专题03 计数原理 5考点+9题型+4易错（期末复习知识清单）高二数学下学期人教A版

专题03 计数原理 1.两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 2.排列、组合的定义 排列的 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的 定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 3.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数 公式 ＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝ ＝＝ 性质 ＝n！，0！＝1 ＝1，＝，＋＝ 4.二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn （n∈N*） 二项展开式的通项 Tk＋1＝an－kbk ，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 （k＝0，1，…，n） 5.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值： ①当k<时，随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，随k的增加而减小 ②当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋…＋＝2n 两个计数原理 【例1】在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法 【变式】（2025·江苏苏州三模）用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法？ 简单的排列与组合问题 【例2】(2023·新课标Ⅰ卷T13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【变式】某班级策划五一活动，其中歌曲类3个节目，语言类1个节目，才艺展示类3个节目，抽奖2次（一次抽一等奖名单，一次抽二等奖名单），要求开场和结束安排歌曲类，2次抽奖不连续，则有 种安排方法.（用数字作答） 相邻与不相邻问题 【例3】（2022·新高考全国Ⅱ卷T5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【变式】把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 .（用数字作答） 分组、分配问题 【例4】将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【变式】某学校举行运动会， 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（   ） A．20 B．24 C．30 D．36 求二项展开式的特定项 【例5】（2025·天津卷T11）在的展开式中，项的系数为 ． 【变式】（2024·天津卷T11）在的展开式中，常数项为 ． 形如的展开式问题 【例6】（2022新高考I卷T13）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【变式】若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 三项式的展开问题 【例7】的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 【变式】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 二项展开式中的系数和问题 【例8】已知的展开式共有7项，则下列说法错误的是（ ） A．展开式的奇数项二项式系数和为32 B．展开式所有二项式系数和为64 C．展开式的所有项的系数和为-1 D．所有项的系数绝对值之和为729 【变式】若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则（    ） A． B． C．2 D．4 与二项展开式中的系数有关的最值问题 【例9】（2024全国甲卷T13）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【变式】的展开式中各项系数的最大值为（    ）． A．112 B．448 C．896 D．1792 易错01 求解“至少”“至多”类计数问题时出现重复计数。 【例1】运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 【变式】某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（    ） A．30 B．45 C．60 D．75 易错02 分组问题混淆“均匀分组”与“非均匀分组”。 【例2】为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（ ）种. A．450 B．540 C．720 D．1080 【变式】2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 易错03 计数时混淆“有序”与“定序”。 【例3】高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有________种（用数字作答） 【变式】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 易错04 混淆二项式系数与项的系数。 【例4】的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 【变式】二项式展开式中的常数项是________，若它的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 计数原理 1.两个计数原理 （1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法； （2）分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 2.排列、组合的定义 排列的 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的 定义 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 3.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数 公式 ＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝ ＝＝ 性质 ＝n！，0！＝1 ＝1，＝，＋＝ 4.二项式定理 二项式定理 （a＋b）n＝an＋an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn （n∈N*） 二项展开式的通项 Tk＋1＝an－kbk ，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 （k＝0，1，…，n） 5.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)增减性与最大值： ①当k<时，随k的增加而增大；由对称性知，当k>时，随k的增加而减小 ②当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋…＋＝2n 两个计数原理 【例1】在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法 【答案】24 【解析】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法 【变式】（2025·江苏苏州三模）用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法？ 【答案】480 【解析】第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120(种)涂法， 第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360(种)涂法，共有120＋360＝480(种)涂法． 【另解】第一步，先涂B区，有6种涂法， 第2步，涂C区，有5种涂法， 第3步，涂A，D区域，各有4种涂法， 所以共有6×5×4×4＝480(种)涂法． 简单的排列与组合问题 【例2】(2023·新课标Ⅰ卷T13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 【间接法】若学生从这8门课中选修2门课， 则有C－C－C＝16(种)选课方案； 若学生从这8门课中选修3门课， 则有C－C－C＝48(种)选课方案. 综上，不同的选课方案共有16＋48＝64(种). 【变式】某班级策划五一活动，其中歌曲类3个节目，语言类1个节目，才艺展示类3个节目，抽奖2次（一次抽一等奖名单，一次抽二等奖名单），要求开场和结束安排歌曲类，2次抽奖不连续，则有 种安排方法.（用数字作答） 【答案】21600 【解析】先安排开场和结束的歌曲类节目，方法数为， 除了已经安排的歌曲类节目和两次抽奖活动，还有5个节目需要安排，方法数为， 抽奖活动可以从6个空中选两个，方法数为，所以方法总数为. 相邻与不相邻问题 【例3】（2022·新高考全国Ⅱ卷T5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B 【变式】把除颜色外完全相同的5个红球和3个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】分两类，第一类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球也“捆绑”在一起， 然后让3个白球排列后形成4个空位，选出2个空位让这两个“捆绑”的红球排列即可，此时有种； 第二类：3个红球“捆绑”在一起，另外2个红球不相邻，此时让3个白球排列后形成4个空位， 从中选出1个空位放“捆绑”的红球，再从剩下的3个空位选出2个空位放不相邻的红球即可，此时有，所以共有种. 分组、分配问题 【例4】将甲、乙等6位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排在第4、3位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（     ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将6人身高从高到低依次标号为：1、2、3、4、5、6 方法一：此事件的反面是“甲是本组的最矮的或乙是本组最高的至少成立其一”， ①甲、乙不在同一组：只有124、356一种排法； ②甲、乙在同一组：以上命题不可能同时成立， 注意到剩下四人任取一人与甲乙同组均符合题意，所以由种选法，共有种选法. 而平均分组共有种方式，所以共有种选法. 方法二：①甲、乙在同一组：容易发现这是不可能的； ②甲、乙不在同一组：那么1、2中至少有一位与乙一组，5、6中至少有一位与甲一组， 取该事件的反面，即：1、2均不与乙一组且5、6均不与甲一组，4人均分两组共有种分法， 符合事件反面的只有356、124一种，所以共有=5种分法，故选B. 【变式】某学校举行运动会， 该校高二年级 2 班有甲、乙、丙、丁四位同学将参加跳高、跳远、 100 米三个项目的比赛，每人只能参加一个项目，每个项目至少有一个人参加，若甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，则不同参赛方案总数为（   ） A．20 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【解析】对甲、乙、丙、丁四位同学分成3组，则三组各有位同学，共有种， 又因为甲、 乙两人不能参加同一项目的比赛，且甲乙在一组时仅有种分法，则共有种分组方法，所以不同的参赛方案共有种，故选C 求二项展开式的特定项 【例5】（2025·天津卷T11）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【解析】展开式的通项公式为， 当时，，即展开式中的系数为. 【变式】（2024·天津卷T11）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【解析】因为的展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为. 形如的展开式问题 【例6】（2022新高考I卷T13）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【解析】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28. 【变式】若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【解析】的展开式中的系数为，所以， 所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48，故选C. 三项式的展开问题 【例7】的展开式中的系数为（    ） A．6 B．8 C．27 D．33 【答案】D 【解析】解法一(逐项展开法)　展开式中3个多项式2个取，1个取2，即 展开式中3个多项式1个取，2个取，即 故展开式中的系数为33，故选D． 解法二（因式分解法）因为， 展开式的通项为， 则展开式中含的项为，含的项为，含的项为； 展开式的通项为， 则展开式中含的项为，含的项为，含的项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为.故选D． 解法三(组合知识法)因为，展开式的通项为. 要使展开式中含，则可取或. 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为； 当时，，展开式的通项为， 显然时，展开式含，该项为. 综上所述，的展开式中的项为，系数为.故选D． 【变式】的展开式中，的系数为（    ） A．60 B． C．120 D． 【答案】A 【解析】由题意可知：的通项为， 且的通项为， 令，解得，所以的系数为．故选A 二项展开式中的系数和问题 【例8】已知的展开式共有7项，则下列说法错误的是（ ） A．展开式的奇数项二项式系数和为32 B．展开式所有二项式系数和为64 C．展开式的所有项的系数和为-1 D．所有项的系数绝对值之和为729 【答案】C 【解析】因为的展开式共有7项，所以，所以展开式的奇数项二项式系数和为，因此A正确；展开式中二项式系数和为，所以B正确； 在中令，得，所以C错误； 的系数呈正负交错排列，故所有项的系数绝对值之和与的系数之和相等，故在中令，得，所以D正确.故选：BCD. 【变式】若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 因为的二项式系数之和为32，则，解得， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得，故选C. 与二项展开式中的系数有关的最值问题 【例9】（2024全国甲卷T13）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【解析】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 【变式】的展开式中各项系数的最大值为（    ）． A．112 B．448 C．896 D．1792 【答案】D 【解析】该二项式的通项公式为， 由，可得． 因为，所以展开式中各项系数的最大值为，故选D 易错01 求解“至少”“至多”类计数问题时出现重复计数。 【例1】运动会期间，将甲､乙､丙､丁四名志愿者分配到三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要一名志愿者，则不同的安排方法数为__________. 【答案】 【详解】从4名志愿者中选2个人为一组，其余2个人各为一组，共有种选法， 将分好的3组全排列，对应3个场地，共有种排法， 则满足题意的不同的安排方法数为种. 【变式】某校有5名学生打算前往观看电影《哪吒2》，《战狼》，《流浪地球2》，每场电影至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看电影《哪吒2》的方案种数有（    ） A．30 B．45 C．60 D．75 【答案】C 【详解】依题意，将5名学生分为1，2，2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有种方法；由于甲同学不去观看电影《哪吒2》，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由种方法；按照分步乘法原理，共有种方法．故选C 易错02 分组问题混淆“均匀分组”与“非均匀分组”。 【例2】为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往三所学校支教（每所学校至少安排一名教师），则不同的分配方法有（ ）种. A．450 B．540 C．720 D．1080 【答案】B 【详解】将甲、乙、丙等六名教师按1，2，3分为三个组共有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校共有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按2，2，2分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 将甲、乙、丙等六名教师按1，1，4分为三个组有种不同的分法， 再将这三个组的教师分配到三所学校有种不同的分法； 故共有种不同的分法，故选B. 【变式】2025年，江西省成功举办了城市足球超级联赛（简称赣超）．在某场比赛开始前，主办方安排了5名志愿者分别负责赛场3个不同入口的安保工作，要求每人只负责一个入口，每个入口至少有1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【详解】首先，将5名志愿者分成三组，有（种）， 然后，将这三组志愿者分配到三个入口，有（种）， 利用分步乘法原理，得不同的分配方案共有（种），故选C． 易错03 计数时混淆“有序”与“定序”。 【例3】高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有________种（用数字作答） 【答案】40 【详解】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有, 因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法， 则根据分步计数乘法原理满足条件的出场顺序共有种， 【变式】《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【答案】B 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式.故选：B. 易错04 混淆二项式系数与项的系数。 【例4】的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 【答案】B 【详解】因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，， 所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． 【变式】二项式展开式中的常数项是________，若它的展开式中的二项式系数和为，各项系数和为，则________． 【答案】 -10 33 【详解】①二项式的通项公式为：. 令的指数为0，则，解得. 代入得常数项. ②二项式系数和. 令，各项系数和. 因此. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $