精品解析：2026年湖南长沙市初中学业水平考试仿真密卷 数学（A卷）

2026年长沙市初中学业水平考试仿真密卷 数学（A卷） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A.是中心对称图形，故选项A符合题意； B. 不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C. 不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D. 不是中心对称图形，故选项D不符合题意． 3. 今年，全国中小学春假制度大范围落地，湖南的中小学春假与“五一”小长假衔接，激起更多学生和家庭出行旅游，“五一”假期首日，长沙南站单日发送旅客达27.67万人次．将数据27.67万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，先把以万为单位的数转化为普通整数，再根据科学记数法的规则确定和的值，科学记数法的形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项合并法则，完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂乘法法则判断各选项． 【详解】解：选项A：和不是同类项，不能合并，故A计算错误． 选项B：，故B计算错误． 选项C： ，故C计算错误． 选项D：，故D计算正确． 5. 下表是小明8次射击的成绩： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/环 8 9 8 8 7 9 10 8 则小明这8次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，8.5 C. 9，8 D. 8，9 【答案】A 【解析】 【详解】解：首先将小明8次射击成绩从小到大排列为 ， ∵数据中出现的次数最多，共出现次， ∴众数为， ∵一共个数据，中位数为第个和第个数据的平均数， 又∵第个和第个数据都为， ∴中位数为， 因此众数和中位数分别是和． 6. 如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ． 7. 如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用时反比例函数的图像分布和增减性，即可判断三个值的大小． 【详解】∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第一、第三象限，且每个象限内随的增大而减小， ∵点的横坐标，该点在第三象限， ∴. ∵点，的横坐标满足，两点都在第一象限， ∴， 综上所述，． 8. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，再利用相似比求解． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，是的直径，，的延长线与的切线交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，结合直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：，， ， 是的直径， ， ． 10. 把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】仔细观察图象，根据正方形的性质，利用周长公式，计算阴影部分的周长； 最后比较和的大小即可解答本题． 【详解】解： 设底面正方形盒底的边长为，三张大小相同的正方形卡片A，B，C的边长为， 对图①， ， ， 故阴影的总周长； 对图②， ， ， 故阴影的总周长； 因此． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 12. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别确定被开方数与分母的取值要求，综合得到的取值范围． 【详解】解：若代数式有意义， 则需满足被开方数非负，且分母不为 即 ， ， ， 即 恒成立， 解不等式， 得， 综上，． 13. 李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 【答案】20000 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体的统计方法，解题思路为利用总体中标记鱼的比例与样本中标记鱼的比例相等，列方程求解池塘鱼的总数． 【详解】解：设该池塘里共有条鱼， 根据题意可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解，符合实际意义． 14. 如图1是岳麓书院屋顶的图片，屋顶瓦片如图2，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，为半径的弧，已知是边长为的等边三角形，则的长是_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到为等边三角形，得到圆心角，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：， 为等边三角形， ∴， 的长． 15. 如图，正方形的边长为3，为上一点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，则，再解直角三角形得到，根据折叠的性质得到，然后分别在和中，利用勾股定理建立方程求出即可． 【详解】解：连接，设，则， ， ，，， ， 由折叠可知 ， ， 在中， ， 在中， ， ， 解得或（舍去）， ． 16. 数学课上老师拿出了一根的木棒，小南说：“这木棒要是再多，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”小麓说：“这木棒要是再缩短，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”请你算一算______． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意列出关于，，的两个等式，消去后得到二元一次方程，结合，为非负整数的实际意义确定，的值，再代入计算求出． 【详解】解：根据题意可得方程组 ， 化简得： 得： ， 即： 由题意可知，，为非负整数，且缩短后小棒根数非负，即 ，得，同时 需为非负偶数，逐一验证： 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，，均为非负整数，符合要求； 当时， ， ，不存在符合要求的非负整数； 因此，，代入 ， 得 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：；并把它的解集表示在数轴上． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图： 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以原点为圆心、适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点，作射线交于点． （1）求的长度； （2）求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标，可得直角边、，在中直接应用勾股定理计算斜边的长度． （2）由尺规作图可知平分，根据角平分线的性质，点F到x轴、y轴的距离相等；再将的面积拆分为与的面积和，求出点到两坐标轴的距离，进而得到点的坐标． 