精品解析：2026年山东省济南市商河县中考二模考试数学试题

2026年九年级学业水平第二次模拟考试 数学 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 中国人民解放军海军山东舰是中国首艘自主建造的国产航母，该舰的满载排水量为67500吨，数字67500用科学记数法表示为（　　） A. 67.5×104 B. 6.75×104 C. 0.675×105 D. 6.75×105 3. 图中立体图形的俯视图是(　　) A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点，“炮”位于点，则“马”位于点（ ） A. B. C. D. 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 8. 将分别标有“大”“美”“中”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（　　） A. ﹣1＜m≤0 B. m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0 C. m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D. m＝﹣4或3 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 11. 比较大小：____（填“”或“或”）． 12. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 13. 如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 14. A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距______千米． 15. 如图，在中，点是的中点，点关于直线的对称点落在内，射线交于点，交射线于点，射线交边于点．若，，则的长__________． 三、解答题：本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 19. “五一”节期间，露营爱好者在阳澄湖半岛旅游区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度的长； （2）下雨时收拢“天幕”，若从减少到，求点E下降的高度． （结果精确到，参考数据：，，，） 20. 如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，，交CD的延长线于点E，DA平分． （1）求证：AE是的切线． （2）若，，求BD的长． 21. 在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： （1）5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； （2）5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； （3）根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 22. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 23. 如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点． （1）的值为__________，的值为__________； （2）对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________； （3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 24. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． （1）求二次函数的解析式； （2）当线段的长取得最小值时，求P点的坐标，并求线段的最小值？ （3）若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，当以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形时？请你直接写出点N的坐标． 25. 某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平第二次模拟考试 数学 本试卷共8页，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 2. 中国人民解放军海军山东舰是中国首艘自主建造的国产航母，该舰的满载排水量为67500吨，数字67500用科学记数法表示为（　　） A. 67.5×104 B. 6.75×104 C. 0.675×105 D. 6.75×105 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】67500＝6.75×104． 故选：B． 【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 图中立体图形的俯视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应该在俯视图中 【详解】根据图形可得俯视图为： 故选B． 【点睛】此题考查简单组合的三视图，难度不大 4. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等以及三角的外角等于与它不相邻的两个内角的度数． 5. 如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“兵”位于点，“炮”位于点，则“马”位于点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键． 直接利用已知点坐标得出原点位置，再建立平面直角坐标系得出答案． 【详解】解：如图所示： “马”位于点． 故选：B． 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由在数轴上的对应点的位置可得出，，可得出，，，，进而得出． 【详解】解：根据在数轴上的对应点的位置可知，， ∴，，，， ∴． 综上，选项B正确． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可． 【详解】解：由题意得 ，，， ， 原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题的关键． 8. 将分别标有“大”“美”“中”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不放回摸球试验的概率计算，利用树状图法找出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，代入概率公式计算即可，解题关键是不重不漏列出所有等可能结果． 【详解】解：画树状图如图： ∴总共有 种等可能的结果，∵两次摸出的球上的汉字能组成“中国”的结果有2种，分别为先摸出“中”再摸出“国”，先摸出“国”再摸出“中”， ∴所求概率为 ． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径作弧．交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定与性质，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质可得，又为的中点，则，从而求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 当m≤x≤m+1时，函数y＝x2﹣4|x|+2的最大值为2，则m满足的条件为（　　） A. ﹣1＜m≤0 B. m＝﹣4或3或﹣1≤m≤0 C. m＝﹣4或﹣1＜m≤0 D. m＝﹣4或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出函数的抛物线，再根据m≤x≤m+1分析得出结论． 【详解】解：当x>0时，抛物线在y轴右侧，当x<0时，抛物线在y轴左侧， ∵y＝x2﹣4|x|+2， ∴与y轴的交点为(0，2)， 当x>0时，y=2时，x=4，当x<0时，y=2时，x= -4，则关于y轴对称， 当x<0时，y的最小值为2； ∵m≤x≤m+1， ∴当x<0时，y=2时，m= -4， 同理当x>0时，y的最小值为2；m≤x≤m+1，m+1=4，m=3， 由图象可得，图象与y轴交点为(0，2)， 当在x轴上，原点在m和m+1之间时，y的最小值为2， ∴m+1≥0且m≤0， ∴-1≤m≤0， 综上：m= -4或m=3或-1≤m≤0． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的抛物线的有关计算，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分． 11. 比较大小：____（填“”或“或”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查负数的大小比较，解题思路为先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”得到结果． 【详解】解：∵ ，，， ． 12. 如图，正方形由8个大小相等的三角形构成，随机地往正方形内投掷一个棋子，则棋子落在阴影区域的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的计算，关键是利用几何概率的定义：事件发生的概率等于该事件对应的区域面积与总区域面积的比值．题目中正方形被等分为8个小三角形，只需确定阴影部分包含的小三角形数量，通过计算数量比即可得到面积比，也就是所求概率． 【详解】解：设每个小三角形的面积为， ∵正方形由8个大小相等的三角形构成， ∴正方形的面积为， 由图可知阴影区域包含3个该小三角形，其面积为， ∴棋子落在阴影区域的概率为； 故答案为：． 13. 如图，在正五边形的内部作正三角形，则___________． 【答案】 48 【解析】 【分析】求出，求差即可. 【详解】解：由题意，， ∴. 14. A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距______千米． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 15. 如图，在中，点是的中点，点关于直线的对称点落在内，射线交于点，交射线于点，射线交边于点．若，，则的长__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得，，，结合平行四边形的性质及中点定义推出，，进而证得，，可得，，再证明．利用建立方程求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，，，   点关于直线的对称点是， ，  ，，， ∵， ∴，  点是的中点，  ，  ，  ，  ∴，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， 设，则，， ， ，  ，  ，即，  解得：， 故的长为4． 三、解答题：本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】6 【解析】 【详解】解： ． 17. 解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为1，2． 【解析】 【分析】分别解两个不等式，求出解集，再找出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得； 解不等式②得； 因此，不等式组的解集为， 所有整数解为1，2． 18. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 19. “五一”节期间，露营爱好者在阳澄湖半岛旅游区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，，． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度的长； （2）下雨时收拢“天幕”，若从减少到，求点E下降的高度． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）遮阳宽度约为 （2）点下降的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得； （2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：是轴对称图形， ， ，， ， ， 答：遮阳宽度约为． 【小问2详解】 解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， ，即， 当时，， 当时，， 则， 答：点下降的高度约为． 20. 如图，四边形ABCD内接于，BD是的直径，，交CD的延长线于点E，DA平分． （1）求证：AE是的切线． （2）若，，求BD的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，从而证明，再根据平行线的性质即可证明，又因为是半径，所以是的切线； （2）根据特殊角的三角函数值可得，结合其他条件可得和都是含的直角三角形，解三角形即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图． 平分， ． ， ， ， ． ， ． 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：是直径， ． ， ，， ． 平分， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ． ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的定义、平行线的判定与性质、特殊角的三角函数值、含的直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握并灵活运用这些知识． 21. 在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： （1）5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； （2）5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； （3）根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 【答案】（1）90，85 （2）86 （3） 【解析】 【分析】（1）提取所有选手的“演讲效果”成绩，根据众数定义找出现次数最多的数值；提取所有选手的“演讲技巧”成绩，按从小到大排序后取中间位置的数得到中位数． （2）提取所有选手的“演讲技巧”成绩，代入平均数公式，计算总成绩除以总人数的商． （3）设“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”所占比例为，因为选手B的两项成绩已知、最终成绩已知，所以根据加权平均数的计算方法列方程，求解方程即可． 【小问1详解】 解：∵5位选手“演讲效果”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“演讲效果”成绩的众数是90分， ∵5位选手“演讲技巧”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲技巧”成绩的中位数是85分； 【小问2详解】 解：5位选手“演讲技巧”成绩的平均分为（分） 【小问3详解】 解：设选手B“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”为， 根据题意得：， 解得， 答：选手B“演讲效果”所占比例为． 22. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 【答案】（1）每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元 （2）售出后两种商品总利润的最大值为405元 【解析】 【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了． （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元，“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式，求出y的取值范围，然后列关于w的关系式，再求解即可． 【小问1详解】 解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：（元）． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． 【小问2详解】 解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元， 由题意得：． 解得， ， ∵， ∴w随y的增大而增大， ∴当时，w取最大值，且最大值为： （元）， 答：售出后两种商品总利润的最大值为405元． 【点睛】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出等量关系与不等关系列出方程与不等式是解题关键． 23. 如图已知一次函数与反比例函数的图像相交于点． （1）的值为__________，的值为__________； （2）对于反比例函数，当时，写出的取值范围__________； （3）以OA为边，在直线OA的下方作正方形OABC，请通过计算判断点是否落在反比例函数上． 【答案】（1）2；6 （2） （3）点B没有落到双曲线上 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、正比例函数图象与性质、函数大小比较等知识点，熟练掌握函数图象与性质是解题的关键．小问1将A代入一次函数与反比例函数，即可得到、的值；小问2将代入，根据图象找到的范围即可；小问3利用全等三角形，得出点B的坐标，代入，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将代入一次函数与反比例函数， ∴，， ∴，． 故答案为2；6 【小问2详解】 解：将代入， ∴， 解得， 根据图象得到当时，的取值范围为． 故答案为 【小问3详解】 解：如图，过点A作轴，垂足为D， 过点B作，垂足为E， ∴， ∵为正方形， ∴，． ∴， ∴． ∴． ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，． ∴点B的坐标为． ∴当时，， ∴点B没有落到双曲线上． 24. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点是，且与x轴交于C，D两点，与y轴交于点E，P是抛物线上一个动点，过点P作于点G． （1）求二次函数的解析式； （2）当线段的长取得最小值时，求P点的坐标，并求线段的最小值？ （3）若点M是抛物线对称轴上任意点，点N是抛物线上一动点，当以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形时？请你直接写出点N的坐标． 【答案】（1）； （2）点的坐标为 ，最小值为； （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据顶点式直接写出二次函数的解析式，整理可得二次函数的一般式； （2） 过点作轴交于点，即可通过三角函数关系式把求线段的长取最小值转化为求线段的最小值即可得到答案； （3）分为菱形的边和对角线两种情况讨论即可； 【小问1详解】 解：由题意，可得抛物线为 整理得： 故二次函数的解析式为 【小问2详解】 解：把代入得 点的坐标为． 把代入 得 点的坐标为， ， ， 如图（1），过点作轴交于点， 则有， （两直线平行，同位角相等） 设点的横坐标为 则，， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时有最小值， 当时， 此时点的坐标为 【小问3详解】 解：符合条件的点的坐标为或， 求解如下： 由题意知，抛物线的对称轴为， 把代入 ， 得或， ， ． I．如图 当以为菱形的边时，平行且等于 若点在对称轴右侧， ， ， 把代入 ，得， 点的坐标为． 四边形为菱形， 即符合题意， 同理可知，当的坐标为时，四边形也为菱形． II．如图（3）当为菱形的对角线时， 根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分 所以在对称轴上，而且点在抛物线上， 所以点为抛物线的顶点，其坐标为． 综上所述，符合条件的点的坐标为或 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合运用，菱形的性质与判定定理以及三角函数，综合性较强，要学会分类讨论思想，理解所学知识、掌握相关的概念是解题的关键． 25. 某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】（1）2；（2）证明见详解；（3）； 【解析】 【分析】（1）本题考查手拉手问题，根据角度加减问题及相等边的问题得到直接证明即可得到答案； （2）本题考查等腰三角形的性质及三角形相似的判定与性质，根据等腰三角形及得到，先证明，在证明即可得到答案； （3）本题考查正方形的性质及三角形相似的判定与性质，连接，证明即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为，， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴正方形的边长为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $