2025年湖南省湘潭市第一中学创新班选拔考试数学试题

湘潭市第一中学2025级创新人材选拔考试数学试卷 满分：120分时间：120分钟 一、单选题（每小题4分，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项y 1.已知实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（). -2a-106t2→ A.a-b>0 B.a+b>0 C.a2<b2 D.la+1<+1l 2。如果不等式组生8古2无解，那么m的取值范围是（) A.m≥2 B.m≤2 C.m=2 D.m<2 3.某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查， 并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次) 人数（人） 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法待误的是（) A.众数是3次 B.中位数是3次 C.平均数是3.5次 D. 样本容量是40 4.如图，五边形ABCDE是正五边形，F是CD的中点，连接AF,AC, D 则上CAF的度数为（) A.15° B.18° C.20° D.24° 5.如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算： 1+3+32+33+…+32024=() (求1+2+22+23+…+22024的值 解：令S=1+2+22+23+…+22024,则2S=2+22+23+…+22025 故2S-S=22025-1,因此1+2+22+23+…+22024=22025-1) A.320251 2 B.3-3202s 2 C.1-32025 2 D.32025-3 2 6.某市有6名教师志愿到地灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个锁，则恰好其中一镇去4 名，另两镇各去1名的概率为（) A.品 B,品 C. D.端 7.如图，在等边△ABC中，AB=4,点P从A出发，沿A一B-C路线以每秒1个单 位的速度运动，同时点Q从A出发，沿A一C一B路线以相同速度运动，当P、Q两点 相遇同时停止运动.设两点运动时间为秒(c>0),△APQ的面积为S,则下列图象 试卷第1页，共4页 能表示S与t之间的函数关系的是() 43 4 秒 名秒)D. 2 8秒， 8.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(-1,3),与x轴的交点A在 点(-3,0)和(-2,0)之间，以下结论中正确的有（) ①b2-4ac=0:②2a-b=0:®a+b+c<0:④-3<a<-星 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 -3201 9.如图，已知四边形ABDC,AC/BD,AC=AB,连接BC, ∠BAC=∠BCD=90°，以A为圆心，AC为半径画弧，以B为圆心，BC为半径 画弧交BD于点E,若AB=2、则图中阴影部分的面积是（) A.2π B.2π+2 C.2 D.4 10.观察下面的变形规律：高=1一方高=京品=专宁=京回答问题：若+网十 1 +xe阿+a+3xe++…+a9t1o=ian则x的值为（） 1 A.100 B.98 C.1 D.克 11.将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对(m,m)表示第n排，从左到右第m个数，如(4,2)表示9， 则表示123的有序数对是(). 1 …第一排 A.(16,3) B.(153) 32 n…第二排 456 4,第三排 C.(16,14) D.(15,13) 10987.……第四排 12.如图，正方形ABCD的项点分别在反比例函数y=2(（k1>0)和y=(k2>0)的图象上.若BD轴， 点D的横坐标为4，则k1+k2=() A.32 B.14 C.12 D.8 二、填空题（每小题4分，共24分） 13.10x2-3x-27可因式分解为. 14.若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有一个. 试卷第2页，共4页 15.如图，在正方形ABCD中、AD=1,将△ABD绕点B顺时针旋转45得 0 A 到△ABD,此时AD'与CD交于点E,则DB的长为一 16.赋值法是给代数式中的字母赋子某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知(x一1)5=a+b+ cx+dx2+ex+f,若赋值x=0.得到（一1）5=一1=f,尝试给x赋不同的值，可得b+d的值为 17.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的 2盆或3盏，也不能关掉两端的2盏，则满足条件的关灯方法有种。 18.关于x的方程(x2-1)2-x2-1引+k=0给出下列四个命题： ①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根，②存在实数k,使得方程恰有3个不同的实根： ③存在实数k,使每方程恰有4个不同的实根；④存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ⑤存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根：其中正确命题的序号是 三、解答题（本大题共4小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.(本小题10分)如图1，在△ABC中，∠BAC=45°，以AB为直径作⊙0交AC于点D,且AD=CD. (1)求证：BC是⊙0的切线； (2)如图2，在⊙0上取一点E,连接AB,BE,DE. 若BE=VZ,AD=V5. ①求AE的长；②求AADE的面积. B 图1 图2 20.(本小题12分)已知二次函数y=a(e-1)(x+2)(a≠0). (1)求该二次函数图象的顶点坐标. (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点(0，一3)，求该二次函数的表达式、 (3)已知a<0,A(m)和B(2)是该二次函数图象上任意两点，若对为=一1一a,名=2a,都满足m<, 求证：y<是 21.（本小题13分)一般地，n个相同的因数a相乘a·aa,记为a”,如2×2×2=23=8，此时，3 叫做以2为底8的对数，记为1og28(即logz8=3)·一般地，若a=b(a>0且u≠1，b>0),则n叫做 以a为底b的对数，记为1ogub(即logab=)·如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为1og381 (卿log381=4)· (1)计算下列各对数的值：log24=一；1og216=一；1og264=一 (2)观察（1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，1og24,0g216,l0g264之间又满足怎样的关系式； (3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ (4)根据幂的运算法则：”an=a+m以及对数的含义说明上述结论. 22.（本小题13分)阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍。 如果将(a+b)”(n为非负整数)的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的 等式： (a+b)°=1，它只有一项，系数为1好 (a+b)=a+b、它有两项，系数分别为1,1； (a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1； (a+b)3=a3+3a2b+3ab+b3,它有四项，系数分别为1,3,3,1； 将上述每个式子的各项系数排成该表， 11 121 133 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数 的中间，且等于它们的和，按服这个规律可以将这个表继续往下写， ()判断(a+)5的展开式共有项；写出(a+b)的第三项的系数是 (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算（结果用乘方表示）：28+8×27+28×25+56×25+70×24+56×23+28×22+8×2+1； ②想：(2x一1)的展开式中含x3项的系数是多少. 3)运用：若今天是星期六，那么再过82025天是星期几.