【小问1详解】 解： ，， 在中， ． 【小问2详解】 如图，过点分别作轴于点，轴于点． 依题意，由尺规作图可知：平分． 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， ． ， 即， ∴解得， ∴点的坐标为． 20. 3月14日某校组织学生举办了“数学文化节”活动，其中有四个数学益智游戏．A．幻方探密；B．数字猜谜；C．玩转魔方；D．二十四点．活动结束后，数学老师随机选取部分学生对四个数学益智游戏的喜爱情况做了抽样调查（每位同学选取一样最喜爱的游戏），根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）此次共调查了__________名学生，扇形统计图中A所对应的圆心角度数为__________； （2）请补全条形统计图； （3）已知最喜爱数学益智游戏D的4人中有2名男生，2名女生，从这4名学生中随机选取2名学生作为代表接受校园记者的“我爱二十四点”专题采访，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 【答案】（1）40， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知D有名学生，占即可得到总人数，计算出A所占百分比，进而计算出圆心角即可； （2）计算出C的人数，再补全条形统计图即可； （3）根据题意画树状图或列表计算概率即可． 【小问1详解】 解：由题可知D有名学生，占， 则此次共调查了名学生， ， 则扇形统计图中A所对应的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：C有 （名）， 则补全条形统计图如下： 【小问3详解】 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名女生的结果有2种， ∴抽出的恰好是2名女生的概率为． 21. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，如图1所示，是古人利用光的反射原理（反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，且反射角等于入射角）实现在院墙内监测墙外人员的实时工作状态．图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为．（参考数据：，） （1）求的大小； （2）求被观测者到墙角的距离．（结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知，再利用三角形内角和求角即可； （2）先解直角三角形可得 ，再在中解出即可． 【小问1详解】 解：，分别为法线两侧的入射光线和反射光线， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 由（1）得，， 在中，， ， ． 在中， ， ， ∴被观测者到墙角的距离约为． 22. 健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知一个运动员每餐标准为32单位蛋白质，每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．甲原料的价格为每克0.6元，乙原料的价格为每克1元．设一个运动员每餐需要甲原料克，乙原料克． （1）请写出关于的函数关系式；（不要求写出的取值范围） （2）食堂规定每餐给一个运动员配制这种营养品的总费用不能超过35元．为了保证营养达标且不超支，每餐最多用多少克甲原料？ 【答案】（1） （2）最多用15克甲原料 【解析】 【分析】（1）根据一个运动员每餐标准为32单位蛋白质列式即可； （2）由题意得 ，再把 代入解不等式． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 整理，得 ． 【小问2详解】 由题意得 ， ， ． 答：每餐最多用15克甲原料． 23. 如图，在中，，于点．延长至点，使，连接交于点，且． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长度． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ，， 又， 为等边三角形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）垂直平分，根据线段垂直平分线得到，即可证明其为菱形； （2）由菱形的性质可得，再在、中解直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵由（1）知，四边形是菱形， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ． 24. 已知“天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．如秦统一货币“秦半两”（图1）．“天圆地方”的图式具有独特的形式美和意境美．如果正方形内接于，我们称这个图形是“天圆地方图”，为“天圆图”，正方形叫“地方图”． （1）如图2，四边形内接于，，，请添加一个条件：__________，可以使得图2为“天圆地方图”； （2）如图3，在“天圆地方图”中，四边形是“地方图”，为“天圆图”上一点，连接，相交于点，过点作交“天圆图”于点，连接交于点． ①写出，，之间的关系，并说明理由； ②是否存在常数和，使得等式成立，若存在，求出一对和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）①．理由如下： ∵四边形为正方形， ，． ， ， ． 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ，，． ， ， 在和中， ， ， ． ， ， ， ； ②当，时，等式成立．理由如下： 如图，连接，． ∵四边形为正方形， ． 又 ， ， ，即 ， ． ，， ， ，即 ， ， ， ∴当，时，等式成立． 【解析】 【分析】（1）根据题意，补全一个条件能使得四边形为正方形即可； （2）①将绕点顺时针旋转得到，连接，先证，进而得到，再利用勾股定理即可求解； ②连接，，先证，再结合相似的性质得到 即可． 【小问1详解】 解：（答案不唯一）， ， 为的直径， ， 又， ， 则四边形为长方形，又， 四边形为正方形， 故图2为“天圆地方图”； 【小问2详解】 略 25. 已知抛物线：（，，是常数，且）的顶点为，直线：与相交于A，B两点（点在点的左侧）． （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）当点A，B都在轴上方时，过点A，B分别作轴于点，轴于点，取的中点，连接，，用，，分别表示，，的面积．若，求的值； （3）已知抛物线：与直线交于，两点（点在线段上，点在点右侧）．若，，是整数，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3）的值为5或9或16或35 【解析】 【分析】（1）根据题意可设，再代点可得及直线方程，再联立求点坐标即可； （2）设，，则，再分别表示出，结合直接计算即可； （3）设，，，，联立直线与抛物线得得 ，则，然后可得，再结合列方程求解． 【小问1详解】 解：的顶点为， 的函数解析式为：． ∵点在抛物线上， ∴将点代入，得 ， 解得， 的函数解析式为． ∵直线过点， ∴将点代入，得 ， 解得， ， ∴联立，解得， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 设，． 则点的坐标为． ， ， ， ． ， ； 【小问3详解】 设，，，． 由（1）可设的函数解析式为， 联立化简，得 ， ∵抛物线与直线相交于A，B两点， ，为方程 的两根， ． 联立化简，得 ， ∵抛物线与直线相交于，两点， ，为方程 的两根， ． ∵直线与轴正方向的夹角为， ， ， 化简，得， 即， ， ， ， ． ，是整数，且， 或或或 的值为5或9或16或35． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长沙市初中学业水平考试仿真密卷 数学（A卷） 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义．下列纹样中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 今年，全国中小学春假制度大范围落地，湖南的中小学春假与“五一”小长假衔接，激起更多学生和家庭出行旅游，“五一”假期首日，长沙南站单日发送旅客达27.67万人次．将数据27.67万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下表是小明8次射击的成绩： 次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 成绩/环 8 9 8 8 7 9 10 8 则小明这8次成绩的众数和中位数分别是（ ） A. 8，8 B. 8，8.5 C. 9，8 D. 8，9 6. 如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如果点，，在反比例函数（）的图象上，那么（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，，的延长线与的切线交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①，②摆放，阴影部分的周长分别为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2－9＝______． 12. 若代数式有意义，则的取值范围是______． 13. 李商隐《洞庭鱼》的诗句“洞庭鱼可拾，不假更垂罾．”生动描绘了洞庭湖鱼类繁盛的景象．洞庭湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了100条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3000条鱼，发现其中有15条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里有_______条鱼． 14. 如图1是岳麓书院屋顶的图片，屋顶瓦片如图2，瓦片横截面如图3所示，是以点为圆心，为半径的弧，已知是边长为的等边三角形，则的长是_______．（结果保留） 15. 如图，正方形的边长为3，为上一点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，若，则的长为_______． 16. 数学课上老师拿出了一根的木棒，小南说：“这木棒要是再多，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”小麓说：“这木棒要是再缩短，那就可以分成根的小棒和根的小棒了．”请你算一算______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式组：；并把它的解集表示在数轴上． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以原点为圆心、适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点，作射线交于点． （1）求的长度； （2）求点的坐标． 20. 3月14日某校组织学生举办了“数学文化节”活动，其中有四个数学益智游戏．A．幻方探密；B．数字猜谜；C．玩转魔方；D．二十四点．活动结束后，数学老师随机选取部分学生对四个数学益智游戏的喜爱情况做了抽样调查（每位同学选取一样最喜爱的游戏），根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）此次共调查了__________名学生，扇形统计图中A所对应的圆心角度数为__________； （2）请补全条形统计图； （3）已知最喜爱数学益智游戏D的4人中有2名男生，2名女生，从这4名学生中随机选取2名学生作为代表接受校园记者的“我爱二十四点”专题采访，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率． 21. 汉代初期的《淮南万毕术》记载了中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，如图1所示，是古人利用光的反射原理（反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，且反射角等于入射角）实现在院墙内监测墙外人员的实时工作状态．图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为．（参考数据：，） （1）求的大小； （2）求被观测者到墙角的距离．（结果精确到） 22. 健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，已知一个运动员每餐标准为32单位蛋白质，每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位铁质．甲原料的价格为每克0.6元，乙原料的价格为每克1元．设一个运动员每餐需要甲原料克，乙原料克． （1）请写出关于的函数关系式；（不要求写出的取值范围） （2）食堂规定每餐给一个运动员配制这种营养品的总费用不能超过35元．为了保证营养达标且不超支，每餐最多用多少克甲原料？ 23. 如图，在中，，于点．延长至点，使，连接交于点，且． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长度． 24. 已知“天圆地方”观最早起源于中国古人对宇宙天地的最初认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想，在我国古代应用广泛．如秦统一货币“秦半两”（图1）．“天圆地方”的图式具有独特的形式美和意境美．如果正方形内接于，我们称这个图形是“天圆地方图”，为“天圆图”，正方形叫“地方图”． （1）如图2，四边形内接于，，，请添加一个条件：__________，可以使得图2为“天圆地方图”； （2）如图3，在“天圆地方图”中，四边形是“地方图”，为“天圆图”上一点，连接，相交于点，过点作交“天圆图”于点，连接交于点． ①写出，，之间的关系，并说明理由； ②是否存在常数和，使得等式成立，若存在，求出一对和的值；若不存在，请说明理由． 25. 已知抛物线：（，，是常数，且）的顶点为，直线：与相交于A，B两点（点在点的左侧）． （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）当点A，B都在轴上方时，过点A，B分别作轴于点，轴于点，取的中点，连接，，用，，分别表示，，的面积．若，求的值； （3）已知抛物线：与直线交于，两点（点在线段上，点在点右侧）．若，，是整数，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $