精品解析：2025年湖南省长沙市雨花区雅境中学中考数学二模试卷

2025年湖南省长沙市雨花区雅境中学中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 科学研究估算，长沙洋湖湿地公园生态系统中约有28000000000000个微生物．若用科学记数法表示该数量，正确选项是（    ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中，为必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，一定中奖． B. 一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球． C. 抛掷一枚硬币，正面向上． D. 打开电视，正在播放广告． 6. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于⊙，是的切线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 10. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余尺．问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：8a3﹣2ab2=_____． 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 13. 一次射击训练，甲、乙两人各射击15次，两人15次射击成绩的平均数均是9环，方差分别是，，则甲、乙在这次射击中成绩稳定的是________．（填“甲”或“乙”）． 14. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 15. 如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长______ 16. 一只皮箱的密码是一个三位数，小光说：“它是”；小明说：“它是”；小亮说：“它是”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字.这只皮箱的密码是_______． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 图1是一种纸质的桌面日历，底面纸板可适度向内挤压形变，图2、图3是其置于水平桌面的侧面示意图，、两点始终在水平桌面上，．在图2中，当时，． （1）求的长． （2）如图3，若将底面纸板铺平放置，即共线，此时，求此时的长．（参考数据：） 20. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 21. 如图，点E、C、D、A在同一条直线上，，，，线段与线段交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃.已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多2元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进、两种娃娃共200个，最多能购进多少个种娃娃? 23. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F． （1）判断四边形的形状； （2）若，，求四边形的面积． 24. 我们约定：若抛物线：（，且），抛物线：则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”，根据该约定，解答下列问题： （1）已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式； （2）若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”的图象上，试求出抛物线的图象经过的定点坐标； （3）已知抛物线：（m，n，t为实数且，）与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴交于点B（点A在点B的上方）．抛物线与的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足：时，抛物线与直线交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求直线及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省长沙市雨花区雅境中学中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：与2025互为相反数的是， 故选：A． 2. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 科学研究估算，长沙洋湖湿地公园生态系统中约有28000000000000个微生物．若用科学记数法表示该数量，正确选项是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，除法，幂的乘方，积的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 5. 下列事件中，为必然事件的是( ) A. 购买一张彩票，一定中奖． B. 一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球． C. 抛掷一枚硬币，正面向上． D. 打开电视，正在播放广告． 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件的定义“在一定条件下，必然出现的事情”，判断即可． 【详解】解：A、C、D都是可能发生，可能不发生，属于不确定事件，B选项是肯定发生的， 故选：B． 【点睛】本题考查事件发生的可能性大小，熟记必然事件的定义是解题关键． 6. 某物体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：几何体左视图是： 故选：． 7. 如图，内接于⊙，是的切线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，再求出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 故选：B． 8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴不等式的解集为或， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 10. 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余尺．问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设长木长为尺，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设长木长为尺， 根据题意得，， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：8a3﹣2ab2=_____． 【答案】2a（2a+b）（2a﹣b）． 【解析】 【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：8a3-2ab2=2a（4a2-b2） =2a（2a+b）（2a-b）． 故答案为：2a（2a+b）（2a-b）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式，解可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：． 13. 一次射击训练，甲、乙两人各射击15次，两人15次射击成绩的平均数均是9环，方差分别是，，则甲、乙在这次射击中成绩稳定的是________．（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：，，， 两人15次射击成绩的平均数均是9环， 甲、乙在这次射击中成绩稳定的是甲． 故答案为： 甲． 14. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线的性质，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，再根据三角形中位线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是的中点， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 16. 一只皮箱的密码是一个三位数，小光说：“它是”；小明说：“它是”；小亮说：“它是”；已知每人都只猜对了位置不同的一个数字.这只皮箱的密码是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，用排除法缩小范围，进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 由题意得和都有重复且位置相同，可以排除这两个数，则小光猜对的数字是，这样和也可以排除，所以小明猜对了个位上的，小亮猜对了十位上了，则这个三位数密码是． 【详解】解：由题意得，和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数， 小光猜对的数字是， 在百位上， 和也可以排除， 小明猜对了个位上的，小亮猜对了十位上了， 这个三位数密码是． 故答案为： ． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平法公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 图1是一种纸质的桌面日历，底面纸板可适度向内挤压形变，图2、图3是其置于水平桌面的侧面示意图，、两点始终在水平桌面上，．在图2中，当时，． （1）求的长． （2）如图3，若将底面纸板铺平放置，即共线，此时，求此时的长．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）由余弦解即可； （2）过点作于点，先解，求出，然后由求出，然后对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， ∴中，，， ∴， ∴． 20. 近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； （2）补全条形统计图； （3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． 【小问2详解】 组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 21. 如图，点E、C、D、A在同一条直线上，，，，线段与线段交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求出，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃.已知购进4件种娃娃和购进5件种娃娃的费用相同；每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多2元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进、两种娃娃共200个，最多能购进多少个种娃娃? 【答案】（1）每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元 （2）最多购进50个种娃娃 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个种娃娃的进价是元，每个种娃娃的进价是元，根据题意列出二元一次方程组即可得到答案； （2）设购进个种娃娃，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【小问1详解】 设每个种娃娃的进价是元，每个种娃娃的进价是元， 根据题意得：， 解得：. 每个种娃娃的进价是10元，每个种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 设购进个种娃娃，则购进个种娃娃， 根据题意得：， 解得：. 答：最多购进50个种娃娃． 23. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两条弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交于点E，过点P作直线，交于点F． （1）判断四边形的形状； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形为菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）先判定四边形为平行四边形，再证明，可证四边形为菱形； （2）过作于，先求出，再由勾股定理求出，设，在中，由勾股定理求出，最后根据菱形面积公式求出面积． 【小问1详解】 四边形为菱形． ，， 四边形为平行四边形，， 由作图得：平分， ， ， ， 四边形为菱形． 【小问2详解】 过作于， 平分，， ， ， ， 四边形为菱形， ， 设，在中，， 即：， 解得：， ． 【点睛】本题考查了基本作图，菱形的判定定理，勾股定理，等角对等边，掌握菱形的判定定理，勾股定理是解题的关键． 24. 我们约定：若抛物线：（，且），抛物线：则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”，根据该约定，解答下列问题： （1）已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式； （2）若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”的图象上，试求出抛物线的图象经过的定点坐标； （3）已知抛物线：（m，n，t为实数且，）与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴交于点B（点A在点B的上方）．抛物线与的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足：时，抛物线与直线交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线过定点：； （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“湘一相依抛物线”的定义，进行求解即可； （2）求出的顶点坐标，根据“湘一相依抛物线”的定义，写出的解析式，将的顶点坐标代入，进行求解即可； （3）求出的解析式，进而求出，点的坐标，根据，，结合等腰三角形三线合一以及中点坐标公式，得到，进而得到，根据，求得的取值范围，联立，得到，设设的两个根为，利用根与系数的关系结合两点间的距离公式，得到，利用二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为，且抛物线的顶点在的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴抛物线过定点：； 【小问3详解】 抛物线：的“湘一相依抛物线”的解析式为， 联立：，解得：， ∴， 对于：，当时，， ∴， 同理：， ∵点A在点B的上方， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ，， ∵， ， ， ， 联立，整理，得：， 设的两个根为， 则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，则：， ∴当时，有最小值为，此时最小为， 当时，有最大值为，此时最大为， 综上：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的最值，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握“湘一相依抛物线”的定义，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求直线及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】（1）直线的解析式为；抛物线解析式为 （2）存在，点M的坐标为或 或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标； （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴，， ∴， 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 存在点， ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ①当时， 设直线的解析式为，将点A坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点M的坐标为； ②当时， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为或 或； 【小问3详解】 如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵，、 ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $