10.1 第2课时 垂线及其性质（课件）-2025--2026学年沪科版七年级数学下册

沪科版数学7年级下册培优备课课件（精做课件） 10.1 第2课时 垂线及其性质 第10章 相交线、平行线与平移 授课教师： Home . 班 级： 七年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版七年级数学下册10.1 第2课时 垂线及其性质 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本课时主要学习垂线的定义、表示方法、画法及垂线的核心性质，是在对顶角基础上对相交线的进一步深入学习，也是后续学习平行线、三角形、四边形等几何知识的重要基础。本节课将通过实例引入垂线的概念，讲解垂线的规范画法，探究并总结垂线的性质，结合典型例题和分层练习题，帮助同学们掌握垂线的识别、画法和性质应用，规避易错点，夯实几何推理与计算基础。 一、核心知识点梳理 （一）垂线的定义 1. 前提条件：两条直线相交（垂线是相交线的特殊情况，只有两条直线相交时，才有可能形成垂线）； 2. 定义：当两条直线相交成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 3. 关键要点： ① 垂线是互相的：若直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD（读作“AB垂直于CD”），则CD也垂直于AB，不能单独说某一条直线是垂线； ② 垂足是两条直线垂直相交的唯一交点，且垂足一定在两条直线上； ③ 两条直线垂直的本质是“相交成直角”，直角的度数为90°，反过来，若两条直线互相垂直，则它们相交成的四个角都是直角（均为90°）； ④ 垂线与普通相交线的区别：普通相交线相交成的角不一定是直角，而垂线相交成的角一定是直角。 （二）垂线的画法（规范步骤，贴合七年级实操） 1. 过直线上一点画已知直线的垂线 1. 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 2. 使三角尺的另一条直角边经过直线上的已知点； 3. 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线； 4. 在垂足处标上直角符号（“┐”），注明垂足。 2. 过直线外一点画已知直线的垂线 1. 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 2. 使三角尺的另一条直角边经过直线外的已知点（确保三角尺贴合直线，不歪斜）； 3. 沿着三角尺的另一条直角边画一条直线，交已知直线于一点，这条直线就是已知直线的垂线； 4. 在垂足处标上直角符号，注明垂足和已知点。 3. 注意事项 ① 画垂线时，三角尺的直角边必须与已知直线完全重合，避免画成倾斜的直线；② 直角符号必须标在垂足处，标注要规范；③ 过一点画已知直线的垂线，只能画一条。 （三）垂线的性质（核心考点） 1. 性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 关键解读：① “同一平面内”是前提条件（空间中过一点可能有无数条直线与已知直线垂直）；② “一点”可以是直线上的点，也可以是直线外的点；③ “有且只有一条”表示存在性（有一条）和唯一性（只有一条），不能画两条或更多条。 2. 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 关键解读：① 前提是“直线外一点”（直线上的点与直线的连线是点本身，无垂线段之说）；② 垂线段是指过直线外一点向已知直线作垂线，该点与垂足之间的线段；③ 简单记为“垂线段最短”；④ 直线外一点到这条直线的距离，就是指这个点到这条直线的垂线段的长度（距离是长度，不是线段本身）。 （四）垂线与对顶角、邻补角的联系 1. 若两条直线互相垂直，则它们相交成的四个角都是直角（90°），此时每一对邻补角的和为90°+90°=180°（仍满足邻补角互补的性质）； 2. 若两条直线互相垂直，则对顶角也都是直角（90°），仍满足对顶角相等的性质； 3. 反之，若两条直线相交成的一个角是直角，则这两条直线互相垂直，此时对顶角和邻补角均为直角。 二、全课时易错点归纳（重点规避） 1. 混淆“垂线”与“垂线段”：误认为垂线段就是垂线，忽略垂线是直线（无限延伸），垂线段是线段（有两个端点，不能延伸）； 2. 忽略垂线的前提条件：在“同一平面内”，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，忽略该前提，错误认为空间中过一点也只有一条直线与已知直线垂直； 3. 画垂线时不规范：三角尺直角边未与已知直线完全重合，或未在垂足处标直角符号； 4. 混淆“点到直线的距离”：把点到直线的垂线段当作距离，忽略距离是垂线段的长度（是一个数值，不是图形）； 5. 错误认为“相交的两条直线一定垂直”：相交线不一定垂直，只有相交成直角时，两条直线才互相垂直； 6. 过直线外一点画垂线时，错误画出多条垂线，忽略垂线的唯一性。 三、典型例题解析（贴合考点，突破重难点） 例题1：垂线的识别与表示 下列说法正确的是（ ） A. 两条相交的直线一定互相垂直 B. 若直线AB⊥CD，则CD⊥AB C. 垂线是一条单独的直线 D. 两条直线垂直，交点不是垂足 解析：A选项错误，相交的两条直线不一定成直角，不一定垂直；B选项正确，垂线是互相的，AB垂直于CD，CD也垂直于AB；C选项错误，垂线不能单独存在，是两条直线的位置关系；D选项错误，两条直线垂直的交点就是垂足。 答案：B 例题2：利用垂线的性质求角度 如图，直线AB与CD互相垂直，垂足为O，∠AOE = 35°，求∠DOE的度数。 解析：① 由AB⊥CD可知，∠AOD = 90°（两条直线垂直，相交成直角）； ② 观察角的关系：∠AOD = ∠AOE + ∠DOE（角的和差关系）； ③ 代入数据计算：90° = 35° + ∠DOE，解得∠DOE = 90° - 35° = 55°。 答：∠DOE = 55°。 例题3：垂线性质的应用（垂线段最短） 如图，点P是直线l外一点，PA、PB、PC分别是点P到直线l的三条线段，其中PB⊥l，垂足为B，PA = 5cm，PB = 3cm，PC = 4cm，求点P到直线l的距离。 解析：① 由垂线的性质2可知，连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，PB是点P到直线l的垂线段； ② 点到直线的距离是垂线段的长度，PB的长度就是点P到直线l的距离； ③ 已知PB = 3cm，故点P到直线l的距离为3cm。 答：点P到直线l的距离为3cm。 例题4：易错辨析 判断下列说法是否正确，若不正确，请说明理由。 （1）过一点有无数条直线与已知直线垂直； （2）垂线段就是点到直线的距离； （3）两条直线相交成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直； 解析：（1）不正确，理由：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，忽略“同一平面内”的前提才会错误认为有无数条； （2）不正确，理由：垂线段是图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，二者不能混淆； （3）正确，理由：这是垂线的定义，两条直线相交成直角时，就互相垂直。 四、课时练习题（分层巩固，查漏补缺） （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 垂线是单独的一条直线 B. 两条直线垂直，交点叫做垂足 C. 相交的两条直线一定垂直 D. 过直线上一点可以画两条垂线 2. 直线AB与CD互相垂直，记作（ ） A. AB⊥CD B. AB=CD C. AB∥CD D. AB≠CD 3. 过直线外一点，向已知直线作垂线，能作（ ）条 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数 4. 点到直线的距离是指（ ） A. 点到直线的线段 B. 点到直线的垂线段 C. 点到直线的垂线段的长度 D. 点到直线的所有线段的长度 5. 直线AB与CD互相垂直，垂足为O，则∠AOC = ______°。 （二）中档题（每题6分，共30分） 1. 如图，直线AB与CD互相垂直，垂足为O，∠BOC = 30°，求∠AOD、∠AOC的度数（要求写出推理过程）。 2. 如图，点P是直线l外一点，过点P作直线l的垂线，画出图形，并标上垂足和直角符号。 3. 判断下列说法是否正确，若不正确，请改正。 （1）垂线段比任何一条连接直线外一点与直线上各点的线段都短； （2）在同一平面内，过直线外一点有两条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到直线的距离就是这条直线外一点到直线的垂线段。 4. 如图，直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOE = 45°，求∠COE的度数。 5. 如图，点P到直线l的垂线段为PB，垂足为B，PA = 6cm，PB = 4cm，PC = 5cm，求点P到直线l的距离，并说明理由。 （三）提高题（每题10分，共50分） 1. 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE = 30°，求∠AOF的度数（提示：结合对顶角和垂线的性质）。 2. 如图，点P是直线l外一点，A、B、C是直线l上的三点，PB⊥l，垂足为B，PA = 7cm，PB = 5cm，PC = 6cm，比较PA、PB、PC的长度，并说明理由。 3. 已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠BOD = 50°，求∠COE的度数。 4. 求证：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（简单证明，贴合七年级认知）。 5. 如图，直线AB⊥CD，垂足为O，∠AOC = ∠BOE，求∠DOE的度数，并说明理由。 五、参考答案与解析 （一）基础题 1.B 2.A 3.A 4.C 5.90 （二）中档题 62. 解：∵ AB⊥CD，垂足为O，∴ ∠AOC = 90°（两条直线垂直，相交成直角）； ∵ ∠AOD与∠BOC是对顶角，∴ ∠AOD = ∠BOC = 30°。 63. 解析：画图步骤：① 把三角尺的一条直角边与直线l重合；② 使三角尺的另一条直角边经过点P；③ 沿另一条直角边画直线，交l于点O（垂足）；④ 标上直角符号“┐”，注明垂足O和点P。（图形略） 64. （1）正确； （2）不正确，改正：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）不正确，改正：直线外一点到直线的距离就是这条直线外一点到直线的垂线段的长度。 65. 解：∵ AB⊥CD，∴ ∠AOC = 90°； ∵ ∠AOE = 45°，∴ ∠COE = ∠AOC - ∠AOE = 90° - 45° = 45°。 66. 解：点P到直线l的距离为4cm； 理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，PB是点P到直线l的垂线段，其长度就是点P到直线l的距离，故距离为4cm。 （三）提高题 69. 解：∵ AB⊥CD，∴ ∠DOB = 90°； ∵ ∠DOE = 30°，∴ ∠BOE = ∠DOB - ∠DOE = 90° - 30° = 60°； ∵ ∠AOF与∠BOE是对顶角，∴ ∠AOF = 60°。 70. 解：PB＜PC＜PA； 理由：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，PB是点P到直线l的垂线段，故PB最短，即PB＜PC＜PA。 71. 解：∵ OE⊥AB，∴ ∠AOE = 90°； ∵ ∠AOC与∠BOD是对顶角，∴ ∠AOC = ∠BOD = 50°； ∴ ∠COE = ∠AOE - ∠AOC = 90° - 50° = 40°。 72. 证明：假设在同一平面内，过点P有两条直线l₁、l₂都与已知直线l垂直， 则l₁⊥l，l₂⊥l，根据垂线的性质，l₁与l₂都与l成90°角， 那么l₁∥l₂（同位角相等，两直线平行），但l₁、l₂都过点P，两条平行直线不可能交于一点， 故假设不成立，因此在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 73. 解：∠DOE = 90°； 理由：∵ AB⊥CD，∴ ∠AOC = ∠BOD = 90°（两条直线垂直，相交成直角）； 又∵ ∠AOC = ∠BOE，∴ ∠BOE = 90°； ∵ ∠BOE + ∠DOE = ∠BOD = 90°，∴ ∠DOE = 90° - 90° = 0°（或直接得出∠DOE = 90°，结合角的和差推导即可）。 2026年4月6日星期一11时33分5秒 2026年4月6日星期一11时33分9秒 日常生活里，有图中位置关系的两条直线很常见，你能再举出其他例子吗？ 在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化. ） α a b b b b b ） α ） α ） α ） α ） α ） α ） α 垂线的概念 1 问题 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，当∠AOC = 90° 时，∠BOD、∠AOD、∠BOC 的度数是多少？为什么？ A B C D O 由对顶角和补角的性质可知，当∠AOC = 90° 时，∠BOD =∠AOD =∠BOC = 90°. 两条直线相交所成的 4 个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直. 注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直. 垂直的定义： 知识要点 如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD. 读作“AB 垂直于 CD”，其中一条直线叫作另一条直线的垂线. 互相垂直的两条直线的交点叫作垂足 (如图中的 O 点). A B C D O l m 垂直的表示方法： A B C D O 符号语言： ① 判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于 点 O，∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O. 因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. ② 性质：若直线 AB⊥CD，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC =∠BOC =∠BOD = 90°) 垂线的定义延伸 符号语言： 例1 (1) 如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1=90°，则m n； (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =_____°； (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝____°，∠BOC 的补角为 °. O m n 1 B C A O ⊥ 90 72 162 图1 图2 典例精析 你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动1： 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 活动2： 折一折，试一试 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? 例2 如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数． 解：因为∠BOE＝∠NOE， 所以∠BON＝2∠NOE＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°. 所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 所以∠AOM 和∠NOC 的度数分别为 50° 和 140°. 问题： (1) 画已知直线 l 的垂线能画几条? (2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? A .B l . 垂线的画法及一个基本事实 2 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 1. 放 l O 如图，已知直线 l，作 l 的垂线. A 无数条 2. 靠 3. 画 … l A B 1. 放 2. 靠 3. 移 4. 画 如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 l M N 1. 放 2. 靠 3. 移 4. 画 如图，已知直线 l 和 l 外的一点 M，过点 M 作 l 的垂线. 问题：这样画 l 的垂线可以画几条？ 一条 根据以上操作，你能得出什么结论 关于直线的垂线，有如下基本事实： 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意：有时，我们说线段、射线与某一条直线互相垂直，是指线段所在直线、射线所在直线与该直线互相垂直. 画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 要点归纳 C D E 1. 线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？ 2. 你能用一句话表示这个结论吗？ 说一说： 如图，从 A 点向已知直线 l 引一条垂直的线段 AD（即点 A 到直线 l 的垂线段）和几条不垂直的线段 AB，AC，AE. B l A 点到直线的距离 3 连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段 (点到直线的距离) 最短. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离. 特别规定： D l A 如图，点 A 到直线 l 的距离是什么？ 是垂线段 AD 的长 归纳总结 想一想： 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由. m 垂线段最短 核心必知 1.在两条直线和 相交所成的4个角中，如果有一个角是 ______，就说这两条直线互相垂直，记作“_________”，读 作“垂直于 ”，其中一条直线叫作另一条直线的垂线， 它们的交点叫作垂足. 直角 中考考法 21 2.关于直线的垂线，有如下基本事实：同一平面内，过一点 __________________与已知直线垂直. 注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 有且只有一条直线 中考考法 22 1星题 基础练 知识点1 垂直 1.［知识初练］如图，直线， 相交于 点，若 ，则___ ；若 ，则 _____. 中考考法 23 2.如图，,若 ，则 的 度数是( ) C A. B. C. D. 中考考法 24 3.真实情境 如图是集热板示 意图，集热板与太阳光线垂直 时，光能利用率最高.春分日 兰州正午太阳光线与水平面的 夹角 为 .若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角 的度数是_____. 中考考法 25 知识点2 垂线的画法 4.教材改编题 过点画的垂线 ，下列选项中操作正确的 是( ) D A. B. C. D. 中考考法 26 5.如图，三角形外有一点，画出点 到三角形三边的垂 线，交点分别为、、 .(8分) 解：如图所示，,, 即 为所求. 中考考法 27 知识点3 垂线的基本事实 6.如图，在一张透明的纸上画一条 直线，在直线 外的纸面上任取一 点，并折出过点且与 垂直的直 线.这样的直线能折出( ) B A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 中考考法 28 【变式题】 在平面内画已知直线 的垂线，能画出( ) D A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 中考考法 29 7.[杭州月考] 如图，在同一平面内， ，，垂足为，则与 重合的理由是________________________ ___________________________. 同一平面内，过一点有且 只有一条直线与已知直线垂直 中考考法 30 2星题 中档练 (第8题) 8.如图，直线,交于点， 于点.若 ，则 的度 数为_____. 中考考法 31 9.如图，直线，相交于点，于点 ，若 ，那么 的度数为______. (第9题) 中考考法 32 (第10题) 10.[黄山期末] 如图，直线， 相交 于点，， ， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 中考考法 33 11.如图，直线与相交于点 ， ，分别是， 的平分 线.(12分) (1) 的补角有__________________ ______； ，， 中考考法 34 (2)若 ，求和 的度数； 中考考法 35 解：因为是 的平分线， ， 所以 ， 所以 . 中考考法 36 因为是 的平分线， ，所以 . 中考考法 (3)试问射线与 之间有什么特殊的位置关系？请说明理由. 中考考法 38 射线与 互相垂直.理由： 因为，分别是， 的 平分线， 所以, , 所以 . 所以，即射线与 互相垂直. 中考考法 39 3星题 提升练 12.几何直观 已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直， 试探索这两个角之间的数量关系.(16分) 中考考法 40 (1)如图①，，，与 的数量关系是 _________； 中考考法 41 (2)如图②，，，与 的数量关系是 ________________； 中考考法 42 (3)由 得出结论：若一个角的两边与另一个角的两边分 别垂直，则这两个角____________； 相等或互补 中考考法 43 (4)若两个角的两边互 相垂直，且一个角比 另一个角的3倍少 ， 求这两个角的度数. 中考考法 44 解：设另一个角的度数为 ，则这个 角的度数为 ， 根据题意可得 或 ， 解得 或 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以这两个角的度数为 ， 或 ， . 中考考法 45 提分笔记 1.有关垂线或垂直的题目中，一定要明确垂线，直角与垂直 之间存在如影相随的关系，只要知其一，即可得到 的角， 并由此找到解题的切入点. 中考考法 2.垂线的性质理解： (1)大前提是“在同一平面内”； (2)“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”； (3)“过一点”中的“点”在直线“外”或在直线“上”. 中考考法 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足. 1. 垂线的定义 2. 垂线的画法 3. 垂线的性质（两个基本事实） (1) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2) 垂线段最短. 4. 点到直线的距离 $