河南中牟县第一高级中学2026届高三年级五月份联考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．若集合，则的子集个数为 A．4 B．8 C．16 D．32 3．若，则 A．2 B． C． D． 4．直线与圆的位置关系是 A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 5．如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为，则该椭圆的短轴长约为（取） A． B． C． D． 6．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则 A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为3，为棱上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为 A． B． C． D． 8．诗句“花落知多少”的平仄格式为平仄平平仄．现将该诗句中的5个字重新排列，要求重新排列后的平仄序列与原诗的平仄序列不同，则不同的排列种数为 A．54 B．72 C．90 D．108 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数的图象关于直线对称的有 A． B． C． D． 10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在上，且向量，，则 A． B．的渐近线方程为 C． D．当时， 11．已知函数，则 A．是奇函数 B．可能是的极值点 C．可能有个极值点 D．当在上有极大值时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若正四棱台的上底面边长、下底面边长分别为，，高为上底面边长与下底面边长的等比中项，则该正四棱台的体积为 ▲ ． 13．如图，点，均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为 ▲ ． 14．某游戏有“通关升星”机制：每次通关有的概率获得张卡片，每集齐张卡片可升颗星，每次通关结果相互独立．若小张连续通关次，则他升星颗数的期望为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 2021～2025年我国高铁的运营里程（单位：万公里）统计如下： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份序号 1 2 3 4 5 运营里程 4.0 4.2 4.5 4.8 5.0 （1）求关于的经验回归方程； （2）预测2026年我国高铁的运营里程． 附：在经验回归方程中， ，． 16．(15分) 已知抛物线的焦点为，且关于的准线的对称点为． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于，两点，，在轴上的投影分别为，，且梯形的中位线的长度为9，求的方程． 17．(15分) 已知函数，． （1）证明：． （2）讨论的单调性． （3）若，求的取值集合． 18．(17分) 在中，，，，分别为，的中点．将沿线段折起，使点到达点的位置，连接，，得到四棱锥，取的中点，连接． （1）证明：． （2）如图1，当平面平面时，求二面角的大小． （3）如图2，设二面角的大小为，在折叠过程中，即在上变化时，求的重心在空间中的运动轨迹的长度． 19．(17分) 已知是定义在上的函数的导函数，若正项数列满足，且对任意，都有，则称为的衍生数列． （1）若，，判断是否是的衍生数列，并说明理由． （2）若为的衍生数列，证明：． （3）若为的衍生数列，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学参考答案 题序 1 2 6 7 8 10 11 12 13 14 答案 A B D B C B D ABD ACD AC 28 -3 5 3 4 1+2+3+4+5 15.解：(1)由题意得x= =3, 2分 5 y=4+4.2+4.5+4.8+5 4.5, 4分 5 62--月240340的-0k03+2 含-0 4+1+0+1+4 2=0.26,6分 a=y-bx=3.72. 8分 故y关于x的经验回归方程为y=0.26x+3.72.9分 (2)当x=6时，y=0.26×6+3.72=5.28. 11分 故预测2026年我国高铁的运营里程为5.28万公里.13分 16.解：(1)由题意得F 1分 C的准线方程为y=- 2分 则号(-列=2x-号 4分 得p=6. 5分 故C的方程为x2=12y.6分 (2)易得的斜率存在，设Ax,),B(x2,y2),:y=kx+3.7分 由P=众+3 得x2-12kx-36=0,8分 x2=12y 得△=144k2+144>0 10分 x1+x2=12k 由题意得AA+BB,=2×9=18.11分 因为AA,+BB,=片+y2=+3+kx2+3=k(x+x2)+6=12k2+6=18,13分 所以k=±1.14分 故1的方程为x-y+3=0或x+y-3=0.15分 17.【解析】本题考查函数的单调性和最值，考查逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)证明：f(x)的定义域为0，+oo),f'(x=-lnx.1分 令"(x)>0,得0<x<1,则f(x)在(0,1)上单调递增， 2分 令f'(x)<0,得x>1,则f'(x在1，+0)上单调递减， 3分 所以f(x)mx=f(1)=1.故f八x≤1. 4分 (2)解：由gx=er-2x,得g'(x=aer-2. 5分 当a≤0时，g'(x)<0,gx)在R上单调递减. 7分 当a>0时，令g()<0,得x<n2,则gx)在-，n 2 2 上单调递减， 8分 aa aa 令gx>0.得x>n2.则gx在n2+w 上单调递增。 9分 aa aa (3)解：当a≤0时，gx)在R上单调递减，当x>0时，gx)<g(0)=1,不符合题意. 11分 12分 由(1)可知f(x)=x-xnx≤1，当且仅当x=1时，等号成立. 因为2>0，f 2 2_21n2≤1，所以f 2_2in2-1, 14分 0 aaaa aaa 所以2=1，得a=2.故a的取值集合为(2 15分 18.(1)证明：如图1，取DE的中点O,连接P0,OF.1分 B 图1 :AB=AC,D,E分别为AC,AB的中点， .OF⊥DE,P0⊥DE.2分 :PO∩OF=O,.DE⊥平面POF.3分 :PFc平面POF,.DE⊥PF.4分 (2)解：DE∥BC,.BC⊥PF,BC⊥OF, 5分 .二面角P-BC-D的平面角为∠PFO.6分 :PO⊥DE,平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩平面BCDE=DE, .PO⊥平面BCDE,7分 :P0⊥0F.易得P0=0F,∠PF0=T,即二面角P-BC-D为T 9分 (3)解：如图2，取DE的中点O,连接P0,OF. E B 图2 由(1)可知P0⊥DE,0F⊥DE,则∠P0F=0.10分 以0为原点，建立空间直角坐标系，则P(2cos0,0,2sin0), D(0,1,0),C2,2,0).11分 设Gx,y,z· 由重心性质可得x= 2c0s0+0+2_2。 0os0+3,y0tlt2,252sm0+0+02 2sin0.13 3 3 3 分 :y=1为定值，.重心G在固定平面内运动. 14分 22 2 =2cos0,z=二sin0,得x- 号+-s0+4sn04 2)2 由x- 15分 33 3 9 9 .点G在圆心为 0。半径r3的细 3 16分 2 又0∈(0，π)，.点G在空间中的运动轨迹的长度为二π. 17分 3 19.(1)解：由题意得f'(x=x,则f'(an)=an=2-1. 1分 园为f1a小-fa--4r2 2分 所以f(a)-f(an)≠f'(an),所以{a}不是f(x的衍生数列.3分 (2)证明：当f(x=kx(k≠0)时，f'(x=k≠0，则f'(an)=k.4分 由f(ai)-f（an)=k(a1-an)=k及k≠0，得a1-a,=1,5分 又a,=1,所以an=n.6分 n 1 2”2m,7分 11 2 1121-9+2 即}s,=22-” 8分 2 则2是=5=2-"2<2.9分 3证明：f=由a-fa)=f川a,2a-2回=.10分 1 an 令=瓜，得4=a=1.b=b+2b 1 将b1=b.+2b 两边平方，得b=b+1+行 1 么2得b-b1+4b111分 当n≥2时，b-b=b-b+…+b好-b好+b好-b2>n-1,得b>n· 又b=1≥V1,所以bn=Van≥Vn.12分 -=+证s+ ，13分 4n 当2时，-成=-配4s-国公--1+日…》 14分 当n22时，1 a2h后ni+a-22-h-2列， 12 2 酸+时+ja0-0+-1-小e.5 分 要证反<+行只江发<小+， E+可<顶+好甲平空名>0，这格相废，则反<+分 4216 16分 综上，nsa,<m+} 17分 2