10.1+第2课时 垂线及其性质 课件2025-2026学年沪科版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦垂线的定义、画法及性质，通过观察生活图片（如十字街口）和相交线模型活动导入，从相交线一般概念过渡到垂直特殊关系，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如跳远成绩对应垂线段长度），通过动手操作（折纸、三角板画图）和逻辑推理（邻补角、对顶角性质推导）培养数学思维，用符号语言（AB⊥CD）表达数学关系。结构化总结助学生系统掌握，教师可借实例提升效率，激发学生探究兴趣。

10.1 相交线 第2课时 垂线及其性质 第10章 相交线、平行线与平移 学习目标 1. 理解垂线的定义，用三角尺或量角器过一点画 已知直线的垂线。 2. 会过一点画已知直线的垂线。 情景引入 观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 活动：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, 当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化. ） α a b b b ） α 垂线的概念 一 a与b垂直 A B C D 1 2 4 3 解： a a b 选中中间绿点旋转b,使角阿尔法变化 O 新课探究 思考： 将十字街口的两条道路看作两条直线，如图（2）中的AB和CD，它们相交于点O，形成4个角.如果∠AOC=90°，那么其他三个角的度数各是多少？为什么？ 新课探究 解：其他三个角均为90°. 由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝90°， 因为∠AOC＋∠AOD＝180°， 所以∠AOD＝90°，所以∠BOC＝∠AOD＝90°. 1. 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，且∠AOC = ∠BOC. 那么直线 AB 与 CD 有什么位置关系? 为什么? A o B D C 解：因为∠AOC =∠BOC， 而∠AOC +∠BOC =180° (平角的定义)， 故 AB 与 CD 互相垂直. 所以∠AOC =∠BOC = 90°， 2. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线， 若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是 . C A B O E 1 2 D 垂直 直线AB与直线CD的交点叫做垂足 如图，两条直线相交，当它们的交角有一个角是90°时，叫做这两条直线互相垂直，它是直线相交的一种特殊情形，其交点叫垂足。 O A C A B D O A C A B D 垂直的定义： 当两条直线相交所成的四个角中有一个角是 时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。 根据以上定义，有如下推理过程： （垂线的定义） 新课探究 在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点O叫作垂足. A B C D O 垂足O 记作：AB⊥CD 读作：AB垂直于CD 新课探究 思考： 反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOC是多少度？ 如果AB⊥CD，那么∠AOC=90°. A B C D O 新课探究 A B C D O 符号语言： ①判定：因为∠AOD=90°（已知）， 所以AB⊥CD（垂直的定义）. ②性质：因为 AB⊥CD （已知）， 所以∠AOD=90°（垂直的定义）. (∠AOC =∠BOC =∠BOD =90°) 垂线的判定与性质 例1 如图，直线 AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠AOD=125°，求∠COE的度数. C A B D O E 解： ∵∠AOD=125° 又∵∠COB=∠AOD ∴∠COB=125° ∵OE⊥AB ∴∠EOB=90° ∵∠COE=∠COB－∠EOB ∴∠COE=125°－90° =35° 典例精析 用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ 无数条 l … … … … 1.两条直线相交所成的四个角中， 有一个角是90°时，叫做这两条 直线互相 ，记作 ． 2.两条直线互相垂直，其中的一条 直线叫做一条直线的 ，它们 的交点叫做 ，记作 ． 垂直 垂线 垂足 垂直是两条直线的位置关系，而垂线是一条直线 问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？ A B C D O 由对顶角和邻补角的性质，知 当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°. 新课探究 操作： 1.用折纸方法画垂线. 仿照下图所示的方法，折出经过点P与直线l垂直的折痕，用直尺沿折痕画出直线. 新课探究 操作： 2.用三角板画垂线. 仿照下图的画图办法，过已知直线l上（或外）的一点P画直线，使它与直线l垂直. 过直线 l 上一点 A 画直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ A l A l 有且只有一条 垂线的画法： 一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上； 二移：移动三角尺使已知点落在它的另一条直角边上； 三画：沿着这条直角边画线. 过直线 l 外一点 B 画直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ B l B l 有且只有一条 基本事实： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 垂线段最短 P A B C m D 简单说成：垂线段最短． 垂线段 斜线段 探究新知 l P A1 A2 O B3 B2 B1 A3 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 垂线段最短。 也可简单地说成：垂线段最短 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 问题：图中点P到直线 l 的距离是什么？ 探究新知 新课探究 操作： 2.用三角板画垂线. 过直线 l 外一点 B 画直线 l 的垂线，这样的垂线能画出几条？ B l 有且只有一条 新课探究 垂线的画法： 1.落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合. 2.移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点. 3.画：沿已知点所在的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线. 通常，线段、射线与某一条直线互相垂直，是指它们所在的直线与该直线互相垂直. 画射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. B A . P . A B . P 　 过P点，分别画出射线AB与线段AB的垂线. C D E 如图，点A在直线l外，在直线l上任意取一些点B、C、D、E，把这些点分别与点A连接，得到线段AB，AC，AD，AE，其中AD⊥l. B l A 观察这些线段，比较它们的长短，其中哪一条线段最短？ 线段AD最短 连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段. 例 如图，是一个同学跳远的位置，跳远成绩怎么表示? m P A 解:过P点作PA⊥m于点A，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩. 探究新知 新课探究 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 关于直线的垂线,有如下基本事实: 如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直 这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外 “有”指存在，“只有”指唯一性 新课探究 通常，线段、射线与某一条直线互相垂直，是指它们所在的直线与该直线互相垂直. 画射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. B A . P . A B . P 新课总结 1.垂直: 在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点O叫作垂足. 2.垂线的基本事实： 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 新课总结 3.垂线段: 从直线l外一点P向直线l作垂线，垂足记为点O，则线段OP叫作点P到直线l的垂线段. 4.垂线段的性质: 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 5.点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离． $