北京市十一学校2024-2025学年高三下学期5月教学课程教与学诊断数学试题

北京市十一学校2024～2025学年下学期5月高三年级数学课程教与学诊断 一．选择题（共10小题，每小题4分；共40分） 1. ，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，则（ ） A. B. 8 C. D. 4 4. 在的展开式中，的系数为15，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知圆，直线，则直线与圆公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 与有关，不能确定 6. 已知，，则“”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄．对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁．如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1月－4月 1965年5月－8月 1965年9月－12月 1966年1月－4月 … 新方案法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为（ ） A. 61岁4个月 B. 61岁5个月 C. 61岁6个月 D. 61岁7个月 8. 已知双曲线，若双曲线的左、右两支上各存在一点、，使为等边三角形，则该双曲线离心率的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，且函数在，内恰有2025个零点，则满足条件的有序数对（ ） A. 有且仅有1对 B. 有且仅有2对 C. 有且仅有3对 D. 有无数对 二．填空题（共5小题，每小题5分；共25分） 11. 抛物线的准线方程是______. 12. 已知一个圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则此圆锥的表面积为______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为______． 14. 已知为两个单位向量，且，是平面内的一个定点，是平面内的一个动点，，． （1）若，，则______． （2）若，则点的轨迹围成的图形面积为______． 15. 已知无穷数列满足：对任意，有，且．给出下列四个结论： ①存在无穷多个，使得； ②存在，对任意，有； ③对任意，有； ④对任意，存在互不相同的，使得． 其中所有正确结论的序号是_______ 三．解答题（共6大题，共85分） 16. 在中，已知． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在直角中，，点、分别在线段、上，且，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为． （1）设平面与平面交线为，请直接写出与直线的位置关系． （2）若点为线段的靠近点的三等分点 （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 18. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的使用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共10000个问题作为样本，得到如下表格． 问题类别 模式 生活类问题 学习类问题 其他类问题 深度思考 1100 600 300 联网搜索 1200 1500 300 兼用 1500 2500 1000 假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率． （1）在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率． （2）在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，估计生活类问题个数不超过学习类问题个数的概率． （3）不同模式处理问题的时间可以大致分为三组：，，（单位：秒）．在网络正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．假设小明已经使用该AI大模型的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理时间，另一个问题的处理时间．若不考虑其他因素干扰，判断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，点在第一象限． （1）求椭圆的焦距；若，求点的坐标； （2）若轴，垂足，连结并延长交椭圆于点，取线段中点，求证：． 20. 已知函数，曲线在点处的切线斜率为． （1）求的值． （2）求在上的零点个数． （3）证明：上存在两个零点，且． 21. 设是一个项数为数列，其中每一项均为集合中的元素．定义数列如下：若，则，其中，当时，，当时，，，其中记． （1）①若数列，则______； ②若数列，则______． （2）对于给定的正整数，若正整数满足对任意，均有数列与为同一数列，则称为“阶好数”． （ⅰ）求最小的“3阶好数”． （ⅱ）求使得“阶好数”存在的的所有可能取值． 北京市十一学校2024～2025学年下学期5月高三年级数学课程教与学诊断 一．选择题（共10小题，每小题4分；共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二．填空题（共5小题，每小题5分；共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①③④ 三．解答题（共6大题，共85分） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）所选条件见解析，. 【17题答案】 【答案】（1）相交 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）小明使用兼用模式的概率最大． 【19题答案】 【答案】（1）4，； （2）证明见解析. 【20题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【21题答案】 【答案】（1）；. （2）（ⅰ）3；（ⅱ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$