精品解析：云南楚雄第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第7节，必修第二册第六章~第八章第5节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间中三条不同的直线，若，则（ ） A. B. C. 与相交 D. 与是异面直线 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面四边形中，与不共线，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） 等级计算方法 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 11. 如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 平面 C. 与是异面直线 D. 直线，，相交于一点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部是________. 13. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 14. 在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求． 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 18. 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. （1）证明：； （2）求证：平面； （3）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若为边上一点，且的面积为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第五章第5节~第7节，必修第二册第六章~第八章第5节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是空间中三条不同的直线，若，则（ ） A. B. C. 与相交 D. 与是异面直线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为，，所以； 选项B：由选项A可知，，所以和不垂直； 选项C：由选项A可知，，所以和不相交； 选项D：由选项A可知，，所以和共面. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 3. 已知，，点P满足，则点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量的坐标，进而求出点的坐标. 【详解】点，，则，于是， 所以点的坐标为. 故选：C 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． 7. 在平面四边形中，与不共线，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可. 【详解】解：如图， 由题意知①，②，又， 则得， 所以，又与不共线， 所以，所以. 8. 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） 等级计算方法 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 在中，， 在中， 米. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项. 【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误； 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确； 正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确； 四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项. 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误； 对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确. 11. 如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（ ） A. ，，，四点共面 B. 平面 C. 与是异面直线 D. 直线，，相交于一点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点，线，面的关系即可判断选项A；根据线面平行的判定即可判断选项B；先证明，，，四点共面，进而即可判断选项C；设，再证明是否在直线上，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，平面，且，，三点不共线，而平面， 所以，，，四点不共面，故A错误； 对于B，因为，分别为棱，的中点，所以，且， 又平面，而平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为点，分别在棱，上，且，， 所以 ，且，所以，且，所以，，，四点共面， 又平面，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，因为，，，四点共面，且显然不平行，所以相交， 设，又平面，平面，所以平面，且平面， 又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数的虚部是________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简即可. 【详解】因为，所以其虚部为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查复数的乘除运算及复数的概念，考查基本运算能力，属于基础题. 13. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为，则， 即，得，即该圆锥的底面圆的直径为. 故答案为： 14. 在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数． （1）求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数乘法运算化简，结合共轭复数即可求出； （2）通过复数相等求出的值，再利用模长公式即可求出. 【小问1详解】 ， 所以 ． 【小问2详解】 由 ，得， 即 ， 所以 ，解得，， 故． 16. 已知向量，． （1）求； （2）若向量，且，求的值； （3）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求出，再利用向量的模的坐标公式求出； （2）利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示求出值； （3）求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示求出一个向量，结合单位向量的意义求得答案. 【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 由，则， 因为，所以，解得. 【小问3详解】 由题可得，设与垂直的向量， 则，取，得，则， 所以，与向量共线的单位向量为， 因此，与垂直的单位向量的坐标或. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）若且，求的值． 【答案】（1），单调递增区间为（） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式降幂，再由两角和的正弦公式化简，最后由正弦函数的性质计算可得； （2）利用同角三角函数关系结合角的范围求得，然后由两角差的余弦公式代入求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令（），解得（）， 所以的单调递增区间为（）； 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 18. 如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. （1）证明：； （2）求证：平面； （3）直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. （2）取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. （3）存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，再用线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过构造辅助线，在平面找到与平行的线，利用线面平行的判定定理可证明. （3）构造中点，面面平行的判定定理证明平面平面，可确定的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的周长； （3）若为边上一点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理求出的余弦值，从而得到角的大小； (2)利用正弦定理把边化为角，从而求出边长，再得到的周长； (3) 设 ，则，转化为向量求解. 【小问1详解】 由，两边平方整理得，即， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 由知，则为钝角. 由，得， 所以， 又，所以，则 ， 所以，则，故. 由正弦定理，得，， 故的周长为. 【小问3详解】 由，得. 设 ，则， 所以， 所以， 则 ， 整理得 ， 由 ，知 ， 所以 ，解得，或（舍去）， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $