 我们认为爱好跳绳与性别无关，故A正确； 在犯错误的概率不超过0.001前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关，故B错误； 又因为，所以我们的假设不成立， 即根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，故C错误； 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故D错误. 故选：A 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 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