2026年北京市顺义区九年级二模数学试卷

**基本信息** 九年级数学二模综合练习，以生成式AI用户规模、充电桩节能等真实情境为载体，覆盖函数、几何、统计等核心知识，注重抽象能力、推理意识与模型观念的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题16分|科学记数法、三视图、概率等|结合生成式AI情境考查数感| |填空题|8题16分|方差比较、网格角度、策略游戏|以国旗队身高数据考查数据意识| |解答题|12题68分|函数综合、几何旋转、统计分析|充电桩节能问题体现模型观念，关联点探究发展创新意识|

九年级综合练习（二） 数学试卷 学校___________班级___________姓名___________准考证号___________ 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．我国生成式人工智能用户规模快速提升．中国互联网络信息中心发布的第五十七次《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达6.02亿人．将602000000用科学记数法表示应为 A． B． C． D． 2．下图是某几何体的三视图，该几何体是 A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 A． B． C． D． 4．如图，平分，于点，，则的大小为 A．48° B．50° C．52° D．54° 5．小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为 A． B． C． D． 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．如图，，是上两点，，．若，是正边形的两条邻边，则的值为 A．8 B．9 C．10 D．11 8．如图，在平面直角坐标系中，点（）在第一象限，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，函数（）的图象交于点，交于点，连接，将沿翻折得到．给出下面四个结论： ①连接，，则与的面积可能相等； ②； ③有且只有一个点，使得点在轴上； ④连接，若点在轴上，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是_________． 10．分解因式：_________． 11．方程的解为_________． 12．某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_________，_________． 14．如图，是的直径，，，是上的点，，交于点．若，则的大小为_________°． 15．如图所示的网格是正方形网格，则_________°（点，，是网格线交点）． 16．两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：． 18．解不等式组：． 19．已知，求代数式的值． 20．如图，在中，，分别是，的中点，于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21．用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为20%的情况下充电．技术改进前，充满电需用时80分钟；技术改进后，充满电需用时52分钟，其中快速充电阶段用时减少了40%，慢速充电阶段用时减少了30%，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 22．在平面直角坐标系中，函数（）的图象经过点和． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 23．某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生，获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息． a．理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，)： b．理论知识成绩在这一组的是： 70 71 73 74 74 75 76 76 77 78 79 c．理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中的值为___________； （2）记理论知识成绩超过平均数的人数为，实操技能成绩超过平均数的人数为， 则__________（填“>”“=”或“<”）； （3）在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩=理论知识成绩×0.3+实操技能成绩×0.7．则这四位学生中加权成绩最高的是___________（填“甲”“乙”或“丙”）． 24．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点，过点作的切线，过点作于点，交于点． （1）求证：； （2）连接，，交于点．若，，求的半径． 25．某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略．每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶，并装有相同质量、相同温度的水．将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为（单位：度）．分别记录了取不同值时，壶中的水烧开所用的燃气量（单位：）的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的增大而增大，并且增大的速度越来越快． （1）写出表中的值（结果保留小数点后两位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为___________度（结果保留整数）时，壶中的水烧开所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少．综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低时，对应的旋转角度为理想旋转角度，则的取值范围约是___________． 26．在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点． （1）求的值，并用含的式子表示； （2）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，求的取值范围． 27．在中，，，点在射线上，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点与点不重合），过点作交直线于点． （1）如图1，点与点重合，求证：； （2）如图2，点在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． （1）如图，在点，，中，点____________是的关联点； （2）已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是_________； （3）直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $数学练习答案 一、选择题（共16分、每题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D B 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.x*2: 10.x(x+3)(x-3): I1.x=-2: 12.甲： 13.-1,-2(答案不唯一)： 14.47: 15.45:16.2:3. 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5 分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分) 17.(本题满分5分) 解：原式=1+V5+1-2V5 …4分 =2-√5 5分 18.(本题满分5分) [3x-1<2(x+2),① 解： 原不等式组为 3-x x> ② 2 解不等式①，得x<5: 2分 解不等式②，得x>1; 4分 .不等式组的解集为1<x<5 5分 19.(本题满分5分) 解：原式=6a+3b-66 (2a-b2 =3(2a-) (2a-b)2 3 2a-b 43分 .'2a-b-3=0, .2a-b=3. …4分 原式=1. ●40小小0为04194404450414g44。 5分 20.(本题满分6分) (1)证明：oABCD, AD∥BC,AD=BC. ,E,F分别为AD,BC的中点， 、ED H BF,ED=BF ∴，四边形BFDE是平行四边形， 1分 ,BD⊥EF, ,四边形BFDE是菱形 2分 (2)解：'四边形BFDE是菱形， ∴BF=DF,O是BD和EF的中点. .0F=0E=1. :F是BC的中点， .0F∥CD,CD=20F=2. 4分 ∴.∠BDC=∠BOF=90°. BE=CF, DF=CF. ∴.∠CDF=∠C. ∴，tan∠C=tan∠CDF=2. .BD =2. CD ,BD=4. 在RIABCD中，BC=VBD2+CD=√42+22=2W5. 4D=BC=25. 6分 21.（本题满分6分) 解：设技术改进之前快速充电阶段用时为x分钟， 由题意可知，1-0.4)x+(1-0.3)80-x)=52, 解得x=40. 所以40X40%=16. 答：快速充电阶段用时减少了16分钟。 6分 22.(本题满分5分) 解：(1)：函数y=c+b(k≠0)的图象经过点(02)和(1,5)， 0+b=2, k+b=5. 1分 =3, 解得 b=2. 所以k的值为3，b的值为2. …3分 (2)-1≤n<2. 5分 23.(本题满分5分) 解：（1)76： 1分 (2)< …3分 (3)丙. 1444414141…45分 24.（本题满分6分) (1)证明：，C是AB的中点， ∴、OD⊥AB. 、∠0CB=90°、 DE是⊙O的切线， .∠ODE=90°、 AB∥DE. .∠ABF=∠E=90°. 2分 (2)解：连接AF、 ,∠ABF=90°， AF是⊙O的直径. 点O在AF上。 ,∠DCH=∠FBH=90°，∠DHC=∠FHB, .△DCH∽△FBH. ..DC_CH 1 FB BH 4 设DC=x,则FB=4x, O,C分别是AF,AB的中点， 10C=2FB=2x. ∴.OD=0C+CD=3x .OA=0D=3x. 在R0AC中，4AC=V0A2-0C2=V32-(2x=V5x. 在Rt0AC中，AD2=AC2+CD2, 6=5x2+x2. x=1(舍负) 半径r=3x=3. 6分 25.（本题满分5分) 解：（1)m=0.18: 1分 (2) 0.8 0.7 0.6 0.5 02 0.1 102030405060708090100a 2分 (3)①59（仅供参考）： 3分 ②50度≤a,≤68度（仅供参考） 5分 26.(本题满分6分) (1),抛物线y=ax2+bx+c经过点0和点(-2,0)， [0=0+0+c 0=4a-2b+c. .c=0,b=2a. 0ne0e。400404410400n001山n44004n10e001004140.4441a0444t2分 (2)抛物线的表达式为y=ar2+2ax,对称轴为x=-1,点P(-1,0)在抛物线内部. 把x=1代入y=2+2得y=3a. ∴.直线x=1与抛物线的交于点A(L,3a)· 当a>0时， 'a-2<3a 点2在点A下方，. ∴抛物线与线段恰有一个交点，符合题意 snsn055eee●●08seaa08e8g8484ag8ene0eee。s0●se90e004400 …3分 当a<0时， ①若点Q在点A上方， .a-2>3a,即a<-1. .抛物线与线段恰有一个交点，符合题意 ②若点2在点A下方， .a-2>3a,即-1<a<0. ∴抛物线与线段没有交点，不符合题意. ③诺点2与点A重合， ∴.a-2=3a,即a=-1. ∴抛物线与线段恰有一个交点，符合题意。 综上所述，a的取值范围是a>0或a≤-1. 6t000000000…6分 27、(本题满分7分) (1)证明：∠ACB=90°，∠CAB=, .∠ABC=90°-a. ∴.∠AB2=∠CB2-∠ABC=180°-2a-(90°-a)=90°-a. .∠ABC=∠ABQ …1分 AB=AB,BC=BO, .△ABC≌△AB2. ∴.∠BAC=∠BAQ. …2分 (2)PM和AC的数量关系为：PM=2AC, 证明：过点B作射线BN交AC的延长线于点N,使得∠ABN=180°-2a, ∴.∠PBO=∠ABN. ∴.∠PB2-∠ABP=∠ABN-∠ABP. .∠ABO=∠PBN,. .∠ABN=180°-2，∠BAN=a, .N=e. ∴.∠BAN=∠N. .AB=NB. BO=BP. .△ABQ≌△NBP. .A2=NP,∠BA2=N=a. OM∥AB, .∠AOM=∠BAg=x,∠M=∠BAC=&. ∴.∠AOM=M. .'AM=A0. 'AM=PN .AM+AP PN+AP. .PM=AN. 又AB=NB,BC⊥AW, .PM=AN=2AC. 7分 28.(本题满分7分) 解：(1)C,C: …2分 (2)V2-1≤0DsV2+1: 4分 (3)0<b<35. 7分九年级综合练习（二） 数学试卷 学校 班级 A 姓名 准考证号 1.本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题。满00分。考试时间120分钟。 考 2. 在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号。 生 须 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 知 4. 在答题卡上，选择题、作图题B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5. 考试结束，将答题卡交回。 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.我国生成式人工智能用户规模快速提升.中国互联网络信息中心发布的第五十七次 《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截2025年12月，我国生成式人工智能用户 达6.02亿人.将602000000用科学记数法表示应为 (A)602×10° (B)6.02×108 (C)0.602×109 (D)6.02×109 2.右图是某几何体的三视图，该几何体是 (A)圆柱 B)圆锥 (C)长方体 (D)三棱柱 3.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 a b -3-2 -1012 → (A)|a|<b (B)|a|>3 (C)b-2>0 D) a+b<0 4.如图，0C平分∠AOB,OD⊥OC于点0，∠AOD=64°， 则∠AOB的大小为 (A)48° (B)50 (C)52 D)54° 5.小强和小明每人要从甲、乙两个社区中随机选择一个社区参加社会实践活动，那么 小强和小明选择同一个社区参加社会实践活动的概率为 (A) B号 (D 2-3 数学试卷第1页（共8页） 6.若关于x的一元二次方程x2+3x+c=0有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是 (A)c<g (B)c>-4 9 (C)c>4 (D)c<4 7.如图，C,D是AB上两点，BD=CD,∠A=40·.若BD,CD是正n边形的两条邻边， C 0 则n的值为 (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M(a,b)(ab>1)在第一象限，过点M分别作 x轴，y轴的垂线，垂足分别为A,B,函数y=(x>O)的图象交AM于点C,交BM 于点D,连接CD,将△MCD沿CD翻折得到△MCD.给出下面四个结论： ①连接OC,OD,则△OCD与△MCD的面积可能相等； ②e D M ③有且只有一个点M,使得点M在x轴上； ④连接OD,若点M在x轴上，则OD=MD. 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)①② (B)②③ (C)②④ D)③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x-2 10.分解因式：x3-9x= 1.方程2的解为 12.某学校有甲、乙两支国旗护卫队.两队都是9人，学生的身高（单位：cm)数据 如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐按照这个标准，学生的 身高更整齐的是 队（填“甲”或“乙”. 13.能说明命题“若。>1，则b>a”是假命题的一组实数a,b的值为时 数学试卷第2页（共8页） 14.如图，AB是⊙0的直径，C,D,E是⊙0上的点，BC=DE,CE交AB于点F. 若∠A=43°，则∠BFC的大小为°· D 第14题图 第15题图 15.如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC-∠ACB= °（点A,B,C是网格线 交点). 16.两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜， 首次应该取走2颗棋子， (1)如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保 获胜，首次应该取走 颗棋子； (2)如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保 获胜，首次应该取走 颗棋子. 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题 5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.计算：（π-3）°+-√5+2c0s60°-√12 「3x-1<2(x+2), 18.解不等式组： 、3-x x>- 21 数学试卷第3页（共8页） 19.已知2ab3=-0,求代数式3(2a+b）-60的值. 4a2-4ab+b2 20.如图，在□ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，BD⊥EF于点O,连接BE,DF. (1)求证：四边形BFDE是菱形； E (2)若tanCDF=2,OE=l,求AD的长. C 21.用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量 为20%的情况下充电.技术改进前，充满电需用时80分钟；技术改进后，充满电需 用时52分钟，其中快速充电阶段用时减少了40%，慢速充电阶段用时减少了30%， 求快速充电阶段用时减少了几分钟. 22.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0)的图象经过点(0,2)和(1,5). (1)求k,b的值； (2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=3x+n的值大于函数y=bx的值，且小于 函数y=kx+b的值，直接写出n的取值范围. 数学试卷第4页（共8页） 23.某学校举办科技比赛，分为理论知识和实操技能两项内容，随机抽取了40名学生， 获得了他们两项内容的成绩（百分制），对数据（成绩）进行整理、描述和分析 下面给出了部分信息. a.理论知识成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：50≤x<60,60≤x<70, 70≤x<80,80≤x<90, 90≤x≤100)： 频数个 11 10 9 6 4 5060708090100成绩/分 b.理论知识成绩在70≤x<80这一组的是： 7071 737474757676777879 c.理论知识和实操技能两项内容成绩的平均数、中位数： 平均数 中位数 理论知识 77 m 实操技能 76 78 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m的值为 (2)记理论知识成绩超过平均数的人数为1，实操技能成绩超过平均数的人数为n2, 则n1 n2（填“”“=”或“<”)片 (3)在此次测试中，甲、乙、丙、丁四位学生的成绩如下： 甲 乙 丙 丁 理论知识 79 80 76 76 实操技能 80 80 84 83 根据两项内容的成绩计算加权成绩，计算方式如下：加权成绩=理论知识成绩×0.3 +实操技能成绩×0.7.则这四位学生中加权成绩最高的是 (填“甲” “乙”或“丙”). 数学试卷第5页（共8页） 24.如图，AB是⊙0的弦，C是AB的中点，连接0C并延长交⊙0于点D,过点D作⊙0 的切线DE,过点B作BE⊥DE于点E,交⊙O于点F. E (1)求证：∠ABF=90°； 2)连接AD,FD,FD交AB于点H.若CHL AD=6,求⊙0的半径. 25.某小组研究了用燃气灶烧水的节约燃气策略.每次烧水用同一台燃气灶，同一个壶， 并装有相同质量、相同温度的水.将燃气灶点火后，调到最小火力，从最小火力往 最大火力调节的过程中，旋钮旋转的角度为α（单位：度）.分别记录了α取不同值时， 壶中的水烧开所用的燃气量V(单位：3)的值，部分数据如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 V 0.71 0.48 0.31 0.20 0.14 0.13 0.15 m 0.22 已知当燃气灶旋钮旋转角度大于60度时，壶中的水烧开所用的燃气量随旋转角度的 增大而增大，并且增大的速度越来越快。 (1)写出表中m的值（结果保留小数点后两位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画V与α之间的关系.在给出的平面直角坐标系 中，画出这个函数的图象； 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 03 0.2 0.1 0102030405060708090100a (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当燃气灶旋钮旋转角度约为 度（结果保留整数）时，壶中的水烧开 所用的燃气量最小； ②已知该燃气灶旋钮旋转的角度为90度时，火力最大，壶中的水烧开用时最少. 综合考虑壶中的水烧开所用的燃气量和时间，我们认为，壶中的水烧开所用 的燃气量比火力最大时所用的燃气量至少低(0.08m3时，对应的旋转角度ao 为理想旋转角度，则αo的取值范围约是 数学试卷第6页（共8页） 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点0和点(-2,0). (1)求c的值，并用含a的式子表示b; (2)已知点P(-1,0),Q(1,a-2)·若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的 取值范围. 27.在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=a,点P在射线AC上，连结BP,将线段BP绕 点B顺时针旋转180°-2a得到线段BQ（点Q与点A不重合)，过点Q作QM∥AB交 直线CA于点M. (1)如图1，点P与点C重合，求证：∠BAC=∠BAQ; (2)如图2，点M在CA的延长线上，用等式表示PM与AC的数量关系，并证明. B 2 M A C(P) M C P 图1 图2 数学试卷第7页（共8页） 28.在平面直角坐标系x0y中，⊙0的半径为1.对于点C和⊙0给出如下定义：若存在 ⊙O的弦AB,使得点C关于直线AB的对称点C'在⊙0上，则称点C是⊙0的 关联点，称弦AB是点C与⊙O的关联线段 )如图，在点C(0,》,c,(3,1),C(-1,-)中，点 是⊙0的 关联点； C C C3 (2)已知点A(0,1), B(1,0),若弦AB是点D与⊙0的关联线段，则线段OD长的 取值范围是 (3)直线y=-2x+b(b>0)分别与x轴，y轴交于M,N两点，当线段MN上存在⊙0 的关联点时，记这些点与⊙0的关联线段长的最大值为m,若0<m≤ 43 31 直接写出b的取值范围. 数学试卷第8页（共8页）