精品解析：2025年北京市顺义中考二模数学试题

顺义区2025年初中学业水平考试综合练习（二） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 内角和是的多边形为（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 6. 科研人员利用人工智能设计出一种新型“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作米，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 北京是一座历史悠久城市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到北京旅游，两人分别从三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，平分，．设，，，给出下面三个结论： ①分别以为直径的圆的面积比为； ②； ③与的面积和为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 方程的解为______． 11. 某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为______人． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是______． 13. 如图所示的网格是正方形网格，则______（点，，，是网格线交点）． 14. 如图，是的直径，点在上．若，则______． 15. 已知，，如图． （1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； （2）作直线，分别交于点； （3）连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是______（写出所有符合题意的序号）． ①； ②； ③； ④以为直径的圆不经过点和点． 16. 为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如下表： 内容 一个花甁 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为______人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要______分钟． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点．若，，，求的长． 21. 《中国居民膳食指南（2022）》推荐每人烹调油摄入量为克/天，烹调盐摄入量低于5克/天．2000年该地区居民的烹调油和盐人均摄入总量为65克/天，2025年的人均摄入总量为50.5克/天．2025年与2000年相比，平均每人每天烹调油的摄入量降低了，烹调盐的摄入量降低了．请判断2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量是否符合标准，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． 23. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 乙 64 64 （1）写出表中的值； （2）______（填“”“”或“”）； （3）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为，，则______（填“”“”或“”）； （4）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差 24. 如图，是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）为中点，直线交于点，（点在点上方），连接，过点作的切线交的延长线于点．若，，求的长． 25. 上部是圆柱形，下部是近似圆锥形的漏斗如图1所示，圆柱的高为，圆锥的高为．先将漏斗底部出液口开关闭合，然后装满液体，再打开出液口开关，记录排出液体（单位：）和液体下降高度（单位：），部分数据如下： （1）将表格补全（结果保留小数点后一位）； 0 100 160 200 300 350 400 450 500 0 1.5 2.4 4.5 5.3 6.3 7.8 13.5 （2）通过数据分析，发现可以用函数刻画与之间关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象； （3）根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①从增加到，增加的量记作；从增加到，增加的量记作，则______（填“”“”或“”）； ②如图2，两个该种型号的漏斗A和B，它们的底部出液口开关均已关闭，A装满液体，B是空的．先将A中的一部分液体倒入B中，然后把这两个漏斗放置于桌面的漏斗架上．此时，A和B的出液口距离桌面的高度均为，A的液面距离桌面的高度为，则B的液面距离桌面的高度约为______（结果保留小数点后一位）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 27. 如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）连接，求的大小（用含的代数式表示）； （2）过点作交延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” （1）如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； （2）如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 顺义区2025年初中学业水平考试综合练习（二） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 内角和是的多边形为（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．根据n边形的内角和公式为，进行求解即可． 【详解】解：∵n边形的内角和公式为， ∴当， 则． ∴内角和等于的多边形为五边形． 故选：B． 3. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 4. 如图，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中角的和差计算，由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．代入到方程，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：代入得，， 解得：． 故选：D． 6. 科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作米，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：∵这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米． ∴75纳米， 故选：C 7. 北京是一座历史悠久的城市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到北京旅游，两人分别从三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故选：A． 8. 如图，在四边形中，，，，平分，．设，，，给出下面三个结论： ①分别以为直径的圆的面积比为； ②； ③与的面积和为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】结论①在中，由，根据勾股定理得出与的长度关系，再依据圆面积公式计算以、为直径的圆面积比．结论②在中，先利用勾股定理得到三边关系，再根据三角形三边关系判断与的大小，通过对和作差比较，得出与的大小关系． 结论③延长交于，证明，得出相关线段和面积关系，结合的面积，推导出与的面积和． 【详解】在中， ∵， ∴ ， 设直径为，直径为 ， ∴ ∴以为直径的圆面积 ， 以为直径的圆面积 ， ∴， ∴分别以，为直径的圆的面积比为，结论①正确． 在中，，，， ∴即， ，即 ． ∵， ， ， ∴ ，即 ， ∴，结论②正确． 延长交于点 ． ∵平分，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴结论③正确． 综上，①②③都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、圆的面积公式以及三角形面积的计算；解题关键是利用图形性质和相关定理建立边与边、面积与面积之间的联系来判断结论 ． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴实数的取值范围是， ∴， 故答案为：． 10. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 11. 某校组织全校学生参加主题为“百年五四与当代科技”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（百分制），数据整理如下： 成绩 人数 10 15 25 30 20 根据以上数据，估计全校1000名学生中成绩不低于80分的人数为______人． 【答案】750 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体． 用全校的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案． 【详解】解：由题意得，（人）， 故答案为：750． 12. 在平面直角坐标系中，若函数图象经过点和，则的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意可得，，代入计算即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示的网格是正方形网格，则______（点，，，是网格线交点）． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的外角的定义及性质可知，然后利用网格的性质可推出，即可得到答案 【详解】解：如图所示，点是网格线交点，连接， 根据题意可知，， ， 根据网格的性质可知，，， ， ， 故答案为：45． 14. 如图，是的直径，点在上．若，则______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，由圆周角定理得，由夹角的定义得，再由圆周角定理可得． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知，，如图． （1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； （2）作直线，分别交于点； （3）连接． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是______（写出所有符合题意的序号）． ①； ②； ③； ④以为直径的圆不经过点和点． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，四点共圆，根据作法可得垂直平分，可判断②；再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可判断①；由垂直平分线的性质得到，即可证明，即可判断③；再根据对角互补可得四点共圆，即可判断④． 【详解】解：根据作法可得垂直平分， ∴，点是的中点，，故②正确； ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴四点共圆，且为直径，故④错误． ∴正确的结论是：①②③， 故答案为：①②③． 16. 为了进行艺术宣传，20名画师合作完成100幅户外宣传板的绘画工作．每幅宣传板上的4个绘画内容和每个内容的绘画时长如下表： 内容 一个花甁 一张桌子 一位人物 一把椅子 时长/分 3 7 15 7 20名画师同时开始工作，每位画师只负责一个内容的绘画工作．每幅作品的同一个内容只能由一名画师完成，绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画． （1）若2名画师负责绘画花瓶，则绘画人物的画师最多为______人； （2）在（1）的条件下，绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数相同，完成这两项内容的画师总人数小于绘画人物的画师人数．完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要______分钟． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次不等式的实际应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成，即可解答； （2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为，则绘画人物的画师人数为人，根据完成绘画桌子与绘画椅子的画师总人数小于绘画人物的画师人数，列出一元一次不等式，求出x可能的值，再结合绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画，分别计算出时间比较即可解答． 【详解】解：（1）根据题意知每个内容至少需1名画师，否则工作无法完成， 则负责绘画桌子的画师至少为1人，负责绘画椅子的画师至少为1人， ∵负责绘画花瓶的画师为2人， ∴绘画人物的画师最多为：（人）； （2）设绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为，则绘画人物的画师人数为人， 根据题意：， 解得：， ∵为正整数， ∴； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∵绘画不同内容的画师可以同时在一张户外宣传板上进行绘画， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； 当时，则绘画桌子的画师人数与绘画椅子的画师人数都为人，绘画人物的画师人数为人， ∴绘画花瓶的时间为：（分钟），绘画桌子的时间为：（分钟），绘画椅子的时间为：（分钟），绘画人物的时间为：（分钟）， ∴此时，最少需要的时间为分钟； ∵， ∴完成这100幅户外宣传板的绘画工作，最少需要分钟． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，化简二次根式，先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 先对分子分母因式分解，化为最简分式，再将变形为，再整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点．若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，证明四边形为平行四边形，根据平分，以及，得，即，进行作答即可． （2）结合菱形的性质得，，因为，所以，得，代入数值得，，运用，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵，点E在上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：依题意，如图所示： 由（1）得四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴在中，． 21. 《中国居民膳食指南（2022）》推荐每人烹调油摄入量为克/天，烹调盐摄入量低于5克/天．2000年该地区居民的烹调油和盐人均摄入总量为65克/天，2025年的人均摄入总量为50.5克/天．2025年与2000年相比，平均每人每天烹调油的摄入量降低了，烹调盐的摄入量降低了．请判断2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量是否符合标准，并说明理由． 【答案】2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设2000年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为x克/天，烹调盐摄入量为克/天，根据2025年与2000年相比，平均每人每天烹调油的摄入量降低了，烹调盐的摄入量降低了，建立方程组求解即可． 【详解】解：2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准，理由如下： 设2000年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为x克/天，烹调盐摄入量为克/天， 根据题意：， 解得：， 则2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量为（克/天），烹调盐摄入量为（克/天）， ∵， ∴2025年该地区居民的平均每人每天烹调油摄入量不符合标准． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，两条直线相交或平行问题，采用数形结合思想是解题的关键． （1）运用待定系数法的方法即可求解； （2）求出直线经过点时的值，再根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入， 则， 解得：， 再将代入， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， 可得，当， ∴， 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4， 由图象可得：． 23. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： b．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 甲 乙 64 64 （1）写出表中的值； （2）______（填“”“”或“”）； （3）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差分别为，，则______（填“”“”或“”）； （4）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为70分钟，将数据改正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量不发生变化的是______（写出所有符合题意的序号）． ①平均数 ②中位数 ③众数 ④方差 【答案】（1）66；70 （2） （3） （4）③ 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差与稳定性之间的关系，折线统计图等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求出a、b的值即可得到答案； （3）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （4）把甲中的一个60换成70后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． 【小问1详解】 解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ∴； 【小问3详解】 解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； 【小问4详解】 解：把甲中的一个60换成70后， 新数据是：60分，66分，66分，70分，70分，70分，70分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． 24. 如图，是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）为中点，直线交于点，（点在点上方），连接，过点作切线交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，解直角三角形等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）由，且，得，由得，则，推出，从而可得结论； （2）连接，由是的直径，为的中点，根据垂径定理得出，则，可证明，由可求得，，则，，求得，，由可得结论． 【小问1详解】 证明：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵是的直径，为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 25. 上部是圆柱形，下部是近似圆锥形的漏斗如图1所示，圆柱的高为，圆锥的高为．先将漏斗底部出液口开关闭合，然后装满液体，再打开出液口开关，记录排出液体（单位：）和液体下降高度（单位：），部分数据如下： （1）将表格补全（结果保留小数点后一位）； 0 100 160 200 300 350 400 450 500 0 1.5 2.4 4.5 5.3 6.3 7.8 13.5 （2）通过数据分析，发现可以用函数刻画与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数图象； （3）根据以上数据与函数图像，解决下列问题： ①从增加到，增加的量记作；从增加到，增加的量记作，则______（填“”“”或“”）； ②如图2，两个该种型号的漏斗A和B，它们的底部出液口开关均已关闭，A装满液体，B是空的．先将A中的一部分液体倒入B中，然后把这两个漏斗放置于桌面的漏斗架上．此时，A和B的出液口距离桌面的高度均为，A的液面距离桌面的高度为，则B的液面距离桌面的高度约为______（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）3.0 （2）见详解 （3）①；②11.4 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和函数图像的画法，用一次函数解决实际问题，涉及圆柱、圆锥体积的计算，准确理解题意并求出一次函数的解析式是正确解答此题的关键． （1）计算即可发现规律，进而得解； （2）在平面直角坐标系中描出各个点再连线即可； （3）①观察表格或图像即可得答案；②先求出漏斗B中，再结合图象，用待定系数法求出当时，与的函数关系式，利用函数关系式求即可． 【小问1详解】 解∶， 应该填3.0， 故答案为：3.0； 【小问2详解】 解：描出各点，连线，如图所示： 【小问3详解】 解：①从表格中可得：从增加到，增加的量； 从增加到，增加的量约为， ， ， 故答案为：； ②由题意得，漏斗A的， 从（1）中表格，得， ∴漏斗B中液体为， ∴漏斗B中 观察图象可得，当时，与可视为一次函数， 设，把和代入，得 ， 解得：， ∴， 当时，， ∴B的液面距离桌面的高度约为， 故答案为： 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）点，，在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质； （1）由抛物线为，得对称轴是直线，又，进而可得，故可得解； （2）由（1）对称轴是直线，则，又，从而，又抛物线开口向上，故抛物线上点离对称轴越近函数值越小，又点，，在该抛物线上，且对称轴是直线，从而，故可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线为， 对称轴是直线． 又， ． 【小问2详解】 解：由（1）对称轴是直线， ． 又， ． 抛物线开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值越小． 点，，在该抛物线上，且对称轴是直线， ，，． ， ，． ． ． 27. 如图，在中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）连接，求的大小（用含的代数式表示）； （2）过点作交的延长线于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点H，由旋转的性质得：，易证是等腰三角形，进而推出，求出，根据，即可求解； （2）①根据题意补全图形即可；②连接AQ，取AQ中点M，连接MC，MD，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论 【小问1详解】 解：过点作于点H， 由旋转的性质得：， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示. ②， 证明：取中点P，连接， ∵，， ， 又，， ， ， ， ∴， ∴， ∴点中点， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．添加适当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” （1）如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； （2）如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据“平衡图形”的定义分别求出各个线段上任意点到的距离的取值范围即可确定答案；②设直线与轴交于点；进而可求得，，分以下几种情况：当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，此时；当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，当与相切时．此时，；当线段全部在外时，作于，点到的距离满足，点到的距离满足，进而，确定时符合题意，即可求解； （2）设直线为，求得； ，分 ①当在内时，②当在时，同法求得上任意点到距离的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：①设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ，这两个距离范围没有公共部分， 线段上不存在任意两个不同点，， 使得，则线段不是的“平衡图形”； 综上所述，线段、是的“平衡图形”； 故答案为：、； ②解：设直线与轴交于点； 当时 ，， 当 时，， ，， ， ， ， 当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，即只要这个图形都在内这个图形上所有的点都符合题意，此时； 当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意， 当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足， 当与相切时．如上图所示∶此时， ； 当线段全部在外时，如图所示： 作于， ， 点到的距离满足， 点到的距离满足， 时符合题意，即， 综上所述，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设直线， 将，代入， 得， 解得， ； 点， ， ①当在内时， 由题意可知，若是的“平衡图形”，则上任意一点到的距离满足， 作于，由上题可知：， 上点到的距离满足， 上任意一点到的距离满足， 时符合题意，即． ②当在时， 同①可得：， ，即此时可以无限大； 综上所述，若是的“平衡图形”，的半径的取值范围是． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系， “平衡图形”，的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会结合图形利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$