河北省博野中学、涞源县第一中学2025-2026学年高一创新班下学期5月期中质量检测数学试题

25级创新班5月质量检测 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第三章第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的倾斜角为，则 A． B． C． D． 2．已知点是点在坐标平面内的射影，则 A． B． C． D．5 3．已知圆的方程为，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．已知双曲线的两个焦点分别是，，焦距为10，是双曲线上的一点，且，则的值为 A．14 B．13 C．13或1 D．14或1 6．已知，，三点不共线，点在平面外，点满足，则当点，，，四点共面时，实数 A． B． C． D． 7．已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线，与渐近线交于，两点．若，则的渐近线方程为 A． B． C． D． 8．已知椭圆的两个焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且满足．当变化时，的最小值为 A．2 B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，满足，且，间的距离为，若的方程为，则的方程为 A． B． C． D． 10．已知圆和圆相交于，两点，则 A．直线的方程为 B． C．四边形的面积为 D．圆与圆和圆都相切 11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方形内部任意一点（包括边界），则 A．的长度的最大值为 B．若平面，则点为的一个三等分点 C．平面截正方体所得截面的周长为 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．点关于轴对称的点的坐标为______________． 13．已知，是直线上的两点，若，则______________． 14．已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知圆，过点作斜率为1的直线交圆于，两点． （1）求线段的中垂线方程； （2）求弦的长． 16.（本小题满分15分） 已知离心率为的双曲线经过点． （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 17.（本小题满分15分） 如图，在平行六面体中，，且，． （1）分别求，的长； （2）证明：． 18.（本小题满分17分） 如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，是圆上的动点（异于点，），是劣弧的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面和平面的夹角为，求的最大值． 19.（本小题满分17分） 已知，分别是椭圆的左、右顶点，，是椭圆上异于，的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若，的斜率分别为，，且． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $25级创新班5月质量检测·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.AB 10.ABD 11.ABD 12.(-5,-4,-1) 13.13 14.4x+2y-3=0 15.解：(1)由直线的斜率为1，得线段AB的中垂线m的斜率为-1， 2分 又m过圆心(-2,6)，则m的方程为y-6=-(x+2), 4分 所以线段AB的中垂线方程为x+y-4=0. 6分 (2)由题意可得直线1的方程为x-y+4=0, 8分 圆心(-2,6到直线1的距离为：d=-2-6+9-282, 11分 V1+1 所以|AB=2WF2-d2=242-(2√2)2=42. 13分 √a2+b25 16.(1)解：由题意可得 a 2 2分 51 (a24h=1 a2=4 解得 ,5分 b2=1 所以C的方程为 2=1. 7分 (2)证明：设A(x,),B(-x,-) 因为点4在双线C上，所以疗-1，厚疗-等-1， 10分 4 1 ,为定值.15分 17.(1)解：由题知AB·AD=1×1×c0s 2,AB.AA=1x1×co π1 2π1 32 AD.AA=1×1xcos3=2 2π1 2分 因为AC1=AC+CC1=AB+AD+AA13分 所以AC=AB+AD+A-VAB+AD+4) AB+AD+AA+24B.AD+24B.4+24D.4=3+1-1-1=2. 6分 因为BD,=DD,-DB=AA-(AB-AD)=-AB+AD+AA 7分 所以BD=AB+AD+AA=V-AB+AD+A4) B+AD+44-24B.AD-248.44+24D.=3-1+1-1=, 所以AC,=V2,BD,=V2 10分 (2)证明：由题知BD=AD-AB, 11分 所以BD·AC1=(AD-AB)(AB+AD+AA1) AD.AB+AD+AD.A4-4B-AB.AD-AB.A4=0, 所以AC⊥BD. 15分 18.(1)证明：如图，连接OC,交BT于点E,连接DE, 1分 因为C是TB的中点，所以TE=BE. 又BD=PD,所以DEI∥PT 2分 因为PTC平面PAT,DE丈平面PAT,所以DE∥平面PAT. 同理OE∥平面PAT. 3分 因为OE∩DE=E,OE,DEc平面OED,所以平面ODE∥平面PAT. 因为CDc平面OED,所以CDM平面APT. 4分 (2)解：以O为坐标原点，过点O在底面作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立如图所示空 间直角坐标系，设OA=OP=1,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0),P(0,0,1), 5分 因为AT=TC=CB,所以】 BT 2’230 AP.s=y+z=0 设平面PAT的法向量为s=(x,y,z),则 7=5x+0取x=l,得y=5,2=5所以 x+2y=0 2 平面PAT的一个法向量s=1,-√3，√3)，7分 设直线BT与平面PAT所成角为a,则sina=1B7sL=232万 1 BTIIsl v3x√万7 27 即直线BT与平面PAT所成角的正弦值为 1 9分 (3)解：设点T的坐标为(a,b,0)(a≠0)，由OT=1,得a2+b2=1 设平面PAT的法向量为m=(x,y,z),则AP=(0,1,1),AT=(a,b+1,0) AP.m=y+z=0 ,取x=b+1,得y=-a,z1=☑ AT·m=ax+(b+1)y=0 所以平面PAT的一个法向量m=(b+l1,-a,a) 设平面PBT的法向量为n=(x2,2,22),则BP=(0,-1,1)，BT=(a,b-1,0), BP.n=-y2+22=0 ,取x2=b-1,得y2=-a,22=-a,所以平面PBT的一个法向量 BT.n=ax2 +(b-1)y2=0 n=(b-1,-a,-a).13分 m…n b2-1 a 则cos0= m-mVb+1)2+2a2×Vb-12+2a2Va2+2b+2√a2-2b+2 a2 8 @2+2y-4ha+8a-a2+8V1-a2+8 15分 又0<a≤1.所以0<1-3g)做0<cs0s当且仅当a=1,b=0.os0-日 1 1 Γ3 31 所以c0s0的最大值为 1 17分 19.(1)解：根据椭圆的对称性知，仅当M,N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形， 由4Va2+b2=4V5,2ab=4,得a=2,b=1, 所以椭圆C的方程为，+y2=1. 4分 4 (2)(i)证明：依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为x=my+n,M(x,y), N(x2,》2), x=my+n 由x 4*2 ,消去x整理得m2+4y2+2mny+n2-4=0, 2mn y+y2= △=16m2-n2+4>0, m2+4,yy=n2-4 n2-4 y+y2 2n y2= m2+4 +2’ 而A(-2,0,B(2,0),则k=当。 7分 七2-2 n2-4 因此点=(x+2-2(my+n+2_2n （y+2)+(n+2)y2 kyx2-2）ymy2+n-2)n2-41 (y+2)+(n-2)y 2n _m-40+2)-2mn+2)2=m+2m-2y-m+22l-2+n=3,解得n=1, (m2-4)y+y2)-2n(n-2)y(n-2)[(2-m)y+(n+2)y2]2-n 所以直线MN:x=my+1恒过定点(1，O). 10分 m2+4’hy2= 2m 3 (i)解：由(i)知n=1,y+y2=- m+4'得m=2%+小， 直线AM的方程为y=kx+2),直线BN的方程为y=k2x-2), 12分 则k（x+2)=k2（x-2, 即X+2=么=3，解得x=4, x-2 k 即可得点P(p,yp有=4，，=6%， x+2 同理可得点0(o)有。=4，为=头， 14分 x2+2 POYo-yp 6y2- 6y1 6y2 6y1 18(y2-y) x2+2x+2 my2+3 my +3 my2+3m(y1+y2)+9 2m 2 12 72√m2+3 18V0y2+y)2-4yy 18 m2+4 m2+4 、 m2+4=2√m2+323, +g)+9 9m2 36 +9 m2+4 m2+4 当且仅当m=0时取等号，所以Pg的最小值为23. 17分