精品解析：2026年山东省青岛市崂山区麦岛中学九年级中考二模数学试题

2026年5月九年级数学模拟测试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计27分） 1. 实数3的相反数是（　　） A. 3 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 10. 分解因式：=___________________________． 11. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 13. 如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 14. 如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 三、作图题（共计4分） 16. 已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 17. （1）计算： （2）化简：． 18. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是_____； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 19. 为保护学生视力，国家教育部对教室课桌摆放有明确规定：第一排课桌前沿到黑板的水平距离不得少于米，课桌到侧墙的距离不得少于米．如图，某教室俯视为矩形，其中长米，宽米，第一排课桌到黑板的水平距离为米．墙面上的窗户到点的距离米．某日清晨，阳光经窗户射入教室，光线与黑板所在直线相交于点，测得．受阳光反射眩光影响，第一排同学无法看清黑板，现要将第一排课桌需整体向后平移，使其避开光线反射区域，同时满足教育部规定的最小距离要求．求第一排课桌至少需要向后平移多少米？（参考数据：，，） 20. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； 21. 如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．一次函数的图象交轴于点，交轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）当△的面积为时，求的值． 22. 已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 23. 根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元． 素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 24. 问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． （1）探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． （2）探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． （3）拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 25. 如图，在中， ，，，在中， ，，，点与点重合．如图，点从出发，以的速度沿→→运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为（）（）． （1）为何值时，？ （2）设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； （3）在整个运动过程中，和任意一边垂直时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月九年级数学模拟测试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分，共计27分） 1. 实数3的相反数是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：实数3的相反数是， 故选C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形； B选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形； D选项，不是轴对称图形，是中心对称图形 ． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是．将数21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式，满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 将用科学记数法表示为． 4. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形，逐项进行判断即可． 【详解】解：图中空心圆柱体的主视图是： 5. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴判断，，的符号和绝对值的大小，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，，． 6. 如图，在平面直角坐标系中，位于第四象限，点的坐标是，把向左平移个单位长度得到，再将绕点按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照题意画出，结合网格写出坐标即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知，点的坐标为． 7. 如图，在中，弦、相交于点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形的外角的性质可得，由圆周角定理可得． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∴ ∵， ∴． 8. 如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中， ， ，   故选：A． 9. 一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 10. 分解因式：=___________________________． 【答案】2a（x+2）（x﹣2）． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：原式=2a（x2-4） =2a（x+2）（x﹣2）．故答案为2a（x+2）（x﹣2）． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩统计图如图所示，若要选派成绩更稳定的运动员参加比赛，应选____________． 【答案】 乙 【解析】 【详解】解：由统计图可知，乙运动员的成绩更加集中， ∴乙运动员的方差小于甲运动员的方差，即乙运动员的成绩更加稳定， ∴应该选乙运动员参加比赛． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 13. 如图，菱形的对角线交于原点，点的坐标为，将菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时点的坐标为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】先找到旋转的规律，每4次是一个循环，故旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转，求出对应的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴点每旋转4次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转次后的位置与旋转次后的位置相同，即绕原点顺时针旋转， ∴第次旋转结束时点的坐标为． 14. 如图，边长为的正方形，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆，两圆在正方形内部交于点，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得出是等边三角形，，利用三角函数求出，根据，利用扇形及三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ∵正方形的边长为，分别以，为圆心，边长为半径作两个四分之一圆， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴． 15. 如图，正方形边长为，是中点，连接，交于点，作关于的对称点，连接 ． 下列结论： ①；②；③；④， 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，由是中点可得，根据轴对称的性质可得，，，，由此可判断①；利用勾股定理求出的长，证明，利用相似三角形的性质求出的长，由此可判断②；设，利用互余关系和对称性表示出和，由此可判断③；证明 ，利用相似比和面积法求出的长，进而求出的长，由此可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ，，， 是中点，  ，  是关于的对称点，  ，  ，，，，故①正确； 在中，， ∵，  ， ，  ，  ，  ， ∴，故②正确； 设，则， 在中， ，  ，  ，  ，故③正确； 连接交于点，如图， ，，，，  ，，  ，  又，  ，  ， ∴， ，关于对称，  ， ，  ，  ，  ，  ，  ，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 三、作图题（共计4分） 16. 已知：如图，．求作：以为弦的，使到和的距离相等． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图：角平分线与线段的垂直平分线，圆的相关性质，．根据题意，先作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆即可． 【详解】解：作的平分线和线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长为半径画圆，则即为所求． 理由：平分 到和的距离相等 垂直平分 是半径 即为的弦． 故即为所求． 四、解答题（本大题共8小题，共68分） 17. （1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、零次幂、负整数幂，再运算加减法，即可作答． （2）先通分括号内，再进行除法运算，然后化简作答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是_____； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“刘徽割圆术”的结果有1种， ∴抽到“刘徽割圆术”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：利用表格（或树状图）列出所有可能的结果： 第二次 第一次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， ∴P（小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”）＝． 19. 为保护学生视力，国家教育部对教室课桌摆放有明确规定：第一排课桌前沿到黑板的水平距离不得少于米，课桌到侧墙的距离不得少于米．如图，某教室俯视为矩形，其中长米，宽米，第一排课桌到黑板的水平距离为米．墙面上的窗户到点的距离米．某日清晨，阳光经窗户射入教室，光线与黑板所在直线相交于点，测得．受阳光反射眩光影响，第一排同学无法看清黑板，现要将第一排课桌需整体向后平移，使其避开光线反射区域，同时满足教育部规定的最小距离要求．求第一排课桌至少需要向后平移多少米？（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】首先利用求出，然后在中求出，继而求解． 【详解】解：在中，， ， ∴ （米）． 在中， （米）， 第一排课桌至少需要向后平移 （米）． 20. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________； （2）计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； （3）在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数； 【答案】（1）； （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的概念求解即可； （2）先求解出组人数，再求解圆心角的度数即可； （3）先求解出甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户，再结合总人数求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，甲款满意度的众数为，故； 乙款、组共有个数据， 则乙组的中位数为第个、第个数的平均数，即，故； 【小问2详解】 解：根据（1）可知，乙款组人数为人， 则组人数为：人， 则其对应圆心角：； 【小问3详解】 解：∵乙款组人数为人， ∴组人数占比为， ∴组人数占比为， ∴组人数为：人， ∴在乙款调查用户中，非常满意的人数为人， ∵在甲组用户中，非常满意的人数为人， ∴对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为：人， 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 21. 如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．一次函数的图象交轴于点，交轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）当△的面积为时，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把代入解得，则，代入反比例函数计算即可； （2）先求出，，得到，再根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得 解得：， ∴， 代入反比例函数得： ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象交轴于点，一次函数的图象交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， 解得或． 22. 已知：如图的对角线，交于点，为的中点，连接并延长交的平行线于点，连接． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）当是矩形时，四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得到，，由中点得到，即可证明； （2）由，得到，结合得到，即可证明四边形是平行四边形，再添加，得到四边形是菱形． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当是矩形时，四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∵是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 23. 根据以下素材解决问题 人形机器人销售盈利方案 素 材 1 随着智能科技快速发展，某科技公司研发出甲、乙两种型号人形商用服务机器人． 调研显示：制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元． 素 材 2 两种型号机器人的总销售量（台）与甲型机器人每台销售单价（万元/台）之间的关系如下表所示 甲型机器人每台销售单价（万元/台） 两种型号机器人的总销售量（台） 根据以上信息解决下列问题 （1）求甲、乙两款机器人制造成本； （2）求总销量与之间的关系； （3）若总销量不低于250台，乙型机器人每台利润为5万元，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍，请尝试表示出总利润关于的函数关系式，并求出最大利润及此时甲型机器人的销售单价． 【答案】（1）甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元 （2） （3） ，当，即甲型机器人的销售单价万元时，最大利润 万元． 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两款机器人制造成本分别为元、元，根据“制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元；制造台甲型机器人、台乙型机器人，总花费万元”列方程组求解即可； （2）由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台，在，的基础上求总销量与之间的关系； （3）先根据题意得到，甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台，再根据总利润 求出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元， 由题意得， 解得， ∴甲、乙两款机器人制造成本分别为万元、万元； 【小问2详解】 解：由素材2表格可得甲型机器人每台销售单价每增加万元，两种型号机器人的总销售量就减少台， ∴两种型号机器人的总销售量； 【小问3详解】 解：∵总销量不低于250台，甲款机器人销量是乙款机器人的销量的3倍， ∴，解得， 甲款机器人销量是台，乙款机器人的销量是台， ∴总利润 ， ∴对称轴为 ， ∵，， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，，有最大值，最大值 万元． 24. 问题提出：以内部任意一点为中心，可以画出与成中心对称的． 数学兴趣小组提出了一个问题：当点处于不同位置时，两个三角形重叠部分的面积如何变化？ 问题分析：当点处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图（1）所示的平行四边形，如图（2）所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度不难发现两个三角形重叠部分的面积在不断变化． 我们不妨从简单情形开始研究：的面积为． （1）探究一：如图（3），当点关于点的对称点落在边上时，两个三角形重叠部分为，它的面积如何表示呢？ 我们可以运用特殊化的策略： ①若，的面积为________； ②若，的面积可表示为________． （2）探究二：如图（4），当两个三角形重叠部分为平行六边形，若，平行六边形的面积可表示为________． （3）拓展应用：在图（4）的情形下，直接写出平行六边形面积的最大值，并指出此时点的位置． 【答案】（1）①；② （2） （3），是的重心 【解析】 【分析】（1）①先证四边形是平行四边形，再证，即可得解； ②证明，可得，同理可得，再用的面积减去这两个面积即可得解； （2）连接，连接并延长交于点D，记的交点为K，，证明M，O，F共线，E，O，H共线，，，，设，则，可得，再进一步求解即可． （3）利用（2）中的式子求最值即可，求出，可得O是的重心． 【小问1详解】 解：①由中心对称的性质得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②同理①可得：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； 【小问2详解】 解：如图（4），连接，连接并延长交于点D，记的交点为K， ∵与关于O成中心对称，“平行六边形”， ∴M，O，F共线，E，O，H共线，， ∴ , ∵ ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 同理：， ∴，即， 同理：， ∴，即， ∴， ∴平行六边形的面积 ； 【小问3详解】 解： 同理： ， ∴， ∴的最小值为：， 此时 ， ∴，即， ∴“平行六边形”的面积的最大值为：； ∴， ∴； 同理： ， ∴， ∴， ∴O是的重心． 25. 如图，在中， ，，，在中， ，，，点与点重合．如图，点从出发，以的速度沿→→运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为（）（）． （1）为何值时，？ （2）设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； （3）在整个运动过程中，和任意一边垂直时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）；； 【解析】 【分析】（1）勾股定理求得，进而根据，证明，即可求解； （2）作，，垂足分别为，①当点在上运动时，；②当点在上运动时，；根据，列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； （3）分三种情况讨论，①时，证明 ，②时，同理可得，③时，，分别画出图形，根据相似三角形的或等腰直角三角形的性质列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：在中， ，，， ∴ ∵，点从出发，以的速度沿→→运动；同时沿方向匀速运动，速度为， ∴，； ， ，即 【小问2详解】 解：①当点在上运动时，； 作，，垂足分别为， ∴， 依题意， ∵， ∴ 开口向上，对称轴为； 时，取最大值，为 ②当点在上运动时，； ∴ 开口向下，对称轴为； 时，取最大值，为 综上所述，的最大值为 【小问3详解】 ①时，则 ∴ ． ②时，同理可得． ③时， 第1页/共1页 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