第12章 全等三角形（习题课件）2026-2027学年数学华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦“命题、定义、定理与证明”，通过具体语句辨析（如“连结两点”是否为命题）导入，衔接真命题假命题判断、举反例等知识点，搭建学习支架帮助学生逐步构建逻辑推理基础。 其亮点是“夯实四基”与“提升四能”结合，通过改写命题形式（如“末位数字是5的整数能被5整除”）、举反例（如x=-4说明x²>9则x>3为假），培养学生抽象能力、推理意识和模型意识。学生能巩固基础并提升逻辑思维，教师可借助分层练习优化教学效果。

第12章 全等三角形 专项突破10 构造等腰三角形的常用方法 1 证明：延长，相交于点 ， 则 ， ， . . 在和 中， . . 2 平分，，又 ， . ， . . 2.如图，在中，， 平分 ，交于点，于点 .求证： . 4 证明：延长交于点 . ， . 平分 ， . 在和 中， . 5 ，， . . ， . . . ， . 方法2 等腰三角形平行线 等腰三角形 方法指导 条件 策略 ________________________________________________________________作腰 的平行线 _____________________________________________________________________________ 作底边的平行线 结论 是等腰三角形 是等腰三角形 7 3.如图，在中，，点在上，点在 的 延长线上，连结交于，.求证： . 证明：过点作，交于点，则 . 在和 中， ， . ， . ， ， ， ， . 9 方法3 倍长中线 等腰三角形 4.如图，为的中线，点在上，交于点， . 求证： . 10 证明：延长至点，使，连结 ， 为的中线， . 在和 中， ， , . ， ， 11 . ， ， . 方法4 倍角关系 等腰三角形 方法指导 在<m></m>中，<m></m>. 方法一：如图①，外构等腰三角形，作 . 方法二：如图②，内构等腰三角形，作 . 方法三：如图③，内构等腰三角形，作平分 . 13 5.如图，是的边上的高， ， 若，，求 的长. 解：如图，在上作一点，使， ， ， . ， . ，， ， . 15 方法5 截长补短 等腰三角形 方法指导 模型 角平分线 截长 _____________________________________________ 角平分线 补短 _____________________________________________ 条件 ， ， 结论 16 6.如图，为等边三角形， ，求 证： .（请用两种方法证明） 截长法： 补短法： 证明：截长法： 在上截取，连结 . ， 为等边三角形， , . 为等边三角形， , , , 即 . 18 在和 中， , , . 补短法：延长至点，使,连结， ， 为等边三角形, ， . 为等边三角形， , . ,即 . 在和 中， , , . $第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 5.斜边直角边 1 知识点1 利用“斜边直角边”判定三角形全等 1.如图，能用“”判断和 全等的条件是( ) C A.， B.， C.， D.， 返回 1 夯实四基 2 2.如图，在中， ，是上一点，于点 ， ，连结，若，则 等于( ) C （第2题） A.6 B.7 C.8 D.10 返回 1 夯实四基 3 3.如图，，，垂足分别为，，要根据“ ”判定 ，应添加的条件是__________. （第3题） 返回 1 夯实四基 4 4.如图，在四边形中，， ， ，则 ______. （第4题） 返回 1 夯实四基 5 5.［2025成都期末］如图，，， ，垂足分别 为，， .求证： 1 夯实四基 6 （1） ； 证明：， ， . 在和 中， . . 1 夯实四基 7 （2） . [答案] 由（1）知 ， ， . 返回 1 夯实四基 8 知识点2 灵活判定直角三角形全等 6.［2025南阳期中］南阳光武大桥， 建于2012年，被称为“南阳之门”.其 侧面示意图如图所示，其中 A A. B. C. D. ，现添加以下条件，不能判定 的是( ) 返回 1 夯实四基 9 7.［教材例8变式］如图， ， ，请添加一个条件，使 . （1）添加__________，根据是____; （2）添加__________，根据是____; （3）添加_______________，根据是_____; （4）添加_______________，根据是___________________. （顺序可颠倒） 返回 1 夯实四基 10 8.［2025泸州月考］如图，在 中， ，于点，点在 的延长 线上，，点在上，连结， ， 求证： . 1 夯实四基 11 证明：于点 ， ， ， . ， . 在和 中， ， . 返回 1 夯实四基 12 9.课堂上，老师发给每人一张印 有 （如图①所示）的 卡片，然后，要同学们尝试画一 他们的作法都正确，请你选择一位同学的作法，并说出其作图依据：我 选____（填“小赵”或“小刘”）的作法，他作图判定 的依据是____. [答案] 小赵；（或小刘； ） 个，使得 .小刘和小赵同学先画出了 ，后续画图的主要过程如图②所示. 返回 2 提升四能 13 10.［2025驻马店期末］如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已 知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度 相等，经测量 ，那么 的度数为_____. （第10题） 返回 2 提升四能 14 （第11题） 11.［2025绵阳期中］如图，在 中， ，，，，两点分别在 和过点且垂直于的射线上运动， ，当 与全等时， 的长度为_______. 6或12 返回 2 提升四能 15 12. 我国传统工艺中，风筝制作 非常巧妙，其中蕴含着许多的数学知识.如图， 这是某种风筝撑开时的示意图，已知 ，，垂足分别为，， ， 相交于点， . 求证： . 2 提升四能 16 证明：， ， . 在和 中， . . 2 提升四能 17 在和 中， . . 返回 2 提升四能 13. 如图，在中，，点， 分别在边 ，上，且 . 3 发展素养 19 （1）如图①，若为直角，则线段和线段 的数量关系是 __________，并说明理由； 解：理由如下： ，， ， ， . 3 发展素养 20 （2）如图②，若 为钝角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. 解：成立.理由如下： 如图，过点作交 的延长线于 点，过点作交 的延长线于 点 . 则 .又， ， ， ， . 3 发展素养 21 ， ， ， ， ， ，即 . 返回 3 发展素养 $第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 4.边边边 1 知识点1 利用“边边边”判定两个三角形全等 1.图中是全等三角形的是( ) B A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.丙和丁 返回 1 夯实四基 2 2.如图，是的中点，且 ，请添加一个条件：__________， 可利用“”判定 . （第2题） 返回 1 夯实四基 3 3.［2025商丘期中］如图所示，，，用“ ”可证明 ________或 ________. （第3题） 返回 1 夯实四基 4 4.［2025长春期末］如图，点，，， 在 同一直线上，点，在直线 的同侧， ，， . （1）求证： ； 证明： ， ，即 ， 又， ， . 1 夯实四基 5 （2）若 ， ，求 的度数. 解： ， ， . ， . . 返回 1 夯实四基 6 5.如图,小敏做了一个角平分仪,其中 , ,将仪器上的点与的顶点 重合,调 整和,使它们分别落在角的两边上,过点， 画一条射线,就是 的平分线.请说明此角 平分仪的原理. 1 夯实四基 7 解：在和 中， , , 即是 的平分线. 返回 1 夯实四基 8 知识点2 判定两个三角形全等的四种方法的综合运用 6.［2025开封期中］如图，在和 中，点 ，，，在同一条直线上，已知 ， ，添加以下条件，不能判定 的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 9 7.小龙编了这样一个题目：“如图，已知与 交于 点，，， ，求证： .”老师说他的已知条件给多了，请你 帮他去掉一个已知条件，并写出证明过程. 解：去掉 . 证明：，， ， . 或去掉 . 证明：，， ， . 返回 1 夯实四基 10 8.根据下列条件，不能作出唯一 的是( ) B A.，， B.，， C.，， D. ， ， 返回 2 提升四能 11 （第9题） 9.如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上 的情形.根据图中标示的各点位置，可判断与 全 等的三角形是( ) B A. B. C. D. 返回 2 提升四能 12 10.如图，以为圆心，长为半径画弧，分别交直线、线段 于点 ，，然后以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点 ，再以 点为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点，画射线.若 平 分， ，则 _____. （第10题） 返回 2 提升四能 13 11.如图，，，，分别是， 的中点，若 的面积为 ，则图中阴影部分的面积为___. 3 2 提升四能 14 [解析] 点拨：连结，在和 中， ， . ，分别是， 的中点， ，， 易得阴影部 分的面积为的面积为， 阴影部分的面积为 . 返回 2 提升四能 15 12.［2025洛阳期中］如图，已知 ， ，点，，在同一条直线上， ， 且 . （1）求证： ； 证明：在和 中， ，， ， . 2 提升四能 16 （2）求 的度数. 解： ， ， ， 易得 . ， . 返回 2 提升四能 17 13. 如图，，，是 上的两动点，且 . 3 发展素养 18 （1）若点，运动至如图①所示的位置，且有 ，求证： . 证明： ， ，即 . 在和中， . 3 发展素养 19 （2）若点，运动至如图②所示的位置，仍有 ，则 还成立吗？为什么？ 解：成立.理由： ， ，即 . 在和中， . 3 发展素养 20 （3）若点，不重合，则和 平行吗？请说明理由. 解：与 不一定平行， 理由：在和中，仅由， 不能判定它们全 等，即不能得出，与 不一定平行. 返回 3 发展素养 21 $第12章 全等三角形 12.3 等腰三角形 2.等腰三角形的判定 微专项3 角平分线+平行线→等腰三角形 1 1.如图，在中，，的平分线交于点，过点 作 ，分别交，于点，，若，，则 的长 为( ) B A.8 B.9 C.10 D.11 2 （第2题） 2.如图，在中，平分，平分 ， 且，，若，则 的周长 是___. 6 3 （第3题） 3.［2024西安期末］如图，的平分线 与 外角的平分线交于点，过点作 的 平行线交于点，交于点， ， ，则 的长为___. 2 $第12章 全等三角形 12.3 等腰三角形 1.等腰三角形的性质 1 知识点1 等边对等角 1.［2024湖南中考］若等腰三角形的一个底角的度数为 ，则它的顶 角的度数是_____ . 100 返回 1 夯实四基 2 2.如图，，点在线段上，.若 ，则 的度数为( ) B （第2题） A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 3 （第3题） 3.［2024兰州中考］如图，在 中， ， ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 4 4.如图，在中，，点，是边上两点，且 . 求证： . 1 夯实四基 5 证明：， ， ， . 在与 中， ， . 返回 1 夯实四基 6 知识点2 三线合一 5.如图，衣架可近似看成等腰三角形，其中， 于 点，若，则 的长为( ) C （第5题） A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 7 6.［教材P练习T变式］如图，在等腰三角形中， ， ，是的中线，则 的度数是( ) B （第6题） A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 8 7.如图，在中，， 是角平分线，则下列结论中不一定 正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 9 知识点3 等边三角形的性质 （第8题） 8.如图,是等边三角形.若 的平分线与 的平分线相交于点,则 的度数 是( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 10 9.［2025太原期末］如图，在等边三角形中，， 平分 ，延长至点，使，则 的长为___. 6 （第9题） 返回 1 夯实四基 11 10.［2025漯河期中］如图，为等边三角形，，分别为 ， 延长线上一点，且，连结，.求证： . 1 夯实四基 12 证明： 为等边三角形， ， ， . 在和 中， ， . 返回 1 夯实四基 13 11.在贵州有一座在云端“行走”的桥——北盘江大桥.如图，索塔的顶端、 拉索与桥面围成的图形可看成等腰三角形，，是边 上 的一点.下列条件不能说明是 的角平分线的是( ) C A. B. C. D. 返回 2 提升四能 14 12.［2025长春期末］如图，在的两边上有点，， ， ，且 ，则 的度数为( ) C （第12题） A. B. C. D. 返回 2 提升四能 15 13.［2024泰安中考］如图，直线，等边三角形 的两个顶点 ，分别落在直线，上，若 ，则 的度数是 ( ) B （第13题） A. B. C. D. 返回 2 提升四能 16 14. 已知一个等腰三角形的周长为 ，且其中有一边的长为 ，则该等腰三角形的底边长为____________. 或 返回 2 提升四能 17 15.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的 边长是3，则六边形的周长为____. 90 返回 2 提升四能 18 16.［2025洛阳期末］如图， 是等边三角 形，，为上一动点（不与， 重合）， 以为边在上方作等边三角形，连结 . （1）求证： ； 证明：， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， . 2 提升四能 19 （2）当点运动到使时，求 的长. 解：， . ，， ， . 是等边三角形， 为的中点， ， ， . 返回 2 提升四能 20 17. 在中， . （1）如图①，如果 ，是 上的高， ，则 _____； （2）如图②，如果 ，是 上的高， ，则 _____； （3）通过以上两题，你发现与 之间有什么 关系?请用式子表示:________________； 3 发展素养 21 （4）如图③，如果不是上的高， ，上述关系是否仍然 成立？请说明理由. 3 发展素养 22 解：仍然成立.理由如下： ， . ， . ， . ， . ， ， . 返回 3 发展素养 23 $第12章 全等三角形 专项突破9 分类讨论思想在等腰三角 形中的应用 1 类型1 当顶角和底角不确定时要分类讨论 1.［2025临汾期中］若等腰三角形的一个内角为 ，则它的底角为 ( ) C A. B. C. 或 D. 或 返回 2 2.（1）在等腰三角形中， ，则 的度数为_____； （2）在等腰三角形中， ，则 的度数为_____________ _______. 或 或 返回 3 类型2 当底和腰不确定时要分类讨论 3.［2025漯河期中］如果等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长 为____. 17 返回 4 4.已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的 ，则此三角形的周长 为________. 45或60 返回 5 5.某等腰三角形的周长是 ，一条腰上的中线把其周长分成差为 的两部分，则该等腰三角形的腰长是____________. 或 返回 6 类型3 当等腰三角形的形状不确定时要分类讨论 6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则它的底角的大小是 ( ) D A. B. C. 或 D. 或 返回 7 7.等腰三角形中，，边上的垂直平分线与 边所在的 直线相交所得的锐角为 ，则 的度数为____________. 或 返回 8 8.在中，，的平分线与边所夹的锐角为 ， 则 ____________. 或 返回 9 类型4 由动态问题引起的分类讨论 9.［2025眉山期中］如图，是延长线上的一点， ， ，动点从点出发，沿以的速度移动，动点 从 点出发， 沿以的速度移动.如果点， 同时出发，当 是等腰三角形时，移动的时间为_ __________. 或 返回 10 10.如图，在中， ， ，点，分别在， 上，将 沿直线折叠，点的对应点 恰好落 在上，若是等腰三角形，求 的 度数. 解： ， ， . 分三种情况讨论： 11 ①当 时，如图①， ， ； ②当 时，如图②， ， ； ③当 时，如图③， ， . 综上所述，的度数为 或 或 . 返回 12 类型5 与构造等腰三角形有关的分类讨论 （第11题） 11.［2025长春期中］如图，在正方形网格中，已知 ， 是两格点，如果也是图中的格点，且使 为等 腰三角形，则符合条件的点 的个数是( ) B A.9 B.8 C.7 D.6 返回 13 12.如图，中， ， ，在直线或射线 上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点 有___个. 5 （第12题） 返回 14 $第12章 全等三角形 阶段练习（四）（12.1～12.2） 1 建议用时：45分钟 一、选择题（每题5分，共40分） 1.下列命题是真命题的是( ) C A.有理数和数轴上的点一一对应 B.同位角相等 C.两直线平行，同旁内角互补 D.64的平方根是8 返回 2 （第2题） 2.如图，在中，，为 的中点，过点 分别作， ，则能直接判定 的依据是( ) D A. B. C. D. 返回 3 （第3题） 3.［2025安阳期末］如图，已知 ， ，添加一个条件，不能判定 的是( ) D A. B. C. D. 返回 4 4.如图，已知，以点 为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交 ，于点，，再以点为圆心， 的长为半径画弧②，交弧①于 点，画射线.若 ，则 的度数为( ) B （第4题） A. B. C. D. 返回 5 （第5题） 5.如图，，， ， ，则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 6 6.［2025郑州期末］在中， ，将 沿图中虚 线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是( ) D A. B. C. D. 返回 7 （第7题） 7.如图，是的中线，交 的延 长线于点，，，则 的取值 可能是( ) A A.3 B.6 C.8 D.12 返回 8 （第8题） 8.［2025信阳期中］如图， 且 ，且 ，按照 图中所标注的数据，计算图中实线所围 成的图形（阴影部分）的面积 是( ) A A.50 B.62 C.65 D.68 9 [解析] 点拨：，， ， ， ， ，，又 ， ，， ，同理可得 ， ， ， . 返回 10 二、填空题（每题5分，共25分） 9.已知， ， ，则 的度数为_____. 返回 11 10.说明命题“的平方是正数”是假命题的反例是 ___. 0 返回 12 11.如图，在中， ， ，，，则 的 长为___ . 2 返回 13 （第12题） 12.如图，在正五边形中，在边， 上分 别取点，，使，连结，交于点 ， 则 ______. 返回 14 （第13题） 13.如图，在中， ， ，，点从点出发沿 以 的速度运动，到达点 后立刻以原速返回到 点停止；点从点出发沿以 的速度运动 到点后停止，点，同时出发，作 ， .设运动时间为，当 ______时， 和 全等. 2或4 15 [解析] 点拨：由题易知只能是.①当时，点 从点到点运动，， ，则 ，当时， ， ，解得；②当时，点从点到点 运动，则 ，，当时， ， ，解得.③当时， ， ，， 不成立.综 上所述，当或4时，和 全等. 返回 16 三、解答题（共35分） 14.（10分）如图，已知，点在 上. （1）若，，求线段 的长； 解：，，， ， ， . 17 （2）若 ， ，求 的度数. 解：， ， ， ， ， ， . 返回 18 15.（11分）如图，在四边形中， ， ，是上任意一点，连结， .求证： . 19 证明：在和 中， . . 在和 中， . 返回 16.（14分）如图，某村庄有一块五边形的田地， 米， ，连结，， . （1），与 之间的数量关系是_____________________ ______; 21 （2）为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围 一圈木栅栏.已知每米木栅栏的建造成本是60元，则建造木栅栏共需花 费多少元？ 22 解：延长至点，使，连结 ， ， . 在和 中， . ， . 由（1）知 ， 23 ， 即 . 在和 中， . . 米. 五边形的周长为 （米）. （元）. 答：建造木栅栏共需花费14 400元. 返回 $第12章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 3.角平分线 1 知识点1 角平分线的性质 1. 如图，已知，， ，垂足分别为点 ，，则 ____. （第1题） 返回 1 夯实四基 2 （第2题） 2.如图,平分,是上一点,于点 , 是射线上的一个动点.若,则 的最小值 为( ) D A.1.5 B.2.5 C.3 D.5 返回 1 夯实四基 3 3.如图，在中， ，平分，交于点 ， 于点.若，，则 的长为___. 3 （第3题） 返回 1 夯实四基 4 4.如图，在中，平分交于点，于点 .若 ，，则 ___. 1 （第4题） 返回 1 夯实四基 5 5.［教材P练习T变式］如图，是 平分 线上的一点，， ，垂足分别为点 ，，连结交于点.若 ，求 的度数. 解：是平分线上的一点， ， ， ， . 返回 1 夯实四基 6 知识点2 角平分线的判定 6. 如图，于点，于点，.当 ___时，点在 的平分线上. 2 （第6题） 返回 1 夯实四基 7 7.［2025临汾期中］到的三条边距离相等的点是 的( ) B A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.以上均不对 1 夯实四基 8 （变式题） 【变式题】 如图，，， 表示三条相互交叉的 公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可供选择的地址有( ) D A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 返回 1 夯实四基 9 8.如图，，，， ，则 _____. （第8题） 返回 1 夯实四基 10 9.［2025吉林期末］如图，已知，，垂足分别为点 ， ，与相交于点，连结.若.求证：平分 . 1 夯实四基 11 证明：， ， . 在与 中， . ，平分 . 返回 1 夯实四基 12 （第10题） 10.将两把相同的直尺按如图放置在 上，两直尺的接触点为，边 与其中一 把直尺边缘的交点为，点， 在这把直 尺上的对应读数分别是2和5，则 的长度 是___ . 3 返回 2 提升四能 13 11.如图，在中，，分别平分和， 于 点，.若的面积为22，则 的周长为____. 22 （第11题） 返回 2 提升四能 14 12.［2025南阳期末］如图， ，是的中点， 平 分，且 ，则 _____. （第12题） 返回 2 提升四能 15 （第13题） 13.如图，是的角平分线， 于点 ，交的延长线于点，若 平分 ，，下列结论： ； ；； .其中正确 的结论为__________.（填序号） ①②③④ 返回 2 提升四能 16 14.如图，已知与点，，求作一点，使点到边， 的距 离相等，且 （保留作图痕迹，不写作法）. 解：如图，点 即为所求. 返回 2 提升四能 17 15.［2025商丘期中］如图，， ， 于点 . （1）求证：平分 ； 2 提升四能 18 证明：如图，过点作，交 的延长线于 点 . . ， ， . 在与 中， 2 提升四能 19 ， ， 又 ， 平分 . 2 提升四能 （2）若，，求 的长. 解：由（1）可得 ， 在和 中， ， ， . 返回 2 提升四能 21 16.如图，，， ，且满足 ，于点，点为 上任意一点， 于点，连结 . 3 发展素养 22 （1）判断 的形状； 解： ， , . ， , ,即 , 是等腰三角形. 3 发展素养 23 （2）当最小时，求与 之间的数量关系. 3 发展素养 24 解：，且 ， . 过点作于点 , 则 ， .易得当、、 三点在同一直线上时， 最小，此时, . 又 , , . 返回 3 发展素养 $第12章 全等三角形 12.1 命题、定义、定理与证明 2.定义、定理与证明 1 知识点1 定义 1.下列语句中，是定义的是( ) D A.点到点的距离是 B.两点之间线段最短 C.直角都相等 D.有两条边相等的三角形是等腰三角形 返回 1 夯实四基 2 知识点2 基本事实和定理 2.“等角的补角相等”是一个( ) B A.基本事实 B.定理 C.假命题 D.定义 返回 1 夯实四基 3 3.下列命题：①对顶角相等；②两点确定一条直线；③两直线平行，内错 角相等；④锐角都相等；⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直.其中，是基本事实的是______，是定理的是______.（填序号） ②⑤ ①③ 返回 1 夯实四基 4 知识点3 证明 4.如图，下列推理错误的是( ) D （第4题） A.， B.， C.， D.， 返回 1 夯实四基 5 （第5题） 5.［教材习题变式］如图， ， ，点，分别在，上， . 求证： .完成下面的推理过程. 证明：， （已知）， （________________________________ ____________）. （已知）， （________________________）， 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 内错角相等，两直线平行 1 夯实四基 6 （___________________________________________________ _______）， （________________________）. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 两直线平行，同位角相等 返回 1 夯实四基 6. 如图，有如下四个论断： ，，平分，平分 . 2 提升四能 8 （1）将其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，构成一个命题， 正确的命题有哪些？ 解：如果①②③，那么④；如果①②④，那么③；如果①③④，那么②； 如果②③④，那么①. 2 提升四能 9 （2）请你从上述命题中选择一个写出已知、求证并进行证明. 解：已知：，，平分 ， 求证：平分 . 2 提升四能 10 证明：如图， ， ， 即 ， 2 提升四能 11 ，， . 平分 ， ， ， 平分 .（答案不唯一） 返回 2 提升四能 7.如图，将 的三边分别向两边延长，并在每 两条延长线上任取两点连结起来，又得到了三个新 的三角形.求证： . 证明： ， . 同理可得， . . 返回 3 发展素养 13 $第12章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 2.线段垂直平分线 1 知识点1 线段垂直平分线的性质 （第1题） 1.如图，直线是线段的垂直平分线， 为直 线上的一点.已知，则 的长为( ) B A.6 B.5 C.4 D.3 返回 1 夯实四基 2 2.［2024镇江中考］如图，的边的垂直平分线交于点 ，连 结.若，，则 ___. 3 （第2题） 返回 1 夯实四基 3 3.［2025信阳期中］如图，垂直平分，， ，则四边 形 的周长是____. 20 （第3题） 返回 1 夯实四基 4 4.如图，在中， ，是的垂直平分线，交 于点，交于点.若 ，则 的度数是_____. （第4题） 返回 1 夯实四基 5 5. 如图，在中，的垂直平分线分别交 ， 于点，，的垂直平分线分别交，于点，.若 的周长为8，则 ___. 8 【补充设问】若 ，则 _____. 返回 1 夯实四基 6 6.如图，于点，，点 在 的垂直平分线上.若， ，求 的长. 解：，， . 点在 的垂直平分线上， ， . ， . 返回 1 夯实四基 7 知识点2 线段垂直平分线的判定 7. 联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与，， 三名 同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜.若将，， 三名同学所在位置看作的三个顶点，则凳子应该放在 的 ( ) D A.三条中线的交点处 B.三条角平分线的交点处 C.三条高所在直线的交点处 D.三边垂直平分线的交点处 返回 1 夯实四基 8 8.［教材P练习T变式］如图，点在的边 上，且 ，则点 一定在____的垂直平分线上. 返回 1 夯实四基 9 9.如图，在中，， ， 求证：直线是线段 的垂直平分线. 证明：， ， 点在线段 的垂直平分线上. ， 点在线段 的垂直平分线上， 直线是线段 的垂直平分线. 返回 1 夯实四基 10 10. 如图，直线与线段相交于点，点 在直线上，且 ，则下列结论正确的有 ( ) A ； ； ； ④点在线段 的垂直平分线上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 2 提升四能 11 11.［2025临汾期末］已知线段的垂直平分线上有两点， , , ,则 ( ) C A. B. C. 或 D. 或 返回 2 提升四能 12 12.如图，等腰三角形的面积为16，底边的长为4，腰 的垂直 平分线分别交，于点，.若为的中点，为线段 上一 动点，则 的周长的最小值为____. 10 （第12题） 返回 2 提升四能 13 13.［2025长春期末］如图，在锐角三角形中，边， 的垂直平 分线交于点.连结，.若 ，则 _____. （第13题） 返回 2 提升四能 14 14.如图，在中，是的中点，是 的延长线上一点，连结，交于点 ，连结 ， . （1）求证：是线段 的垂直平分线； 证明： ， . 是的中点， ， 是线段 的垂直平分线. 2 提升四能 15 （2）当， 时，求及 的度数. 解： ， . ， . . 由（1）易知 ， . 返回 2 提升四能 16 15. 如图，点和点 关于 直线对称，点和点关于直线 对称， 线段，分别与，交于点， . 直线与直线交于点，分别连结 , , . （1）线段，， 有怎样的数量关系？请说明理由； 解： . 理由：由题意，得垂直平分，垂直平分 ， ,， . 3 发展素养 17 （2）求证： ； 证明：， ， .同理 . , ， . 3 发展素养 18 （3）直线上的点和点关于过点 的直线对称. ①直接写出与 的数量关系； 解： . ②用尺规作图法确定点 的位置. 解：如图，点及 即为所求. 返回 3 发展素养 19 $第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 1.全等三角形的判定条件 1 知识点1 全等三角形及其性质 1.［2025太原期中］如图， ，下列结论错误的是( ) C A.与 是对应角 B.与 是对应角 C.与 是对应边 D.与 是对应边 返回 1 夯实四基 2 2.下列结论中正确的有( ) ①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角 形的周长相等；④全等三角形的面积相等；⑤全等三角形的对应中线、 对应高线、对应角平分线相等. A A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 返回 1 夯实四基 3 3.如图，，，，则 的长是( ) A （第3题） A.5 B.4 C.3 D.2 返回 1 夯实四基 4 4.如图，这是纸飞机的示意图，在折纸的过程中，与 能够 重合.如果 ， ，那么____ . 90 （第4题） 返回 1 夯实四基 5 知识点2 全等变换 5.［教材练习变式］如图，将绕点 顺时针旋转得到（旋转角度小于 ）， 且，，三点在同一条直线上，若 ， ，则 的长为( ) A A.12 B.7 C.2 D.14 返回 1 夯实四基 6 （第6题） 6.如图，将沿翻折得到， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 7 7.如图，在中，， ， ，把 沿 图中的方向平移到 的位置，则下列结论错误的是( ) A （第7题） A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 8 知识点3 全等三角形的判定条件 8. 已知与 . （1）当（或）时，与 ________全等； （2）当，（或，或 ， ）时，与 ________全等； （3）当，，，， 时， 与 ______全等.（均填“一定”或“不一定”） 不一定 不一定 一定 返回 1 夯实四基 9 9.下列选项中，一定是全等三角形的是( ) D A.一条边对应相等的两个三角形 B.两条边分别对应相等的两个三角形 C.三个角分别对应相等的两个三角形 D.能够完全重合的两个三角形 返回 1 夯实四基 10 10.如图, ,则下列结论不一定成立的是( ) D （第10题） A. B.与 平行且相等 C.与平行且相等 D. 返回 2 提升四能 11 （第11题） 11.［2025南阳期末］如图，在中， 于点，于点，，交于点 ， .若，，则 的 面积为( ) C A.24 B.18 C.12 D.8 返回 2 提升四能 12 （第12题） 12.［2025鹤壁期中］如图，是由绕点 按逆时针方向旋转 得到的.若，则 的度 数为( ) A A. B. C. D.无法确定 返回 2 提升四能 13 13. 已知有两个三角形全等，若其中一个三角形的三边长分别为3， 5，7，另一个三角形的三边长分别为3，，，则 ______. 5或4 返回 2 提升四能 14 14.［2025成都期末］如图，中， ，将沿 翻 折后，点落在边上的点处.如果 ，那么 的度 数为_____. （第14题） 返回 2 提升四能 15 15.如图，已知，点在上，与交于点 ， ， . 2 提升四能 16 （1）若 ， ，求 的度数； 解： ， ， . ， . . . 2 提升四能 17 （2）求与 的周长和. 解： ， ， . 和 的周长和为 . 返回 2 提升四能 18 16.如图所示，，，三点在同一直线上，且 . （1）求证： ； 证明： ， ， . 又 ， . 3 发展素养 19 （2）当满足什么条件时， ？并说明理由. 解：当满足 时， . 理由： ， . 又 ， . . . 返回 3 发展素养 20 $第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 2.边角边 1 知识点1 利用“边角边”判定三角形全等 1.下列与图中三角形全等的是( ) D A.①② B.②③ C.①③ D.只有① 返回 1 夯实四基 2 （第2题） 2.［2025临汾期中］如图，点在 的平分线上， 若能用“”判定 ，则需添加的一 个条件是__________. （第3题） 3.如图，已知，以点 为圆心，任意长为半径 画弧，分别交，于点，；再以点 为圆心， 大于的长为半径画弧，分别交，于点， ； 连结，，若 ，则 _____. 返回 1 夯实四基 3 4.如图，点，，，在一条直线上，， ， ，，则 ___. 6 （第4题） 返回 1 夯实四基 4 5.［2025南阳期末］如图，，， .求证： . 1 夯实四基 5 证明： ， ， 即 . 在与 中， . 1 夯实四基 6 6.如图，是边上一点，交于点 ， ，，连结，求证： . 证明：在和 中， ，， ， ， ， . 返回 1 夯实四基 7 知识点2 利用“边角边”判定三角形全等的应用 （第7题） 7. 如图，为测量水池两边， 间的距 离，先作射线，再作于点，在 上截 取，连结，则的长就是， 间的距 离，用来判断 的理由是_____. 返回 1 夯实四基 8 8.［教材练习 变式］在测量一个小圆形容器的壁厚（厚度均匀） 时，小明用“型转动钳”按如图所示的方法进行测量，其中 ， ，测得，，则圆形容器的壁厚是___ . 1 （第8题） 返回 1 夯实四基 9 9.如图，公园有一条“”字形道路，其中，在 ， ，处各有一个小石凳，且，为的中点，连结， ， 请问石凳到石凳，的距离， 是否相等？并说明理由. 1 夯实四基 10 解：石凳到石凳，的距离， 相等. 理由如下：， . 为的中点， . 在和中， ， ， 即石凳到石凳，的距离， 相等. 返回 1 夯实四基 11 （第10题） 10.如图，在中，，是角平分线 上任 意一点，则图中全等三角形共有( ) D A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 返回 2 提升四能 12 11.如图，在由4个相同的小正方形组成的网格中，与 的和为( ) C （第11题） A. B. C. D. 返回 2 提升四能 13 12.如图，在中， ，，， ， 则____ . 70 （第12题） 返回 2 提升四能 14 13.如图，平分，，的延长线交于点 .若 ，则 _____. （第13题） 返回 2 提升四能 15 14.［教材 “做一做”变式］【教材呈现】如图是华师版八年级上册73 页的部分内容. 2 提升四能 16 如图12.2.8，已知线段，和 ，试作，使 ， ， . ________________________________________ 把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较，所作的三角形都全 等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 图12.2.8 2 提升四能 （1）【操作】如图①， ， ，请用圆规在 的另一边找 到点，使 ； 解：如图所示，点， 即为所求. 2 提升四能 18 （2）【发现】（1）中的点 有___个，说明符合条件的三角形有___种； 因此，“边边角”分别相等的两个三角形________全等； （3）【思考】如图②，已知，若，则 一定是______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）. 2 2 不一定 钝角 返回 2 提升四能 19 15.如图，在中， ， ，，分别是边， 上的 点，且，设与的交点为 . （1）求证： ； 证明：在和 中， . 2 提升四能 20 （2）求 的度数. 解： ， . ， . ， ， ， . 返回 2 提升四能 21 16.如图，，，，点在线段 上 以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以 的 速度由点向点运动，它们运动的时间为.当与 全等 时， 的值为_____. 1或 3 发展素养 22 [解析] 点拨：由题意得，， . ， 当与 全等时，有两种情况：①当 时，则，，即， ，解 得，；②当时，则， ，即 ，，解得， . 综上所述，的值是1或 . 返回 3 发展素养 23 $第12章 全等三角形 章末整合练 1 温馨提示：点击 进入讲评 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 12 D A C 3 1.2 4 C D 52° 8 答 案 呈 现 13 14 15 16 C F 6 17 18 19 120° 习题链接 2 核心知识巩固 一、基础考点演练 考点1 定义、命题与定理 1.下列语句中是定义的是( ) D A.连结， 两点 B.等角的余角相等吗 C.内错角相等，两直线平行 D.整数与分数统称为有理数 返回 3 2.［2025郑州月考］下列命题的逆命题是假命题的是( ) A A.如果且,那么 B.等边三角形的三个内角都相等 C.直角三角形的两个锐角互余 D.等边对等角 返回 4 3.“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是________ ____________________________________. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 返回 5 考点2 全等三角形的性质与判定 （第4题） 4.［2025重庆期中］如图，已知 ， ，那么补充下列一个条件后，仍无法判 定 的是( ) C A. B. C. D. 返回 6 5.如果的三边长分别为3，5，7， 的三边长分别为3， ，，若这两个三角形全等，则 的值为___. 3 返回 7 6.［2025临汾期中］如图，小丽在公园荡秋千，她坐在秋千的起始位置 处，与地面垂直，当她荡到距地面高的处时，与 的水平距 离为，当她荡到与的水平距离为的 处， ，此时小丽距离地面的高度是____ . 1.2 （第6题） 返回 8 7.［2025成都期中］两组邻边分别相等的四边形叫 做筝形.如图，四边形 是一个筝形，其中 ， ，在探究筝形的性质时， 得到如下结论：； ； ； .其中正确的 有___个. 4 返回 9 8.［教材练习 3变式］［2025长春期中］如图，小明在游乐场玩两 层型滑梯，每层楼梯的高度相同 ，都为2.5米，他想知道左 右两个滑梯和 的长度是否相等，于是制订了如下方案： 课题 探究两个滑梯的长度是否相等 测量工具 长度为6米的卷尺 测量步骤 ①测量出线段的长度②测量出线段 的长度 测量数据 米， 米 10 （1）根据小明的测量数据，判断两个滑梯 和 的长度是否相等？并说明理由； 11 解：相等.理由如下： 由题意可知 ， 米，米 . 在和 中， ， ，即和 的长度相等. 12 （2）试猜想左右两个滑梯和 所在直线的位置关系，并加以证明. 解： . 证明：延长交于点 . ， . ， ， ， ， . 返回 13 考点3 等腰三角形的性质与判定 （第9题） 9. 如图，为了让电线杆垂直于地面， 工程人员的操作方法是：从电线杆上一点 往地 面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点 ， 到杆脚的距离相等，且，， 在同一条直线上 时，电线杆就垂直于 .工程人员这种操作方法 的依据是( ) C A.等边对等角 B.垂线段最短 C.等腰三角形的三线合一 D.线段垂直平分线的性质 返回 14 （第10题） 10.［2025南阳月考］如图，在一个池塘两旁分别有 一条笔直的小路（， 为小路的两个端点）和一棵 小树（为小树的位置）.测得 ， ，，则 的长为( ) D A. B. C. D. 返回 15 （第11题） 11.如图，直线，点在直线上，点 在 直线上，， ， ，则 的度数为_____. 返回 12. 如图，点为角平分线的交点， ， ，，将向下平移使其顶点与点 重合，则图中阴 影部分的周长为___. 8 （第12题） 返回 17 13.如图，在中，是高，是 的中点， 点在边的延长线上，的延长线交于点 ， 且， . （1）求证： 是等边三角形； 证明：由题意得，是的中点，垂直平分 . . ， . ， . 是等边三角形. 18 （2）请判断线段与 的数量关系，并说明理由. 解： .理由如下： 是等边三角形， . ， ， . 是的中点， . . 返回 19 考点4 线段垂直平分线的性质与判定 （第14题） 14.如图，在等腰三角形中， ， ，的垂直平分线交 于 点，交于点，则 的度数是( ) C A. B. C. D. （第15题） 15.［2025漯河月考］如图，在正方形网格中， 的顶点都在格点上，在内部有 ， ，，四个格点，其中到 三个顶点距离 相等的点是点___. 返回 20 考点5 角平分线的性质与判定 16.如图,，的平分线相交于点,于点 ,且 ,则点到的距离与点到的距离之和为___ . 6 （第16题） 返回 21 17.如图,在四边形中,为上一点,且, , .若 ,则 ______. （第17题） 返回 22 二、思想方法演练 思想 分类讨论思想 18.在中，，是平面内一点，且.若点到 的距离为8，点到的距离为4，则 的长为_______. 4或12 [解析] 点拨：由，，易得所在直线是 的垂直平 分线. 点到的距离为8，点到 的距离为4， 分两种情况：当点在的内部时，；当点 在 的外部时，.综上， 的长为4或12. 返回 23 19.［2025新乡期中］如图，在中，， ，点 在线段上运动（点不与点，重合），连结 ，作 ，交线段于，在点的运动过程中， 的形 状也在改变，当是等腰三角形时，求 的度数. 24 解：， . ①当时， ，此时，点 与点 重合，不符合题意； ②当时， ， ； ③当时， ， . 综上，当是等腰三角形时，的度数是 或 . 返回 25 $第12章 全等三角形 12.4 逆命题和逆定理 1.互逆命题和互逆定理 1 知识点1 互逆命题 1.［2025泉州期末］命题“如果，那么 ”的逆命题是 ( ) C A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果，那么 D.如果，那么 返回 1 夯实四基 2 2.［2025南阳月考］下列命题的逆命题是假命题的是( ) B A.直角三角形的两锐角互余 B.全等三角形的周长相等 C.两直线平行，内错角相等 D.等腰三角形的底角相等 返回 1 夯实四基 3 3.下列命题中，原命题和逆命题都成立的是( ) D A.全等三角形的面积相等 B.无理数都是无限小数 C.等腰三角形是轴对称图形 D.互为相反数的两个数的和为零 返回 1 夯实四基 4 4.写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.若是假 命题，请举出一个反例. （1）在一个三角形中，等角对等边； 解：逆命题：在一个三角形中，等边对等角.真命题. （2）四边形的内角和等于 ； 解：逆命题：内角和等于 的多边形是四边形.真命题. 1 夯实四基 5 （3）如果一个三角形有一个内角是钝角，那么这个三角形其余两个内 角都是锐角. 解：逆命题：如果一个三角形有两个内角是锐角，那么这个三角形的第 三个内角是钝角.假命题.反例：一个三角形有两个内角分别是 和 ,则第三个内角是 ，不是钝角. 返回 1 夯实四基 6 知识点2 互逆定理 5.下列说法错误的是( ) B A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.命题的逆命题不一定是真命题 D.定理的逆定理一定是真命题 返回 1 夯实四基 7 6.下列定理中，有逆定理的是( ) C A.同角的余角相等 B.三角形的外角和为 C.两直线平行，同位角相等 D.全等三角形的对应角相等 返回 1 夯实四基 8 7.有下列定理：①三边分别相等的两个三角形全等；②对顶角相等；③ 垂线段最短；④有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形；⑤斜边 和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；⑥三角形的任意两边之 和大于第三边.其中没有逆定理的为____.（填序号） ② 返回 2 提升四能 9 8.写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是 真命题. 2 提升四能 10 解：逆命题：一个三角形两边上的高相等，则这个三角 形是等腰三角形. 已知：如图,在中，于点， 于 点，且 . 求证： 是等腰三角形. 证明：， ， . 在和 中， 2 提升四能 11 ， ， ，即 是等腰三角形. 一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形. 返回 2 提升四能 $第12章 全等三角形 12.1 命题、定义、定理与证明 1.命题 1 知识点1 命题 1.下列语句中,不是命题的是( ) C A.两点之间，线段最短 B.内错角都相等 C.连结， 两点 D.平行于同一直线的两直线平行 返回 1 夯实四基 2 2.把下列命题写成“如果 ,那么……”的形式,并分别指出条件与结论. （1）末位数字是5的整数能被5整除; 解:如果一个整数的末位数字是5,那么这个整数能被5整除.条件是一个整 数的末位数字是5,结论是这个整数能被5整除. （2）乘积等于1的两个数互为倒数. 解:如果两个数的乘积等于1,那么这两个数互为倒数.条件是两个数的乘 积等于1，结论是这两个数互为倒数. 返回 1 夯实四基 3 知识点2 真命题与假命题 3. 下列命题是假命题的是( ) B A.若,则 B.若,则 C.平移不改变图形的形状与大小 D.若,则， 互为相反数 返回 1 夯实四基 4 4.（1）“相等的角是对顶角”是____命题.（填“真”或“假”） （2）“两个负数的和一定是负数”是____命题.（填“真”或“假”） 假 真 返回 1 夯实四基 5 知识点3 举反例 5.下列选项中，可以用来说明命题“若，则 ”是假命题的反例 是( ) A A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 6 6.下列图形中，和 能说明“同位角相等”是假命题的是( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 7 7.命题“锐角的补角是钝角”的条件为____________________，结论为 ______________. 一个角是锐角的补角 这个角是钝角 返回 2 提升四能 8 8.有下列命题:①对顶角相等;②等角的补角相等;③同位角相等;④如果 ,,那么 ;⑤如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边, 那么这两个角相等或互补;⑥若,则;⑦如果 ,那么 ;⑧无理数不可以在数轴上表示.其中是真命题的是__________. （填序号） ①②④⑤ 返回 2 提升四能 9 9.已知命题“若是自然数，则代数式 的值是3的倍数”. （1）写出这个命题的条件和结论； 解：条件是是自然数，结论是代数式 的值是3的倍数. （2）判断这个命题是真命题还是假命题，并说明理由. 解：是假命题.理由： ，因为 为自然数， 所以是3的倍数，所以 不是3的倍 数，所以这个命题是假命题. 返回 2 提升四能 10 $第12章 全等三角形 综合与实践 1 测量 方案 如图①，观测者从点 沿正东方向走到点 处，此时恰好测得 . 如图②，观测者从点 沿正东方向走到点 处，是 的中点， 然后从点 沿垂直于 的正南方向走到点 处，使，， 三 点在同一条直线上. 续表 2 测量 示意 图 ________________________________________________________ ________________________________________________ ___________________________________________________ （1）第一小组认为，河宽 的长度等于线段_____的长度； 续表 3 （2）第二小组的方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为河宽 的长度等于线段 的长度，你认为第二小组的方案可行吗？如果可 行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； 4 解：第二小组的方案可行. 证明：是的中点， . ， ， . 在和 中， ， ， 河宽的长度等于线段 的长度. （3）请你代表第三小组，设计一个可行的测量方案，把测量方案和测 量示意图填入上表，并说明方案可行的理由. 解：（答案不唯一）测量方案：观测者从点沿正西方向走到点 处， 使用测量角度的仪器测得，交的延长线于点 . 6 测量示意图如图所示. 理由： ， ， 在和 中， 7 ， ， 河宽的长度等于线段 的长度. $第12章 全等三角形 12.3 等腰三角形 2.等腰三角形的判定 1 知识点1 等角对等边 1.将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若 ，，则 的长为( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 2 2.不能判定 是等腰三角形的是( ) B A.，， B. C. ， D. 返回 1 夯实四基 3 （第3题） 3.［2025鹤壁期中］如图，已知平分 ， ，若，则 的长为___. 4 返回 1 夯实四基 4 （第4题） 4.［2024重庆中考B卷］如图，在 中， ， ，平分交 于点 .若，则 的长度为___. 2 返回 1 夯实四基 5 5.［教材例5变式］如图，平分 的外角 ，且.求证： 为等腰三角形. 证明：平分 ， . ， ， . . 为等腰三角形. 返回 1 夯实四基 6 知识点2 等边三角形的判定 6.［2025太原期中］下列条件中，不能说明 为等边三角形的是 ( ) D A. B. C. ， D. 返回 1 夯实四基 7 （第7题） 7.如图，将绕点顺时针旋转 得到 .若线段，则 的长为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 返回 1 夯实四基 8 8.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若 ，点，对应的刻度分别为，，则线段 ___ . 2 （第8题） 返回 1 夯实四基 9 9. 如图，，，是的高，且 .求 证： 为等边三角形. 1 夯实四基 10 证明：，是 的高， . 在和 中， ， ，同理可得 ， ， 为等边三角形. 返回 1 夯实四基 11 10.如图，在中，， ， ，将沿 方向平移2个单位 得到，连结，则 的周长是 ____. 12 返回 2 提升四能 12 （第11题） 11. 如图，点是射线 上一动 点， ，当 ___________ _______时， 为等腰三角形. 或 或 返回 2 提升四能 13 12.如图，在中，，，， ， ，则 ____. 11 （第12题） 2 提升四能 14 [解析] 点拨：如图，延长交于，易得 . ，， .根据等腰三角形的三线合一， 可得，， ， ， . 返回 2 提升四能 15 13.如图，在中，，为 延长线上 一点，交于点，交于点 . （1）求证： 是等腰三角形； 证明：， . ， ， . . ， . 是等腰三角形. 2 提升四能 16 （2）若为的中点，求证： . [答案] 过点作于点 . ， . ， ， . 为的中点， . 在和 中， ，，， . . 返回 2 提升四能 17 14.［2025南阳期末］如图，在中，，点，， 分别 在边，，上，且， . 3 发展素养 18 （1）求证： 是等腰三角形； 证明：， . 在和 中， ， ， 是等腰三角形. 3 发展素养 19 （2）当 时，求 的度数； 解： ， . ， . 在中，， ， ， . 3 发展素养 20 （3）若，请判断 是否为等边三角形，并说明理由. 解： 是等边三角形. 理由：，， ， ，是等边三角形， ， 又 是等腰三角形， 是等边三角形. 返回 3 发展素养 21 $第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 3.角边角 1 知识点1 利用“角边角”判定三角形全等 1.［2025商丘期中］如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此 直角三角形全等的三角形，其全等的依据是_____. （第1题） 返回 1 夯实四基 2 2.［教材练习变式］［2025平顶山期中］如图，，点 ， 分别在边，上，连接，.要用“”判定 ， 则可添加的一个条件是_________. （第2题） 返回 1 夯实四基 3 3.如图，要测量河两岸相对两点，间的距离，在河岸 上截取 ，作交的延长线于点，垂足为点 ，测得 ，，则， 两点间的距离等于___. 3 返回 1 夯实四基 4 4.如图，在中，是上一点，是外一点， ， ，.求证： . 1 夯实四基 5 证明： ， ，即 . 在和 中， ， . 返回 1 夯实四基 6 知识点2 利用“角角边”判定三角形全等 5.如图，已知，，则与 的关系为______ . 全等 （第5题） 返回 1 夯实四基 7 （第6题） 6.［2025衡阳期中］如图，已知，为 的中点，若，，则 的 长为( ) B A. B. C. D. 返回 1 夯实四基 8 7.［2025临汾期中］如图，已知与，，，， 在同一 条直线上，，，，，求 的长. 1 夯实四基 9 解：， . ， ，即 . 在和 中， ， . 返回 1 夯实四基 10 8.［2024镇江中考］如图， ， . 1 夯实四基 11 （1）求证： ； 证明：在和 中， . 1 夯实四基 （2）若 ，则 _____. [解析] 点拨： ， ， ， 由（1）知 , . 返回 1 夯实四基 13 9.如图，点、点在上，， ，添加一个条件，不 能证明 的是( ) D A. B. C. D. 返回 2 提升四能 14 10. 一块破碎的三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配 一块完全一样的玻璃，最省事的方法是( ) A （第10题） A.带①②去 B.带②③去 C.带③④去 D.带②④去 返回 2 提升四能 15 11.［2025重庆期末］如图，在中， ， ， 点为上一点，连结.过点作于点，过点作 交的延长线于点.若，，则 的长度为___. 3 （第11题） 返回 2 提升四能 16 12.［2025南阳期中］如图，的两条高，交于点 ， . （1）求证： ； 2 提升四能 17 证明：，是的两条高， ， ， ， ， . 在和 中， . 2 提升四能 18 （2）若，，则 的长度为___. 9 返回 2 提升四能 19 13.［2025宁波期中］如图，在中，平分，于点 ， 延长交于点，，若，，求 的长. 2 提升四能 20 证明：平分， ， ， . 又 ， ， ， ， ， . ， . ， ， 易得 ， . 返回 2 提升四能 21 14. 在 中， ， ， ，点在 上，且 ，过点作射线 （与在同侧），若动点 从点出发，沿射线 做匀速运动， 运动速度为，设点运动的时间为.连结， . 3 发展素养 22 （1）如图①，当时，求证： ； 证明：， ， . ， ， . ， . ，， . 在和 中， . 3 发展素养 23 （2）如图②，当于点时，求此时 的值. 解：， ， . ， ， . 在和 中， ， . 又，， . 返回 3 发展素养 24 $第12章 全等三角形 阶段练习（五）（12.3~12.4） 1 建议用时：45分钟 一、选择题（每题4分，共32分） （第1题） 1.如图，小刚荡秋千，秋千旋转了 ，小刚的位 置从点运动到点，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 2 2.在中,若, ,则 的长为( ) C A.3 B.5 C.6 D.7 返回 3 3.若，满足，则以， 的值为边长的等腰三角 形的周长为( ) A A.20 B.16 C.12 D.20或16 返回 4 （第4题） 4.［2024绵阳中考］如图，在中，， 平分交于点，，垂足为 ， 的面积为5，则 的长为( ) B A.1 B.2 C.3 D.5 返回 5 5.［2025临汾期末］如图，在中， 的垂 直平分线交于点，交于点 ， ，若，则 的长是( ) C A.2 B.3 C.4 D.不能确定 返回 6 6.下列命题：①若，则；②若，则 ；③ 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④同旁内角互补，两直 线平行.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 7 （第7题） 7.如图，在中， ， ，是边上的高， 的平分线 交于点，交于点 ，则图中等腰三角形的 个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 8 （第8题） 8.［2025南阳期中］如图，在 中， ，点，分别在， 上，且 ，，若 ，则 的长是( ) D A.7 B.9.5 C.8 D.10 [解析] 点拨：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， . 返回 9 二、填空题（每题4分，共20分） 9.“等腰三角形的三线合一”的逆定理______.（填“存在”或“不存在”） 存在 返回 10 （第10题） 10.如图，，，若 ， ，则 的面积为___. 5 返回 11 （第11题） 11.如图，点到 三个顶点的距离均相等.若 ， ，则 的度数为 _____. 返回 12 （第12题） 12.如图，点在正五边形的内部， 为等 边三角形，则 ______. 返回 13 13.如图，在中，， ， ，点在边上，点到边， 的距离相等，且，则 的周长 等于____. 13 返回 14 三、解答题（共48分） 14.（10分）如图，在中，平分 ， 交于点，垂直平分，垂足为， 交 的延长线于点，连结.若 ， 求 的度数. 解：垂直平分，， 平分 ， . ， ， . 返回 15 15.（12分）［2025郑州期中］如图，在中， 平分，交于点， ， 于点 ，点在上，且 . （1）求证： ； 证明：平分， ，， ， 在和 中， ， . 16 （2）若，，求 的长. 解： ， ，设 ， 则 ， 在和 中， ， ， ， 解得， . 返回 17 16.（13分）如图，已知点，分别在 的边 ，上，且，， 的平分 线与交于点，与交于点，连结 .求证： （1） 为等腰三角形； 证明： ， . 平分，， ， ， 为等腰三角形. 18 （2）平分 . [答案] ， . ，， ， ，，平分 . 返回 19 17.（13分）在中，， ，将一个足够大的 三角尺按如图所示放置，顶点在边上滑动，始终过点 ， 且 ，交于点 . （1）当滑动到的中点时，____ ； 60 20 （2）在点滑动的过程中，当是等腰三角形时，求出 的度数. 解：由题意知 ， . ①若，则 . ， 即 ，解得 ； ②若，则 ，即 ，解得 ； 21 ③若，则 . ， 即 ，解得 ， 此时点与点 重合. 综上所述，当是等腰三角形时， 或 或 . 返回 22 $