精品解析：2025年山东省青岛市崂山区中考二模数学试题

九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 2. 的绝对值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键． 根据绝对值的定义，进行作答，即可求解． 【详解】解：的绝对值为， 故选：B； 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式及多项式除单项式的运算法则逐项计算作出判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，计算正确，故选项符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从上面看到的图形是俯视图．根据从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看到的图形为： 故选：D． 5. 甲、乙两个同学一周五天做的数学题个数如表所示： 周一 周二 周三 周四 周五 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 则下列结论正确的是（ ） A. 甲的平均数为12.5 B. C. 乙的众数为12 D. 甲的极差为2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数，方差的定义，众数，极差的含义，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算，同时求解众数与极差即可得出答案． 【详解】解：，故A不符合题意 ， ， ， ∵， ∴；故B符合题意； ∵，都出现2次， ∴乙的众数为12与，故C不符合题意； 甲的极差是，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，直角坐标系，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．过点作轴于点，得到，，根据勾股定理求出，根据矩形的性质可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标是， ，， ， 四边形是矩形， ， 故选：C． 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ）米 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正弦的定义，由等腰三角形的性质可得，再由正弦的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米，， ∴，即， ∵， ∴， ∴米， 故选：B． 8. 如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，直角三角形性质，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，交于点，连接，，由正六边形性质得，垂直平分，垂直平分，，则有，，通过勾股定理得出，然后由弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵六边形是正六边形， ∴，垂直平分，垂直平分，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长度为， 故选：． 9. 若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题． 先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象在二、四象限， ， ∴点，在第四象限， ∵函数图象在第四象限内随的增大而增大， ， ， ∴在第二象限， ， ∴、、大小关系是， 故选：B． 10. 如图，抛物线经过点，顶点为M，且抛物线与y轴的交点为B，则下列结论： ①当时，； ②； ③； ④的面积为． 正确的有（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形面积公式等知识，求出抛物线的对称轴，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，可判断①，当时，，可判断②，把代入，求出，则，得到抛物线的顶点为，可判断③，设抛物线对称轴交轴于，则， 得到，，，，根据可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①抛物线的对称轴为： ， ∵， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，，故①符合题意； ②当时，， ∴，故②符合题意； ③把代入，得：， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点为， ∴，故③符合题意； ④设抛物线对称轴交轴于，则，如图： ∴，，， 当时，， ∴， ∴， ∴ ，故④不符合题意， 综上，符合题意的有①②③， 故选：C． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 年月日，“长征二号”遥二十运载火箭将“神舟二十号”载人飞船带入太空，其起飞质量约为kg．将“”用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 科学记数法的表现形式为 的形式，其中 为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于 时是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 为了估计学校池塘中鱼的数量，九年级一班的同学采用如下方法：从池塘中捕上50条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上50条，若其中带有标记的鱼有10条，则池塘中鱼估计有_______条． 【答案】250 【解析】 分析】根据捕上50条鱼，发现其中带标记的鱼有10条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有50条鱼做上标记，即可得出答案．此题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 【详解】解：捕上50条，其中带有标记的鱼有10条， 有标记的鱼占， 从池塘中捕上50条鱼做上标记 鱼塘中估计有（条）． 故答案为：250． 13. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系是解题关键． 已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中正方形面积为4 正方形边长为2 直角三角形①中的长直角边为2 解得：（负值已舍去） 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的意义，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，设与轴交点为，根据平行线间的距离相等得出，所以，即，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ， ∵垂直于轴， ∴， ∴ ∴， ∴ 解得：， ∵ ∴， 故答案为：． 15. 鲁洛克斯三角形又称“圆弧三角形”指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，是一个的鲁洛克斯三角形，则这个鲁洛克斯三角形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，扇形的面积，利用等边三角形的性质得到，，则这个鲁洛克斯三角形的面积，然后根据扇形的面积公式和等边三角形的面积公式计算． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 过作， ∴，， ∴， ∴这个鲁洛克斯三角形的面积 ． 故答案为：． 16. 如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是_______． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题、代数式的求值，理解题意找到展开式的系数规律是解题的关键．观察三角形中第四行的五个数，结合题意可判断①；由题意得，，代入的值可判断②；观察三角形中第五行的六个数，结合题意得到，可判断③；列举，2，3，4……时的展开式中的各项系数之和，找出规律可判断④，即可得出答案． 【详解】解：观察三角形中第四行的五个数为1，4，6，4，1， ，故①正确； 由题意得，， 当，时，，故②正确； 观察三角形中第五行的六个数为1，5，10，10，5，1， ， 当的值是0时，则， ， 和互为相反数，不一定是，，故③错误； 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， 的展开式中的各项系数之和为， …… 依此类推，的展开式中的各项系数之和为，故④错误； 综上所述，正确的序号是①②． 故答案为：①②． 三、作图题（本题满分4分） 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，，点P在射线上．求作：，使得点D在射线上，且边，，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作线段、作平行线、作垂线的方法是解题的关键．根据尺规作线段、作平行线、作垂线的方法，按照题目要求作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求： 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. 计算 （1）解不等式组，并将不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）先化简，再求值，其中． 【答案】（1），数轴见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，分式的化简求值： （1）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可； （2）先通分，化简括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解： 将代入得，原式． 19. 浮山森林公园作为青岛市民的休闲好去处，春季森林防火至关重要．为了解学生对森林防火知识的掌握情况，某学校在七、八年级各随机抽取40名学生进行知识测试，测试成绩（分数）x均为整数，划分为A，B，C，D，E五个等级，分别是A：，B：，C：，D：，E：，并给出了部分信息： ①八年级B等级中由低到高的14个分数分别为：80，80，81，82，83，85，86，86，87，87，88，88，88，89， ②两个年级学生测试成绩统计图： ③两个年级学生森林防火知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 83 a 75 七年级 83 82 78 （1）直接写出a，m的值； （2）你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对森林防火知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对森林防火知识掌握较好，且该校七年级有1600人，八年级有1560人，请估计该校七、八年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好的学生人数． 【答案】（1）， （2）七年级的学生对森林防火知识掌握较好，理由见解析； （3）1777人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图、求中位数、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义求出a的值，再利用扇形统计图求出m的值即可； （2）根据平均数、中位数、众数的意义分析即可得出结论； （3）分别计算七年级的人数乘以七年级分数不低于80分的人数占比，八年级的人数乘以八年级分数不低于80分的人数占比，再相加即可求解． 【小问1详解】 解：八年级C、D、E等级的人数共有：（人）， ∵学校在八年级随机抽取了40名学生，八年级B等级中由低到高的14个数分别为：80，80，81，82，83，85，86，86，87，87，88，88，88，89， ∴第21，22个数对应的分数分别为81，82， ∴， ， ∴， ∴综上所述，，； 【小问2详解】 解：七年级的学生对森林防火知识掌握较好，理由如下： 七、八年级的平均数相同，但是七年级的中位数、众数比八年级高，因此七年级的学生对森林防火知识掌握比较好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好的学生人数是1777人． 20. 2025年苏迪曼杯有4支队伍进入四强，分别为中国队、韩国队、印尼队、日本队，将这4支队伍分别编号为A，B，C，D，将这4支队伍的编号分别印在4张完全相同的卡片上（除编号不同外，其余完全相同），把这些卡片背面朝上，洗匀放好．若小刚、小丽抽到相同队伍的卡片，则到现场看半决赛，否则在家观看比赛直播．要求小刚先从中随机抽取1张卡片，记下结果后放回，再次洗匀放好，小丽再抽取一张．用树状图或列表的方法求出两人抽到同一队伍的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用树状图或列表的方法求概率，根据题意列出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解： 小丽 小刚 A B C D A B C D 共有16种等可能结果，其中两人抽到同队伍的情况有4种，即、、、， 所以P（两人抽到同队伍） 21. 我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． （1）阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______； （2）逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； （3）代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 【答案】（1）2 （2）40，5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了学习类比能力，数形结合的数学思想，有理数的运算，列代数式等知识点，解题的关键是理解题意进行列式求解． （1）根据题意列出算式进行求解即可； （2）根据题意列出算式进行求解即可； （3）根据题意找出规律列出代数式即可． 【小问1详解】 解：，， 此时，矩形的长和宽相等，图形为正方形， 所以，折叠阶数为2； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 所以，圆矩形的邻边长为40,5； 【小问3详解】 解：根据题意得， ． 22. 已知：如图，在中，M是边的中点，且． （1）判断四边形形状并证明； （2）如果将沿翻折得到，当和满足什么数量关系时，四边形是正方形，并证明． 【答案】（1）平行四边形，证明见解析； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形得出，，再利用证明，从而可利用全等三角形的性质，得出，再证明，从而可得结论成立； （2）先通过证明四边形有四条边分别相等，来证明四边形是菱形，再证明它有一个直角，从而可证得四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）当时，四边形是正方形. 由翻折得：，． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵M是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质与判定，正方形的判定，全等三角形的性质与判定（）综合等知识，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 23. 如图，图1为《天工开物》记载的一种原始的汲水工具—桔槔（jié gāo），俗称“吊杆”、“称杆”．如图2所示的是桔槔工作时的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，点在地面上，米，，当点A位于最低点时，此时距离地面为米，． （1）求杆的长度； （2）当点A位于最低点时，求A，B两点的水平距离．（参考数据：，，） 【答案】（1）8米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）过点作于点，延长交于点，在中，由可得，进而求出 （2）在中，由即可求出A，B两点的水平距离． 【小问1详解】 解：过点作于点，延长交于点 ∴ ∵ ∴ 由题意知，在中，， ∴ ∵ ∴ ∴ 答：杆的长度为8米， 【小问2详解】 在中 ， 答：当点A位于最低点时，A，B两点的水平距离为米． 24. 周末早晨，李老师从家中出发步行前往张文家家访，同时，张文从家出发骑车到相距的药店给奶奶买药，在药店停留8分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张文家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张文家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发分钟后师生二人离张文家的距离分别为，．与之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： （1）李老师步行速度为_______/分钟；张文骑自行车速度为_______/分钟； （2）求张文去药店和返回家中时与t之间的函数关系式； （3）张文出发多长时间后在途中与李老师相遇？ （4）张文与李老师之间的距离小于时的时间t的取值范围是______． 【答案】（1）50；100 （2）张文去药店时，返回家中时 （3）分钟 （4）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、一元一次不等式的应用，读懂图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象的信息，利用速度路程时间，即可求解； （2）由（1）得张文骑自行车速度为/分钟，计算可得去药店用时12分钟，求出去药店时与t之间的函数关系式；计算可得返回家的开始时间为20分钟，设张文返回家中时，代入和，利用待定系数法求出的值，即可解答； （3）由（1）得李老师步行速度为/分钟，求出李老师步行的函数关系式为，当时，令，求出此时的值即可； （4）分①；②；③三种情况讨论，分别令，求出对应的t的取值范围，即可得出答案． 【小问1详解】 解：李老师步行速度为/分钟， 张文骑自行车速度为/分钟． 故答案为：50；100． 【小问2详解】 解：由（1）得，张文骑自行车速度为/分钟， 去药店用时（分钟）， 张文去药店时； 返回家的开始时间为（分钟）， 设张文返回家中时， 代入和，得， 解得：， 张文返回家中时； 综上所述，张文去药店时，返回家中时． 【小问3详解】 解：由（1）得，李老师步行速度为/分钟， 李老师步行的函数关系式为， 当时，令，则， 解得：， 答：张文出发分钟后在途中与李老师相遇． 【小问4详解】 解：①当时，此时，， 令， 则， 解得：； ②当，此时，， 令， 则， 解得：（舍去）； ③当时，此时，， 令， 则， 解得：， ； 综上所述，时间t的取值范围是或． 25. 近年来，青岛市海域浒苔繁殖问题备受关注，某海域浒苔覆盖面积受水温、光照等因素影响，呈现先增长后衰减的趋势，其生长规律可近似用二次函数模拟．下表是浒苔自然生长的监测数据： 时间t（天） 0 10 20 30 覆盖面积S（平方公里） 2 17 28 35 请根据以上描述解决以下问题： （1）根据表中数据，求出覆盖面积S（平方公里）关于t（天）的二次函数关系式； （2）环保部门规定，当覆盖面积超过10平方公里时，发布预警，请通过计算说明，预警时间预计持续多少天？ （3）当覆盖面积超过10平方公里时，每日投入打捞船进行清理，打捞效率为每天0.1平方公里．请通过计算说明，预警时间将减少多少天？ 【答案】（1） （2）预警时间持续75天 （3）预警时间减少5天 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）先求出当时，的值，再利用二次函数的性质即可解答； （3）根据题意建立一元二次方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设，把和代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，解得，， ∴当覆盖面积超过10平方公里时，， ∴，即预警时间持续75天； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴ ∴，即预警时间减少5天． 26. 在中，，动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方匀速运动，速度为，连接，将沿翻折，得．设运动时间为t（s）（）．解答下列问题： （1）当四边形为菱形时，求t的值； （2）连接，，设的面积为S（），求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，以E为圆心为半径作圆E，使得圆E与相切？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质、解直角三角形、直线和圆的位置关系及列函数关系式， （1）根据菱形性质得出，根据列方程解出即可； （2）过E点作于F，先求出，根据求出，进而列出关系式； （3）假设存在，过点E做于点M，得出，求出，当圆E与相切时，，进而列方程解决． 【小问1详解】 解：当四边形为菱形时，连接交于点O， 则， 在中，， ， 由题意得， ∴， ∴ ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：过E点作于F，由轴对称得：垂直平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：假设存在，过点E做于点M，由题意得：四边形为矩形， ∴ 在中，， ∴， 当圆E与相切时，， ∴， 解得， ∵， ∴不存在以E为圆心为半径的圆E与相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的绝对值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两个同学一周五天做的数学题个数如表所示： 周一 周二 周三 周四 周五 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 则下列结论正确的是（ ） A. 甲的平均数为12.5 B. C. 乙的众数为12 D. 甲的极差为2 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的上弦米，，则中柱（D为底边中点）的长为（ ）米 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，正六边形的边长为，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，在反比例函数（m为常数）的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线经过点，顶点为M，且抛物线与y轴的交点为B，则下列结论： ①当时，； ②； ③； ④的面积为． 正确的有（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 年月日，“长征二号”遥二十运载火箭将“神舟二十号”载人飞船带入太空，其起飞质量约为kg．将“”用科学记数法表示为_______． 12. 为了估计学校池塘中鱼的数量，九年级一班的同学采用如下方法：从池塘中捕上50条鱼做上标记，然后放回池塘，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上50条，若其中带有标记的鱼有10条，则池塘中鱼估计有_______条． 13. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴，点，分别在函数（）和（）的图象上，若的面积为，则的值为______． 15. 鲁洛克斯三角形又称“圆弧三角形”指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，是一个的鲁洛克斯三角形，则这个鲁洛克斯三角形的面积为_______． 16. 如图，是杨辉辑录于《详解九章算法》一书中的三角形数表．这个三角形给出了（，2，3，4，5，6）的展开式按字母a降幂排列后的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．下列结论中正确的序号是_______． ①； ②当，时，代数式的值是； ③当的值是0时，一定是，； ④的展开式中的各项系数之和为． 三、作图题（本题满分4分） 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 已知：如图，，点P在射线上．求作：，使得点D在射线上，且边，，． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 18. 计算 （1）解不等式组，并将不等式组解集在数轴上表示出来； （2）先化简，再求值，其中． 19. 浮山森林公园作为青岛市民的休闲好去处，春季森林防火至关重要．为了解学生对森林防火知识的掌握情况，某学校在七、八年级各随机抽取40名学生进行知识测试，测试成绩（分数）x均为整数，划分为A，B，C，D，E五个等级，分别是A：，B：，C：，D：，E：，并给出了部分信息： ①八年级B等级中由低到高的14个分数分别为：80，80，81，82，83，85，86，86，87，87，88，88，88，89， ②两个年级学生测试成绩统计图： ③两个年级学生森林防火知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 83 a 75 七年级 83 82 78 （1）直接写出a，m的值； （2）你认为在此次知识竞赛中，哪个年级学生对森林防火知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对森林防火知识掌握较好，且该校七年级有1600人，八年级有1560人，请估计该校七、八年级所有学生中，对森林防火知识掌握较好的学生人数． 20. 2025年苏迪曼杯有4支队伍进入四强，分别为中国队、韩国队、印尼队、日本队，将这4支队伍分别编号为A，B，C，D，将这4支队伍的编号分别印在4张完全相同的卡片上（除编号不同外，其余完全相同），把这些卡片背面朝上，洗匀放好．若小刚、小丽抽到相同队伍的卡片，则到现场看半决赛，否则在家观看比赛直播．要求小刚先从中随机抽取1张卡片，记下结果后放回，再次洗匀放好，小丽再抽取一张．用树状图或列表的方法求出两人抽到同一队伍的概率． 21. 我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． （1）阶数计算：矩形邻边长12和3，其折叠阶数为_______； （2）逆推边长：若一个矩形折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； （3）代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 22. 已知：如图，在中，M是边的中点，且． （1）判断四边形的形状并证明； （2）如果将沿翻折得到，当和满足什么数量关系时，四边形是正方形，并证明． 23. 如图，图1为《天工开物》记载的一种原始的汲水工具—桔槔（jié gāo），俗称“吊杆”、“称杆”．如图2所示的是桔槔工作时的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，点在地面上，米，，当点A位于最低点时，此时距离地面为米，． （1）求杆的长度； （2）当点A位于最低点时，求A，B两点的水平距离．（参考数据：，，） 24. 周末早晨，李老师从家中出发步行前往张文家家访，同时，张文从家出发骑车到相距的药店给奶奶买药，在药店停留8分钟后以相同的速度按原路返回，结果与李老师同时到家．张文家、李老师家、药店都在东西方向笔直大路上，且药店在张文家与李老师家之间．在此过程中设李老师出发分钟后师生二人离张文家的距离分别为，．与之间的函数关系如图所示，请你解答下列问题： （1）李老师步行速度为_______/分钟；张文骑自行车速度为_______/分钟； （2）求张文去药店和返回家中时与t之间的函数关系式； （3）张文出发多长时间后在途中与李老师相遇？ （4）张文与李老师之间的距离小于时的时间t的取值范围是______． 25. 近年来，青岛市海域浒苔繁殖问题备受关注，某海域浒苔覆盖面积受水温、光照等因素影响，呈现先增长后衰减的趋势，其生长规律可近似用二次函数模拟．下表是浒苔自然生长的监测数据： 时间t（天） 0 10 20 30 覆盖面积S（平方公里） 2 17 28 35 请根据以上描述解决以下问题： （1）根据表中数据，求出覆盖面积S（平方公里）关于t（天）的二次函数关系式； （2）环保部门规定，当覆盖面积超过10平方公里时，发布预警，请通过计算说明，预警时间预计持续多少天？ （3）当覆盖面积超过10平方公里时，每日投入打捞船进行清理，打捞效率为每天0.1平方公里．请通过计算说明，预警时间将减少多少天？ 26. 在中，，动点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方匀速运动，速度为，连接，将沿翻折，得．设运动时间为t（s）（）．解答下列问题： （1）当四边形为菱形时，求t的值； （2）连接，，设面积为S（），求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，以E为圆心为半径作圆E，使得圆E与相切？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$