精品解析：2026年山东省青岛市崂山区第八中学中考二模数学试题

2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明：本试题共有25道题，其中1-9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共4分；17-26题为解答题，共71分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ι卷 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于特斯拉，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，需掌握科学记数法表示较小数的形式（其中，为正整数），确定与的值即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 2. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴判断，，的符号和绝对值的大小，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，，． 3. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从几何体的左边看到的图形是左视图．根据几何体的左视图的定义，结合看的见的棱是实线，看不见的棱是虚线即可得到答案． 【详解】解：几何体的左视图是， 故选：C ． 4. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法判断A，根据完全平方公式可判断B，根据合并同类项可判断C，根据积的乘方可判断D． 【详解】A．，故原式不正确，不符合题意； B．，故原式不正确，不符合题意； C．，故原式不正确，不符合题意； D．，故原式正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，合并同类项，根据积的乘方，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照题意画出，结合网格写出坐标即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知，点的坐标为． 6. 如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的外角的性质可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴ ∵， ∴． 7. 崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点，设 ，则 ，容易证明，则，求得，则， ，由计算出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，设 ，则 ， 由题意可得，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 8. 如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，交于点．若，，，则线段的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OA为4a，则根据题干中的比例关系，可得AD=3a，CE=2a，BE=a，从而得出点D和点E的坐标(用a表示)，代入反比例函数可求得a的值，进而得出BC长. 【详解】解：设OA=4a 根据，得：AD=3a，CE=2a，BE=a ∴D(4a，3a)，E(4a+4，a) 将这两点代入解析得； ， 解得：a=， ∴BC=AD=， 故选：B. 【点睛】本题考查反比例函数和矩形的性质，解题关键是用含有字母的式子表示出点D、E的坐标，然后代入解析式求解. 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 第II卷 二、填空题（每题3分，共18分） 10. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算及加法运算，先化简二次根式，在计算除法，最后计算加法即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 11. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 【答案】 乙 【解析】 【详解】解：由统计图可知，乙运动员的成绩更加集中， ∴乙运动员的方差小于甲运动员的方差，即乙运动员的成绩更加稳定， ∴应该选乙运动员参加比赛． 12. 拋物线与x轴有交点，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴有交点，即求令的一元二次方程有实数根，用根的判别式解题即可．根据拋物线与x轴有交点，则，且，再求解即可． 【详解】拋物线与x轴有交点， 且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得出是等边三角形，，利用三角函数求出，根据，利用扇形及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵正方形的边长为，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴． 14. 如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】先找到旋转的规律，每4次是一个循环，故旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转，求出对应的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴点每旋转4次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转， ∴第次旋转结束时点的坐标为． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，由是中点可得，根据轴对称的性质可得，，，，由此可判断①；利用勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形的性质求出的长，由此可判断②；设，利用互余关系和对称性表示出和，由此可判断③；证明 ，利用相似比和面积法求出的长，进而求出的长，由此可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ，，， 是中点，  ，  是关于的对称点，  ，  ，，，，故①正确； 在中，， ∵，  ， ，  ，  ，  ， ∴，故②正确； 设，则， 在中， ，  ，  ，  ，故③正确； 连接交于点，如图， ，，，，  ，，  ，  又，  ，  ， ∴， ，关于对称，  ， ，  ，  ，  ，  ，  ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：在中，．求作：内部的一点P，使得点P到的距离等于到的距离，且点P在边的高线上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，作已知角的平分线及过直线外一点作已知直线的垂线，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P即可． 【详解】解∶如下图所示∶ 作的平分线，过点C作直线的垂线，与射线交于点P，点P即为所求作的点． 四、解答题（共71分） 17. 计算 （1）化简； （2）求不等式组的正整数解． 【答案】（1） （2）不等式组的解集为3，4，5 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先计算括号内减法，再将除法转化为乘法计算即可解答； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，即可得出正整数解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由得， 由得 ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集为3，4，5． 18. 中国是一个多民族国家，有着悠久的历史，56个民族使用的语言分别属于汉藏、阿尔泰、南岛、南亚、印欧这五大语系．明明和亮亮准备选择其中一大语系共同进行研究，他们做了如下游戏方案进行选择：从一副普通的扑克牌中取出四张牌，如图，背面朝上洗匀后，明明先从中随机抽取一张，记下数字放回并洗匀，亮亮再随机抽取一张．若两人抽取的牌面数字均为奇数或均为偶数，则以明明的选择为准，若两人抽取的牌面数字为一奇一偶，则以亮亮的选择为准． （1）明明抽取的牌面数字为奇数的概率为______； （2）请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 【答案】（1）解： （2）解：画树状图如图： 共有16种等可能的结果，两人抽取的牌面数字为一奇一偶的结果有8种， ∴两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 【解析】 【小问1详解】 解：明明抽取的牌面数字为奇数的概率为； 【小问2详解】 略 19. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】明珠大剧院到龙堤的距离为． 【解析】 【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：明珠大剧院到龙堤的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 20. 某校数学兴趣小组为调查七、八年级学生寒假参加志愿服务情况，将志愿服务时间x（单位：分钟）分为四组（A组：；B组：；C组：；D组：）． 信息一：随机调查七年级20名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 20，20，20，30，30，30，30，30，30，40，40，40，40，40，40，40，40，40，60，60． 【分析数据】众数为m，方差为114． 信息二：随机调查八年级若干名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 【分析数据】众数为30，方差为． 【解决问题】请结合以上信息，解决下列问题： （1）通过信息一，可得__________； （2）通过信息二，可得： 随机调查八年级学生的人数是__________人； 扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角等于__________度； 补全条形统计图； （3）此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是__________年级学生（填“七”或“八”），说明理由； （4）已知该校八年级学生人数为500人，请估计八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数． 【答案】（1）40 （2）20；；见解析 （3）八，理由见解析 （4）250人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义可得答案； （2）用八年级D组的人数除以其人数占比可求出八年级参与调查的人数，用360度乘以扇形统计图中C组的人数占比可求出对应的圆心角对数；求出条形统计图中B组的人数，再补全统计图即可； （3）根据方差越小，参加志愿服务时间越均匀可得答案； （4）用500乘以样本中八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级寒假参加志愿服务时间为40分钟的人数最多， 故； 【小问2详解】 解：人， ∴随机调查八年级学生的人数是20人， ∴扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角等于，条形统计图中B组的人数为人， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是八年级学生，理由如下： ∵七年级的方差为114，八年级的方差为，且， ∴此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是八年级学生； 【小问4详解】 解：人， 答：估计八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数为250人． 21. 如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．一次函数的图象交轴于点，交轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）当△的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入解得，则，代入反比例函数计算即可； （2）先求出，，得到，再根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得 解得：， ∴， 代入反比例函数得： ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象交轴于点，一次函数的图象交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， 解得或． 22. 阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： （1）图①中围成的大正方形的面积为________； （2）①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 【答案】（1） （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再根据四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到图①中围成的大正方形的面积即可； （2）①画出函数图象，结合函数图象分析即可； ②当直线与反比例函数的图象只有一个交点时，的值最小，联立解析式，可得方程 有唯一解，即 ，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 根据四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到图①中围成的大正方形的面积为 ； 【小问2详解】 解：①∵当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形， ∴在图③中，直线与反比例函数的图象至少有一个交点， ∴在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有1个交点时，的值最小； ②根据图③可得，当直线与反比例函数的图象只有一个交点时，的值最小， 此时联立， 整理得 ， ∴方程 有唯一解，即 解得， ∵唯一交点在第一象限， ∴得， ∴设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用米的篱笆． 23. “满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元． （1）求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ （2）该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元 （2）购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元 【解析】 【分析】（1）设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元，再根据题意建立方程组求解即可； （2）设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元，列出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种紫荆花树苗的单价为元，B种紫荆花树苗的单价为元． 根据题意，得， 解得， 答：A种紫荆花树苗的单价为50元，B种紫荆花树苗的单价为80元； 【小问2详解】 解：设购B种紫荆花树苗株，则购买A种紫荆花树苗株，总费用为元． 根据题意，得， 随的增大而增大， ∴当时，， 答：购买B种紫荆花树苗20株，A种紫荆花树苗25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 24. 已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）当是矩形时，四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得到，，由中点得到，即可证明； （2）由，得到，结合得到，即可证明四边形是平行四边形，再添加，得到四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当是矩形时，四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 25. 根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元． 素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 【答案】（1）甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元 （2） （3） ，当，即甲型机器人的销售单价万元时，最大利润 万元． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两款机器人制造成本分别为元、元，根据“制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元”列方程组求解即可； （2）由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台，在，的基础上求总销量与之间的关系； （3）先根据题意得到，甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台，再根据总利润 求出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元， 由题意得， 解得， ∴甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元； 【小问2详解】 解：由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台， ∴两种型号机器人的总销售量； 【小问3详解】 解：∵总销量不低于250台，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍， ∴，解得， 甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台， ∴总利润 ， ∴对称轴为 ， ∵，， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，，有最大值，最大值 万元． 26. 已知，如图1，在平行四边形中，对角线，，，如图2，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作交于点；将平行四边形沿对角线剪开，从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，试确定S与的函数关系式，并求S的最大值； （3）连接，试求当平分时，四边形与四边形面积之比． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得：，，，，利用垂直平分线的性质得到，可列出方程，求解即可， （2）分别求出各图形的面积，代入计算即可得到答案， （3）连接，，过点G作于N，由可求出，分别求解四边形和四边形的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 由题意得：，，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 点F在线段的垂直平分线上， ， ， ， 当时，点F在线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 连接 ，，， ， 为直角三角形， ， ， ， ，，， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图2，连接，，过点G作于N， 平分，， ， ， ， ， 此时，，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，二次函数的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平质量检测 九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明：本试题共有25道题，其中1-9题为选择题，共27分；10~15题为填空题，共18分；16题为作图题，共4分；17-26题为解答题，共71分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ι卷 一、选择题（本题满分27分，共有9道小题，每小题3分） 1. 2025年4月30日，神舟十九号载人飞船返回舱成功着陆，神舟十九号载人飞船有很多创新之处，首次以果蝇为实验对象，建立太空亚磁环境，已知亚磁环境的磁感应强度小于特斯拉，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，交于点．若，，，则线段的长度为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（每题3分，共18分） 10. 计算：______． 11. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 12. 拋物线与x轴有交点，则k的取值范围是______． 13. 如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 14. 如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：在中，．求作：内部的一点P，使得点P到的距离等于到的距离，且点P在边的高线上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 四、解答题（共71分） 17. 计算 （1）化简； （2）求不等式组的正整数解． 18. 中国是一个多民族国家，有着悠久的历史，56个民族使用的语言分别属于汉藏、阿尔泰、南岛、南亚、印欧这五大语系．明明和亮亮准备选择其中一大语系共同进行研究，他们做了如下游戏方案进行选择：从一副普通的扑克牌中取出四张牌，如图，背面朝上洗匀后，明明先从中随机抽取一张，记下数字放回并洗匀，亮亮再随机抽取一张．若两人抽取的牌面数字均为奇数或均为偶数，则以明明的选择为准，若两人抽取的牌面数字为一奇一偶，则以亮亮的选择为准． （1）明明抽取的牌面数字为奇数的概率为______； （2）请利用画树状图或列表的方法，求两人抽取的牌面数字为一奇一偶的概率． 19. 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 20. 某校数学兴趣小组为调查七、八年级学生寒假参加志愿服务情况，将志愿服务时间x（单位：分钟）分为四组（A组：；B组：；C组：；D组：）． 信息一：随机调查七年级20名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 20，20，20，30，30，30，30，30，30，40，40，40，40，40，40，40，40，40，60，60． 【分析数据】众数为m，方差为114． 信息二：随机调查八年级若干名学生，其寒假参加志愿服务时间统计如下： 【整理数据】 【分析数据】众数为30，方差为． 【解决问题】请结合以上信息，解决下列问题： （1）通过信息一，可得__________； （2）通过信息二，可得： 随机调查八年级学生的人数是__________人； 扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角等于__________度； 补全条形统计图； （3）此次调查中，参加志愿服务时间较均匀的是__________年级学生（填“七”或“八”），说明理由； （4）已知该校八年级学生人数为500人，请估计八年级学生寒假参加志愿服务时间不少于40分钟的人数． 21. 如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．一次函数的图象交轴于点，交轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）当△的面积为时，求的值． 22. 阅读与思考 下面是小实的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 数形结合思想 数形结合是中国古代数学的璀璨智慧，赵爽在《勾股圆方图注》中以弦图直观证勾股定理，将几何图形与数量关系精妙融合，以形释数、以数解形． 《勾股圆方图注》中记载了利用图形解一元二次方程的方法．例如，在解方程时，将方程转化为，利用四个全等的矩形拼成如图①的形状，从而得到了上面方程的正数解． 如图②，四个全等的矩形中，一组邻边的长为和，连接四个矩形中的一条对角线，构造正方形，其边长为．利用两种方式表示正方形的面积，从而验证了勾股定理． 因此在解决问题“设计一个面积为平方米的矩形花园，要求用最少的篱笆围成”时，我也用了数形结合，下面是我的思考． 假设矩形花园的一边长为米，另一边长为米，篱笆长为米， 则①，②，现在问题要求的最小值． 由①得，是的反比例函数，图象如图③所示； 由②得，是的一次函数，该函数图象可以由直线平移得到，在图③中画出的图象，平移探索． 当反比例函数与一次函数图象有交点时能围成矩形． 任务： （1）图①中围成的大正方形的面积为________； （2）①在图③中，由平移过程可判断，当直线与反比例函数的图象有_______（填“”或“”）个交点时，的值最小； ②设计一个面积为25平方米的矩形花园，最少需要用_______米的篱笆． 23. “满城紫荆如烟霞，一树繁花一城春”每年柳州盛开的紫荆花惊艳众人，吸引了众多游人拍照打卡．某小区为打造“诗意栖居”的园林景观，让业主在家门口就能邂逅紫荆花的浪漫，计划采购A、B两种型号的紫荆花树苗．若购买12株A种型号的紫荆花树苗和7株B种型号的紫荆花树苗共需1160元；购买9株A种型号的紫荆花树苗和14株B种型号的紫荆花树苗共需1570元． （1）求A、B两种型号的紫荆花树苗的单价分别是多少？ （2）该小区物业计划购买A、B两种型号的紫荆花树苗共45株，其中B种型号的紫荆花树苗至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 24. 已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 25. 根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元． 素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 26. 已知，如图1，在平行四边形中，对角线，，，如图2，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作交于点；将平行四边形沿对角线剪开，从图1的位置与点同时出发，沿射线方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为，试确定S与的函数关系式，并求S的最大值； （3）连接，试求当平分时，四边形与四边形面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $