精品解析：湖北武汉市第十二中学2026届高考5月适应性测试试卷

2026年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试 数学 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡的规定位置上，并认真核对条形码上的信息是否与本人相符. 2.选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动、请用橡皮擦干净后，再涂其他答案.非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔在规定的答题区域内作答.不准使用修正带和涂改液，否则答题无效. 3.本试卷共4页，19小题，试卷满分150分，考试用时120分钟、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】解不等式，得，则，而， 所以. 故选：C 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求得，利用可求解. 【详解】，. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算与模长公式的计算，求得参数，利用数量级的坐标运算，可得答案. 【详解】，解得， 即，则． 故选：B. 4. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为指数函数与二次函数交点个数问题即可. 【详解】令，则， 在同一坐标系作出两函数图象， 从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点， 又，所以也是的两个零点， 且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点， 则总共有3个零点， 故选：D 5. 已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围． 【详解】由已知可得双曲线的焦点在轴上时，，， 所以 ，由，解得. 故选：A. 6. 已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，该圆台的体积为. 故选：C 7. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由，代入解析式可解得或，结合充分条件、必要条件的定义即可得答案. 【详解】由，得，即．又，所以或，则“”是“”的充分不必要条件． 故选：B. 8. 已知函数，当且仅当有，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，由此求出，即可求出，再由可得，再对进行求导，得到在的单调性和的函数值即可得出答案. 【详解】由题意可知， ，解得， 当时，则， 又，所以，所以， 验证：， ， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，， 所以当且仅当时，，所以成立. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出一组数据：2，4，4，6，6，7，13，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为11 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的平均数为6 D. 这组数据的80％分位数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】由极差、众数，平均数和百分位数的定义求解即可. 【详解】对于A，这组数据的极差为：，故A正确； 对于B，这组数据的众数为，故B错误； 对于C，这组数据的平均数为，故C正确； 对于D，，所以这组数据的80％分位数为第6个数，即，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数，则（ ） A. 是增函数 B. 有且仅有1个零点 C. 的图象关于原点对称 D. 既有极大值又有极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】先求出，再利用判别式判断得到其正负，进而判断A，先求出，再结合的单调性判断B，证明判断C，利用是增函数得到其无极值判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 11. 已知抛物线：，过焦点的直线与交于，两点，，与关于原点对称，直线与直线的倾斜角分别是与，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作轴于，做轴于， 设直线的方程为，与抛物线方程联立求出，求出，可判断A；求出可判断B；求出利用基本不等式得出可判断C；求出、，做差与0比较大小可判断D. 【详解】作轴于，做轴于， 所以，，抛物线的焦点， 因为，所以，即，所以直线的斜率存在设为， 可得直线的方程为， 与抛物线方程联立， 整理得， 所以，， 对于A，，，所以，故A错误； 对于B，因为， 所以 ， 所以直线与的倾斜角互补，即，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以， ，， 所以， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用问题，对于解析几何的题目要善于运用数形结合的方法，以联立方程和计算为基础，进行题意的转化进而求解答案. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13. 已知为锐角，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系式及诱导公式可得. 【详解】因为为锐角，且，由同角三角函数关系式得， 又由诱导公式及商数关系式得． 故答案为：． 14. 过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】建系，利用坐标运算以及球的定义得出球心坐标和半径，再构造函数求范围. 【详解】如图，正四面体，过点作平面，且垂足为， 取线段的中点为，则三点共线， 以为原点，以平行于的直线为轴，以所在直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为， 则，，， 因为平面，平面，所以， 则， 则， 设过棱的平面与交于点，故可设， 设三棱锥的外接球半径为，球心坐标为， 三棱锥的外接球半径为，球心坐标为， 则 ， ， 解得，， ， 故， 若，则； 若，则， 因为在上单调递减，在上单调递减， 且当时，当时， 所以或， 则或， 则或， 综上可知，，故， 故这两个三棱锥外接球半径之比的范围是 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为，． （1）求角； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到的值，再由可得角； （2）由正弦定理得到，结合可得和，设边上的高为，由可得. 【小问1详解】 由，得． ． ，． 又，，，． 【小问2详解】 ，，． 由，解得． 设边上的高为，，. 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面． （1）若，求证：平面； （2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质结合已知条件先证明，再利用勾股定理证明，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，写出相应的点，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 又平面平面，且面面，面， 所以直线面，又平面，所以， 又， 所以，， 所以，从而， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 以AB的中点为原点所在直线为轴，所在直线为轴， 如图所示： ， 则， 由题知平面，故取向量为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， ， 令，解得，故， 设平面与平面的夹角为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为： ， 由图可知平面与平面所成的角为锐角， 所以平面与平面的夹角的正弦值为： . 17. 某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为，已知王同学第天选择的是在餐厅用餐. （1）求； （2）若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 期望【解析】 【分析】（1）根据和题意逐步计算即可； （2）先列举出王同学前天不连续三天在同一家餐厅就餐的所有情况，然后结合条件概率和独立事件的乘法公式求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，. 【小问2详解】 王同学前天在哪个餐厅用餐的可能情况如下： 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 所以的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 因此期望. 18. 已知函数，． （1）证明：当时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【小问1详解】 因，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故当时，． 【小问2详解】 的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 由（1）知，当时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 19. 设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明：的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线方程，结合已知几何性质求出点，再利用两点间距离公式计算求解； （2）利用抛物线的焦点弦公式结合椭圆的定义求出三角形的周长，进而证明的周长为定值；利用椭圆的离心率公式结合点在上且位于第一象限构造不等式，进而证明结论． 【小问1详解】 将点的坐标代入，得，解得， 抛物线的方程为，故，准线的方程为，则， ． 【小问2详解】 证明：（i）设，，，则， 由题意知，，， 经过，两点，且这两个点的纵坐标相同， 由椭圆的对称性可得，的短轴必在线段的垂直平分线上，且的中心的横坐标． 又的焦点均在轴上，在轴上，即． 设的长半轴长为，则． 设的左焦点为，则， 则的周长． ，且， ，故的周长为定值． （ⅱ）设的焦距为，离心率为，则． 由（ⅰ）知，为的右顶点，为右焦点， 则． 由在轴正半轴上可知，则， ． 设的短半轴长为，则，将点的坐标代入的方程， 并结合，得， 整理得，代入与，化简得，解得． 点在第一象限且为的右顶点，，即． 由知，，则． 要证，只需证，即证，即证， 的离心率大于，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试 数学 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡的规定位置上，并认真核对条形码上的信息是否与本人相符. 2.选择题必须使用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动、请用橡皮擦干净后，再涂其他答案.非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔在规定的答题区域内作答.不准使用修正带和涂改液，否则答题无效. 3.本试卷共4页，19小题，试卷满分150分，考试用时120分钟、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，当且仅当有，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出一组数据：2，4，4，6，6，7，13，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为11 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的平均数为6 D. 这组数据的80％分位数为6 10. 已知函数，则（ ） A. 是增函数 B. 有且仅有1个零点 C. 的图象关于原点对称 D. 既有极大值又有极小值 11. 已知抛物线：，过焦点的直线与交于，两点，，与关于原点对称，直线与直线的倾斜角分别是与，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 13. 已知为锐角，且，则____________． 14. 过正四面体的一条棱作截面将其分为两个三棱锥，则这两个三棱锥外接球半径之比的范围是___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为，． （1）求角； （2）若，求边上的高． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面． （1）若，求证：平面； （2）若是等边三角形，求平面与平面夹角的正弦值． 17. 某学校有，两家餐厅，王同学每天都在学校两家餐厅中的某一个餐厅用餐，若王同学某天选择了某个餐厅用餐，则第二天还选择这个餐厅用餐的概率为；设第天选择在餐厅用餐的概率为，已知王同学第天选择的是在餐厅用餐. （1）求； （2）若规定王同学不能连续三天在同一家餐厅就餐，设为王同学前天在餐厅用餐的次数，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数，． （1）证明：当时， （2）若是的极大值点，求的取值范围． （3）若，且，其中，证明：． 19. 设抛物线（为常数，且）的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，过点作的垂线，垂足为． （1）若点的坐标为，求． （2）设过，，三点可作椭圆，且的两个焦点均在轴上，记轴正半轴上的焦点为，且在的左侧． （ⅰ）证明：的周长为定值． （ⅱ）证明：的离心率大于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $