专题04不等式与不等式组期末复习讲义 (24大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04不等式与不等式组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解不等式、不等式的解、解集、一元一次不等式、一元一次不等式组等核心概念。 2.熟记不等式的基本性质，能区分性质 2 与性质 3（变号规则）。 3.掌握一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解解集在数轴上的表示方法。 4.掌握不等式（组）的整数解、参数取值问题相关知识点。 5.学会列一元一次不等式（组）解决实际应用问题。 1.熟练解一元一次不等式、不等式组，规范书写解题步骤。 2.准确在数轴上表示解集，借助数轴分析解集公共部分、整数解。 3.灵活运用不等式性质，解决含参数、比较代数式大小等题型。 4.从实际问题中提取不等关系，建立不等式（组）数学模型。 5.结合方程、函数知识，解决跨知识点综合题型，提升建模与逻辑分析能力。 1.选择、填空：快速判断不等式变形正误、求解集与整数解，规避变号、数轴画图等易错点。 2.计算解答：完整规范解不等式（组），数轴表示不出错，稳拿基础分。 3.中档题型：熟练处理含字母参数问题，准确求出参数取值范围。 4.应用题：精准找出不等关系，正确列式、求解并结合实际意义检验答案。 5.综合题：结合方程、几何、方案选择等考点，攻克压轴题型，减少审题与计算失误。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04一元一次不等式的定义 题型05.求不等式解集 题型06.数轴上表示不等式解集 题型07.求不等式的整数解 题型08.求不等式解的最值 题型09.解|x|a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.不等式解决实际问题 题型12.不等式解决几何问题 题型13.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型14.两直线交点求不等式解集 题型15.不等式组的定义 题型16.求不等式组的解集 题型17.解特殊不等式组 题型18.求不等式组的整数解 题型19.由不等式组的解集求参数 题型20.由不等式组解集的情况求参数 题型21.不等式组和方程组结合的问题 题型22.列一元一次不等式组 题型23.不等式组的实际应用 题型24.新定义运算题 知识点01:不等式相关概念 1. 不等式定义 用不等号(＞、＜、≥、≤、≠ )连接两个代数式的式子，叫做不等式。 2. 相关概念 不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的集合，是未知数的取值范围。 解不等式：求不等式解集的过程。 3. 常见不等关系关键词（应用题必用） 知识点02:不等式的基本性质（高频易错点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 核心提醒：只有乘除负数时，不等号才变向；这是本章最易丢分的考点。 知识点03:一元一次不等式 1. 定义 只含有一个未知数，未知数最高次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。 2. 解题步骤（标准书写格式） (1)去分母（注意：同乘负数，不等号变向；不含分母的项也要乘） (2)去括号（遵循去括号法则，注意符号） (3)移项（移项要变号） (4)合并同类项 (5)系数化为 1（重点：系数为负数时，不等号改变方向） 3. 解集在数轴上的表示规则 空心圆圈：不含该点，对应 >、< 实心圆点：包含该点，对应 方向：大于向右画，小于向左画 知识点04:一元一次不等式组 1. 定义 由几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 2. 不等式组的解集:几个不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集；没有公共部分，则不等式组无解。 3. 解法步骤 (1)分别求出组内每个不等式的解集； (2)在同一数轴上表示出各个解集； (3)找出公共部分，写出不等式组的解集。 4. 两个一元一次不等式组成的不等式组（同设 (a<b)，四大解集规律） 知识点05:特殊题型：整数解问题 1.先正常求解不等式（组）的解集； 2.结合数轴，在取值范围内找出整数、正整数、负整数、非负整数等； 3.答题规范：逐一列出符合条件的数值。 知识点06:含参数的不等式（组）（中档 / 压轴考点） 1.把参数当作常数，正常解出含参数的解集； 2.结合题目给出的解集、整数解、有无解等条件，列新的不等式； 3.求解参数取值范围，端点值必须单独检验，判断能否取等号。 知识点07:一元一次不等式（组）的实际应用（解答题必考） 步骤 具体要求 注意事项 审 通读题干，梳理已知量、未知量，找出隐含的不等关系 圈画 “至少、至多、不超过、不足” 等关键词 设 合理设出未知数，一般直接设所求量 不出现多个未知数，表述简洁规范 列 根据不等关系，列出一元一次不等式（组） 准确选用不等号，保证式子符合题意 解 按照解法步骤求出不等式（组）的解集 乘除负数时，不等号务必变向 验 结合实际场景检验解集 人数、物品数量、车辆数等必须为正整数 答 依据题意作答，完整回应问题 语言通顺，不要遗漏限制条件 知识点08:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 纠正要点 性质误用 不等式两边乘除负数，忘记改变不等号方向 牢记：负号必变向，正数、加减不变向 去分母出错 漏乘不含分母的项；分母为负不改变不等号 每一项都要乘最小公分母，先判断分母正负 数轴表示错误 空心、实心混用；画图方向颠倒 有等号画实心，无等号画空心；大于向右，小于向左 解集判断失误 记混不等式组 “同大、同小” 取值规律 熟记口诀：同大取大，同小取小，大小中间找，大大小小无解 整数解漏数 / 多数 找整数解时忽略边界数值 结合数轴逐一排查，看清要求（正整数、非负整数等） 应用题失分 找不准不等关系；结果不贴合实际 圈画关键词，人数、个数等结果必须取正整数 参数问题出错 取值范围端点判断错误，随意取等号 求出范围后，代入端点验证能否成立 题型01.不等式的定义 1．用不等式表示：x的平方与3的和大于5______． 【答案】 【详解】解：根据题意列不等式为：． 2．下列不等式中，解不包括的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不成立，则不包含，故A符合题意； 成立，则包含，故B不符合题意； 成立，则包含，故C不符合题意； 成立，则包含，故D不符合题意． 3．下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 题型02.不等式的解集 4．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：不包含2，在数轴上点2为空心；小于2，划线方向是左侧； ，包含，点为实心，向右侧； 故选A． 5．请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，0，1都是不等式的解，写出不等式即可． 【详解】解：∵，0，1都是不等式的解， ∴该不等式可以是（答案不唯一）． 6．不等式的解集是______． 【答案】/ 【分析】通过移项，合并，系数化1，根据不等式的性质即可求出的解集． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型． 题型03.不等式的性质 7．若，，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加1，得， 又∵， ∴． 8．数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：已知a，b，c，d都是正整数，如果，那么，例如：，那么．若，且p为整数，则________． 【答案】4 【分析】根据题意直接求解即可． 【详解】解：∵，即， ． 9．若，则下列结论不一定正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式性质．根据不等式性质，对已知条件变形或取反例判断各选项是否一定成立． 【详解】解：∵， 选项A：两边同乘，不等号方向改变，得，一定成立． 选项B：两边同乘，得，又∵，∴，一定成立． 选项C：由，得，又∵，∴，一定成立． 选项D：由，得，但不一定成立， 反例：取，则，此时，故不等式不成立，故不一定正确． ∴不一定正确的是D． 故选：D． 题型04一元一次不等式的定义 10．下列式子中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义判断各选项，一元一次不等式需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，左右两边为整式的不等式． 【详解】解：选项A 、 ，只含1个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式定义 选项B、 ，未知数次数为2，不符合定义 选项C 、 ，含有两个未知数，不符合定义 选项D 、 ，是分式，不是整式，不符合定义 ∴答案选A． 11．若 是关于x的一元一次不等式，则n的值为_______． 【答案】0或 【分析】根据一元一次不等式的定义，一元一次不等式中未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，据此列出方程和不等式求解即可． 【详解】解：不等式 是关于的一元一次不等式． 解 得： 或 ． 解得或． 由得 ． ∵和都满足． ∴的值为或． 12．下列各式中属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，左右两边为整式，是单个不等式； 【详解】解：式子含有两个未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合要求； 式子只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，∴B符合要求； 式子中，是分式，不是整式，不是一元一次不等式，∴C不符合要求； 选项D是由两个一元一次不等式组成的不等式组，不是一元一次不等式，∴D不符合要求． 题型05.求不等式解集 13．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 14．当________时，代数式减去的差不大于1． 【答案】 【分析】根据题意列出一元一次不等式，按照解一元一次不等式的步骤求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题意得： 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为，得： 15．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 16．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原不等式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：原不等式去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型06.数轴上表示不等式解集 17．如图，用不等式表示数轴上所示的解集是______． 【答案】 【详解】解：由数轴可知数轴上所表示的解集为. 18．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 【答案】4 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 19．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再用数轴表示这个解集即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式，用数轴表示不等式的解集，正确求解不等式的解集是解题的关键． 20．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得， 这个不等式的正整数解为：1，2，3，4． 题型07.求不等式的整数解 21．不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先解不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可得到答案． 【详解】解： 解得， ∴解集中的最小整数为． 22．我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 23．不等式的非负整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．先根据一元一次不等式的解法求得，再求出其非负整数解即可． 【详解】解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以3，得， 不等式的非负整数解是0，1，2，共有3个． 故选：C． 24．已知代数式 减去的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值． 【答案】 ，的最大整数值为 【详解】解：∵代数式与的差大于1， ∴， ， ， ， ； 则的最大整数值为． 题型08.求不等式解的最值 25．代数式12-6m的值不小于2(1-2m)的最大正整数m是________． 【答案】5 【分析】根据题意直接建立关于m的不等式求解即可． 【详解】由题意可得：， 解得：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，理解题意并准确建立不等式是解题关键． 26．已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值； 【详解】解：将点代入直线中， 得，则 将代入中，解得： 将代入中，解得： ∴当，时，=有最大值 故选：A 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键． 27．已知，且，求的最大值． 【答案】17 【分析】本题主要考查了代数式的运算、解三元一次方程组、不等式等知识点，根据已知代数式将所求代数式转换成关于b的代数式成为解题的关键． 通过解方程组用b表示出a、c、d，然后代入得到只含b的代数式，最后结合b的范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ①+②得：④， ①+③得：⑤，即， ④+⑤得：，即， 将、代入得：， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为17． 题型09.解|x|a型的不等式 28．已知x满足（x是整数），则x所有可能的值的绝对值之和为（   ） A．0 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先根据绝对值的性质求出满足条件的所有整数x，再计算所有x的绝对值之和，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是整数， ∴的所有可能取值为 ， ∴所有满足题意的的值的绝对值之和为． 29．已知不等式恒成立，则实数b的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，不等式恒成立问题，利用转化的思想是解题的关键． 不等式变形为，令，此时不等式问题转化为函数问题，再分类讨论，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 令， 当时，， ∴当恒成立时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， 综上：， 故答案为：． 30．已知对任意都成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值不等式，先求出，再由对任意都成立得，即可求解． 【详解】解：由题意得有解， ， ， 对任意都成立， ， 解得：， 故的取值范围． 31．【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 题型10.列一元一次不等式 32．小东身高，小北身高，请你用含、的不等式表示“小东比小北至少高5cm”为________． 【答案】 【分析】根据不等关系列不等式即可，注意“至少”表示不小于，对应不等号为大于等于． 【详解】由题意得，小东身高比小北至少高，即小东身高减去小北身高不小于，因此可得不等式． 33．小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程米的图书馆参加阅读节活动，已知步行速度为米/分，跑步速度为米/分，问：若要在分钟内（含分钟）到达图书馆，他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为分钟，则可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程速度时间，分别表示出跑步路程和步行路程，结合总路程要求列出不等式即可． 【详解】解：设跑步的时间为分钟， 根据题意，要在分钟内（含分钟）到达图书馆， 则在分钟内走过的总路程应不小于米， 当总用时为分钟，跑步时间为分钟时，步行时间为分钟，跑步路程为米，步行路程为米， 故可列不等式为． 故选D． 34．根据下列数量关系，列出不等式． (1)x的3倍加上2的和大于． (2)4与x的5倍的和不大于6． (3)y的与的差小于y的2倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式，根据关键词得到相应的关系式是解题的关键． （1）根据关系式x的3倍加2大于列不等式即可； （2）根据关系式为4加x的5倍小于等于6列不等式即可； （3）根据关系式为：减去小于列不等式即可. 【详解】（1）解：∵x的3倍为, ∴x的3倍加上2的和为， ∴x的3倍加上2的和大于列出的不等式为：. （2）解：∵x的5倍为, ∴4与x的5倍的和为, ∴4与x的5倍的和不大于6列出的不等式为. （3）解：∵y的为， ∴y的与的差为， ∴y的与的差小于y的2倍的不等式为. 题型11.不等式解决实际问题 35．某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元，购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？ 【答案】25本 【分析】设出未知数，结合“费用不超过300元”建立不等式求解即可． 【详解】解：设购买本甲种笔记本，则购买本乙种笔记本， 由题意得：， 解得：， 答：至多购买25本甲种笔记本． 36．岁末寒冬，某地党委组织党员干部开展“温暖童心新年”关爱志愿服务活动，为乡村儿童购买A，B两种款式的书包．已知A款书包的单价为50元/个，B款书包的单价为70元/个． (1)如果用3400元刚好买A，B款书包共60个，那么这两种书包各买了多少个？ (2)为关爱更多儿童，需购买A，B款书包共80个，总花费不超过5000元，那么B款书包最多能买多少个？ 【答案】(1)购买A款书包40个，B款书包20个 (2)B款书包最多能买50个 【分析】（1）设购买A款书包个，则购买B款书包个，列出一元一次方程进行计算即可； （2）设购买B款书包个，则购买A款书包个，列出一元一次不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买A款书包个，则购买B款书包个， 根据题意，得， 解得， 则， 答：购买A款书包40个，B款书包20个； （2）解：设购买B款书包个，则购买A款书包个， 根据题意，得， 解得， 答：B款书包最多能买50个． 37．2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护．已知采购2台甲种设备和3台乙种设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元．如果该基地计划一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y与x之间满足一次函数关系．若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5倍． (1)求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ (2)直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 【答案】(1)甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元 (2)，（x为整数）；采购甲20台、乙30台，最低费用115万元 【分析】（1）设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意即可得到总费用y关于x的函数解析式，进而得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求最低费用即可． 【详解】（1）解：设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元． 根据题意可得， 解得． 答：甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元． （2）解：设采购甲种设备x台，则采购乙种设备台， 根据题意得：； 由，得， 又， ∴（x为整数）； ∵，y随x增大而减小， ∴时，可使总费用最低，且． 答：采购甲20台、乙30台，最低费用115万元． 题型12.不等式解决几何问题 38．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若，求m的值； (2)将线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是，，若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和点A表示的数即可求出m的值； （2）首先根据题意表示出，然后根据三等分点的特点表示出，最后利用求不等式即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即m的值为； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 【点睛】此题综合考查了数轴的有关内容及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握以上知识点 39．如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为____． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为_____． 【答案】 【分析】主要考查了求函数的解析式，一元一次不等式的应用，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围． （1）根据长方形的周长公式和围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可 （2）根据题意列不等式，求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）根据题意得：鸡场的长与宽有，即； （2）墙长为 ， ， ， 养鸡场的长大于宽， ，解得， 则自变量的取值范围为； 故答案为：；． 40．一副直角三角板如图1放置，，，，它们的斜边在同一直线上，为边上一点，三角板绕点按顺时针方向旋转． (1)当________时，；当________时，； (2)设交边于点，交直线于点，记为，为． ①如图2，当，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②且 【分析】本题考查平行线的性质，两种三角板的角度，一元一次不等式的几何应用等知识，找出、与的关系是解题的关键． （1）先分别画出符合条件的情况，再根据平行线的性质分别求出即可； （2）①分别求出和，再做差即可； ②分当时、当时和当时三种情况分析，求出和，根据列出不等式并求解，最后综合三种情况即可得解． 【详解】（1）如下图所示， 要使得， 则， ∴当时，； 如下图所示， 要使得， 则， ∴， 又∵， ∴， 即当时，， 故答案为：，； （2）①∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②当时， 同理：∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 当，，此时不合题意； 当时，的延长线与的延长线无交点，如下图所示： 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 题型13.直线与坐标轴交点求不等式解集 41．如图，直线的图象经过点，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据函数图象可知，直线与轴交于点，观察轴上方的图象对应的自变量的取值范围即可； 【详解】解：由图象可知，直线与轴的交点坐标为， 当时，函数图象在轴上方，即， 所以当时，的取值范围是． 42．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 43．一次函数与的图象如图所示． (1)点的坐标为____________；当____________时，； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）联立解析式求出交点坐标，通过交点坐标确定不等式的解集； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴， 由图形可知，当时，； （2）解：设点的坐标为． ，且， ， 即， ， ∴点的坐标为或． 【点睛】掌握数形结合的思想． 题型14.两直线交点求不等式解集. 44．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先将点代入，求出的值，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，函数的图象在函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 45．如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数图像得，当时，得到，继而求出，得到当时，，则当时，，即可解答． 【详解】解：根据函数图像得，当时，即， 将代入，得 ， 解得， ∴， 当时， ， ∴当时，． 46．我们规定：a、b两个数中最小的数记作，例如，则函数的最大值是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分段函数的最值问题．通过解方程求两个一次函数的交点，利用数形结合思想确定函数的最大值，涉及一次函数的图象和性质． 【详解】解：令，解得． 当时，； 当时，，故，随着增大而增大； 当时，，故 ，随着增大而减小． 因此函数在处取得最大值． 故答案为：． 47．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把和分别代入，运算即可； （2）根据第一问的结果得到对应函数解析式，根据题意列出不等式，结合的条件，推导得到的取值范围． 【详解】（1）解：把和分别代入可得： ， 解得：； （2）由(1)可知，， ∴，， 根据题意，当时，恒成立， 拆分不等式得 整理①得：， 要求所有都满足该不等式，因此，即， 整理②得：， 综上可得的取值范围是． 题型15.不等式组的定义 48．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 49．下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是一元一次不等式组的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； ④，第二个不等式中分母含有未知数，不是一元一次不等式组； ⑤，含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ⑥是一元一次不等式组； ⑦，整理得，其中x的最高次数是2，不是一元一次不等式组； 综上，是一元一次不等式组的有3个． 50．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为________ 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，熟练掌握程序图的计算规则和步骤是解题的关键，结合程序图的计算规则和步骤列出不等式组，即可作答． 【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为， 故答案为： 题型16.求不等式组的解集 51．关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”即可求解． 【详解】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为， ∴不等式组的解集是． 52．如果有一种新的运算定义为：“，其中、为实数，且”，比如：，解关于的不等式组，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据定义的运算法则列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意将不等式组可以转化为：， 整理得：， 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 53．解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集即可． 【详解】解：解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 54．解不等式 (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， ， ， 则． （2）解：解得， 解得， 原不等式组的解集为． 不等式组的解集在数轴上表示如图： 题型17.解特殊不等式组 55．已知的解集为，则的解集为________． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，利用换元法，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴则的解集为， ∴； 故答案为：． 56．已知关于x，y的方程组的解满足不等式组．求：满足条件的m的整数值． 【答案】1和2 【分析】方法一：得，，得，，根据不等式组即可求出；方法二：求解二元一次方程组，把方程组的解代入得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】方法一： 解：， 得，， ∵， ∴， 解得：， 得，， ∵， ∴， 解得：， ∴，则满足条件的m的整数值为1和2； 方法二： ， 解得：， 把代入得：， 解得： ∴满足条件的m的整数值为1和2． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，以及解一元一次不等式组的方法和写出不等式组解集的方法． 57．定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式． (1)在不等式中，是的蕴含不等式的是 　　； (2)若是的蕴含不等式，求的取值范围； (3)若是的蕴含不等式，是的蕴含不等式，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据蕴含不等式的定义即可求解； （2）先解不等式可得，再根据蕴含不等式的定义解不等式即可求解； （3）根据蕴含不等式的定义可得，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：在不等式中，是的蕴含不等式的是． 故答案为：； （2）解：解不等式， 可得， 则， 解得． 故的取值范围是； （3）解：依题意有：， 解得． 故的取值范围是． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和蕴含不等式的定义是解题的关键． 题型18.求不等式组的整数解 58．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数建立关于的不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 不等式组的解集为， 不等式组有且仅有4个整数解， 不等式组的个整数解为，，0，1， ． 59．某不等式组的解集在数轴上表示如图，从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：从，，3，中任选一个数，有4种等可能的结果，其中，是不等式组的整数解，3，不是； ∴从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为． 60．计算及解不等式组： (1)计算：； (2)解不等式组并写出它的所有非负整数解． 【答案】(1) (2)，非负整数解为0，1，2，3 【详解】（1）解：原式； （2）解： 由①得， 由②得， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为0，1，2，3. 题型19.由不等式组的解集求参数 61．如果不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的“同大取大”规律，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 由于不等式组的解集是， 则， 解得：． 62．已知关于x的不等式组的解集为，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，结合已知解集求出a和b的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 所以． 63．已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围． (2)若不等式的解集为，请求出整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，得到关于的表达式，结合列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围； （2）根据不等式的解集为，结合不等式的性质得到，求解得到的范围，再结合（1）的结论，找出范围内的整数即可． 【详解】（1） 解： ， 得， 两边同除以，得， ， ，解得； （2）解：不等式的解集为， ，解得， 结合（1）的结论，得， 该范围内的整数为． 题型20.由不等式组解集的情况求参数 64．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为_______． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①得，， ∵关于x的不等式组无解， ∴． 65．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 66．【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：是Q：的子集． 同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”． 例如：不等式组M：是不等式组N：的子集． 【新知应用】 (1)请写出不等式的一个子集______； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围______； (3)已知不等式组G：有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”，求a的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）利用“子集”的定义解答即可； （2）先求出不等式组的解集，再利用“子集”的定义求解即可； （3）先求出不等式组中两个不等式的解集，再利用不等式组G有解，且不等式组G是不等式组H的“子集”，列出不等式组，据此求解即可． 【详解】（1）解：根据“子集”的定义，得到不等式的一个子集可以为：； （2）解：不等式组的解集为， 由于关于x的不等式组是不等式组的“子集”， 则； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 由于不等式组G有解，且不等式组G是不等式组H：的“子集”， 则， 解得：． 题型21.不等式组和方程组结合的问题 67．如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先将两方程相加，整理得到根据解不等式即可． 【详解】解：由方程组， 得：， ， ， ， 解得：． 68．已知关于x、y的方程满足方程组，若x、y均为非负数． (1)求m的取值范围； (2)化简式子． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）先判断和的正负，然后根据绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 69．已知关于x，y的方程组的解x，y满足． (1)求a的取值范围； (2)已知，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先推导出，得到，解得，即可解答； （2）先推导出，得到，解得，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得 ， 由，得 ， 解得； （2）解：由，得， ， ， 解得． 题型22.列一元一次不等式组 70．已知某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高8cm，容器内有水，水的高度为2cm．现准备向容器里面继续注水，用V（单位：）表示新注入的水的体积．求V的取值范围（容器壁厚忽略不计）． 【答案】 【分析】根据题意可求出长方体容器的体积，根据水的高度可以求出容器里现有水的体积，再用总容积减去现有水的体积，即可求出还能注入水的体积． 【详解】解：由题意，得该长方体形状的容器的容积为． 又因为容器内原有的水的体积为， 所以容器内剩余未注水的体积为， 所以的取值范围为． 【点睛】本题主要主要考查了有理数乘法和有理数减法的计算，解决此题的关键是要读懂题意，列出式子． 71．如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将的水装进一个容量为的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积所在的范围是多少，并写出求解过程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，结合“放入三个玻璃球未满，放入四个玻璃球水溢出”列不等式是解决本题的关键． 先利用放过三个玻璃球未满，即水的容量加三个玻璃球的体积小于杯子的容量列第一个不等式，再由放入四个玻璃球水溢出列第二个不等式，由一元一次不等式组的求法求解即可． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积， 将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， 所以， 将四个相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出， 所以， 即，解得， 所以， 即一颗玻璃球的体积在和之间 ． 72．学校为美化校园，计划用72米长的防腐栅栏围出一个等腰三角形花圃（栅栏刚好用完），设花圃的腰长为米，底边长为米． (1)请直接写出与的函数表达式； (2)当底边长是8米时，求腰长； (3)若要求花圃的底边长不超过腰长的，求自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)腰长为32米 (3) 【分析】（1）根据三角形的周长得底边等于周长减去两腰列得函数表达式； （2）将代入函数表达式求出x即可； （3）根据每条边都为正数，底边长不超过腰长的，及三边关系列不等式组解答 【详解】（1）y与x的函数表达式为； （2）当时，解得：， ∴腰长为32米； （3）由题知， 解得自变量x的取值范围是 题型23.不等式组的实际应用 73．已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少元，购买个甲款玩偶和个乙款玩偶共需元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过元购进甲、乙两款玩偶共个，且甲款数量超过个．已知甲款玩偶每个进价元，乙款玩偶每个进价元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) 甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元 (2) 共有3种进货方案，分别是：方案一：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；方案二：购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；方案三：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个 (3) 购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润为1450元 【分析】（1）根据售价关系和总售价，设未知数后列二元一次方程组求解即可； （2）设甲款玩偶进货数量，根据总进价限制和甲款数量要求列不等式组，结合数量为正整数，得到所有可行的进货方案； （3）先表示总利润和甲款进货数量的函数关系，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设甲款玩偶每个售价元，乙款玩偶每个售价元， 根据题意得： 解得 答：甲款玩偶每个售价60元，乙款玩偶每个售价45元； （2）解：设购进甲款玩偶个，则购进乙款玩偶个， 根据题意得： 解得， 因为为正整数， 所以可取88，89，90，对应为112，111，110， 答：该网店共有3种进货方案，分别是：购进甲款玩偶88个，乙款玩偶112个；购进甲款玩偶89个，乙款玩偶111个；购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个； （3）解：设总利润为元， 甲款玩偶每个利润为(元)，乙款玩偶每个利润为(元)， 则， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最大值90时，取得最大值，最大(元)， 此时乙款玩偶数量为(个)， 答：购进甲款玩偶90个，乙款玩偶110个时利润最大，最大利润是1450元． 74．某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售．A型童装成本价90元，B型童装成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完．两电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润为y（元），求y关于x的函数关系式； (2)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 【答案】(1)y=30x+17000 (20≤x≤80) (2)分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元 【分析】（1）设分配给甲电商专卖店A型产品x件，再表示出分配给甲电商专卖店B型产品数量，以及分配给乙电商专卖店A、B型产品的数量，结合利润售价成本，即可求出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设分配给甲电商专卖店A型产品x件，则分配给甲电商专卖店B型产品件，分配给乙电商专卖店A型产品件，B型产品件， 由题意得： ， 又， ， y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为， 此时（件），（件），（件）， 即分配方案为甲店分配A型童装80件，B型童装60件，乙店分配A型童装0件，B型童装60件，最大利润为19400元． 75．中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清时期达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为10元．当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个． (2)当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 【分析】（1）根据编织大号所用绳子加上编织小号所用绳子等于30米建立二元一次方程，再求方程的正整数解； （2）根据编织大号所得利润加上编织小号所得利润等于总利润建立一次函数，再利用绳长的限制建立不等式组求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设编织大号个，编织小号个，根据题意，得 ， ∵、都是正整数， ∴方程的解为或， 答：大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个． （2）解：设编织大号个，编织小号个，设总利润为元， 则， ∵， ∴（为整数）， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，最大利润为． 答：当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 76．习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 77．综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 78．河南农产品销售实际应用信阳毛尖茶店批发售卖一级、二级茶叶，已知： ①购进4斤一级茶、3斤二级茶共需290元； ②购进2斤一级茶、5斤二级茶共需250元． (1)求一级、二级茶叶每斤进价； (2)店铺计划购进两种茶叶共90斤，一级茶进货量不少于二级茶一半，设购进一级茶m斤，总费用为Q元，求最低进货费用以及对应进货方案． 【答案】(1)一级茶叶每斤进价50元，二级茶叶每斤进价30元 (2)购进一级茶30斤，二级茶60斤，总费用最低，最低总费用3300元 【分析】（1）设一级、二级茶叶每斤进价分别为x元，y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购进一级茶m斤，则购进二级茶斤，总费用为Q元，根据题意，列出函数关系式，再求出x的取值范围，然后利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设一级、二级茶叶每斤进价分别为x元，y元，根据题意得： ， 解得：， 答：一级茶叶每斤进价50元，二级茶叶每斤进价30元； （2）解：设购进一级茶m斤，则购进二级茶斤，总费用为Q元，根据题意得： ， ∵一级茶进货量不少于二级茶一半， ∴， 解得：， ∵， ∴Q随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为3300元， 答：购进一级茶30斤，二级茶60斤，总费用最低，最低总费用3300元． 题型24.新定义运算题 79．阅读理解：我们把“”称为对角式，规定它的运算法则为．例如： ． (1)求不等式的解集为________； (2)若关于的不等式的解集是，求的值为________； (3)若关于的不等式组有解，求m的取值范围________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据运算法则，得，再解出，即可作答． （2）根据运算法则，得，再解出，再结合关于x的不等式的解是，得，即可作答． （3）先根据运算法则，得，再解出和，因为关于x的不等式组有解，故，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， 关于的不等式的解集是， ， ． （3）解：， ， 由，得， 由，解得， 关于的不等式组有解， ， ． 80．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式_____的“同根不等式”（填“是”或“不是”） （2）若关于的不等式不是的“同根不等式”，则的取值范围是_____． 【答案】 是 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再结合“同根不等式”的定义判断即可得出结果； （2）分别求出两个不等式的解集，再结合“同根不等式”的定义得出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：（1）解不等式得， 解不等式得， 两个不等式有公共整数解， 故是的“同根不等式”． （2）解不等式得， 解不等式得， 不是的“同根不等式”， 两个不等式没有公共整数解， ， 解得． 81．对x、y定义一种新运算T，规定： （其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如 ，若 ， ，则下列结论正确的个数为（    ） （1）； （2）若 ，则； （3）若 ，则 m、n有且仅有1组正整数解； （4）若 ，且、为非负数，则 的最小值为15，最大值为25． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意建立方程组求解即可判断（1）；根据题意得出，进行整理化简即可判断（2）；由得是4的正因数，然后确定4的正因数为，依次代入计算即可判断（3）；根据题意建立不等式组，然后根据一次函数的性质求解即可判断（4） 【详解】解：∵ ， ，， ∴ ， 整理得 将代入，得 ， 解得，，故结论(1)正确； ∵ ，代入得 ， 整理得 ∵ ， ∴ ，故结论(2)正确； 若为正整数，由得是4的正因数， 4的正因数为 ∴ 时，不是正整数，舍去； 时，不是正整数，舍去； 时，，符合要求； 故仅有1组正整数解，结论(3)正确； ∵ ，代入得 ，即 ∵ 为非负数， ∴ ， 解得 将代入 得 ∵ ，随增大而减小 ∴ 当时， ； 当时， ，故结论(4)正确； 综上，4个结论都正确． 82．对于任意实数，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（    ） ①； ②； ③若（是整数），则或； ④若，，，则所有可能的值为，，； ⑤方程的解为或或． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题为新定义问题，解题关键是掌握表示不超过的最大整数，的性质，逐一对五个结论进行判断即可． 【详解】根据定义，对任意实数，有，为整数，且满足 ，，逐一判断如下： ① ， ， ，故①正确． ②， ， 不超过的最大整数为，即 ，故②正确． ③ ，（为整数）， ， ， ， ， 即 ， 是整数， 或，故③正确． ④ ， ， 相加得 ， 的可能值为，故④正确． ⑤原方程 ，代入整理得： ， 即， ， ， 解得 ， 为整数， ， 分别得，，，均符合条件， 故⑤正确． 综上，个结论全部正确，故选D． 83．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式__________的“梦想解”；（填序号） ①；②，③． (2)若关于，的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 或 (3) 【分析】（1）先求出不等式①、②、③的解集，判断即可； （2）先求出方程组的解和的值，根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可； （3）先求出方程和解不等式组，求出n的范围，根据正整数“梦想解”的和为10，得出，最后可得答案． 【详解】（1）解：解①得：，故不是①的“梦想解”， 解②得：，故不是②的“梦想解”， 解③得：，故是③的“梦想解”， 是方程和不等式③的“梦想解”； （2）解方程组，得， ， 方程组的解是不等式组的“梦想解”， ， 解不等式组得：， 为整数， 或； （3）解方程：，得：， 解不等式组，得：， 关于x的方程和关于x的不等式组有“梦想解”， ， 解不等式组得：， 因为所有正整数“梦想解”的和为10，所以正整数“梦想解”为1，2，3，4， ，解得：， 综上：． 84．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是________；（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，则的取值范围为________； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）根据题意，方程的解应满足不等式组的解集，从而建立关于的不等式，再求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为三种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可，③当时，不等式无解，不符合题意． 【详解】（1）解：解不等式组，得， ①解方程得：； ②解方程得：； ③解方程得：， ④解方程得：， ∴②④是不等式组的“友好方程”， （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， ③当时，不等式无解，不符合题意； 所以m的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题04不等式与不等式组期未复习进义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解不等式、不等式的解、 1.熟练解一元一次不等 1.选择、填空：快速判断不等 解集、一元一次不等式、 式、不等式组，规范书写解 式变形正误、求解集与整数 元一次不等式组等核心概 题步骤。 解，规避变号、数轴画图等 念。 2.准确在数轴上表示解 易错点。 2.熟记不等式的基本性质， 集，借助数轴分析解集公共2.计算解答：完整规范解不等 能区分性质2与性质3 部分、整数解。 式（组），数轴表示不出错， (变号规则)。 3.灵活运用不等式性质，解 稳拿基础分。 3.掌握一元一次不等式、 决含参数、比较代数式大小 3.中档题型：熟练处理含字母 元一次不等式组的解法，理 等题型。 参数问题，准确求出参数取 解解集在数轴上的表示方 4.从实际问题中提取不等 值范围。 法。 关系，建立不等式（组）数 4.应用题：精准找出不等关系， 4.掌握不等式（组）的整数 学模型。 正确列式、求解并结合实际 解、参数取值问题相关知识 5.结合方程、函数知识，解 意义检验答案。 点。 决跨知识点综合题型，提升 5综合题：结合方程、几何、 5.学会列一元一次不等式 建模与逻辑分析能力。 方案选择等考点，攻克压轴 (组)解决实际应用问题。 题型，减少审题与计算失误。 ☆ 题型梳理 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04一元一次不等式的定义 题型05.求不等式解集 题型06.数轴上表示不等式解集 题型07.求不等式的整数解 题型08.求不等式解的最值 题型09.解x≥a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.不等式解决实际利问题 题型12.不等式解决几何问题 题型13.直线与坐标轴交点求不等式解集 题型14.两直线交点求不等式解集 题型15.不等式组的定义 题型16.求不等式组的解集 题型17.解特殊不等式组 题型18.求不等式组的整数解 题型19.由不等式组的解集求参数 题型20.由不等式组确解集的情况求参数 题型21.不等式组和方程组结合的问题 题型22.列一元一次不等式组 题型23.不等式组的实际应用 题型24.新定义运算题 试卷第1页，共3页 ☆ 知识梳理 知识点01：不等式相关概念 1.不等式定义 用不等号(>、<、≥、≤、≠)连接两个代数式的式子，叫做不等式。 2.相关概念 不等式的解：使不等式成立的单个未知数的值： 不等式的解集：一个不等式所有解的集合，是未知数的取值范围。 解不等式：求不等式解集的过程。 3.常见不等关系关键词（应用题必用） 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 小于、不足 小于 2<3 大于号 > 大于、高出 大于 -2>-3 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） a≤2 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） x≥5 不等于号 不等 不等于 -2≠2 知识点02：不等式的基本性质（高频易错点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质不等式两边加（或减）同一个数若a>b, 加减任意数/式 1 (或式子)，不等号方向不变 则a士c>b士co 子，方向不变 性质不等式两边乘（或除以）同一个 若a>b, c>0, 乘除正数，方向不变 2 正数，不等号方向不变 则ac> bc,是> 性质不等式两边乘（或除以）同一个 若a>b,c<0, 易错点：乘除负数， 3 负数，不等号方向改变 则ac<bc,是< 必须变号 核心提醒： 只有乘除负数时，不等号才变向；这是本章最易丢分的考点。 知识点03：一元一次不等式 1.定义 只含有一个未知数，未知数最高次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。 2.解题步骤（标准书写格式） 试卷第1页，共3页 ()去分母（注意：同乘负数，不等号变向；不含分母的项也要乘） (2)去括号（遵循去括号法则，注意符号） (3)移项（移项要变号） (4)合并同类项 (⑤)系数化为1（重点：系数为负数时，不等号改变方向） 3.解集在数轴上的表示规则 空心圆圈：不含该点，对应>、< 实心圆点：包含该点，对应≥.≤ 方向：大于向右画，小于向左画 不等式表 x>a x<a x≥a x≤a 示 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1)确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用 空心圆圈： 2)确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 知识点04：一元一次不等式组 1.定义 由几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，组成一元一次不等式组。 2.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集；没有公 共部分，则不等式组无解。 3.解法步骤 (I)分别求出组内每个不等式的解集： (2)在同一数轴上表示出各个解集： (3)找出公共部分，写出不等式组的解集。 4.两个一元一次不等式组成的不等式组（同设(a<b),四大解集规律） 试卷第1页，共3页 不等 x>a x <a x <a x>a 式组 x>b x<b x>b x<b 数轴 表示 解集 a 解集 x>a x<d b<x<a 无解 归纳 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 知识点05：特殊题型：整数解问题 1.先正常求解不等式（组）的解集； 2.结合数轴，在取值范围内找出整数、正整数、负整数、非负整数等； 3答题规范：逐一列出符合条件的数值。 知识点06：含参数的不等式（组）（中档/压轴考点） 1把参数当作常数，正常解出含参数的解集； 2结合题目给出的解集、整数解、有无解等条件，列新的不等式： 3.求解参数取值范围，端点值必须单独检验，判断能否取等号。 知识点07：一元一次不等式（组）的实际应用（解答题必考） 步骤 具体要球 注意事项 通读题干，梳理已知量、未知量，找出隐含 圈画 “至少、至多、不超过、不足”等 审 的不等关系 关键词 设 合理设出未知数，一般直接设所求量 不出现多个未知数，表述简洁规范 列 根据不等关系，列出一元一次不等式（组） 准确选用不等号，保证式子符合题意 解 按照解法步骤求出不等式（组）的解集 乘除负数时，不等号务必变向 验 结合实际场景检验解集 人数、 物品数量、车辆数等必须为正整数 答 依据题意作答，完整回应问题 语言通顺，不要遗漏限制条件 知识点08：高频易错点汇总 易错类型 错误表现 纠正要点 性质误用 不等式两边乘除负数，忘记牢记：负号必变向，正数、加减不变向 试卷第1页，共3页 易错类型 错误表现 纠正要点 改变不等号方向 漏乘不含分母的项；分母为每一项都要乘最小公分母，先判断分母 去分母出错 负不改变不等号 正负 数轴表示错 空心、实心混用； 画图方向有等号画实心，无等号画空心；大于向 误 颠倒 右，小于向左 解集判断失 记混不等式组 “同大、同 熟记口诀：同大取大，同小取小，大小 误 小” 取值规律 中间找，大大小小无解 整数解漏数 结合数轴逐一排查，看清要求（正整数 找整数解时忽略边界数值 /多数 非负整数等) 找不准不等关系；结果不贴圈画关键词，人数、个数等结果必须取 应用题失分 合实际 正整数 参数问题出 取值范围端点判断错误， 随 求出范围后，代入端点验证能否成立 错 意取等号 ☆ 题型精析 题型01.不等式的定义 1.用不等式表示：x的平方与3的和大于5一 2.下列不等式中，解不包括的是() A.x<2 5 B.x>- C.x<3 D.x≥ 2 3.下列数学表达式，是不等式的有() ①m=0:②r￥1：®2+3>0：④a2+2ab+6,⑤>0：©-1>-2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型02.不等式的解集 x<2 4.不等式组 x≥-3 的解集在数轴上表示为() 试卷第1页，共3页 A专1。 5.请写出满足下列条件的一个不等式：使得-2，-1,0,1都是该不等式的解： 6.不等式2x≤√5x-3的解集是 题型03.不等式的性质 7.若x>2,y=-x+1,则y的取值范围是 8.数学家曾提出快速估算两个正分数的平均数的方法，即：己知a,b,c,d都是正整数， 如果号号那么号后台：吉泽聚么号号者号号且p为 整数，则p= 9.若a+1<b,则下列结论不一定正确的是() A.-a-1>-b B.2a+1<2b C.a<b D.+19 2 题型04一元一次不等式的定义 10.下列式子中是一元一次不等式的是（) A.2x+2>5 B.x2-1<0 C.2x-y≤3 D. 2+224 11.若(n-2x"+3≤0是关于x的一元一次不等式，则n的值为 12.下列各式中属于一元一次不等式的是() x+2<0 A.x+2y22 B.8x+2<1 1 C.-<12 D 1-x>1 题型05.求不等式解集 13.若二次根式√2-x有意义，则x的取值范围是() A.x≥0 B.x>0 C.x≤2 D.x<2 14.当x 时，代数式2减去的差不大于1 15.若关于x的不等式x-6>0的解集为x<行，则关于x的不等式a+x>6-a的解集是 试卷第1页，共3页 () A月 B. 1 D.x> 2 16.解不等式： (1)4(x-1)>3x-2: (2)+33x+2 2 2 题型06.数轴上表示不等式解集 17.如图，用不等式表示数轴上所示的解集是 0 1 2 18.关于x的不等式x+a>4x+1的解集在数轴上表示如图，则a= -3-2-10123 19.不等式+2_s1的解集在数轴上表示正确的是(） 32 234→B.10234→ C.0234>D.0个234 0,解不等式，2≤，，并把它的解集在数轴上表示出来且写出它的正整数解 -4-3-2-101234 题型07.求不等式的整数解 21.不等式5x+8≥2x-1的最小整数解是() A.-3 B.-2 C.-1 D.3 我们定义一种新运算：x&2w-2y,如2&32x3-2x3=-3,则关王 2 等式2&(a-1)>3的最大整数解是 23.不等式3(x-1≤3的非负整数解有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共3页 24.已知代数式X+3威去3x-2的值大于1，求出x的取值范围，并写出x的最大整数值 4 题型08.求不等式解的最值 25.代数式12-6m的值不小于2(1-2m)的最大正整数m是 26.己知点P(m,)在直线y=-x+4上，且2m-5n≥0，则() A片有最大值B.”有最小值号C.%有最大值月 m m n D.%有最小筐月 n 27.已知b≥0，且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值. 题型09.解x≥ā型的不等式 28.已知x满足x<π(x是整数)，则x所有可能的值的绝对值之和为() A.0 B.6 C.12 D.14 29.已知不等式x->一x+b恒成立，则实数b的取值范围为 30.已知x≤a对任意-3≤x≤4都成立，求a的取值范围. 31.【阅读理解】 a的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离.所以，a≤2可理解为：数a在数 轴上对应的点到原点的距离不大于2. (1)a>2可理解为； 我们定义：形如x≤m,x≥m,x>m,x<m(m为非负数)的不等式称为绝对值不等 式.能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集， 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 5-43-2-1012345→ 二54-3-2-1012345 由上图可得出：绝对值不等式x≤3的解集是-3≤x≤3；绝对值不等式x>4的解集是 x<-4或x>4. (2)①不等式x<5的解集是： 试卷第1页，共3页 ②不等式x>5的解集是 【拓展探究】 (2)请求出绝对值不等式x+3>12的解集. 题型10.列一元一次不等式 32.小东身高xcm,小北身高cm,请你用含x、y的不等式表示“小东比小北至少高5cm” 为 33.小鹿从家出发，先步行，再跑步去离家路程2100米的图书馆参加阅读节活动，已知步 行速度为90米/分，跑步速度为210米/分，问：若要在18分钟内（含18分钟）到达图书馆， 他至少要跑步多少分钟？设跑步的时间为x分钟，则可列不等式为() A.90x+21018-x)≤2100 B.90x+21018-x)≥2100 C.210x+90(18-x)≤2100 D.210x+90(18-x)≥2100 34.根据下列数量关系，列出不等式. (1)x的3倍加上2的和大于-4. (2)4与x的5倍的和不大于6. (3y的，与-10的差小于y的2倍. 题型11.不等式解决实际问题 35,某班对科技节活动期间表现优秀的同学进行表彰，已知购买一本甲种笔记本需10元， 购买一本乙种笔记本需5元，该班购买甲、乙两种笔记本共35本，并且购买甲、乙两种笔 记本的总费用不超过300元，求至多购买多少本甲种笔记本？ 36.岁末寒冬，某地党委组织党员干部开展“温暖童心新年”关爱志愿服务活动，为乡村儿童 购买A,B两种款式的书包.己知A款书包的单价为50元/个，B款书包的单价为70元/个. (1)如果用3400元刚好买A,B款书包共60个，那么这两种书包各买了多少个？ (2)为关爱更多儿童，需购买A,B款书包共80个，总花费不超过5000元，那么B款书包 最多能买多少个？ 37.2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划 采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护，已知采购2台甲种设备和3台乙种 设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元.如果该基地计划 一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y 试卷第1页，共3页 与x之间满足一次函数关系.若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5 倍 ()求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ (2)直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条 件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 题型12.不等式解决几何问题 38.如图，点A,B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是-4，点B对应的 数字是m. Aa a2 B -4 m (1)若AB=2,求m的值 (2)将AB线段三等分，这两个等分点所对应数字从左到右依次是a,a2,若a2>0,求m的 取值范围。 39.如图，在靠墙（墙长为18m)的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成， 如果竹篱笆总长为35m, (1)鸡场的长（对着墙的边长）(m)与宽（与墙相邻的边长）(m)的函数关系式为 (2)养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为。 40.一副直角三角板如图1放置，∠A=∠E=90°，∠F=60°，∠C=45°，它们的斜边在同 一直线上，D为BC边上一点，三角板DEF绕点D按顺时针方向旋转a(0°<a≤60). B D 图1 图2 备用图 (1)当0= 时，DF∥AC；当a= 时，DE⊥AB; (2)设DE交AB边于点N,DF交直线AC于点M,记LCMD为∠I,∠BND为∠2. 试卷第1页，共3页 ①如图2，当a=30°，求∠2-∠1的值； ②当3∠1+∠2<160°时，求0的取值范围. 题型13.直线与坐标轴交点求不等式解集 41.如图，直线y=x+b的图象经过点(2,0)，当y>0时，x的取值范围是 02x 42.如图为一次函数y=x+b的图象，关于x的不等式k(x-3)<-b的解集为() -1 A.x<-4 B.x>-4 C.x<2 D.x>2 43.一次函数y=x与y2=-x+6的图象如图所示. 2=-x+6 C V=x B六 (1)点C的坐标为 ；当 时，y>y2>0; ②若点D在直线0C上，且满足So=)S0,求点D的坐标. 2 题型14.两直线交点求不等式解集 44.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为 试卷第1页，共3页 =2 y=ax+4 45.如图，一次函数y=-x+b,和y2=k2x+b,的图象交于(-1,2)，则不等式组 k2x+b2<-x+b,<4的解集为() A.-1<x<3 B.-2<x<-1 C.x<-1 D.-3<x<-1 46.我们规定：a、b两个数中最小的数记作min{a,b,例如minL,2}=1,则函数 y=min{-x+3,2x+l}的最大值是 47.在平面直角坐标系x0y中，函数y=+b(k≠0)的图象经过点(0,2)和1,5). (I)求k,b的值； (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=3x+n的值大于函数y=bx的值，且小于函数 y=x+b的值，直接写出n的取值范围， 题型15.不等式组的定义 48.下列各式中，是一元一次不等式组的是() x<3 x+y>3 B. x≥3 「x2=5 A. C. D.31 x<1 x>1 x<2 >1 x 49.下列不等式组：①r之-4，。 「x>0 x2+1>0 x+3>0 x+1>0 (>-3:② x+2>4: {x+2>4:④11>0：⑤ y-1>0:⑥ x+1>3 3x-2>0 2,：⑦{x-2x+到≥0英中是一元一次不等式组的有（） 3x+2>1-x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第1页，共3页 50.运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>11”为一次程序操作，如果 程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 题型16.求不等式组的解集 51.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 01234567 52.如果有一种新的运算定义为：“T(a,b)=3a-2 2,其中a、b为实数，且a+b≠0”，比 a+b T2m,3-2m≥5 如：T(4,3)= 3×4-2×36 4+3 ,解关于m的不等式组 T(m,6-m)<3，则m的取值范围是 2x>3-x① 53.解不等式组： s1② 1 54.解不等式 (1)解不等式：5x+2<2x-4. 2x-1≤3x+1 (2)解不等式组 -7<-1，并将解集表示在所给的数轴上 4 54321012345分 题型17.解特殊不等式组 55.已知1≤ax+b<3的解集为2≤x<3,则1≤a(1-x)+b<3的解集为 x-2y=m 3x+y20 56.已知关于x,y的方程组 的解满足不等式组 2x+3y=2m-3 x+5y<0·求：满足条件 的m的整数值. 57.定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式 ①是一元一次不等式②的蕴含不等式.例如：不等式x<-3的解都是不等式x<-1的解，则 x<-3是x<-1的蕴含不等式， (1)在不等式x>1,x>3,x<4中，是x>2的蕴含不等式的是 试卷第1页，共3页 (②)若x>-6是3(x-1>2x-m的蕴含不等式，求m的取值范围： (3)若x<-2是x<-2n+4的蕴含不等式，x<-2n+4是x<2的蕴含不等式，求n的取值范围. 题型18.求不等式组的整数解 2x-1<3有且仅有4个整数解，则a的取值范围为 x>a 58.若关于x的不等式组 59.某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2，-1，3，-3中任选一个数，是该不等式 组的整数解的概率为() -3-2-1012 A B.4 D. 3 C.1 4 60.计算及解不等式组： ①)计算：27-55++2： 4(x+1)≤7x+10 (2)解不等式组 x-5<-8 并写出它的所有非负整数解。 3 题型19.由不等式组的解集求参数 x-2>1 61.如果不等式组 5-x<-a 的解集是x>3,则a的取值范围是 x+a≥-1 62. 已知关于x的不等式组 的解集为0≤x≤3，则b的值为() b-x≥0 1 A.3 B. C.1 D.-3 3 63.己知关于x,y的二元一次方程组 2x+y=2m x+2y=2-m 的解满足不等式x+y>0. (1)求实数m的取值范围. (2)若不等式(2m+1)x<2m+1的解集为x>1,请求出整数m的值. 题型20.由不等式组解集的情况求参数 x+3≥5 64.若关于x的不等式组 无解，则a的取值范围为 x<a 试卷第1页，共3页 3x-2<1+2x有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是() m-x<0 65,关于x的不等式组 A.-1<m≤0 B.-3≤m<-1 C.-3<m≤-1 D.-2≤m<-1 66.【定义新知】给定两个不等式P和Q,若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一 个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”.例如：不等式P:x>4是Q:x>2的子集 同理，给定两个不等式组M和N,若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解， 则称不等式组M为不等式组N的“子集”. x>2 x>-1 例如：不等式组M x>1 是不等式组W: x>-2的子集 【新知应用】 (1)请写出不等式x<2的一个子集； x>a ,是不等式组 x>2 (2)若关于x的不等式组 x>- x>的“子集”，则a的取值范围 2x- x+2 >1 (3)已知不等式组G: 3 有解，且不等式组G是不等式组H:0<x≤5的“子集”， x-a≤-1 求a的取值范围. 题型21.不等式组和方程组结合的问题 3x+y=1+3m 67.如果方程组： x+3y=1-m 的解满足x+y>2,求m的取值范围. 3x+2y=m+1 68.已知关于x、y的方程满足方程组 2x+y=m-1，若xy均为非负数 (1)求m的取值范围； (2)化简式子m-3-2m-5. 69.己知关于x,y的方程组 x+y=a-4 2x-y=3a-6 的解x,y满足2<x-2y≤10， (1)求a的取值范围； (2)己知2a+b=1,求b的取值范围. 题型22列一元一次不等式组 试卷第1页，共3页 70.己知某长方体形状的容器长5cm,宽3cm,高8cm,容器内有水，水的高度为2cm.现 准备向容器里面继续注水，用V(单位：c3)表示新注入的水的体积.求V的取值范围（容 器壁厚忽略不计)· 71.如图是测量一物体体积的过程： 步骤一： 步骤二： 步骤三： 步骤一：将180cm3的水装进一个容量为300cm3的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满： 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出 根据以上实验，请你用所学过的知识推测一颗玻璃球的体积x©m3)所在的范围是多少，并 写出求解过程 72.学校为美化校园，计划用72米长的防腐栅栏围出一个等腰三角形花圃（栅栏刚好用完）， 设花圃的腰长为x米，底边长为y米 (I)请直接写出y与x的函数表达式： (②)当底边长是8米时，求腰长； (③)考要求花圃的底边长不超过要长的子，求自变量的取值茹围。 题型23.不等式组的实际应用 73.已知某网店销售甲、乙两款玩偶，乙款玩偶的售价比甲款玩偶的售价少15元，购买2个 甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元（免运费）·请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过8900元购进甲、乙两款玩偶共200个，且甲款数量 超过87个.已知甲款玩偶每个进价50元，乙款玩偶每个进价40元，该网店有哪几种进货方 案？ (3)在(2)的条件下，该网店采取哪种方案利润最大，最大利润是多少？ 74.某服装公司在新春到来之际，新上市A型和B型两款童装，准备将80件A型童装和 120件B型童装分配给甲、乙两个电商平台专卖店销售.A型童装成本价90元，B型童装 成本价80元，其中140件给甲电商平台专卖店，60件给乙电商平台专卖店，且都能卖完.两 试卷第1页，共3页 电商平台专卖店销售这两种童装每件的价格（元）如下表： A型（元） B型（元） 甲店 190 170 乙店 170 180 (1)设分配给甲电商专卖店A型产品x件，如果记这家服装公司卖出这200件童装的总利润 为y(元)，求y关于x的函数关系式： (②)如果要使得总利润最大，服装厂应当如何分配？最大利润是多少？ 75.中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清时期达到鼎盛.某 种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米， (1)编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个 小号的利润为10元.当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 6.习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节， 提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循.祁阳市某河流防污 治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程， 已知若甲队单独做需要8个月可以完成. (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万 元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做Q个月 (Q为整数)，乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的 方案费用？ 77.综合实践：城市交通中的“绿波带”. 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口 红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯， 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路 口间距为AB=540m,BC=960m,汽车以速度v(12≤v≤20，单位：ms)从A路口出 发匀速行驶，出发时A路口绿灯刚好开始亮起.各路口红绿灯均按“绿灯30x、红灯30s”交 替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽 试卷第1页，共3页 略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响.请解决以下问题： (1)假设汽车以15m/s的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、 B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间. ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟x秒亮起，C 路口绿灯相对A路口延迟y秒亮起(0<x<60,0<y<60),要求汽车到达B路口、C路 口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出x、y 的取值范围. (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后24s,B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后 15s,C路口绿灯亮起.求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取 值范围。 78,河南农产品销售实际应用信阳毛尖茶店批发售卖一级、二级茶叶，己知： ①购进4斤一级茶、3斤二级茶共需290元； ②购进2斤一级茶、5斤二级茶共需250元. (1)求一级、二级茶叶每斤进价； (2)店铺计划购进两种茶叶共90斤，一级茶进货量不少于二级茶一半，设购进一级茶m斤， 总费用为Q元，求最低进货费用以及对应进货方案， 题型24.新定义运算题 a b a b 79.阅读理解：我们把“ d ”称为对角式，规定它的运算法则为 =ad-bc.例如： c c d 23 =2×5-3×4=-2. 145 38-x (1)求不等式 >0的解集为 1 x (2)若关于x的不等式 21 <0的解集是x>1,求的值为 m x <0 131 (3)若关于x的不等式组 有解，求m的取值范围 1 >13 3 1-3x 试卷第1页，共3页 80.我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不 等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”. (1)不等式x-5≥0x-6<0的“同根不等式”（填“是”或“不是”） (2)若关于x的不等式x+2m≥0不是2x-1≤x+5的“同根不等式”，则m的取值范围是 81.对x、y定义一种新运算T,规定：T(x,y)=ax+by-4(其中a、b均为非零常数)， 这里等式右边是通常的四则运算.例如T(0,1)=a×0+b×1-4=b-4,若T(3,1=3, T(-1,2)=-4,则下列结论正确的个数为() (1)a=2,b=1: (2)若T(m,mm=0(n≠-2)，则m=4 +2 (3)若Tm,mn)=0,则m、n有且仅有1组正整数解； (4)若T(x,y)=1,且x、y为非负数，则W=2x+3y+10的最小值为15，最大值为25， A.1 B.2 C.3 D.4 82.对于任意实数x,其整数部分记为[x,小数部分记为{x},即：x=[x]+{x},其中[x表 示不超过x的最大整数.如[2.4]=2，{24}=0.4；【-2.4]=-3，{-2.4}=0.6.下列结论正确的 个数是() ①{-0.5}=0.5； ②[-7]=-5； ③若x+y=n(n是整数)，则[x+[y=n或n-1; ④若[x]=1,[y=2,[z]=3,则[x+y+z所有可能的值为6,7,8； ⑤方程3可-1=+2x的解为r=1或x子或， 3 A.2 B.3 C.4 D.5 83.定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式 （组)的梦想解”. 例：己知方程2x-3=1与不等式x+3>0,方程的解为x=2,使得不等式也成立，则称 “x=2”为方程2x-3=1和不等式x+3>0的“梦想解” (1)x=-1是方程2x+3=1和下列不等式 的“梦想解”；（填序号） 试卷第1页，共3页 2>2:②2(x+3到<4，®1<3. 13 ①x 2 3x-2y=3m+2 和不等式组 r-少<1有“梦想解，且m为 x>y-5 (2)若关于x,y的二元一次方程组 2x-y=m-5 整数，求n的值. 2x+3≥2n+1 (3)若关于x的方程x-4=-3n和关于x的不等式组 有正整数“梦想解”，且所有 x-1<4 正整数“梦想解”的和为10，请直接写出的取值范围， 84.定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不 x-2>0 等式组的“友好方程”，例如：方程2x-6=0的解为x=3,不等式组 x<5 的解集为 x-2>0 2<x<5,因为2<3<5，所以称方程2x-6=0为不等式组 的“友好方程”。 x<5 x-1>0 (1)下列方程是不等式组 x<3 的“友好方程的是 (填序号) ①2x+1=0;②x-2=0;③-2x-2=0;④2x-3=0. 3x-6>4-2x (2)若关于x的方程3x-3k=3是不等式组 x-1≥4x-16 的“友好方程”，则k的取值范围为 (3)若方程2x+4=0, 2x-1=-1都是关于x的不等式组 m-2)x<m-2。 的“友好方程”，其 3 x+5≥m 中m≠2，求m的取值范围. 试卷第1页，共3页