精品解析：甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高一第二学期第二次阶段性考试数学试题

平凉一中2028届第二学期第二次阶段性考试试题（卷） 高一数学 命题教师：马 亮 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3. 已知，，，（ ） A. B. C. D. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知且，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（     ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 7. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 8. 已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与一个球O相切，当球O的半径大于1时，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 11. 如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________. 13. 已知，则__________. 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定三个向量. （1）求与的夹角的余弦值； （2）求满足的实数m，n. 16. 已知长方体中，，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 19. 对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若向量，，求的值； （2）若向量，满足，且，求的取值范围； （3）若，，且，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2028届第二学期第二次阶段性考试试题（卷） 高一数学 命题教师：马 亮 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】根据直观图可得原图形中是直角三角形，，，， . 3. 已知，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数值的关系求，，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，，， 则，， 所以. 4. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 5. 已知且，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式求的三角函数，在根据，结合两角和与差的三角函数公式求值. 【详解】因为，所以， 又，所以. 所以， . 所以 . 故选：D 6. 如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（     ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】将正方体的展开图还原成直观图，结合线面平行、面面平行的判定逐项判断即可. 【详解】由展开图得到正方体的直观图，如图： 观察直观图知，与是异面直线，①错误；与平行，②错误； 由四边形是平行四边形，得，又平面，平面，则平面，③正确； 由，又平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，因此平面平面，④正确. 7. 已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦边角关系、三角形内角和及三角恒等变换得且，从而有，结合、和角正切公式得，最后应用基本不等式求最值. 【详解】因为， 由正弦定理得， 又，则， 所以， 即， 所以， 由，则 ，而，所以， 所以角为钝角，，则角为锐角即， 此时 ， 由 ， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当 即时，等号成立， 所以的最大值为. 8. 已知4个半径为1的小球（，2，3，4）两两相切，且这4个球都与一个球O相切，当球O的半径大于1时，若所有棱长都为a的四面体的顶点都在球O的表面上，则a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】四个小球球心构成棱长为2的正四面体，其外接球半径可计算得到，大球与四个小球相切，因此球心到小球球心的距离等于大球半径减1，且大球球心与正四面体中心重合，从而得到大球半径，另一方面，计算棱长为的正四面体的外接球半径，令其等于大球半径，解出的值. 【详解】四个半径为1的小球两两相切，它们的球心之间的距离均为， 因此，这四个球心构成一个棱长为的正四面体，为正四面体中心， 连接并延长交底面于点，为底面中心，连接并延长交于点， 所以，, 所以, 设，所以，所以，所以， 即正四面体外接球半径为， 也是四个小球公共的对称中心，设大球的半径为，大球与四个小球都相切， 由于四个小球被包围在大球内部，它们与大球内切， 因此大球球心到每个小球球心的距离等于， 由对称性，大球球心应与正四面体的中心重合，故. 因为棱长为的正四面体的顶点都在球的表面上， 即球该正四面体的外接球，棱长为的正四面体的外接球半径为. 联立得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 对应的点在第四象限 B. C. 的共轭复数为 D. 的虚部为 【答案】AB 【解析】 【详解】因为复数， 所以复数对应的点为，在第四象限，故A正确； ，故B正确； 的共轭复数为，故C错误； 的虚部为，故D错误. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断B选项；利用向量模的三角不等式可判断C选项；利用投影向量的定义以及平面向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，化简可得，A对； 对于B选项，若，则， 又因为，解得或，B错； 对于C选项，， 当且仅当、同向时，即当时，即当时，等号成立， 故的最大值为，C对； 对于D选项，若，则， 则在上的投影向量为，D错. 11. 如图，在矩形AEFC中，，，为中点，现分别沿将、翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 直线与直线所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 三棱锥外接球的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D. 【详解】解：由题意可得，，又，平面PAC， 所以平面PAC， 在中，，AC边上的高为， 所以，故A正确； 对于B，在中，，， ， 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设点A到平面PBC的距离为d， 由，得，解得， 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误； 由B选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 设外接球球心为，外接圆圆心为， 连接，可知平面， 又因为平面， 所以， 在直角三角形中， 可得：，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故D正确. 故选：ABD． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值 【详解】因为，所以为的中点， 因为是的中点， 所以， 所以, 因为， 所以， 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面ABCD， ，则该阳马的外接球的体积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题目条件有，，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得外接球的半径，再根据球的体积求解即可. 【详解】因为平面，平面，平面， 则， 又因为四边形为矩形，则， 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又， 则外接球的直径为长方体的体对角线， 故外接球半径为：， 则外接球的体积为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 平面内给定三个向量. （1）求与的夹角的余弦值； （2）求满足的实数m，n. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可. （2）根据向量的坐标公式求出的值. 【小问1详解】 因为， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以， ，解得. 16. 已知长方体中，，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由平行四边形可得线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）根据棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在长方体中， ，，且平面 ∵， ∴. 17. 设. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间是； 单调递减区间是 （Ⅱ） 面积的最大值为 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间； （Ⅱ）首先由 结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值. 试题解析： 解：（Ⅰ）由题意知 由 可得 由 可得 所以函数 的单调递增区间是 ； 单调递减区间是 （Ⅱ）由 得 由题意知为锐角，所以 由余弦定理： 可得： 即： 当且仅当时等号成立. 因此 所以面积的最大值为 考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，再由面面垂直的性质定理即可证明. （2）连接，由线线垂直可得线面垂直，再由线面垂直的性质定理即可证明. （3）连接，，，可证平面平面，再由面面垂直可得平面，由面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. 【小问3详解】 如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. 19. 对于任意两个非零向量，，定义新运算：，其中为与的夹角. （1）若向量，，求的值； （2）若向量，满足，且，求的取值范围； （3）若，，且，，求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合数量积的坐标运算公式和模的坐标表示求，，再结合向量夹角范围和夹角公式求向量夹角，利用新定义求结论； （2）由条件结合定义可得，，由此可得结论； （3）由条件结合定义可得，由此可得，再证明，结合条件求结论. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， 则， 又，所以，，所以. 【小问2详解】 由题意， 又因为，解得， 所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以，， 所以， 由题意知，存在，使得，即，所以， 所以，即， 又，所以，即，所以， 所以， 又存在，使得，即，所以， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $