第五章分式与分式方程单元测试卷（基础）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 本卷为初中数学分式与分式方程基础单元卷，通过基础题与情境应用题结合，覆盖分式定义、性质、方程及应用，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式定义、最简分式、分式值变化|基础概念辨析，如分式个数判断、值随字母变化规律| |填空题|6/18|分式有意义条件、值为零、增根|聚焦易错点，如含参数分式方程增根与无解问题| |解答题|7/72|化简求值、解方程、实际应用（机器人搬运、篮球购买）、创新定义“和谐分式”|分层设计，从基础运算到情境建模（如旅游车费分摊），结合“和谐分式”培养抽象能力|

第五章分式与分式方程单元测试卷（基础） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．下列各式：，，，m，其中分式共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 3．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 4．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（　　） A．分式的值为 B．分式无意义 C．若a时，分式的值为零 D．若a时，分式的值为零 5．已知分式的值为0，那么x的值是（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．1或﹣2 6．若分式，则分式的值等于（　　） A． B． C． D． 7．如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 8．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．乙和丁 9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3 10．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 12．若分式的值为零，则x＝　 　 ． 13．已知，则　 　 ． 14．若关于x的方程2有增根，则m的值是 　 　 ． 15．已知关于x的方程的解大于1，则实数m的取值范围是　 　 ． 16．若关于x的分式方程无解，则m＝　 　 ． 三．解答题（共7小题，共72分，解答题写出文字说明和解答过程） 17．（8分）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 18．（12分）解方程： （1）； （2）． 19（10分）．某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？ 根据以上信息，解答下列问题． （1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为　 　 ． 小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为　 　 ． （2）请你按照（1）中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程． 20．（10分）在解分式方程2时，小李的解法如下： 第一步：•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4， 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0， 第六步：∴原分式方程的解为x＝4． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 21（10分）．某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 22．（10分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 23．（12分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：1，2，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　 （填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　 　 +　 　 ； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【答案】B 【解答】解：，，，m，其中分式共有：，m共有2个． 故选：B． 2．【答案】A 【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意； B、原式，不合题意； C、原式，不合题意； D、原式，不合题意， 故选：A． 3．【答案】B 【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：， 则分式的值变为原来的． 故选：B． 4．【答案】C 【解答】解：由3x﹣1≠0，得x， 故把x＝﹣a代入分式中，当x＝﹣a且﹣a时，即a时，分式的值为零． 故选：C． 5．【答案】B 【解答】解：∵分式的值为0， ∴（x﹣1）（x+2）＝0且x2﹣1≠0， 解得：x＝﹣2． 故选：B． 6．【答案】B 【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy； ∴x﹣y＝﹣2xy 将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得 ． 故选：B． 7．【答案】B 【解答】解∵1 又∵x为正整数， ∴1 故表示的值的点落在② 故选：B． 8．【答案】D 【解答】解：∵ • • • ， ∴出现错误是在乙和丁， 故选：D． 9．【答案】C 【解答】解：原分式方程可化为：2， 去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2， 解得x， ∵分式方程解是非负数， ∴0，且1， ∴m的取值范围是：m≤5且m≠3， 故选：C． 10．【答案】D 【解答】解：设实际参加游览的同学共x人， 根据题意得：3． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．【答案】x≠3． 【解答】解：由题可知， x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为：x≠3． 12．【答案】﹣3 【解答】解：∵分式的值为零， ∴，解得x＝﹣3． 故答案为：﹣3． 13．【答案】 【解答】解：设k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，则． 故答案为． 14．【答案】0 【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得， 2﹣x﹣m＝2（x﹣2）， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2＝0， 解得x＝2， ∴2﹣2﹣m＝2（2﹣2）， 解得m＝0． 故答案为：0． 15．【答案】m＜0，且m≠﹣2 【解答】解：方程两边乘x﹣2得：x+m＝2﹣x， 移项得：2x＝2﹣m， 系数化为1得：x， ∵方程的解大于1， ∴1，且2，解得m＜0，且m≠﹣2． 故答案为：m＜0，且m≠﹣2． 16．【答案】﹣4或6或1 【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2）， 解得m＝6． （2）x＝2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2）， 解得m＝﹣4． （3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）， 得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， 化简得：（m﹣1）x＝﹣10． 当m＝1时，整式方程无解． 综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解． 三．解答题（共7小题） 17．【答案】见试题解答内容 【解答】解： • • ， ∵x+3≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣3，x≠1， ∴当x＝2时，原式2． 18．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5， 解得：x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解； （2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解． 19．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：； 小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：10； 故答案为：；10； （2）设乙型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得： ， 解得：x＝30， 经检验得：x＝30是原方程的解，且符合题意， 答：乙型机器人每小时搬运30kg产品． 20．【答案】详见解答． 【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母； 去分母的依据是：等式的基本性质； 小李的解答过程不正确； 正确的解答过程： 2， 去分母，得•（x﹣2）•（x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4， 移项并合并，得x＝2． 检验：当x＝2时，x﹣2＝0． ∴原分式方程无解． 21．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 由题意得：2， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝80． 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元． （2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个， 由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060， 解得：a≤20， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 22．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是 （x﹣200）元． 根据题意：， 解这个方程，得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的根， ∴x﹣200＝300， 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元； （2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型 （40﹣m）台， 购买A型和B型编程机器人模型共花费w元， 由题意得：40﹣m≤3m， 解得：m≥10， w＝500×0.8•m+300×0.8（40﹣m）， 即：w＝160m+9600， ∵160＞0 ∴w随m的减小而减小． 当m＝10时，w取得最小值11200， ∴40﹣m＝30 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 23．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①1，是和谐分式；③1，是和谐分式；④1，是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）a﹣1， 故答案为：a﹣1，； （3）原式• ＝2， ∴当x+1＝±1或x+1＝±2时，分式的值为整数， 此时x＝0或﹣2或1或﹣3， 又∵分式有意义时x≠0、1、﹣1、﹣2， ∴x＝﹣3． 学科网（北京）股份有限公司 $