专题04 第五章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题）（5考点清单，知识导图+7个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

清单04 第五章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【变式1-1】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【变式1-2】.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【变式1-3】.（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 、 【变式2-1】.（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)若，求函数的单调区间和极值； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围． 【变式2-2】.（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【变式2-3】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若时，总有成立，求实数的取值范围. 【变式3-1】.（广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷）已知函数 (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数a的取值集合． 【变式3-2】.（24-25高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【变式3-3】.（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，，其中为常数. (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； (2)讨论在上的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（23-24高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：存在正实数，使得. 【变式4-1】.（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 (1)若直线与曲线相切，求a的值； (2)若存在，使得，求a的取值范围． 【变式4-2】.（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数． (1)试讨论的极值点的个数； (2)若，且对任意的都有，求的取值范围． 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是 【变式5-1】.（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是 . 【变式5-2】.（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 . 【考点题型六】等价转化法解决问题（） 【例6】（24-25高二下·四川内江·期中）已知． (1)讨论函数在的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【变式6-1】.（24-25高二下·四川资阳·期中）已知函数，． (1)若的最大值是0，求的值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【变式6-2】（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数（，为自然对数的底数），. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式6-3】.（24-25高二下·浙江·期中）已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【考点题型七】值域法解决双参等式问题（） 【例7】．（24-25高一下·四川泸州·期中）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”. (1)若函数是“型函数”，求的值； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围. 【变式7-1】.（24-25高一上·江西抚州·期末）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数” (1)若函数是“型函数”，且，求满足条件的实数对； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的最值； (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（    ） A． B． C．e D．2e   三、填空题 8．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为 . 四、解答题 9．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)若，求函数的单调区间和极值； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围． 10．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 11．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 12．（2025·江苏盐城·三模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 13．（24-25高二下·贵州·期中）已知函数，a，，且． (1)若在点处的切线方程为求a，b的值并求函数的极值； (2)设，若当时，对任意，都有成立，求b的最大值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第五章 导数与不等式（含恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+7题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，在上为减函数 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，故可求切线方程. （2）根据、分类讨论后可得导数的符号，从而可得函数的单调性. （3）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围. 【详解】（1），，． 切线方程为，． （2）， 当时，，∴在上为增函数； 当时，， 令，得；令，得． ∴在上为增函数，在上为减函数． （3）无论取何值，函数的图象都在函数图象的上方， 即为恒成立，即，则，恒成立， 令，， ． 令，得；令，得， 则在上为增函数，在上为减函数， ∴， 则． 【变式1-1】.（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求，进而求切线斜率，再用点斜式求方程即可； （2）分和两种情况，分别研究的正负性即可； （3）利用参变分离，构造函数，求其最小值即可. 【详解】（1）由题意，得，所以切线的斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即， 则在处的切线方程为. （2）由，则，， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，得；得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即，， 记，，则， 令得；可得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 则实数a的取值范围为． 【变式1-2】.（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）由题意可求得导函数，对进行分类讨论即可得到函数的单调性； （2）先化简题干的不等式，分离参数得到，通过构造函数找到的最小值，由此可求得实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 因为，若时，在上单调递增； 若时，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）因为，恒成立， 所以，则， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，故实数a的取值范围为. 【变式1-3】.（24-25高二下·福建三明·期中）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可； （2）问题化为在上恒成立，利用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设的定义域是， 则，所以，即， 即在处的切线方程为. （2）因为，得恒成立. 即，在上恒成立， 设，则， 令，得（舍去）， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，且， 若在上恒成立，则， 故实数的取值范围是. 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，当时，不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当时恒成立，所以； 当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 【变式2-1】.（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)若，求函数的单调区间和极值； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)增区间为和，减区间为，极大值，极小值； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】将代入函数解析式，利用导数判断其单调性和极值即可； 问题等价于存在，，设，利用导数求函数在上的最大值，进而可得出答案． 【详解】（1）若，则， 则， 令，可得或；令，可得， 所以该函数增区间为和，减区间为， 当时取得极大值，当时取得极小值； （2）因为存在，有成立， 所以存在，有成立，即存在， 因为，所以存在，， 设，其中，则， 因为，所以， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即， 故a的取值范围为 【变式2-2】.（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究能成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）当时，不等式变形为在上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）当时，，所以 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）当，在上有解，即在上有解， 即在上有解， 令，则 由（1）知时，即， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数a的取值范围是. 【变式2-3】.（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）由在上恒成立，得到，即可求解； （2）参变分离得到，构造函数，求导确定最大值即可； 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由，可得． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以，故的取值范围为． 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若时，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）对进行求导，利用导数即可直接得到函数的单调区间； （2）对进行求导，分和两种情况进行讨论即可求得a范围. 【详解】（1）当时，， ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题意得， 当时，函数在单调递减，在单调递增， 即， 因为，所以, 所以,恒满足题意； 当时，函数在恒单调递增，即， 所以也满足题意； 综上：. 【变式3-1】.（广东省部分学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试卷）已知函数 (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若恒成立，求实数a的取值集合． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)在上单调递减，在上单调递增 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求已知函数的极值 【分析】（1）求导即可得到，再由极值的定义，代入计算，即可得到结果； （2）求导即可得到，然后分与讨论，即可得到结果； （3）根据题意，分以及讨论，然后结合（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． （2）因为，所以． 当时，在上单调递增． 当时，令，得，令，得． 故在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）知，当时，在上单调递增． 因为，所以当时，，不满足题意． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以．若，则． 令，则，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值集合为． 【变式3-2】.（24-25高二下·浙江·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求出函数在某点处的导数，再结合该点的坐标，求出切线方程. （2）构造一个新函数，通过研究新函数的单调性和最值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又，则， 所以曲线在处的切线方程为 . （2）令，，易得在单调递增， 故，所以， 令，有， 又，， 令，则， 所以， 故在上单调递增， 当时，，此时在上单调递增， 即恒成立. 当时，，而在上单调递增， 且当时，， 故存在，使得，故当时，， 此时在单调递减，此时，与题设矛盾. 综上所述，. 所以实数的取值范围为. 【变式3-3】.（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数，，其中为常数. (1)若时，求函数图象在点处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长； (2)讨论在上的单调性； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）当时，，求导得斜率，进而由导数的几何意义及点斜式可求得切线方程，求出该切线与坐标轴的交点，即可求解； （2）将函数，代入，对函数求导得.对分和两类讨论在上的符号情况即可求解； （3）令，.依题意，在恒成立，故.结合（2）中在上的单调性即可求解. 【详解】（1）当时，， ∴，，∴， ∴由点斜式方程可知函数图象在点处的切线方程为：，即. 令得，即该切线与轴相交于点； 令得，即该切线与轴相交于点， ∴该切线与坐标轴围成的三角形的周长为. 即函数图象在点处的切线方程为，与坐标轴围成的三角形的周长为. （2）∵，， ∴，∴. ∵， ∴当时，，，∴， 此时在上单调递增； 当时，∵，令，解得； 令，解得， 此时在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）令，. 依题意，在恒成立，故. 由（2）知：当时，在上单调递增， 此时，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时显然当时，不符合题意. 综上，实数的取值范围. 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（23-24高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：存在正实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）首先求导可得，再对分和两种情况讨论，利用导函数的正负确定函数的单调性即可得解； （2）根据题意可得，当时，存在正实数，使得；当时，，令， 可得当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，可得，只需证明即可. 【详解】（1）（1）解：， 当时，，函数在上单调递增； 当时， 时，，时，， 函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，只有增区间为. 当时，的增区间为，减区间为. （2）证明：由已知得，的定义域为， 当时，存在正实数，使得. 当时，，令， 在区间上有一个零点. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. . 由，得，所以. 设，当时，， 所以在上单调递增，所以，即， 所以存在正实数，使得. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值问题，考察了分类思想的应用.本题的关键点由一下几点： （1）分类讨论的关键点为导函数的正负临界值； （2）存在性思想的应用，存在正实数，使得只需即可. 【变式4-1】.（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知函数 (1)若直线与曲线相切，求a的值； (2)若存在，使得，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究能成立问题、导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】（1）求，设切点为，根据可得a的值. （2）根据的范围确定函数定义域，结合导函数分析函数的单调性，利用可求a的取值范围． 【详解】（1）∵，∴． 设切点为，则，即，解得． （2）当时，由得，∴的定义域为． 由得，当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴． ∵存在，使得，∴，结合，解得． 当时，由得，∴的定义域为． 由得，当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∴． ∵存在，使得，∴，结合，解得． 综上，的取值范围为． 【变式4-2】.（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数． (1)试讨论的极值点的个数； (2)若，且对任意的都有，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）根据题意，求得，令，单调，令，求得，得到函数的单调性与最大值，进而得出答案. （2）解法一：令，求得，得到函数的单调性，且，进而得在上单调递减，进而求得的取值范围； 解法二：由，当时，，不符合题意；当时，取得，得到有两个异号实根，分和，两种情况讨论，即可求解. 解法三：根据题意，把不等式的恒成立，转化为恒成立，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，得出在上单调递增，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：由函数的定义域为，可得， 令，即，令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 又当时，且；且当时，， 所以当时，无极值点； 当时，有两个极值点； 当时，有1个极值点． （2）解法一：由，可得，且， 若，即，则，使得时，， 所以在上单调递增，所以，此时与题意不符， 故，可得， 下证当时，对恒成立． 证明：令，则． 因为，所以对恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，对恒成立， 所以在上单调递减，所以，所以对恒成立． 综上所述，实数的取值范围为． 解法二：由． ①当时，，不符合题意； ②当时，， 令，即，可得，且两根之积为， 所以有两个异号实根，设两根为，且， 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，此时不符合题意． 若，则，即，此时在上单调递减， 所以，符合题意． 综上所述，实数的取值范围为． 解法三：由． 若，则，满足题意； 若，则，令，则， 令，则， 因为，所以， 所以在上单调递增，所以，则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为． 【点睛】方法总结：利用导数求解函数或不等式的恒成立（有解）问题的求解策略: 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 形如的有解的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，，对任意的，总存在，使，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据已知可知只需要满足在上恒小于等于在上的最大值.求导根据导函数得出，代入即可得出在上恒成立，分离参数得出在上恒成立.，，求导得出在上的最大值，即可得出答案. 【详解】由已知可知，只需满足对任意的，， 只需要满足在上恒小于等于在上的最大值. 因为， 所以在上单调递减， 所以在上得最大值为， 所以，在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立. 设，， 则. 则当时，有，即在上单调递增； 当时，有，即在上单调递减. 所以，在上的最大值为. 则由在上恒成立可知，. 故答案为：. 【变式5-1】.（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知函数，，若对任意都存在使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意，问题转化为存在，使成立，从而分离出，构造函数，并利用导数得到取值范围，得到关于的不等式，解得的范围. 【详解】对任意都存在使成立， 而，所以， 即存在，使， 此时，，所以， 因此将问题转化为：存在，使成立， 设，， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以， 由题意，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式5-2】.（24-25高二下·江苏无锡·期中）已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】利用导数求解最小值，利用分离参数法可求答案. 【详解】因为，所以， 时，，为减函数，时，，为增函数， 所以时，的最小值为. 若任意，使，则， 所以在上有解，即在上有解， 令，，得， 当时，，为增函数，当时，，为减函数； 因为，，且， 所以，所以. 故答案为： 【考点题型六】等价转化法解决问题（） 【例6】（24-25高二下·四川内江·期中）已知． (1)讨论函数在的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性. （2）方法一，分离参数，令，利用导函数判断单调性求出最值即可，方法二，分离参数，令，则，利用导函数求出最值即可 【详解】（1）由题可得，令，得． ①若，则，即， 故当时，，在上单调递减． ②若则，即， 当时，，故在上单调递增， 当时，，在上单调递减．- （2）法一：当时，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得（☆）， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得， 由，得，故， 故， 因此，故b的取值范围为．- 法二：当时，即恒成立， 令，则， 而，- 令，则， 令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即， 当且仅当时取等号． 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为． 【变式6-1】.（24-25高二下·四川资阳·期中）已知函数，． (1)若的最大值是0，求的值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求得，分和，两种讨论，函数的最大值，从而求解； （2）根据题意，转化为分离参数得在上恒成立，设函数，利用导数，求得函数的最小值，进而的取值范围． 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且． 若，则，在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去； 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 其最大值为，解得， 显然符合题意，所以的值为1． （2）解：对任意，恒成立，即在上恒成立， 设，可得， 设，可得， 所以在上单调递增，且，， 所以有唯一零点，且， 所以， 构造函数，则． 又由函数在上是增函数，所以， 由在上单调递减，在上单调递增， 可得， 所以，解得，所以的取值范围是. 【变式6-2】（24-25高二下·四川成都·期中）已知函数（，为自然对数的底数），. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）对求导，再对分类讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成有两个相异实根，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间和最大值，进而得的图象，数形结合，即可求解； （3）根据条件将问题转化成对一切恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可求解. 【详解】（1）易知定义域为，又， 当时，在恒成立，此时在单调递增， 当时，令，则， 又时，；时， 所以在单调递增，在单调递减. 综上所述，当时，在区间单调递增， 时，在区间单调递增，在区间单调递减. （2）因为有两个零点关于的方程有两个相异实根， 由，知，由，得到，即， 有两个零点有两个相异实根， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，又时，，时，， 则的图象如图， 由图知，当有两个零点时，实数的取值范围为. （3）当时，， 所以原命题等价于对一切恒成立， 即对一切恒成立， 令，则， 又，令，， 则恒成立，所以在上单调递增， 又，，所以，使， 即①， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由①知， ， 令，则恒成立， 所以函数在单调递增， 所以，即，则， 所以，故实数的取值范围为. 【变式6-3】.（24-25高二下·浙江·期中）已知，. (1)令，讨论的单调性和极值； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性及极值情况； （2）变形得到，在时恒成立，令，求导，由于，故，所以，下面证明时，恒成立，放缩得，令，；求导，得到其单调性，，证明出结论. 【详解】（1），定义域为， ，； ①时，恒成立，在上单调递增，没有极值； ②时，令，则，；解得， 令，则，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 故极大值为，无极小值； （2），恒成立；即，在时恒成立； 令，； ∵，∴即，； 下面证明：时，恒成立. ∵； 令，； ； ∴在单调递减； 又∵，∴； ∴恒成立，证毕. 所以的取值范围为. 【考点题型七】值域法解决双参等式问题（） 【例7】．（24-25高一下·四川泸州·期中）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数”. (1)若函数是“型函数”，求的值； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，.若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、函数新定义、求二次函数的值域或最值、指数幂的运算 【分析】（1）根据题中定义得出，结合指数运算可求得实数的值； （2）根据“型函数”的定义得出，可得出恒成立，即可得出实数、的值； （3）根据题意可知在的值域是的子集，求出，分析可知，问题等价于函数在区间上的值域为的子集，然后对实数的取值进行分类讨论，求出函数在区间上的值域，根据集合的包含关系可求得实数的取值范围. 【详解】（1）已知函数是“型函数”， 根据“型函数”的定义，， 因为，所以，故，可得. （2）因为函数是“型函数”，所以，即. 由题意可知，所以恒成立， 所以，解得，. （3）因为函数是“型函数”，对应的实数对为，所以. 当时，； 当时，则. 当时，，在上单调递减. 故当时，，则在的值域为. 因为对任意时，都存在，使得， 所以在的值域是的子集， 根据题意，在等式中，令可得，解得，合乎题意； 若函数在区间、上的值域为、，则，， 对任意的，则，则，且，即， 所以，问题等价于函数在区间上的值域为的子集， 当时，，其对称轴为. ①若，即，在上单调递增，， 此时为的真子集，不合乎题意； ②若，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，且，， 由题意可知，函数在上的值域为的子集，则有， 解得， ③若，即，在上单调递减，， 此时不是的子集，不合乎题意. 综上：的取值范围是. 【变式7-1】.（24-25高一上·江西抚州·期末）若存在实数对，使得等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为“型函数” (1)若函数是“型函数”，且，求满足条件的实数对； (2)若函数是“型函数”，求和的值； (3)已知函数，函数是“型函数”，对应的实数对为，当时，．若对任意时，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，． (3) 【知识点】函数新定义、函数不等式恒成立问题、根据值域求参数的值或者范围、对数的运算 【分析】（1）解方程，，即可得出满足条件的实数对； （2）根据函数是型函数，可得出，结合等式恒成立可得出，即可解出实数、的值； （3）分析可知在上的值域是在上的值域的子集，等价于对任意，都有，然后利用函数是“型函数”并结合参变量分离法可求出的取值范围. 【详解】（1）因为是“型函数”， 所以存在实数对使得等式成立，即， 代入，可得，即，. 所以满条件的实数对为. （2）由是型函数，得， 则， 因此对定义域内任意恒成立， 于是，解得，，所以，． （3）因为对任意时，都存在，使得， 所以在上的值域是在上的值域的子集， 因为，当时，， 则对任意，都有， 因为是“型函数”，且对应的实数对为，所以． 当时，， 则只需满足对任意，都有且， 即对任意，都有即可， 即不等式对任意恒成立且． ①当时，时满足条件； ②当时，，满足条件； ③当时，该不等式等价于． 当时，恒成立，易知：； 当时，恒成立，所以， 因为， 当且仅当时，即当时，取等号．即. 综上可得，． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 【变式7-2】.（2024高三·全国·专题练习）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． (1)已知，利用上述性质，求函数的最值； (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值． 【答案】(1)最小值为，最大值为； (2)． 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义、根据集合的包含关系求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干所给函数的性质求解即可； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解即可． 【详解】（1）， 设 则． 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 即的最小值为，最大值为； （2）因为在上为减函数，故， 由题意，使得成立， 故的值域是的值域的子集， 所以，即， 解得. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江台州·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，根据函数单调性求最值即可得解. 【详解】函数，则， 因函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因在区间上单调递减，则， 故，即实数的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高二下·北京·期中）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】问题转化为导数在区间上恒大于等于0, 即恒成立，利用导数求出的最大值即可得到答案. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以其导数在该区间上恒大于等于0, 将不等式变形，得到, 令，则, 所以在区间上，，所以单调递减， 其中，在区间上的值域为， 要使在上恒成立，只需， 所以的取值范围是， 故选：C. 3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 4．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域记作集合，根据题意可得，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 5．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】根据给定的不等式，结合同构思想变形，再构造函数，利用导数确定单调性，将问题转化为不等式有解求解. 【详解】依题意，，则， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，不等式， 则，依题意，不等式在上有解， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，则，， 所以实数的取值范围是. 故选：B 6．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 二、多选题 7．（24-25高二下·河南焦作·期中）已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（    ） A． B． C．e D．2e 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、求过一点的切线方程、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】分情况讨论函数单调性，利用导数求出函数的最值，画出图像，找出相切情况，进而可得出答案. 【详解】解析  由题知，不等式对任意恒成立， 设，则，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 当时，，，∴当时.直线恒过点， 设直线与的图像相切时，切点为，∴，解得或， ∴直线与的图象相切时，切线斜率分别为，， 在同一坐标系中作出函数的图象与直线，由图知，要使对恒成立，则， 故选：BCD.    三、填空题 8．（24-25高二下·江西宜春·期中）若不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果. 【详解】由不等式有解，可得， 令， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)若，求函数的单调区间和极值； (2)若存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)增区间为和，减区间为，极大值，极小值； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题、求已知函数的极值 【分析】将代入函数解析式，利用导数判断其单调性和极值即可； 问题等价于存在，，设，利用导数求函数在上的最大值，进而可得出答案． 【详解】（1）若，则， 则， 令，可得或；令，可得， 所以该函数增区间为和，减区间为， 当时取得极大值，当时取得极小值； （2）因为存在，有成立， 所以存在，有成立，即存在， 因为，所以存在，， 设，其中，则， 因为，所以， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即， 故a的取值范围为 10．（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在上的最大值小于等于在的最大值，在（1）基础上得到的最大值，并求出，从而得到不等式，得到，令，，求导，得到其单调性，并结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】（1）由，定义域为， 则， 当时，， 故函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令得，令得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，若对于任意，总存在，使得， 即在上的最大值小于等于在的最大值， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减； 故. 由，，则， 由于，故在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 所以，即. 令，， 则， 故在上单调递减， 又， 所以当时，， 故m的取值范围为. 11．（2025·湖北·模拟预测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数讨论含参函数的单调性，令、即可求解； （2）由（1）可得，利用二阶导数讨论可知在上单调递减，且，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，，， 求导得. 当，由，解得或；由，解得. 当时，恒成立. 当时，由，解得或；由，解得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，的在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以. 令，，得. 令，，得， 所以在单调递减，得， 所以.所以在上单调递减. 因为且，所以， 则，所以a的取值范围为. 12．（2025·江苏盐城·三模）已知函数，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）先求的导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数法分别求解在给定区间的最小值，然后根据“恒成立”和“能成立”得到关于的不等式，再次利用导函数求单调性结合特殊点函数值解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以所求切线的斜率为，又， 所以切线方程为，即； （2），则函数定义域为， 所以，所以当时，有恒成立，在单调递减， 当时，由解得：，在上单调递减； 由解得：，在上单调递增； 综上，时，在单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，则 所以在上单调递减，所以， 则有，即， 设，，则， 所以在定义域内为减函数，又， 所以，所以，即的取值范围是. 13．（24-25高二下·贵州·期中）已知函数，a，，且． (1)若在点处的切线方程为求a，b的值并求函数的极值； (2)设，若当时，对任意，都有成立，求b的最大值． 【答案】(1)，，函数的极大值为，极小值为； (2) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义结合切线方程求解，，然后求出函数的导数，解不等式，，求得函数的单调区间，结合单调性利用极值的概念求极值； （2）化简不等式，并分离变量可得，利用导数求函数的最小值可得的最大值． 【详解】（1）由得， ∴，，由题意知，，∴，， 当，时，，定义域为． ∴． 令，得或，由，得或； 由，得或， ∴时取得极大值，时取得极小值； （2）∵， 当时，， ∵在上恒成立， ∴在上恒成立， 记，则， 当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数． ∴， ∴，即的最大值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$