【考前背记】专题01 高二数学下期末复习基础知识（考点背记，知识清单）高二年级数学下学期人教A版

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01高二数学下期末复习基础知识 (考点背记) 第四章数列 2 4.1数列的概念 …2 4.2等差数列… .3 4.3等比数列 .4 4.4*数学归纳法（选学，但期末考试可能涉及） .5 第五章一元函数的导数及其应用.…。 .5 5.1导数的概念及其意义. ..5 5.2导数的运算… 6 5.3导数在研究函数中的应用… 7 第六章计数原理. …9 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理. .9 62排列与组合 .9 6.3二项式定理 .10 第七章随机变量及其分布… …11 7.1条件概率与全概率公式… .11 7.2离散型随机变量及其分布列.… .11 7.3离散型随机变量的数字特征 .12 7.4二项分布与超几何分布… 13 7.5正态分布… .13 第八章成对数据的统计分析 ..14 8.1成对数据的统计相关性 .14 8.2一元线性回归模型及其应用 ..15 8.3列联表与独立性检验.… .15 1/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章数列 4.1数列的概念 1.数列的定义 按照一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列一般记作{a}, 其中a表示数列的第n项（也称通项）。 2.数列的分类 按项数：有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）。 按单调性：递增数列(an+1>an对所有n成立)、递减数列（an+1<a)、常数列(an+1=an)、 摆动数列（项的正负或大小交替变化）。 3.通项公式 如果数列{a}的第n项a与序号n之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做数列 的通项公式。 注意： 不是所有数列都能写出通项公式。 一个数列的通项公式可能不唯一（如摆动数列可用三角函数或分段函数表示）。 4.递推公式 如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）起的任一项a,与它的前一项a-1 (或前几项)之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。 例如：a1=1,an+1=2an+1。 5.Q与S,m的关系（核心考点，必背） 设数列{an}的前n项和为Sn=a1+a2+…+an,则 a-g-5.yh22 n=1, 考试技巧： 己知Sm的表达式求a,时，必须先计算a1=S1,再计算n≥2时an=Sm-Sn-1,最后检验n=1是 否满足n≥2的表达式。若不满足，则a,要写成分段形式。 若已知an与Sn的混合关系式（如Sn=2an+n),常用n≥2时a,=Sn-Sm-1消去Sn,得到an的 递推关系。 1.数列的单调性判断 2/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作差法：计算a+1一an,判断符号。 作商法（正项数列）：计算1与1比较。 函数法：将am视为函数f(n),利用导数判断f(x)在区间[1，+o)上的单调性（注意n为 正整数)。 4.2等差数列 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。即 ant1-an=d(常数，n∈N*). 1.通项公式 am=a1+(n-1)d. 推广形式：an=am+(m-m)d(己知第m项求第n项)。 1.等差中项 若三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且 a+b A=- 2 反之，若2A=a+b,则a,A,b成等差数列。 1.前n项和公式 5+=nd. 2 2 也可以写成关于n的二次函数形式（无常数项）： +(a-m d 1.重要性质（需熟练运用） 下标和性质：若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+am=ap+ag 特别地，若m+n=2k,则am+a=2ako 等间隔抽取：在等差数列中，下标成等差数列的项（如ak,ak+m,ak+2m,)仍成等差数列，公差 为md。 前n项和的性质： 伊是等差数列，公差为 3/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S,S2n-S,S3n-S2m.成等差数列，公差为n2d。 线性组合：若{an,{bn}都是等差数列，则kan+lbn+c}也是等差数列(k,l,c为常数)。 2.前n项和的最值问题 若a1>0,d<0,则Sn有最大值。可通过解不等式组 an≥0， (an+1≤0， 求出n,此时Sn最大。 若a1<0,d>0,则Sn有最小值。解 am≤0， (an+1≥0， 求出n。 也可利用二次函数对称轴n=-4二业，取邻近整数比较。 d 4.3等比数列 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（且不为0），那么这个数列 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。即 =q(常数，q≠0，nEN) an 注意：等比数列中不能有0项，但q可以为负数。 1.通项公式 an aign-1. 推广形式：an=amq-m。 1.等比中项 若三个数a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项，且 G2=ab. 此时G=士√ab,要求ab>0。若ab=0,则等比中项为0，但此时数列会出现0，要单独讨论。 1.前n项和公式 (nai 9=1, Sm={a1(1-q)_a1-am9 1-91-q q+1. 注意：当q=-1且n为偶数时，Sm=0,计算时直接代入公式也得0。 4/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.重要性质 下标和性质：若m+n=p+q,则aman=apag。特别地，若m+n=2k,则aman=a吃。 等间隔抽取：下标成等差数列的项仍成等比数列，公比为qm。 片段和性质（重要)：当q≠-1时，Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…成等比数列，公比为q。 连续等长积：a1a2…a,ak1ak+2Q2k…成等比数列，公比为q2。 线性组合：若anb,l都是等比数列，则kan小{a,bn人侣 也是等比数列。 2.无穷等比数列各项和（拓展） 当|q<1时，无穷等比数列所有项的和（极限）为 s=limSn=1q 常用于循环小数化分数。 4.4*数学归纳法（选学，但期末考试可能涉及) 1.适用对象：与正整数n有关的命题，如等式、不等式、整除性、数列通项证明等。 2.证明步骤（标准数学归纳法）： 第一步（归纳莫基）：验证当n=n时命题成立(no通常为1或0，依题目而定)。 第二步（归纳递推）：假设当n=k(k≥n)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 第三步（结论）：由以上两步可知，对于所有n≥o的正整数，命题成立。 3.第二数学归纳法（强归纳法）： 奠基：验证n=n成立。 递推：假设n≤k时命题都成立，证明n=k+1时命题成立。 常用于递推公式涉及前面多项（如an+1=a,+an-1)的证明。 4.常见错误： 忘记验证奠基步骤。 在归纳假设中错误地使用待证结论。 递推时未用到归纳假设。 第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.平均变化率 函数y=f(x)在区间[xo,xo+△x]上的平均变化率为 4yf(x+△x)-f(xo) △x 1.导数的定义 如果极限 f(xo+△x)-f(xo) m Ax 存在，则称函数f似在。处可导，该极限值称为f)在，处的导数，记作f。)或盟 等价形式： f(x)=limf(x)-f(xo) x0 x-X0 1.导数的几何意义 曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线斜率k=f(x)。 切线方程： y-f(xo)=f'(xo)(x-xo). 若f'(x)不存在，则切线可能为竖直直线x=x。 1.导数的物理意义 位移函数s(t)对时间t的导数s'(t)表示瞬时速度。 速度函数v(t)对时间t的导数v'(t)表示加速度。 2.可导与连续的关系 若f(x)在x。处可导，则f(x)在x处必连续。 反之不成立：连续不一定可导（如f(x)=x在x=0处连续但不可导）。 5.2导数的运算 1.基本初等函数的导数公式（必须熟记) 常数函数：(C)′=0 幂函数：(x)=x-1（为任意实数) 三角函数： (sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx,(tanx)'=sec2x,(cotx)'=-csc2x 指数函数： 6/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (ex)'=ex,(ax)'=axIna(a>0,a#1) 对数函数： 0n-臣（ag=点aa>0a=) 1.导数的四则运算法则 线性：(u±v)'=u±v',(C)'=Cu(C为常数)。 乘法：(uw)'=u'v+uw'。 除法：（月=(w≠0）。 2.复合函数求导法则（链式法则） 设y=f(0,u=g(x),且f和g都可导，则 正a正fω·g'w. dydy du 即[f(g(x)}=f'(g(x)·g'(x) 1.高阶导数 函数y=f(x)的导数y=f'(x)仍是一个函数，其导数称为二阶导数，记作y”或f"(x)。类似地 有三阶导数等。 5.3导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在区间1内，若f'(x)>0,则f(x)在1上单调递增。 若f'(x)<0,则f(x)在I上单调递减。 若f'(x)≥0且等号只在有限个点处成立，仍可判定为单调递增；递减类似。 求单调区间步骤： ①确定函数定义域： ②求f(x): ③解方程f(x)=0得到分界点： ④列表，在每个区间内取测试点判断()的符号： ⑤写出单调区间。 2.函数的极值 定义：设函数f(x)在x附近有定义若存在6>0，使得对任意x∈(x,-6,x+6)且x≠x, 7/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 都有f(x)<f(xo),则称f(xo)为极大值；若f(x)>f(xo),则称f(x)为极小值。 必要条件：若f(x)在x处可导且取极值，则f'(xo)=0。但驻点(f'(x)=0的点)不一定是 极值点（如f(x)=x2在x=0处)。 第一充分条件： 设f'(x)=0,在x。的左侧邻近f'(x)>0,右侧邻近f'(x)<0,则f(o)为极大值： 若左负右正，则为极小值： 若左右同号，则不是极值点。 第二充分条件： 若f'(x)=0且f"(x)>0,则f(x)为极小值： 若f'(x)=0且f"(x)<0,则f(x)为极大值： 若f"(x)=0,则无法判断，需用第一充分条件。 3.函数的最值 闭区间[αb]上的连续函数一定存在最大值和最小值。 求最值步骤： ①求f'(x),解出(a,b)内的所有驻点和不可导点； ②计算这些点以及端点a,b处的函数值： ③比较这些值，最大的为最大值，最小的为最小值。 开区间或无穷区间上的最值需结合极限或单调性分析。 4.利用导数证明不等式 常用方法：构造函数g(x)=f(x)-h(x),研究g(x)的单调性、最值，证明g(x)≥0（或≤0）。 常用放缩不等式（切线放缩）： ex≥x+1(取等x=0) Inx≤x-1(x>0,取等x=1) 1.导数与函数图象 一阶导数符号→原函数升降： 二阶导数符号→原函数凹凸性： 若f"(x)>0,则曲线是凹的（下凸，形状像碗口向上）： 若f"(x)<0,则曲线是凸的（上凸，形状像拱形)。 拐点：函数凹凸性发生变化的点，满足f"(x)=0且两侧异号。 8/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第六章计数原理 6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种方法，第2类中有m2种方法，…， 第n类中有m种方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。 特点：各类别之间是“或”的关系，每一类都能独立完成任务。 1.分步乘法计数原理 完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法，…，做第n步 有m种方法，那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。 特点：各步骤之间是“且”的关系，缺少任何一步都不能完成任务。 1.两个原理的综合运用 通常先分类，再对每一类分步：或者先分步，再对某一步分类。 注意“不重不漏”：分类要全面且互斥：分步要顺序合理且每一步的方法独立。 6.2排列与组合 1.排列 定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个 元素中取出m个元素的一个排列。 排列数：所有不同排列的个数，记作A”。 A0=nm-1)0m-2)-(0n-m+1)=0m-m n! 规定0！=1。 1.组合 定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个 元素的一个组合。 9/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 组合数：所有不同组合的个数，记作C”。 0、4 n! m!m!(m-m)！ 1.组合数的性质 C7=C-m（对称性)。 C”+C”-1=Cm1(递推公式，杨辉三角)。 C9+C+…+C%=2m。 C9+C%+C4+…=Ch+C3+…=2n-1。 kC敛=nC二（常用于化简)。 2.排列与组合的联系 A织=C·m!(先选后排) 6.3二项式定理 1.二项式定理 a+b创-ca k0 其中n∈N*。右边称为(a+b)”的二项展开式，Ck称为二项式系数。 1.通项公式 展开式的第k+1项为 Tkti Chan-kbk (k=0,1,2,...n). 注意：a的指数从n递减到0，b的指数从0递增到n。 1.二项式系数的性质 对称性：C=CR-k。 单调性与最大值：当k<时，C%递增；当k>时递减。 若n为偶数，则中间一项C2最大： 若n为奇数，则中间两项C-n与c+2相等且最大。 各二项式系数和：C9+C+…+C7=2”。 奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数和=2-1。 2.二项展开式系数和问题 求展开式中各项系数之和：令a=b=1,得(1+1)”=2”。 10/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 求奇数项系数之和与偶数项系数之和：令a=1,b=1得全体和；令a=1,b=-1得(1-1)”= 0,即奇数项系数和减去偶数项系数和等于0，从而推出各为2-1（注意：仅当a,b的系 数为1时成立，若原式为(2x-3)”,则需用赋值法，一般地，设f(x)=(1+x)”,则奇数 项系数和为@-f),偶数项系数和为四f-)。 2 第七章随机变量及其分布 7.1条件概率与全概率公式 1.条件概率 对于两个事件A和B,且P(A)>0,在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为条件概率， 记为P(B|A),且 P(AB) P(BIA)=P(A) 性质：0≤P(B|A)≤1，且P(2|A)=1,P(|A)=0。 1.乘法公式 P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)P(AIB). 1.全概率公式 设A1,A2,,An是样本空间2的一个完备事件组（即两两互斥且U%1A:=2),且P(A:)>0,则 对任意事件B,有 n P(B)= P(A)P(B1A). 1 使用场景：事件B的发生由多种原因A:引起，己知各原因的概率及在各原因下B发生的概率，求B的 总概率。 1.贝叶斯公式 在相同条件下， P(A:IB)= P(A)P(BIA) 1P(4)P(B1A) 使用场景：己知结果B发生了，反过来求是由原因A:引起的概率（后验概率）。 7.2离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量 11/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 取值可以一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。 2.分布列 设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,,xn（或无限可列个)，且P(X=x)=P:,则称表 XX1X2…Xn Pp1p2…Pn 为X的概率分布列，简称分布列。 性质： p:≥0； 1P:=1（或1p:=1)。 1.分布列的应用 可计算。 P(a≤X≤b)= xiE[a,b] 7.3离散型随机变量的数字特征 1.数学期望（均值） E(X)= 它反映了随机变量取值的平均水平。 1.方差 D(X)=>(:-E(X))p:=E(X)-[E(X) 1 它反映了随机变量取值相对于均值的离散程度。 标准差：σ(X)=√D(X)。 1.期望与方差的性质 对任意常数a,b: E(ax+b)=aE(X)+b,D(ax+b)=a2D(X) 若X与Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y). 12/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于任意常数c,有D(X)=E[(X-c)2]-[E(X)-c]≤E[(X-c)],当且仅当c=E(X)时取等。 7.4二项分布与超几何分布 1.二项分布 模型：在次独立重复试验中，每次试验只有两种可能结果（成功或失败），且每次成功的概 率均为p,失败的概率为1一p。设X为n次试验中成功的次数，则X服从二项分布， 记作X心B(n,p): 分布列： P(X=)=Cp(1-p)”-,k=0,1,2,,n. 期望与方差： E(X)=np,D(X)=np(1-p). 1.超几何分布 模型：在含有M件次品的N件产品中，不放回地抽取n件，设X为抽到的次品数，则X服 从超几何分布。 分布列： P(X=k)=- 数C%二M CN 其中k的取值范围为max(o,n-(W-M)≤k≤min(n,M。 期望与方差： 80=m效n0=m0-分- M 与二项分布的关系：当N很大时，超几何分布近似于二项分布B(几，) 7.5正态分布 1.正态分布的概念 如果随机变量X的概率密度函数为 f)=1。c =e22,x∈R, G√2 其中4为均值，o>0为标准差，则称X服从正态分布，记作X~N(4,σ2)。 1.正态曲线的性质 曲线在x轴上方，关于直线x=4对称。 13/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在x=山处取得最大值元 当σ固定时，μ决定曲线的位置：当固定时，σ越大曲线越“矮胖”，数据越分散；σ越 小曲线越“高瘦”，数据越集中。 曲线与x轴之间的面积为1。 2.标准正态分布 当u=0,0=1时，称为标准正态分布，记作Z~N(0,1)。一般正态分布可通过变换 z=X-4 化为标准正态分布。设（包=P亿≤2），则PX≤)=中（信） 1.30原则(68-95-99.7法则) P(u-0<X<u+o)≈0.6827 P(u-20<X<L+2o)≈0.9545 P(u-30<X<+3)≈0.9973 常用于估算数据落在某区间内的概率。 第八章成对数据的统计分析 8.1成对数据的统计相关性 1.散点图 以x为横坐标，y为纵坐标，将成对数据(x,y)描点得到的图。可以直观判断： 正相关：点大致从左下到右上： 负相关：点大致从左上到右下： 线性相关：点近似在一条直线附近： 非线性相关：点呈现曲线趋势。 2.相关系数r %c:-习0-) r= V21x:-对210y- r∈[-1,1]。 r>0表示正相关，r<0表示负相关。 r川越接近1，线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱。 14/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 注意：？=0只说明没有线性相关，但可能存在非线性相关。 8.2一元线性回归模型及其应用 1.回归直线方程 对于一组样本数据(x,y),其回归直线（最小二乘估计）为 =bx+a, 其中 6.2x-0,-贝x,-n ∑x-n2' a=夕-bx. Zi (xi 回归直线必过样本中心点(？，)。 1.线性回归模型 y=bx+a+, 其中e是随机误差，通常假设e~N(0,o2)。 1.残差 残差e=y:-:o 残差平方和SSE=∑e越小，模型拟合效果越好。 2.决定系数R2 R2=1 20,-y71-s6 0y-)2 SST 其中SST=∑y:-)2为总离差平方和。 R2∈[0,1]，越接近1表示回归模型拟合效果越好。 8.3列联表与独立性检验 1.2×2列联表 用于整理两个分类变量X和Y的观测数据，形式如下： X=0X=1 合计 Y=0 a b a+b Y=1 c d c+d 合计a+cb+dn=a+b+c+d 1.独立性检验的思想 检验两个分类变量是否独立。原假设H。:X与Y独立。 15/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 构造卡方统计量： n(ad-be)2 X=a+b(c+d(a+c)b+d西 在H。成立且样本量足够大时，X2近似服从自由度为1的卡方分布。 1.判断规则 计算x2的值。 与临界值比较： 若X2≥3.841，则在显著性水平a=0.05下拒绝H。,认为X与Y有关联： 若X2≥6.635，则在=0.01下拒绝H。,认为有极显著关联： 否则，没有足够证据拒绝独立性。 注：使用公式时，通常要求每个单元格的期望频数≥5，否则需用校正公式或Fisher精确检验。 2.注意事项 卡方检验只能判断是否独立，不能说明相关性强弱。 列联表也可用于计算条件概率，如PY=1X=1)=a° 16/16 专题01 高二数学下期末复习基础知识 （考点背记） 第四章 数列 2 4.1 数列的概念 2 4.2 等差数列 3 4.3 等比数列 4 4.4 * 数学归纳法（选学，但期末考试可能涉及） 5 第五章 一元函数的导数及其应用 5 5.1 导数的概念及其意义 5 5.2 导数的运算 6 5.3 导数在研究函数中的应用 7 第六章 计数原理 9 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 9 6.2 排列与组合 9 6.3 二项式定理 10 第七章 随机变量及其分布 11 7.1 条件概率与全概率公式 11 7.2 离散型随机变量及其分布列 11 7.3 离散型随机变量的数字特征 12 7.4 二项分布与超几何分布 13 7.5 正态分布 13 第八章 成对数据的统计分析 14 8.1 成对数据的统计相关性 14 8.2 一元线性回归模型及其应用 15 8.3 列联表与独立性检验 15 第四章 数列 4.1 数列的概念 1. 数列的定义 · 按照一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列一般记作 ，其中 表示数列的第 项（也称通项）。 1. 数列的分类 按项数：有穷数列（项数有限）、无穷数列（项数无限）。 按单调性：递增数列（ 对所有 成立）、递减数列（）、常数列（）、摆动数列（项的正负或大小交替变化）。 1. 通项公式 · 如果数列 的第 项 与序号 之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做数列的通项公式。 注意： 不是所有数列都能写出通项公式。 一个数列的通项公式可能不唯一（如摆动数列可用三角函数或分段函数表示）。 1. 递推公式 · 如果已知数列的第 项（或前几项），且从第 项（或某一项）起的任一项 与它的前一项 （或前几项）之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的递推公式。 例如：，。 1. 与 的关系（核心考点，必背） · 设数列 的前 项和为 ，则 考试技巧： 已知 的表达式求 时，必须先计算 ，再计算 时 ，最后检验 是否满足 的表达式。若不满足，则 要写成分段形式。 若已知 与 的混合关系式（如 ），常用 时 消去 ，得到 的递推关系。 1. 数列的单调性判断 作差法：计算 ，判断符号。 作商法（正项数列）：计算 与 比较。 函数法：将 视为函数 ，利用导数判断 在区间 上的单调性（注意 为正整数）。 4.2 等差数列 1. 定义 · 如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示。即 1. 通项公式 推广形式：（已知第 项求第 项）。 1. 等差中项 · 若三个数 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且 反之，若 ，则 成等差数列。 1. 前 项和公式 也可以写成关于 的二次函数形式（无常数项）： 1. 重要性质（需熟练运用） 下标和性质：若 （），则 。 特别地，若 ，则 。 等间隔抽取：在等差数列中，下标成等差数列的项（如 ）仍成等差数列，公差为 。 前 项和的性质： 是等差数列，公差为 。 成等差数列，公差为 。 线性组合：若 都是等差数列，则 也是等差数列（ 为常数）。 1. 前 项和的最值问题 若 ，则 有最大值。可通过解不等式组 求出 ，此时 最大。 若 ，则 有最小值。解 求出 。 也可利用二次函数对称轴 ，取邻近整数比较。 4.3 等比数列 1. 定义 · 如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（且不为 ），那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示。即 注意：等比数列中不能有 项，但 可以为负数。 1. 通项公式 推广形式：。 1. 等比中项 · 若三个数 成等比数列，则 叫做 与 的等比中项，且 此时 ，要求 。若 ，则等比中项为 ，但此时数列会出现 ，要单独讨论。 1. 前 项和公式 注意：当 且 为偶数时，，计算时直接代入公式也得 。 1. 重要性质 下标和性质：若 ，则 。特别地，若 ，则 。 等间隔抽取：下标成等差数列的项仍成等比数列，公比为 。 片段和性质（重要）：当 时， 成等比数列，公比为 。 连续等长积： 成等比数列，公比为 。 线性组合：若 都是等比数列，则 、、 也是等比数列。 1. 无穷等比数列各项和（拓展） · 当 时，无穷等比数列所有项的和（极限）为 常用于循环小数化分数。 4.4 * 数学归纳法（选学，但期末考试可能涉及） 1. 适用对象：与正整数 有关的命题，如等式、不等式、整除性、数列通项证明等。 1. 证明步骤（标准数学归纳法）： 第一步（归纳奠基）：验证当 时命题成立（ 通常为 或 ，依题目而定）。 第二步（归纳递推）：假设当 （）时命题成立，证明当 时命题也成立。 第三步（结论）：由以上两步可知，对于所有 的正整数，命题成立。 1. 第二数学归纳法（强归纳法）： 奠基：验证 成立。 递推：假设 时命题都成立，证明 时命题成立。 常用于递推公式涉及前面多项（如 ）的证明。 1. 常见错误： 忘记验证奠基步骤。 在归纳假设中错误地使用待证结论。 递推时未用到归纳假设。 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 1. 平均变化率 · 函数 在区间 上的平均变化率为 1. 导数的定义 · 如果极限 存在，则称函数 在 处可导，该极限值称为 在 处的导数，记作 或 。 等价形式： 1. 导数的几何意义 · 曲线 在点 处的切线斜率 。 切线方程： 若 不存在，则切线可能为竖直直线 。 1. 导数的物理意义 位移函数 对时间 的导数 表示瞬时速度。 速度函数 对时间 的导数 表示加速度。 1. 可导与连续的关系 若 在 处可导，则 在 处必连续。 反之不成立：连续不一定可导（如 在 处连续但不可导）。 5.2 导数的运算 1. 基本初等函数的导数公式（必须熟记） 常数函数： 幂函数：（ 为任意实数） 三角函数： 指数函数： 对数函数： 1. 导数的四则运算法则 线性：，（ 为常数）。 乘法：。 除法：（）。 1. 复合函数求导法则（链式法则） · 设 ，，且 和 都可导，则 即 。 1. 高阶导数 · 函数 的导数 仍是一个函数，其导数称为二阶导数，记作 或 。类似地有三阶导数等。 5.3 导数在研究函数中的应用 1. 函数的单调性 在区间 内，若 ，则 在 上单调递增。 若 ，则 在 上单调递减。 若 且等号只在有限个点处成立，仍可判定为单调递增；递减类似。 求单调区间步骤： ① 确定函数定义域； ② 求 ； ③ 解方程 得到分界点； ④ 列表，在每个区间内取测试点判断 的符号； ⑤ 写出单调区间。 1. 函数的极值 定义：设函数 在 附近有定义。若存在 ，使得对任意 且 ，都有 ，则称 为极大值；若 ，则称 为极小值。 必要条件：若 在 处可导且取极值，则 。但驻点（ 的点）不一定是极值点（如 在 处）。 第一充分条件： 设 ，在 的左侧邻近 ，右侧邻近 ，则 为极大值； 若左负右正，则为极小值； 若左右同号，则不是极值点。 第二充分条件： 若 且 ，则 为极小值； 若 且 ，则 为极大值； 若 ，则无法判断，需用第一充分条件。 1. 函数的最值 闭区间 上的连续函数一定存在最大值和最小值。 求最值步骤： ① 求 ，解出 内的所有驻点和不可导点； ② 计算这些点以及端点 处的函数值； ③ 比较这些值，最大的为最大值，最小的为最小值。 开区间或无穷区间上的最值需结合极限或单调性分析。 1. 利用导数证明不等式 常用方法：构造函数 ，研究 的单调性、最值，证明 （或 ）。 常用放缩不等式（切线放缩）： 1. 导数与函数图象 一阶导数符号 → 原函数升降； 二阶导数符号 → 原函数凹凸性： 若 ，则曲线是凹的（下凸，形状像碗口向上）； 若 ，则曲线是凸的（上凸，形状像拱形）。 拐点：函数凹凸性发生变化的点，满足 且两侧异号。 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1. 分类加法计数原理 · 完成一件事有 类不同方案，在第 类方案中有 种方法，第 类中有 种方法，……，第 类中有 种方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 特点：各类别之间是“或”的关系，每一类都能独立完成任务。 1. 分步乘法计数原理 · 完成一件事需要 个步骤，做第 步有 种方法，做第 步有 种方法，……，做第 步有 种方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。 特点：各步骤之间是“且”的关系，缺少任何一步都不能完成任务。 1. 两个原理的综合运用 通常先分类，再对每一类分步；或者先分步，再对某一步分类。 注意“不重不漏”：分类要全面且互斥；分步要顺序合理且每一步的方法独立。 6.2 排列与组合 1. 排列 定义：从 个不同元素中取出 （）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个元素中取出 个元素的一个排列。 排列数：所有不同排列的个数，记作 。 规定 。 1. 组合 定义：从 个不同元素中取出 （）个元素并成一组，叫做从 个元素中取出 个元素的一个组合。 组合数：所有不同组合的个数，记作 。 1. 组合数的性质 （对称性）。 （递推公式，杨辉三角）。 。 。 （常用于化简）。 1. 排列与组合的联系 6.3 二项式定理 1. 二项式定理 其中 。右边称为 的二项展开式， 称为二项式系数。 1. 通项公式 · 展开式的第 项为 注意： 的指数从 递减到 ， 的指数从 递增到 。 1. 二项式系数的性质 对称性：。 单调性与最大值：当 时， 递增；当 时递减。 若 为偶数，则中间一项 最大； 若 为奇数，则中间两项 与 相等且最大。 各二项式系数和：。 奇数项二项式系数和 = 偶数项二项式系数和 = 。 1. 二项展开式系数和问题 求展开式中各项系数之和：令 ，得 。 求奇数项系数之和与偶数项系数之和：令 得全体和；令 得 ，即奇数项系数和减去偶数项系数和等于 ，从而推出各为 （注意：仅当 的系数为1时成立，若原式为 ，则需用赋值法，一般地，设 ，则奇数项系数和为 ，偶数项系数和为 ）。 第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 1. 条件概率 · 对于两个事件 和 ，且 ，在事件 发生的条件下事件 发生的概率称为条件概率，记为 ，且 性质：，且 ，。 1. 乘法公式 1. 全概率公式 · 设 是样本空间 的一个完备事件组（即两两互斥且 ），且 ，则对任意事件 ，有 使用场景：事件 的发生由多种原因 引起，已知各原因的概率及在各原因下 发生的概率，求 的总概率。 1. 贝叶斯公式 · 在相同条件下， 使用场景：已知结果 发生了，反过来求是由原因 引起的概率（后验概率）。 7.2 离散型随机变量及其分布列 1. 离散型随机变量 · 取值可以一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量。 1. 分布列 · 设离散型随机变量 的可能取值为 （或无限可列个），且 ，则称表 为 的概率分布列，简称分布列。 性质： ； （或 ）。 1. 分布列的应用 · 可计算。 7.3 离散型随机变量的数字特征 1. 数学期望（均值） 它反映了随机变量取值的平均水平。 1. 方差 它反映了随机变量取值相对于均值的离散程度。 标准差：。 1. 期望与方差的性质 对任意常数 ： 若 与 相互独立，则 对于任意常数 ，有 ，当且仅当 时取等。 7.4 二项分布与超几何分布 1. 二项分布 模型：在 次独立重复试验中，每次试验只有两种可能结果（成功或失败），且每次成功的概率均为 ，失败的概率为 。设 为 次试验中成功的次数，则 服从二项分布，记作 。 分布列： 期望与方差： 1. 超几何分布 模型：在含有 件次品的 件产品中，不放回地抽取 件，设 为抽到的次品数，则 服从超几何分布。 分布列： 其中 的取值范围为 。 期望与方差： 与二项分布的关系：当 很大时，超几何分布近似于二项分布 。 7.5 正态分布 1. 正态分布的概念 · 如果随机变量 的概率密度函数为 其中 为均值， 为标准差，则称 服从正态分布，记作 。 1. 正态曲线的性质 曲线在 轴上方，关于直线 对称。 在 处取得最大值 。 当 固定时， 决定曲线的位置；当 固定时， 越大曲线越“矮胖”，数据越分散； 越小曲线越“高瘦”，数据越集中。 曲线与 轴之间的面积为 。 1. 标准正态分布 · 当 时，称为标准正态分布，记作 。一般正态分布可通过变换 化为标准正态分布。设 ，则 。 1. 原则（68-95-99.7法则） 常用于估算数据落在某区间内的概率。 第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 1. 散点图 · 以 为横坐标， 为纵坐标，将成对数据 描点得到的图。可以直观判断： 正相关：点大致从左下到右上； 负相关：点大致从左上到右下； 线性相关：点近似在一条直线附近； 非线性相关：点呈现曲线趋势。 1. 相关系数 。 表示正相关， 表示负相关。 越接近 ，线性相关程度越强；越接近 ，线性相关程度越弱。 注意： 只说明没有线性相关，但可能存在非线性相关。 8.2 一元线性回归模型及其应用 1. 回归直线方程 · 对于一组样本数据 ，其回归直线（最小二乘估计）为 其中 回归直线必过样本中心点 。 1. 线性回归模型 其中 是随机误差，通常假设 。 1. 残差 · 残差 。 残差平方和 越小，模型拟合效果越好。 1. 决定系数 其中 为总离差平方和。 ，越接近 表示回归模型拟合效果越好。 8.3 列联表与独立性检验 1. 列联表 · 用于整理两个分类变量 和 的观测数据，形式如下： 1. 独立性检验的思想 · 检验两个分类变量是否独立。原假设 ： 与 独立。 构造 卡方统计量： 在 成立且样本量足够大时， 近似服从自由度为 的卡方分布。 1. 判断规则 计算 的值。 与临界值比较： 若 ，则在显著性水平 下拒绝 ，认为 与 有关联； 若 ，则在 下拒绝 ，认为有极显著关联； 否则，没有足够证据拒绝独立性。 注：使用公式时，通常要求每个单元格的期望频数 ，否则需用校正公式或 Fisher 精确检验。 1. 注意事项 卡方检验只能判断是否独立，不能说明相关性强弱。 列联表也可用于计算条件概率，如 。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $