专题01 幂的运算与整式的乘除（专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题01 幂的运算与整式的乘除 目录 A题型建模・专项突破 题型一、科学记数法 1 题型二、同底数幂的乘法 2 题型三、幂的乘方 3 题型四、积的乘方 5 题型五、同底数幂的除法 6 题型六、单项式与单项式相乘 8 题型七、单项式与多项式相乘 9 题型八、多项式与多项式相乘 11 题型九、单项式除以单项式 13 题型十、多项式除以单项式 15 题型十一、幂的运算中比较大小 17 题型十二、不含某项、与某项无关 19 题型十三、新定义运算 21 题型十四、规律问题 22 题型十五、整除问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、科学记数法 1．某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C 2．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 3．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 题型二、同底数幂的乘法 1．已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘．将每个乘数表示为2的幂次，利用同底数幂相乘法则，指数相加即可求解． 【详解】解：将各数分解为2的幂次： 原式可化为： ∴， ∴． 故选：D． 2．已知，，求 ． 【答案】60 【分析】本题考查代数式求值，涉及同底数幂的乘法运算的逆用，根据题意，将，代值求解即可得到答案．熟记同底数幂的乘法运算的逆运算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：60． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键 （1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （3）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解； （4）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 题型三、幂的乘方 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的乘法及幂的乘方运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，结果应为，而非，故A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故B错误，不符合题意； C、，结果应为，而非，故C错误，不符合题意； D、，结果正确，故D正确，符合题意， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先计算幂的乘方，再计算同底数幂乘法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （2）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （3）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可． （4）根据幂的乘方法则（m、n为正整数）解答即可，同底数幂乘法解答即可． 本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 题型四、积的乘方 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，合并同类项，根据各自的运算法则一一计算并判断即可． 【详解】解：A． ，但选项结果为，错误； B． ，但选项结果为，错误； C． ，符合积的乘方法则，正确； D． 与是不同项，无法通过加法合并为乘积形式，错误； 故选：C． 2．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算，有理数的乘方，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幂相乘法则的逆用． 把原式化为，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【答案】(1)， (2)①，  ② (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 题型五、同底数幂的除法 1．已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，求出，则，可得，据此可判断A；根据得到，则，据此可判断A、B；计算出，则可得，则，据此可判断C． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴，即，故D结论正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∴，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； 故选；C． 2．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆用．逆用同底数幂的除法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：4． 3．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂除法计算，根据幂的乘方计算方程和同底数幂除法计算法则可得，，则，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 题型六、单项式与单项式相乘 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 原式先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，原式先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并即可． 【详解】解：            ． 题型七、单项式与多项式相乘 1．若长方形的两条边长分别是和，则此长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用， 根据长方形的面积公式，面积等于长乘以宽列式求解即可． 【详解】∵长方形的两条边长分别是和， ∴此长方形的面积是． 故选：B． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查单项式乘多项式法则、整式加减运算及代数式求值；解题关键是准确运用法则展开式子，合并同类项化简后再代入求值． 利用单项式乘多项式法则去括号，合并同类项法则进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型八、多项式与多项式相乘 1．已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘．将左边展开后比较系数，得到关于m、n的方程组，结合整数条件分析可能的k值． 【详解】解：展开左边：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值不可能是7 故选：D． 2．若等式（）成立，则有理数k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则把展开，结合已知可得出关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 3．计算观察、归纳结论、解决问题． （1）计算下各式： ； ； ； …… 归纳结论：． 利用这个结论，我们可以解决一些复杂的问题． 例计算：． （2）利用（1）中的结论，计算：； （3）利用（1）中的结论，求的个位数字． 【答案】（1）；；；；（2）3280；（3）3 【分析】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题. （1）先计算出各式，进而找出规律即可； （2）利用（1）中的规律计算即可； （3）利用（1）中的规律求出，再根据的个位数字规律计算即可. 【详解】（1）解： …… 可知 故答案为：；；；； （2）解： （3）解： ∵，，，，，， ∴（为正整数）的个位数字，按照2→4→8→6→2循环． ∵． ∴的个位数字为4． ∴的个位数字为3． ∴的个位数字为3． 题型九、单项式除以单项式 1．计算的结果为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的除法和积的乘方，先运算积的乘方，然后根据单项式除以单项式解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算： （1）利用幂的乘方与积的乘方，单项式与单项式相乘以及单项式除以单项式的运算法则计算即可； （2）先计算单项式除以单项式，同底数幂的乘法，积的乘方，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型十、多项式除以单项式 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的运算、多项式除法以及平方差与完全平方的辨析，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 分别对每个选项依据对应运算法则计算，判断对错． 【详解】A、，该选项错误； B、，不是是c，该选项错误； C、，C正确； D、 ，该选项错误． 故选C． 2．计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则．根据多项式除以单项式法则计算． 【详解】解：原式 题型十一、幂的运算中比较大小 1．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解题的关键是熟记幂的乘方的公式，注意公式的逆用． 本题应先将、d化为指数都为2的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ ， 故选：D． 2．比较大小： ．（使用以下四种符号“，，，”进行填空） 【答案】 【分析】本题主要考查幂的乘方，有理数大小比较，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握与运用． 利用幂的乘方的法则把两个数的指数转为相等，再比较底数即可． 【详解】解：∵， ， 即， 故答案为：． 3．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，据此可得答案； （2）根据幂的乘方的逆运算法则可求出，，， ，据此可得答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则和积的乘方的逆运算法则可得，，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ，且， ∴， ∴； （3）解：，， 又∵， ∴． 题型十二、不含某项、与某项无关 1．若的乘积中不含项，则常数m的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式．直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可． 【详解】解： ， ∵积中不含项， ∴， 解得：． 故选：C 2．如果多项式乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算，直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可． 【详解】解： ， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的积不含某项，完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．先根据多项式乘多项式的计算法则计算出，然后根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵既不含x的二次项，也不含x的一次项， ∴， 解得， ∴． 题型十三、新定义运算 1．定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【答案】B 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 2．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 3．新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． (1)若与是“同类方程”，求______ ． (2)现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”，求和的值． 【答案】(1) (2)的值为，的值为． 【分析】本题主要考查完全平方公式，解二元一次方程组，解题的关键是正确理解“同类方程”的定义． （1）根据“同类方程”的定义，即可求得的值； （2）根据“同类方程”的定义，解二元一次方程组，即可求得和的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵与是“同类方程”， ∴与是“同类方程”， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的值为，的值为． 题型十四、规律问题 1．观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，，设，用含的式子表示这组数据的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求得答案． 【详解】根据题意，得 将代入，得 原式． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘方，能运用同底数幂的乘方的逆运算分析问题是解题的关键． 2．观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： （1） ． （2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查了整式的规律，解题的关键是理解题意，得出规律． （1）根据代数式的规律即可得； （2）根据代数式的规律得，进行化简即可得出答案． 【详解】（1）解：观察代数式可得， 故答案为：； （2）解：观察代数式可得， 把代入得， ∴． 故答案为：． 3．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第2项系数为________；各项系数之和为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式为____________________； (4)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)，， (3) (4) 【分析】本题考查了杨辉三角； （1）由图得，即可求解； （2）可得规律共有项，第2项系数为， 当，时，即可求解； （3）按杨辉三角展开，即可求解； （4）当，，代入公式，即可求解； 理解杨辉三角，能熟练利用杨辉三角形进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由图得 ， 故答案为：； （2）解：共有项， 展开式共有项； 第2项系数为， 第2项系数为； 当，时， 各项的系数之和为； 故答案为：，，； （3）解： ； 故答案为：； （4）解： ． 题型十五、整除问题 1．判断能否被9整除，并说明理由． 【答案】能被9整除，理由见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，积的乘方计算和同底数幂乘法的逆运算，把先变形为，进一步变形得到，则可最后变形为，据此可得结论． 【详解】解：能被9整除，理由如下： ， ∴能被9整除． 2．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算，可用竖式除法如图： 所以除以，商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)______； (2)计算：； (3)能被整除，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）模仿例题，可用竖式计算； （3）设商式为，则有，根据对应项系数相等即可解决问题． 【详解】（1）． （2）． （3）设商式为， 则有 ． 【点睛】本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘除法运算法则，学会模仿解题，属于中考常考题型． 3．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 【答案】(1)能，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题是阅读材料题，考查了，多项式的乘法运算，多项式除以多项式，关键是读懂材料提供的方法，并能灵活运用方法解决问题． （1）按照材料中的竖式方法进行即可； （2）按照材料中的竖式方法进行，根据题意余式要为0，则余式的各项系数均为0，从而可以求得a与b的值，最后求得结果． （3）由长方形B的周长是A周长的2倍可得，再分别求解长方形，的面积，结合多项式除以多项式可得答案． 【详解】（1）解：能，理由如下： 列竖式如下： （2）解：列竖式如下： 由题意得： ∴且 ∴，， ∴． （3）解：∵长方形的周长为：， 长方形的周长为：， 而长方形B的周长是A周长的2倍， ∴， ∴， ∴长方形的面积为： ； ∵长方形B的面积比C的面积大76， 长方形的面积为：， ∴， ∴长方形C已知边长的邻边长为：． 1．下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算各选项的结果，即可得到答案． 【详解】A. ，故选项正确，符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：A 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算单项式乘以单项式，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 7．化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入即可求解． 【详解】 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，正确地把代数式化简是解题的关键． 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 10．阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数， 记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，则． ．由对数的定义得 又 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：①___________；②_______，③________； （2）求证：； （3）拓展运用：计算． 【答案】（1）5，3，0；（2）见解析；（3）2 【分析】（1）直接根据定义计算即可； （2）结合题干中的过程，同理根据同底数幂的除法即可证明； （3）根据公式：loga（M•N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，将所求式子表示为：，计算可得结论． 【详解】解：（1）①∵，∴5， ②∵，∴3， ③∵，∴0； （2）设logaM=m，logaN=n， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3） = = =2． 【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算与整式的乘除 目录 A题型建模・专项突破 题型一、科学记数法 1 题型二、同底数幂的乘法 2 题型三、幂的乘方 3 题型四、积的乘方 5 题型五、同底数幂的除法 6 题型六、单项式与单项式相乘 8 题型七、单项式与多项式相乘 9 题型八、多项式与多项式相乘 11 题型九、单项式除以单项式 13 题型十、多项式除以单项式 15 题型十一、幂的运算中比较大小 17 题型十二、不含某项、与某项无关 19 题型十三、新定义运算 21 题型十四、规律问题 22 题型十五、整除问题 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、科学记数法 1．某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 3．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 题型二、同底数幂的乘法 1．已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 2．已知，，求 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（为正整数）． 题型三、幂的乘方 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 题型四、积的乘方 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 题型五、同底数幂的除法 1．已知，，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则 ． 3．已知，，求的值． 题型六、单项式与单项式相乘 1．计算：（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 题型七、单项式与多项式相乘 1．若长方形的两条边长分别是和，则此长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．计算 ． 3．先化简，再求值：，其中 题型八、多项式与多项式相乘 1．已知等式（m，n为整数），则k的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 2．若等式（）成立，则有理数k的值是 ． 3．计算观察、归纳结论、解决问题． （1）计算下各式： ； ； ； …… 归纳结论：． 利用这个结论，我们可以解决一些复杂的问题． 例计算：． （2）利用（1）中的结论，计算：； （3）利用（1）中的结论，求的个位数字． 题型九、单项式除以单项式 1．计算的结果为（　　） A．3 B． C． D． 2．计算的结果为 ． 3．计算： (1)； (2)． 题型十、多项式除以单项式 1．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： 3．计算： 题型十一、幂的运算中比较大小 1．已知，那么大小顺序为（　　） A． B． C． D． 2．比较大小： ．（使用以下四种符号“，，，”进行填空） 3．阅读下面的材料：我们知道一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 题型十二、不含某项、与某项无关 1．若的乘积中不含项，则常数m的值为（　　） A．5 B． C． D． 2．如果多项式乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ． 3．已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 题型十三、新定义运算 1．定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 2．定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 3．新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． (1)若与是“同类方程”，求______ ． (2)现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”，求和的值． 题型十四、规律问题 1．观察等式：；；；已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，，设，用含的式子表示这组数据的和是（    ） A． B． C． D． 2．观察下列各式： ； ； ； …… 根据这一规律计算： （1） ． （2） ． 3．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数为________； (2)展开式共有________项，第2项系数为________；各项系数之和为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式为____________________； (4)利用上面的规律计算：． 题型十五、整除问题 1．判断能否被9整除，并说明理由． 2．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算，可用竖式除法如图： 所以除以，商式为，余式为0． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)______； (2)计算：； (3)能被整除，求a、b的值． 3．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，仿照计算如图①所示． 　　 因此． (1)阅读上述材料后，试判断能否被整除，并说明理由； (2)若多项式能被整除，求的值； (3)有一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），另有一长方形C，它的一边长为，且长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C已知边长的邻边长． 1．下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．计算： ． 6．若，则的值为 ． 7．化简求值：，其中． 8．先化简，再求值：，其中． 9．先化简，再求值：，其中，． 10．阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地．若（且），那么x叫做以a为底N的对数， 记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质： ，理由如下： 设，则． ．由对数的定义得 又 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： （1）填空：①___________；②_______，③________； （2）求证：； （3）拓展运用：计算． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$