精品解析：湖南省湘乡市第一中学2025-2026学年九年级上学期能力素养选拔性质测试数学试题

能力素养选拔性测试数学试题 （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题：（每题3分，共30分）． 1. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， ， 故选：． 2. 如图，平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，点在第一象限，已知与位似，位似中心是原点，位似比为2，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标和位似，勾股定理，正确掌握相关知识是解题的关键． 过点作，根据等边三角形的性质，求出点A的坐标，再根据以原点为位似中心的对应点的坐标特点，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点C， 等边的顶点，， ， ， ， 在中，， ， 已知与位似，位似中心是原点，位似比为2， 或． 故选：D． 3. 满足等式的所有实数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】当即时，满足所给等式； 当即时，，满足所给等式； 当即且时，由已知等式可得：且，解得． 因此，满足等式的所有实数的和为． 4. 已知，，满足，则值为（ ）. A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则x=2k，y=6k，z=3k．代入 求值即可 【详解】设， 则，， ∴，， ∴， 则. 【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键 5. 已知关于x的方程只有一个实数根，则所有满足条件的实数a的和为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解与一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先将分式方程通分为，考虑分母不为零条件，方程只有一个实数根的情况包括判别式为零且根不为增根，或二次方程有一个根为增根从而只剩一个有效根，计算出a值，再求和即可． 【详解】解：， 通分得：， 分母相同且不为零， 分子相等得：， 整理得：， 方程只有一个实数根需满足： (1)判别式为零：，， 将代入得， ，解得，且， 是原方程的解，此时； (2)根为0时：将代入得，，， 将代入得， ，解得或，为增根， 是原方程的解，此时； (3)根为-1时：将代入得，，， 将代入得， ，解得或，为增根， 是原方程的解，此时； 综上所述，满足条件的a有、1、5， 的和为， 故选：D． 6. 如图，菱形在第二象限内，，反比例函数的图象经过点A，交边于点D，若的面积为6，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，利用特殊角度的三角函数值表示出菱形边长及A点坐标是解决本题的关键． 过A作轴于E，设，则，，即菱形边长为，再根据的面积等于菱形面积的一半建立方程可求出，利用点A的横纵坐标之积等于k即可求解． 【详解】如图，过A作轴于E， 设， 在中，， ∴，， ∵菱形在第二象限内, ∴，菱形边长为， ∵点D在菱形的边上， ∴， ∵的面积为6， ∴，即， ∴， 又点在反比例函数上， ∴． 故选：D． 7. 如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查折叠性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 8. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点E是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图所示，在正方形中，点在边上，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，点是线段上的一动点，连接，将沿翻折得到，连接．若，则长度的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作于M，首先证明四边形是正方形，求出正方形的边长，以及的长，因为点P在线段上运动时，点在以C为圆心，为半径的圆上运动，所以当A、、C共线时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作于点． ， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在中， ， 点在线段上运动时，点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当共线时，最小， 的最小值为． 故答案为：． 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换、正方形判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法，构造全等三角形解决问题，学会求圆外一点到圆上的点的距离的最大值以及最小值，属于中考填空题中的压轴题． 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数对称轴和图象得出的符号，即可判断①；由时，，即可判断②；画出函数的图象，根据图象可判断③；根据二次函数性质可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴抛物线与轴的交点在轴的正半轴上， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴时，， 即， ∴，故②正确； 由方程得，， 画函数的图象如下， 由图象可知，直线与抛物线相交于两点，交点横坐标满足，故③正确； ∵抛物线开口向下，图象上有两点和，对称轴为 ，，且， ∴点在对称轴右侧， 当时, 在抛物线的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵, ∴， 又∵抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴的越近，函数值越大， ∴， ∴图象上有两点和，若，且，则一定有， 故④正确； ∴结论正确的有个， 故选：． 二、填空题：（每题3分，共18分）． 11. 若是一元二次方程的一个根，则 的值是________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据是一元二次方程的一个根，得，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18 12. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接AC、BC． ∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是， ∴∠ADC＝∠ABC． 在Rt△ACB中， sin∠ABC=， ∵AC＝2，BC＝3， ∴AB= ∴sin∠ABC==， ∴sin∠ADC=． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数与几何的综合、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则有，然后可得，设，则有，由题意易得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可设，则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴（负根舍去）， ∴， ∴； 故答案为． 14. 如图，中，，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到，设点运动路线的长度为，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，点运动路线的长度为圆心为点C，圆心角为，半径为的弧长，故当最小时，弧长最小，根据垂线段最短，当时，最小，解答即可． 详解】解：∵， ∴， ∵绕着点顺时针方向旋转，得到， ∴点运动路线的长度为圆心为点C，圆心角为，半径为的弧长， ∴， ∴当最小时，弧长最小， 根据垂线段最短，当时，最小， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 16. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②的周长为；③ ；④的面积的最大值.其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题； ②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题； ④正确．设BE=x，则AE=a-x，AF=，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题． 【详解】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH． ∵BE=BH，∠EBH=90°， ∴EH=BE，∵AF=BE，∴AF=EH， ∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°， ∴∠FAE=∠EHC=135°， ∵BA=BC，BE=BH， ∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF=EC，∠AEF=∠ECH， ∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°， ∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确， 如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS）， ∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°， ∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH， ∵GH=DG+DH，DH=BE， ∴EG=BE+DG，故③错误， ∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH+AE=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误， 设BE=x，则AE=a-x，AF=， ∴∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值是，④正确； 故答案为①④. 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 三、解答题，（共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．先根据零指数幂、负整数指数幂的意义，化简绝对值，化简三角函数 ，再算加减即可． 【详解】解： 18. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及一元二次方程的解法是解题的关键；先对分式进行化简求值，然后求出一元二次方程的解，进而问题可求解． 【详解】解：原式 ； 把方程因式分解得：，解得：， ∵，即， ∴当时，则原式． 19. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，AP＝cm或20cm 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可； （2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴， 解得：x＝； 【小问2详解】 解：∵BA＝BC ∴， ①当△APQ∽△CQB时，有， 即：， 解得：， ∴（cm）， ②当△APQ∽△CBQ时，有， 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm）， 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 20. 倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且． （1）求下管BC的长； （2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据，，） 【答案】（1）45cm （2）74cm 【解析】 【分析】(1)在Rt△ACD中利用勾股定理求得AD即可． (2)在过E作EF⊥AB，在Rt△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案． 【小问1详解】 在Rt△ACD中，AB=27cm，AC=36cm， ∴BC= ∴BC=45cm， 答：下管BC长45cm． 【小问2详解】 过点E作EF⊥DB，垂足为F， ∵BE=AB+AE=27+18=45(cm)， ∴EF=BEsin75°=45sin75°≈44cm 44+30=74(cm)， 答：座垫E离地面的距离是74cm． 【点睛】本题考查勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 21. “夕阳红”养老院共有普通床位和高档床位共500张．已知今年一月份入住普通床位老人300人，入住高档床位老人90人，共计收费51万元；今年二月份入住普通床位老人350人，入住高档床位老人100人，共计收费58万元． （1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？ （2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有实际入住高档床位数不得超过实际入住普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养老院企业2400元的补贴．经测算，该养老院普通床位的运营成本是每月1200元/张，入住率为90%；高档床位的运营成本是每月2000元/张，入住率为70%．问该养老院应该怎样安排500张床的普通床位和高档床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润=月收费-月成本+月补贴） 【答案】（1）普通床位月收费为800元，高档床位月收费为3000元；（2）该安排普通床位350张、高档床位150张，才能使每月的利润最大，最大为63000元. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）设普通床位和高档床位每月收费为x，y元，根据题意列出方程组解答即可； （2）设安排普通床位a张，根据题意列出不等式解答即可； 试题解析： 解：（1）设普通床位月收费为x元，高档床位月收费为y元． 根据题意得： 解之得： 答：普通床位月收费为800元，高档床位月收费为3000元． （2）设：应安排普通床位a张，则高档床位为（500－a）张． 由题意：0.7×(500－a)≤0.9×a 解之得： a≥350 每张床位月平均补贴＝2400÷12＝200元 设月利润总额为w，根据题意得： w=90%×800a+70%×3000(500－a)－90%×1200a－70%×2000(500－a)+200a×90%+200(500－a)×70% = －1020a+420000 ∵k＝－1020<0 ∴w随着a的增大而减小 ∴当a＝350时，w有最大值＝ －1020×350+420000＝63000 答：应该安排普通床位350张、高档床位150张，才能使每月的利润最大，最大为63000元 22. 如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点B作，交于点C，连接，过点C作，交于点D．连接并延长交于点M，交过点C的直线于点P，且． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为2，求扇形（其圆心角）的面积； （3）若，，求的长． 【答案】（1）直线PC与相切,理由见解析。 （2）扇形的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由是切线得，结合推出，证得角的等量关系，再通过和进行角的代换，最终证得，判定是切线； （2）由的度数推出，进而得到，利用等腰三角形性质求出圆心角，代入扇形面积公式计算； （3）由全等得，由垂径定理得的长，证得比例式，设，，则．结合勾股定理和的长度列方程求解与，再代入比例式求的长． 【小问1详解】 解：直线与相切． 理由：连接． 是的切线， ，即． ∴①， ，， ∴，（垂径定理）， 又， ∴， ∴，即， ， （内错角相等）． 又， ． ， ． ． ，则②， ∴由①②得，， 即， ∴，又， ∴，即． 是的半径， 直线与相切． 【小问2详解】 解：，， ． ∴． 在中，． 扇形的面积． 【小问3详解】 解：∵， ． 由，得． ∵，（因）， ∴，又， ， ． 设，，则． 由，，，得，即． 在中，，联立得， 解得，． ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、扇形面积公式以及勾股定理的应用，解题的关键是连接圆心与切点构造直角三角形，利用平行线的性质、角的等量代换推导垂直关系，结合全等或相似三角形建立线段之间的数量关系． 23. 如图，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）若，，连接，求的最小值； （3）如图2，矩形对角线与相交于点，交于点，若平分． ①判断与的数量关系，并证明； ②连接，当的面积是矩形的时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）的最小值为2 （3）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用证明； （2）取的中点，连接，由圆周角定理得到点在以为直径的圆上运动，根据勾股定理计算，得到答案； （3）①过点作交于点，根据三角形中位线定理得到，证明，等量代换证明； ②根据勾股定理得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的面积公式、矩形面积公式得到，得到，计算即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，连接，当点在线段上时，取得最小值， ， ， ， ， ，即的最小值为2； 【小问3详解】 解：①， 证明如下：如图，过点作交于点， 是的中点， ， 平分且， 是等腰三角形，， ，， ， ， ； ②如图2，连接，设，， 由①可知：，， ，， 在中，， ，， ，， ， ，即， 解得：， 的面积是矩形的， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，矩形的性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】（1）；直线解析式为 （2） （3）最小值为 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式． （2）由，推出，列出方程即可解决问题． （3）在轴上取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值，从而求得的最小值． 小问1详解】 解：令，则， ， 或， 抛物线与轴交于点， ， ． ，， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为． 【小问2详解】 解：如图1中， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 抛物线解析式为， ， ， 解得或4， 经检验是分式方程的增根， ． 【小问3详解】 解：如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得． ，， ， ， ， ， ， ， ，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 的最小值． ∴的最小值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，从而求得的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 能力素养选拔性测试数学试题 （时量：120分钟，满分：120分） 一、选择题：（每题3分，共30分）． 1. 2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 2. 如图，平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，点在第一象限，已知与位似，位似中心是原点，位似比为2，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 满足等式的所有实数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知，，满足，则值为（ ）. A 1 B. C. D. 5. 已知关于x的方程只有一个实数根，则所有满足条件的实数a的和为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，菱形在第二象限内，，反比例函数的图象经过点A，交边于点D，若的面积为6，则k的值为（ ） A. B. C. 6 D. 7. 如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以为直径与，分别交于点，，连接，，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在正方形中，点在边上，连接，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，点是线段上的一动点，连接，将沿翻折得到，连接．若，则长度的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 10. 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论正确的有（ ） ①；②；③若是方程的两个根，则；④图象上有两点和，若，且，则一定有． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（每题3分，共18分）． 11. 若是一元二次方程的一个根，则 的值是________． 12. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为______． 13. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，则线段的长为_______． 14. 如图，中，，为边上任意一点，将绕着点顺时针方向旋转，得到，设点运动路线的长度为，则的最小值为______． 15. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 16. 如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②的周长为；③ ；④的面积的最大值.其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号） 三、解答题，（共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中满足． 19. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 20. 倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管，上管，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且． （1）求下管BC的长； （2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm．参考数据，，） 21. “夕阳红”养老院共有普通床位和高档床位共500张．已知今年一月份入住普通床位老人300人，入住高档床位老人90人，共计收费51万元；今年二月份入住普通床位老人350人，入住高档床位老人100人，共计收费58万元． （1）求普通床位和高档床位每月收费各多少元？ （2）根据国家养老政策规定，为保障普通居民的养老权益，所有实际入住高档床位数不得超过实际入住普通床位数的三分之一；另外为扶持养老企业发展国家民政局财政对每张入住的床位平均每年都是给予养老院企业2400元的补贴．经测算，该养老院普通床位的运营成本是每月1200元/张，入住率为90%；高档床位的运营成本是每月2000元/张，入住率为70%．问该养老院应该怎样安排500张床的普通床位和高档床位数量，才能使每月的利润最大，最大为多少元？（月利润=月收费-月成本+月补贴） 22. 如图，是的切线，切点为A，是的弦．过点B作，交于点C，连接，过点C作，交于点D．连接并延长交于点M，交过点C的直线于点P，且． （1）判断直线与位置关系，并说明理由； （2）若，的半径为2，求扇形（其圆心角）的面积； （3）若，，求的长． 23. 如图，在矩形中，点为边上一点，连接，过点作于点，交于点． （1）如图1，当时，求证：； （2）若，，连接，求的最小值； （3）如图2，矩形对角线与相交于点，交于点，若平分． ①判断与数量关系，并证明； ②连接，当的面积是矩形的时，求的值． 24. 如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $