精品解析：2026年山东省聊城市阳谷县阿城中学等校初中学业水平考试数学模拟试题

山东省二〇二六年初中学业水平考试数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 数轴上表示的点所在的区间是（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 2. 我国“深海一号”能源站的某部件为正八棱柱，从正面观察该几何体，得到的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年3月5日，第十四届全国人民代表大会第四次会议在北京人民大会堂开幕．会议期间，李强总理针对开局之年，明确了当年的具体任务．他提出在就业目标上城镇新增就业1200万人以上．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在“综合与实践”课堂上，兴趣小组的同学绘制了如下图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 豆包在回答“驻马店有哪些非遗项目？”时，列出驻马店部分非物质文化遗产代表项目： ①盘古神话；②打铁花；③棠溪宝剑锻制技艺；④梁祝传说． 从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的长为x步，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，的半径为3，，连接，．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于 时，气球体积的范围是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数（a，b是常数，）的图象与x轴交于，两点，其中．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程，其一个根是；④．其中不正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 任写一个使二次根式有意义的x值______． 12. 在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 13. 已知，是方程的两个根，则______． 14. 如图，在中，已知顶点，，，将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______． 15. 如图，在中，．若点E是内一动点，且，，，连接，分别取，的中点M，N，连接，则线段长度的最小值为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 17. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规作图在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的值． 18. 2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护．已知采购2台甲种设备和3台乙种设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元．如果该基地计划一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y与x之间满足一次函数关系．若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ （2）直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 19. 为响应国家“文化传承”的教育方针，山东省某中学利用假期组织了主题为“春风启新程，研学向未来”的春季研学旅行活动，学校随机抽取了20名学生，调查其从家到自己喜欢的研学基地的出行距离（单位：百公里），以规划车辆调度与研学手册制作．调查过程与数据分析如下： 【收集数据】 抽取20名学生的出行里程：1.2，1.5，1.8，2.2，2.5，2.6，2.8，3.0，3.1，3.2，3.3，3.5，3.6，3.8，4.0，4.2，4.5，4.8，5.0，5.5． 【整理数据】 频数分布表 分组（百公里） 频数 a 4 b 4 2 【分析数据】 统计量表 统计量 平均数（保留1位小数） 中位数 众数 方差（保留1位小数） 数值 3.3 c 1.3 根据以上信息解决以下问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：a=______，b=______，c=______； （3）若该校参加研学的学生共有500人，试估计所有出行距离不低于300公里的学生人数； （4）学校在制定研学出行方案时，需要考虑交通调度与人员集散．请结合以上统计数据，针对不同距离段的学生出行安排，写出一条具体合理的建议． 20. 如图，已知在中，，，，作的平分线交于点，以为圆心，长为半径作圆，与射线交于点，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求的半径及的正切值． 21. 【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． （1）根据以上条件结合材料中的结论，求的值； （2）求的面积． 【综合应用】 （3）在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以 的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 22. 在平面直角坐标系中，若点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为完全点． （1）判断二次函数的图象上是否存在完全点．若存在，请求出完全点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）若二次函数的图象上有且只有一个完全点，请求出此二次函数的关系式． （3）将（2）中的二次函数图象向下平移10个单位长度后，得到新的二次函数图象满足以下条件：当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出m的取值范围． 23. 【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，． （1）根据已知条件，求的值． 【操作感知】 如图2，在数学兴趣小组的活动中，同学们将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（），点B，E的对应点分别为点，． 【问题解决】 （2）如图3，在旋转的过程中，如果点落在了上，求的长． （3）如图4，在旋转的过程中，如果点与D重合，得到，延长交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【问题拓展】 （4）思考绕点A逆时针方向旋转一周的过程中，线段（为E的对应点）长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请你求出最大值和最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省二〇二六年初中学业水平考试数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 数轴上表示的点所在的区间是（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】B 【解析】 【分析】先估算的大小范围，再根据不等式性质得到的范围，即可确定其所在区间． 【详解】解：∵ ， ∴，即， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴数轴上表示的点在和之间． 2. 我国“深海一号”能源站的某部件为正八棱柱，从正面观察该几何体，得到的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从正面观察该几何体，得到的主视图是： ． 3. 2026年3月5日，第十四届全国人民代表大会第四次会议在北京人民大会堂开幕．会议期间，李强总理针对开局之年，明确了当年的具体任务．他提出在就业目标上城镇新增就业1200万人以上．数据“1200万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】万． 4. 在“综合与实践”课堂上，兴趣小组的同学绘制了如下图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 5. 已知，下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，A项错误； 选项B：∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘， ∴ ，B项错误； 选项C：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴ ，C项错误； 选项D：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，D项正确， 故选：D． 6. 豆包在回答“驻马店有哪些非遗项目？”时，列出驻马店部分非物质文化遗产代表项目： ①盘古神话；②打铁花；③棠溪宝剑锻制技艺；④梁祝传说． 从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ① （①，②） （①，③） （①，④） ② （②，①） （②，③） （②，④） ③ （③，①） （③，②） （③，④） ④ （④，①） （④，②） （④，③） 共有12种等可能的结果，其中所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的结果有：（①，②），（①，③），（①，④），（②，①），（③，①），（④，①），共6种， ∴所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为． 故选：A． 7. 南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问宽和长各多少步？设这块田地的长为x步，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题意用设出的长表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】∵设这块田地的长为步，宽比长少12步， ∴宽为步， ∵矩形面积长宽，已知矩形面积为864平方步， ∴可得方程 ， 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，的半径为3，，连接，．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是菱形，根据菱形的性质，勾股定理，求出对角线的长度，可求出菱形的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接，，设与的交点为点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴四边形的面积为：， ∵ ， ∴阴影部分的面积为． 9. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气体的气压不大于 时，气球体积的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出，的值，最后根据反比例函数的增减性判断范围． 【详解】解：设， 将点代入，得， ∴， 令，得， ∵在第一象限内，随的增大而减小， ∴当 时，． 10. 二次函数（a，b是常数，）的图象与x轴交于，两点，其中．下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③关于x的方程，其一个根是；④．其中不正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】将代入得到，故①错误；得到对称轴为直线，然后由开口向下，得到当时，随的增大而减小，故②错误；将代入得到，然后将代入方程即可得到③正确；根据对称轴公式得到，表示出，然后由得到，然后结合即可得到④正确． 【详解】解：∵二次函数过点， ∴将代入解析式得， ∴，故①错误； ∵二次函数与轴交于和， ∴对称轴为直线， 又∵，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，故②错误； ∵在二次函数上， ∴， 将代入方程， 得，， ∴是方程的根，故③正确； ∵二次函数 ∴对称轴为直线 ∵对称轴为直线， ∴ 整理得， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，故④正确． 综上，不正确的结论有2个． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 任写一个使二次根式有意义的x值______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件. 得到被开方数是解题的关键． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故可取（答案不唯一，满足即可）． 12. 在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点的坐标；再根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点的坐标为 已知的坐标为，因此可得，， 解得，，即点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 13. 已知，是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若，是方程的两根，有，．利用一元二次方程的根与系数关系求出与的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，其中，，， ，， ∴． 14. 如图，在中，已知顶点，，，将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质求出点，根据题意容易判断点每旋转次为一循环，因此旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点旋转，写出对应的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点每旋转次为一循环， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为． 15. 如图，在中，．若点E是内一动点，且，，，连接，分别取，的中点M，N，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形性质、直角三角形圆周角性质、三角形中位线定理，涉及知识点：直径所对圆周角为直角、三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半、勾股定理．解题方法是确定点E的轨迹（以为直径的圆），利用中位线将转化为的一半，通过构造直角三角形求的最小值；解题关键是找到的轨迹圆心，计算圆心到的距离，易错点是忽略E的轨迹范围．解题思路：先确定E在以为直径的圆上，求圆心到的距离，得最小值，再由中位线得最小值． 【详解】解：连接，如图， ∵的中点为， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． ∵点是内一动点，且， ∴点的运动轨迹为以为直径的半圆， 设的中点为，连接， ∴当三点共线时，此时最小，如图， ∵， ∴， 过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴线段长度的最小值． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 如图，在中，的平分线交于点． （1）请用尺规作图在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求的值． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点即为所求的点； （2）由可得，，，结合角平分线的定义可得，则，从而得到，则，因此． 【小问1详解】 解：点如图所示： 由垂直平分线的性质可得，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护．已知采购2台甲种设备和3台乙种设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元．如果该基地计划一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y与x之间满足一次函数关系．若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ （2）直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 【答案】（1）甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元 （2），（x为整数）；采购甲20台、乙30台，最低费用115万元 【解析】 【分析】（1）设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意即可得到总费用y关于x的函数解析式，进而得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求最低费用即可． 【小问1详解】 解：设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元． 根据题意可得， 解得． 答：甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元． 【小问2详解】 解：设采购甲种设备x台，则采购乙种设备台， 根据题意得：； 由，得， 又， ∴（x为整数）； ∵，y随x增大而减小， ∴时，可使总费用最低，且． 答：采购甲20台、乙30台，最低费用115万元． 19. 为响应国家“文化传承”的教育方针，山东省某中学利用假期组织了主题为“春风启新程，研学向未来”的春季研学旅行活动，学校随机抽取了20名学生，调查其从家到自己喜欢的研学基地的出行距离（单位：百公里），以规划车辆调度与研学手册制作．调查过程与数据分析如下： 【收集数据】 抽取20名学生的出行里程：1.2，1.5，1.8，2.2，2.5，2.6，2.8，3.0，3.1，3.2，3.3，3.5，3.6，3.8，4.0，4.2，4.5，4.8，5.0，5.5． 【整理数据】 频数分布表 分组（百公里） 频数 a 4 b 4 2 【分析数据】 统计量表 统计量 平均数（保留1位小数） 中位数 众数 方差（保留1位小数） 数值 3.3 c 1.3 根据以上信息解决以下问题： （1）补全频数分布直方图； （2）填空：a=______，b=______，c=______； （3）若该校参加研学的学生共有500人，试估计所有出行距离不低于300公里的学生人数； （4）学校在制定研学出行方案时，需要考虑交通调度与人员集散．请结合以上统计数据，针对不同距离段的学生出行安排，写出一条具体合理的建议． 【答案】（1）解：如图： （2），， （3）325人 （4） 出行距离300公里及以上的学生人数最多，建议统一乘坐高铁出行，保障远距离出行的交通安全；短距离（300公里以内）的学生，可组织统一乘坐大巴车出行，并灵活调度． 【解析】 【分析】（1）统计收集数据中落入和区间的数据个数，得到a、b，绘制对应高度的长方形即可． （2）因为数据共20个，为偶数个，所以将数据从小到大排序后取第10个和第11个数据的平均数得到中位数c． （3）先计算样本中出行距离不低于3百公里的学生的频数，再用总人数500乘以对应的频率得到估计值． （4）提出出行安排建议：结合各分组的频数分布特征，针对不同距离段的学生数量给出对应调度建议． 【小问1详解】 解：共有3个数据，故； 总样本数为20，因此 ，故； 【小问2详解】 解：由（1）知，； 20个数据的中位数是从小到大排列后第10、11个数据的平均数，第10个数据为，第11个数据为，因此 ，故 ． 【小问3详解】 解：出行距离不低于300公里，即不低于百公里， 样本中符合条件的频数为： ， 因此估计总人数为： 人． 答：估计出行距离不低于300公里的学生人数为人． 【小问4详解】 略． 20. 如图，已知在中，，，，作的平分线交于点，以为圆心，长为半径作圆，与射线交于点，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）求的半径及的正切值． 【答案】（1）相切； 理由：过点作于点， ∵，，， ∴， ∴； ∵平分，，， ∴； ∵为半径，为半径， ∴与相切． （2）半径， 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，即可 （1）过点作于点，根据勾股定理的逆定理，可得；根据角平分线的性质，则；再根据切线的判定，即可； （2）设半径为， ，根据相似三角形的判定和性质，可得，求出，根据对顶角相等，则 ，即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：设半径为， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，解得； ∵， ∴， ∴ ． ∴半径，． 21. 【问题背景】如图，在锐角三角形中，，，的对边分别是，，，过作于点，则，，即，，于是，即，同理有，，所以． 【简单应用】如图，在中，，，的对边分别是，，，若，，． （1）根据以上条件结合材料中的结论，求的值； （2）求的面积． 【综合应用】 （3）在某次巡逻中，如图，甲船在处测得岛在甲船的北偏西的方向上，随后以 的速度按北偏东的方向航行，一个半小时后到达处，此时又测得岛在北偏西的方向上，求此时甲船距岛的距离．（结果精确到，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用题目总结出的结论，代入数值计算即可； （2）先求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可； （3）利用题目中总结出的正结论代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：过点作于点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由题意可得， ，， ； 由题意得， ∴ ． 答： ． 22. 在平面直角坐标系中，若点M的横坐标和纵坐标相等，则称点M为完全点． （1）判断二次函数的图象上是否存在完全点．若存在，请求出完全点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）若二次函数的图象上有且只有一个完全点，请求出此二次函数的关系式． （3）将（2）中的二次函数图象向下平移10个单位长度后，得到新的二次函数图象满足以下条件：当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）存在，、 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据完全点的定义可得，即可求解； （2）根据完全点的定义可得方程有两根相等的实数根，且，从而得到，且，即可求解； （3）根据平移的性质可得平移后的图象的对称轴为直线，且该函数图象的最小值；再由当时，，解得：或，即可求解． 【小问1详解】 解：存在；令， 即， 解得； ∴完全点的坐标为、； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象上有且只有一个完全点， ∴方程有两根相等的实数根，且， 即有唯一解， ∴，且， 解得：，； ∴抛物线的解析式； 【小问3详解】 解：∵将的图象向下平移10个单位长度后，得到新的二次函数图象， ∴新的二次函数的解析式为， ∵， ∴平移后的图象的对称轴为直线，且该函数图象的最小值； 当时，， 解得：或， ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴m的取值范围为． 23. 【问题情境】如图1，点E为正方形内一点，，，． （1）根据已知条件，求的值． 【操作感知】 如图2，在数学兴趣小组的活动中，同学们将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度（），点B，E的对应点分别为点，． 【问题解决】 （2）如图3，在旋转的过程中，如果点落在了上，求的长． （3）如图4，在旋转的过程中，如果点与D重合，得到，延长交于点F． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【问题拓展】 （4）思考绕点A逆时针方向旋转一周的过程中，线段（为E的对应点）长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请你求出最大值和最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①正方形，理由见解析；② （4）存在， ， 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理解得的长度，然后根据余弦的定义求解即可； （2）首先计算该正方形的对角线的长度，由旋转的性质可得，然后由求解即可； （3）①首先证明四边形为矩形，再结合，即可证明四边形是正方形；②过点E作于G，证明，利用三角函数解得，的长度，在中，利用勾股定理求解即可； （4）首先根据题意确定点的轨迹为：以A为圆心、为半径的圆，然后计算线段长度的最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理，可得， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形为正方形， ∴结合（1）可得，，， ∴该正方形的对角线， 由旋转的性质可得， ∴； 【小问3详解】 ①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质可得， ∴，， ∵，且点与D重合， ∴， ∵，且， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； ②过点E作于G，如下图， 在中，，， ∵，，即， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴在中，； 【小问4详解】 根据题意，绕点A逆时针方向旋转一周， 则点的轨迹为：以A为圆心、为半径的圆，如下图， ∵正方形对角线， 根据圆外一点到圆周距离，可得 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $