精品解析：2026年江苏省无锡市江阴市中考二模考试数学试题

2026年春学期学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某博物馆有五位志愿者的年龄（单位：岁）分别为 ，则这五个数据的平均数和中位数分别是（ ） A. B. ， C. ， D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两个锐角的和是钝角 D. 直角三角形的两个锐角互余 8. 如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转某个角度后又沿直线前进到达点，再向左转相同的角度后沿直线前进到达点…，照这样走下去，小明第一次回到出发点时一共走了，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是某地区年至年教育经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区年的教育经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为 ）建立模型①：；根据年、年的数据（时间变量的值依次为 ）建立模型②：．分别利用这两个模型，计算该地区年的教育经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（ ） A. 将代入模型①计算 B. 将代入模型①计算 C. 将代入模型②计算 D. 将代入模型②计算 10. 如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：=______． 12. 维生素是人体内不可缺少的微量元素，按中国营养学会《中国居民膳食营养素参考摄入量（版）》，初中生可耐受最高摄入量约为 天．数据“”用科学记数法可表示为_______． 13. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 14. 请写出一个函数的表达式，当时，随增大而增大，且函数图像经过点：________． 15. 如图是某书店扶梯的示意图，扶梯的坡度，小明乘扶梯从扶梯底端以米/秒的速度用时秒到达扶梯顶端，则小明上升的竖直高度为________米． 16. 我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数（）的图像上一点，过点作轴于点，过点作交反比例函数图像于点，过点作轴于点，交直线于点，则的值为_______． 18. 定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻四边形”，这组相等邻边的长叫做“等邻长”． 如图，四边形中，，，，，． （1）判断四边形是否为等邻四边形？_______；（填“是”或“不是”） （2）若画一条直线将四边形分割成两个等邻四边形，且它们的等邻长均为，则所有可能的值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算及解方程 （1）计算： ； （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 22. 2026年5月5日是今年的第7个节气“立夏”，小红通过查询资料找到了4个主要的立夏习俗活动，分别是：A礼服迎夏、B称体重、C吃立夏蛋、D尝三鲜．将4张分别印有A、B、C、D的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中搅匀． （1）从中随机抽出1张，是“吃立夏蛋”的概率是 ； （2）小红一次抽出2张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好是她感兴趣的“礼服迎夏”和“尝三鲜”的概率． 23. 某校为了解七年级560名学生的体重情况，开展了一次调查． 【确定调查方式】 （1）计划从七年级里抽取140名学生，将抽取的这140名学生的体重作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号） ①抽取体重最轻的140名学生的体重作为样本； ②抽取体重最重的140名学生的体重作为样本； ③随机抽取140名学生的体重作为样本． 【整理分析数据】 （2）采用合理的调查方式获得该140名学生的体重（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 140名学生体重频率分布表 体重 频率 a 合计 1 140名学生体重频数分布直方图 根据以上图表信息，解答下列问题： 频率分布表中的 ，并将频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）该校计划为所有体重不低于的七年级学生设计针对性锻炼方案，请估计参加学生的人数为多少． 24. 如图，在中，，． （1）尺规作图：①在上找一点D，使是等边三角形，②过D作，交于点E． （不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的值为 ．（若需画图，请用备用图） 25. 如图，中，，D为上一点，且的外接圆交于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门（图）开展实践活动．通过查阅资料得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值． 如图，为江苏学政衙署仪门，垂直于水平地面．已知夏至时正午太阳光线与水平地面的夹角，冬至时正午太阳光线与水平地面的夹角解决下列问题：（结果精确到）（参考数据：，，，，，） （1）已知冬至时，正午影长为，求仪门的高度； （2）根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长． 27. 已知二次函数（，均为常数）． （1）若函数图象经过原点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； （2）若函数图象上有两点，，且，求的取值范围； （3）将二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，与该直线的另一个交点为，在轴上是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由． 28. 如图，在矩形纸片中，，．为中点，将点折到处，折痕与交于点，与交于点，再将点折到上点处，折痕与交于点． （1）求证：； （2）①当时，的值为 ； ②请猜想和的数量关系，并证明你的结论． （3）求证：点、、在同一直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 如果收入元记作元，那么支出元记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解“正”和“负”的相对性，先规定其中一个具有相反意义的量为正，则另一个量用负表示． 【详解】解：∵收入元记作元，收入和支出是一对意义相反的量， ∴支出需要用负数表示， ∴支出元记作元． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须大于或等于，二次根式才有意义， ∴对于函数，满足， 解不等式得， ∴自变量的取值范围是． 3. 某博物馆有五位志愿者的年龄（单位：岁）分别为 ，则这五个数据的平均数和中位数分别是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵五个数据的和为 ， ∴平均数为； 数据从小到大排序得： ， ∵数据个数为奇数，中位数为排序后最中间的数，即第个数， ∴中位数为， ∴平均数为，中位数为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，选项错误； 幂的乘方，底数不变，指数相乘，， 选项正确； 与不是同类项，不能合并，，选项错误； 积的乘方等于各因式乘方的积，，选项错误． 5. 如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出的长度． 【详解】解：在中，，，点为的中点， ． 6. 设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ，选项错误； ，选项错误； 不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ，选项错误； 不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ，选项正确． 7. 下列命题是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 两个锐角的和是钝角 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题真假的判断，错误的命题是假命题，根据相关几何性质和角的定义，逐一判断各命题真假即可。 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，内错角相等，是平行线的性质定理，是真命题，不符合题意； C、举反例：若两个锐角分别为和，和为，仍是锐角，不是钝角，因此“两个锐角的和是钝角”是假命题，符合题意； D、直角三角形的两个锐角互余，是直角三角形的性质，是真命题，不符合题意． 8. 如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转某个角度后又沿直线前进到达点，再向左转相同的角度后沿直线前进到达点…，照这样走下去，小明第一次回到出发点时一共走了，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得该多边形为正十二边形，然后根据等腰三角形的性质及正多边形内角和可进行求解． 【详解】解：由题意可知：该多边形的边数为， ∴该多边形为正十二边形， ∴，， ∴． 9. 如图是某地区年至年教育经费投入额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区年的教育经费投入额，建立了与时间变量的两个一次函数模型．根据年、年的数据（时间变量的值依次为 ）建立模型①：；根据年、年的数据（时间变量的值依次为 ）建立模型②：．分别利用这两个模型，计算该地区年的教育经费投入额的预测值，下列方法更可靠的是（ ） A. 将代入模型①计算 B. 将代入模型①计算 C. 将代入模型②计算 D. 将代入模型②计算 【答案】D 【解析】 【分析】先确定两个模型中年对应的值：模型①以年为，得；模型②以年为，得，再结合折线图趋势，年后增长模式改变，模型②基于后期数据更贴合实际，因此应将代入模型②计算． 【详解】解：模型①：年对应， ∴年份对应的 ， ∴年对应 ， 但模型①是用年（最早）和年（最晚）的两端数据建立，没有贴合后期的增长趋势，预测不可靠； 对于模型②：年对应， ∴年份对应的 ， ∴年对应 ， 再看折线图的趋势：年之后教育经费投入的增长模式发生了变化， 模型①用了 年的全部数据，包含了前期增长较慢的阶段，和后期增长模式不符； 模型②用了 年的数据，更贴合后期的增长趋势， 所以用模型②预测年更可靠，需要将代入模型②计算． 10. 如图，中，点、分别是、上的点，且，将、、的周长分别记作、、，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质和已知角相等，证明和，将周长比转化为对应边之比；再利用得到线段比例关系，构建关于边长比的二次函数求最值． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ， ， 设， 则原式， ， ∴当时，二次函数取得最大值， 该比值的最大值为． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 分解因式：=______． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键． 12. 维生素是人体内不可缺少的微量元素，按中国营养学会《中国居民膳食营养素参考摄入量（版）》，初中生可耐受最高摄入量约为 天．数据“”用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：科学记数法的表示形式为，满足，为整数， ． 13. 已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面积计算，根据（r为底面圆半径，l为母线长）进行求解即可． 【详解】解：， ∴该圆锥的侧面积为， 故答案为：． 14. 请写出一个函数的表达式，当时，随增大而增大，且函数图像经过点：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：设一次函数表达式为，要求当时，y随x增大而增大，可得， 将点代入解析式得， ∴取，可得函数表达式为，满足所有条件（答案不唯一）． 15. 如图是某书店扶梯的示意图，扶梯的坡度，小明乘扶梯从扶梯底端以米/秒的速度用时秒到达扶梯顶端，则小明上升的竖直高度为________米． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据路程等于速度乘以时间求出斜边的长，再根据坡度的定义设出和的长，最后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，扶梯的长度为：（米）． 扶梯的坡度， ． 设，则． 在中，由勾股定理得：，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 小明上升的竖直高度为米． 16. 我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设规定时间为天，根据题意分别表示出慢马和快马的行驶时间，结合总路程得到两者的日行速度，再根据快马日行速度是慢马日行速度的倍建立等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知规定时间为天，由题意可得，慢马送达用时为天， 列方程得：， 整理得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数（）的图像上一点，过点作轴于点，过点作交反比例函数图像于点，过点作轴于点，交直线于点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设点A的坐标为：，即有，设直线的解析式为：，用k、表示出，根据，可知将直线沿y轴向下平移个单位即可得到直线，即有直线的解析式为：， 联立直线的解析式和反比例函数的解析式，得到一个一元二次方程，解方程即可求解出，最后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为：， ∵点是反比例函数（）的图像上一点， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，即， ∵， ∴将直线沿y轴向下平移个单位即可得到直线， ∴直线的解析式为：， 即：， 联立：， 整理：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 18. 定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻四边形”，这组相等邻边的长叫做“等邻长”． 如图，四边形中，，，，，． （1）判断四边形是否为等邻四边形？_______；（填“是”或“不是”） （2）若画一条直线将四边形分割成两个等邻四边形，且它们的等邻长均为，则所有可能的值为________． 【答案】 ①. 是 ②. 或 【解析】 【分析】（1）过点作交于点，则四边形是平行四边形，再由勾股定理求解，即可得到；（2）分类讨论，根据“等邻四边形”的定义，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）过点作交于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是等邻四边形； （2）若点分别在边上时，则，而，故四边形邻边不可能相等，故不成立； 若分别在边上时， 当时，过点作于点， ∵， ∴， 由垂线段最短可得，，故这种情况不成立； 当时，符合题意； 当时，过点作于点，则 则 ∵ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ 整理得， ， ，故这种情况不成立； 当 时，过点作于点， 则 ， 同理可得四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ∵ ∴ 整理得， 解得， （舍）， 综上：所有可能的值为或． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 计算及解方程 （1）计算： ； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先求绝对值、算术平方根、特殊角三角函数，再计算即可； （）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 移项得： 即：， 整理得： 开方得：​， ∴． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先对括号内通分计算，再约分，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值. 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 21. 如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC （1）求证：△ABE≌DCE； （2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数． 【答案】见解析（2）∠EBC=25° 【解析】 【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等． （2）根据三角形全等得出EB=EC，推出∠EBC=∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB=2∠EBC，代入求出即可 【详解】解（1）证明：∵在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（AAS） （2）∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°， ∴∠EBC=25° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解决此题的关键是合理运用三角形的外角性质． 22. 2026年5月5日是今年的第7个节气“立夏”，小红通过查询资料找到了4个主要的立夏习俗活动，分别是：A礼服迎夏、B称体重、C吃立夏蛋、D尝三鲜．将4张分别印有A、B、C、D的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中搅匀． （1）从中随机抽出1张，是“吃立夏蛋”的概率是 ； （2）小红一次抽出2张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好是她感兴趣的“礼服迎夏”和“尝三鲜”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列举出所有可能的情况和抽到“礼服迎夏”和“尝三鲜”的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵共有4张卡片 ∴从中随机抽出1张，是“吃立夏蛋”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中抽到“礼服迎夏”和“尝三鲜”的情况有2种， ∴恰好是她感兴趣的“礼服迎夏”和“尝三鲜”的概率为． 23. 某校为了解七年级560名学生的体重情况，开展了一次调查． 【确定调查方式】 （1）计划从七年级里抽取140名学生，将抽取的这140名学生的体重作为样本，下面的抽样调查方式合理的是 ；（只填序号） ①抽取体重最轻的140名学生的体重作为样本； ②抽取体重最重的140名学生的体重作为样本； ③随机抽取140名学生的体重作为样本． 【整理分析数据】 （2）采用合理的调查方式获得该140名学生的体重（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 140名学生体重频率分布表 体重 频率 a 合计 1 140名学生体重频数分布直方图 根据以上图表信息，解答下列问题： 频率分布表中的 ，并将频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）该校计划为所有体重不低于的七年级学生设计针对性锻炼方案，请估计参加学生的人数为多少． 【答案】（1）③ （2）；图见解析 （3）参加学生的人数为28人 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查的特点回答即可； （2）根据频率分布表先求出a，再求出范围的人数，进而补全直方图即可； （3）根据用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，③随机抽取140名学生的体重作为样本的抽样调查方式合理； 【小问2详解】 解：由频率分布表可得，， ∴在范围的人数为：（人）， 补全直方图如下， 【小问3详解】 解：由频率分布表可得，体重不低于的频率为， ∴总人数：（人）． 24. 如图，在中，，． （1）尺规作图：①在上找一点D，使是等边三角形，②过D作，交于点E． （不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，则的值为 ．（若需画图，请用备用图） 【答案】（1）如下图，和即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）利用，以为圆心、长为半径画弧，交于点，连接得到等边；以点D为圆心，为半径作弧，交于点F，再以点A和点F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点G，连接射线，交于，即可完成作图； （2）由等边及、，得为等腰直角三角形，，通过角度运算得到、，过作延长线，设，借助直角三角形边角关系推出，结合等腰直角三角形斜边公式，化简得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ，，， ∵，， 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， 过点作，交的延长线于点， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ， 在中，设， 则， ，且，， ∴ 解得， 在等腰中， ， 在等腰中，， ． 25. 如图，中，，D为上一点，且的外接圆交于点E，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，相似的判定和性质，勾股定理，能够熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据圆内接四边形的性质即可证明； （2）根据题意可求得，，，结合（1）问，易得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则． 26. 某班数学兴趣小组来到江苏学政衙署仪门（图）开展实践活动．通过查阅资料得到：夏至时，正午影子最短；冬至时，正午影子最长；秋分时，正午影长，恰好等于夏至、冬至正午影长的算术平均值． 如图，为江苏学政衙署仪门，垂直于水平地面．已知夏至时正午太阳光线与水平地面的夹角，冬至时正午太阳光线与水平地面的夹角解决下列问题：（结果精确到）（参考数据：，，，，，） （1）已知冬至时，正午影长为，求仪门的高度； （2）根据题目条件，求秋分正午时，仪门的正午影长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（仰角俯角问题），熟练运用三角函数的定义及算术平均值的计算方法是解答本题的关键． （1）利用冬至时的影长与太阳光线夹角，通过正切函数求出仪门的高度； （2）先利用仪门高度与夏至时的太阳光线夹角，求出夏至时的影长，再根据秋分影长为夏至、冬至影长的算术平均值，计算出秋分正午的影长． 【小问1详解】 解：由题意得，冬至正午影长，， 为直角三角形，， 在中，， ； 【小问2详解】 解：夏至正午影长为， 在中，，， ， 由题意得，秋分正午影长为夏至、冬至正午影长的算术平均值： ． 27. 已知二次函数（，均为常数）． （1）若函数图象经过原点，且对称轴是直线，求二次函数表达式； （2）若函数图象上有两点，，且，求的取值范围； （3）将二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上，与该直线的另一个交点为，在轴上是否存在点使得为等边三角形？若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线，再建立方程组求解即可； （2）计算，，结合，再进一步求解即可； （3）设顶点，可得平移后的解析式为：，求解，可得，结合，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的函数图象经过原点，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴二次函数为． 【小问2详解】 解：∵函数图象上有两点，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：∵二次函数的图象平移，使其顶点始终落在直线上， ∴设顶点， ∴平移后的解析式为：， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，， ∴， ∴， ∵为等边三角形，点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， 解得：，， ∴存在满足条件的点，的值为或． 28. 如图，在矩形纸片中，，．为中点，将点折到处，折痕与交于点，与交于点，再将点折到上点处，折痕与交于点． （1）求证：； （2）①当时，的值为 ； ②请猜想和的数量关系，并证明你的结论． （3）求证：点、、在同一直线上． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得，故；结合折叠的角平分线特性，折痕平分、折痕平分，推导出，进而即可得证； （2）①设，由折叠得，为中点得，在中，由勾股定理，解得；②猜想，设，通过勾股定理得；作，证，利用正切表示，推得，故； （3）连接，，由折叠得、，结合推出；证，得；由折叠， ，故三点共线． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，折痕平分，折痕平分， ∴ ， ． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①设，由折叠可得，， ∵是中点，， ∴， 又， ∴ ， 在中， 解得，即； ②猜想：；证明如下， 设，由折叠性质得 ， 在中，，， ∴ 解得， 过点作于点，如下图， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ， 由折叠可得，， ∴ ， ∴． 又 ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由（1）知， ， ∴， 在中，， ∴ 解得， ∴， ∴ ，即； 【小问3详解】 证明：连接 ，如下图， ∵是中点， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴ ， ∴， 在和中， ∴， ∴ ， 由折叠可得， ， ∴ ， 即点、、在同一直线上． 【点睛】本题核心是运用折叠的边角不变性，结合矩形性质、勾股定理、相似与全等三角形，完成平行证明、线段倍数推导及三点共线判定，综合考查几何推理能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $