精品解析：2025年江苏省无锡市江阴市中考二模数学试题

2025年春学期江阴市初三学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列4个数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比较即可得出答案． 【详解】解：， 最小的是． 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 2024年江阴市国内生产总值超过5100亿元，其中数据5100用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 有5位学生参加志愿服务，次数分别为：7，8，8，9，13，这5个数据的极差为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查极差，掌握一组数据中最大值与最小值的差叫这组数据的极差是解题的关键． 根据极差的定义求解即可． 【详解】解：7，8，8，9，13，这5个数据中最大数是13，最小数是7， 所以极差是， 故选：D． 6. 如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边对等角，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：矩形， ， ， ． 故选：D． 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中有一首古诗，其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6杆，多14杆；每人分8杆，恰好分完、问牧童有多少人，竹竿有多少杆？设有牧童人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设有牧童人，根据竹竿的数量作为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设有牧童人， 由题意得，． 故选：A． 8. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线相等 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 菱形对角线互相垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的判定判断A；根据平行四边形的性质判断B；根据菱形的判定判断C；根据菱形的性质判断D． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形是真命题，故此选项不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，所以平行四边形的对角线相等是假命题，故此选项符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形是真命题，故此选项不符合题意； D、菱形对角线互相垂直平分是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 反比例函数（为常数）的图像上有两点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据，则，所以反比例函数的图象在第二、第四象限，在每个象限，y随x增大而增大，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出、与0的大小即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴的图象在第二、第四象限内，在每个象限，y随x增大而增大， 当时，则， ∴都在第二象限， ∴，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴都在第四象限， ∴，故B选项正确，符合题意； 当时，，在第二象限，在第四象限， ∴，故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边始终经过轴正半轴上一定点为的中点，经过点且垂直于轴的直线与边分别交于点，与对角线、分别交于点与轴交于点．下面4个结论： ①的长度不变；②始终等于；③经过一个定点；④．其中正确的有（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】过点E作于T，可证明四边形是矩形，得到，，再证明，得到，据此可判断①；设交于P，连接，可证明是中位线，得到，则，证明，得到D、F、P、N四点共圆，则，即可证明是等腰直角三角形，据此可判断②；证明，可得，据此可判断③；当点A与点M重合时，点N也与点M重合，此时点F与点P重合，据此可判断④． 【详解】解：如图所示，过点E作于T， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点M为定点，即的长为定长， ∴的长为定长，故①正确； 设交于P，连接， 由正方形的性质可得，P为的中点， 又∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D、F、P、N四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵M为定点，D为的中点， ∴点D为定点，的长为定长， ∴的长为定长， 又∵， ∴点G为定点，即经过一个定点，故③正确； 当点A与点M重合时，点N也与点M重合，此时点F与点P重合， ∴此时， ∵， ∴此时不满足，故④错误； ∴正确的有①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，圆周角定理，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于证明D、F、P、N四点共圆． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算．先去括号，然后合并同类项，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若分式有意义，则的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 不等式的正整数解为___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和求不等式的整数解，能求出不等式的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可． 【详解】解： ∴不等式的正整数解为，． 故答案为：，． 14. 试写出一个含a的代数式，使a不论取什么值，这个代数式的值总是正数_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无论a为何值，，故只需加上一个正数即可得到答案． 【详解】解：∵无论a为何值， ∴， 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了列代数式，正确理解偶次方的非负性是解题的关键． 15. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 16. 如图，已知零件的外径为，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度等于___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出m的长． 证明相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， 外径为， ， ． 故答案为：1． 17. 如图，利用无人机测量雕像的高度，在点处测得雕像底部点的俯角为，水平前行9米到达点，在点处测得雕像顶部点和底部点的俯角分别为和，若点、与雕像均在同一平面内，则雕像的高约为___________米．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．设延长线与延长线交于点，由题意得，，推出，设，利用正切的定义可得，，得出，再利用求出的值，即可求出． 【详解】解：如图，延长线与延长线交于点， 由题意得，，，， ， ， ， 设（米）， 在中，， （米）， 在中，， （米）， （米）， ， ， 解得：， （米） 雕像的高约为米． 故答案：． 18. 整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值． 【详解】解：设，由题意可得： ，解得：， 即的分数形式为； 设， 根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为， 于是方程可表示为：，解得：或（舍去）， 即此数的值为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出问题说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程： 【答案】无解 【解析】 【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解方程： 解：去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 经检验，是原方程的增根， 所以，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，一定要进行检验． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先利用分式的运算法则化简，再整体代入的值到化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ， ， 代入，原式． 21. 如图，点在的边上，经过边的中点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定即可证明； （2）利用全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：点是边的中点， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ， ． 的长为1． 22. 某校举办演讲比赛，共设有“时代”“北斗卫星”“高铁速度”“绿色低碳”四大主题，分别写在四张背面一模一样的卡片上． （1）若小丽随机抽取一张卡片，则她选中的主题是“北斗卫星”的概率是___________； （2）若小英从卡片中随机抽取一张卡片确定主题后，将卡片放回洗匀，小亮再随机从中抽取一张卡片确定主题，求他们抽到不同主题的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用度概率公式求概率，用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有16种等可能结果，他们抽到不同主题的结果有12种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵共有四张设有“时代”“北斗卫星”“高铁速度”“绿色低碳”四大主题的卡片，主题是“北斗卫星”的卡片只有一张， ∴小丽随机抽取1张卡片，则抽到卡片的主题是“北斗卫星”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设有“时代”“北斗卫星”“高铁速度”“绿色低碳”主题的四张卡片分别为A、B、C、D，画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小英、小亮两人抽到不同主题的结果有12种， 小英、小亮两人抽到不同主题的概率为． 23. 某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．有甲、乙两组同学，每组各8人，按照号进行编号，他们的成绩统计图如下： 小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7 乙组 7 请阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________；___________； （2）根据所学的统计知识，请你利用数据，从不同角度对甲、乙两组的成绩进行比较与评价． 【答案】（1）；7； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了求中位数、求众数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中位数、众数、优秀率的定义即可求解； （2）从优秀率、中位数和方差等角度进行分析即可． 【小问1详解】 解：将甲组的成绩从小到大顺序排列，中位数为第4位和第5位的平均数， ， 乙组的成绩出现次数最多的是7分，共5次， ， 乙组的成绩9分及以上有2人， 优秀率， 故答案为：；7；． 【小问2详解】 解：①甲组成绩的优秀率为，乙组成绩的优秀率为， 从优秀率的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好； ②甲组成绩的中位数为，乙组成绩的中位数为7， 从中位数的角度来看，甲组的成绩比乙组的成绩好； ③甲组成绩的方差为，乙组成绩的方差为， 从方差的角度来看，乙组的成绩比甲组的成绩更稳定． 24. 已知：是射线上一点，四边形是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作中点；在射线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接交于点交于点．当时，直接写出线段的长为___________．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的判定与性质，正方形的性质； （1）尺规作线段的垂直平分线，得到中点；以为圆心为半径画弧与射线交点即为，使得； （2）先画出图形，根据求出，再根据得到，即可求出线段的长． 【小问1详解】 解：如图，中点；在射线上作一点，使得； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点交于点． ∵正方形，， ∴，， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 如图，为的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，作交切线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，由得到，利用切线的性质可得，得出，利用直角三角形的性质可得，得出，再利用等角对等边即可证明； （2）在中利用正切的定义得到，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，即可求出的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：在中，， ， 设，则， ， 由（1）得，， 在中， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 的半径为． 26. 如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． （1）计算桥拱圆弧所在圆的半径； （2）图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】（1） （2）需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【小问1详解】 解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． 【小问2详解】 解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 27. 已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且． （1）求二次函数表达式； （2）若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； （3）设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数性质、二次函数的综合、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先求出，再根据待定系数法求解即可； （2）先说明抛物线的对称轴为、抛物线的开口方向向下，再根据离对称轴越远的点的函数值越小列不等式求解即可； （3）先求得，再求出直线解析式为，设，则，进而得到所以、；如图：过G作于I，再根据等腰三角形的性质、矩形的判定与性质可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵函数图象与轴交于两点（A在左侧）， ∴， 将、代入可得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴抛物线的开口方向向下， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：令，即， ∴，解得：或， ∴． 设直线解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵，， ∴， ∴， 如图：过P作轴于D，交于E． ∵， ∴， ∴， 设，则． 所以，则， 如图：过G作于I， ∵， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴， 令， ∴抛物线的对称轴为：， ∵抛物线开口方向向下，， ∴当时，取最大值， ∴点P的横坐标为． 28. 将先绕点逆时针旋转角，再以点为位似中心，以为相似比进行缩放，得到，且，，我们称这种变换为“平等变换”，规则记作，其中是旋转角大小，． 例如，图1中，，，到的“平等变换”规则是． （1）直接写出下列条件中的“平等变换”规则： ①如图2，，：___________； ②如图3，，，：___________ （2）如图4，，， 求证：经过“平等变换”后，、、三点共线． （3）如图5，，经过“平等变换”后，若点在延长线上，且，请直接写出该变换的规则．___________． 【答案】（1）①；② （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据“平等变换”的定义可得，，即可解答；②作于点，利用三角函数的知识求出的长和的度数，再根据“平等变换”的定义可得，，即可解答； （2）取的中点，连接、，设，根据“平等变换”的定义和三角函数的知识求出的度数，并表示出，再利用等边三角形的性质与判定证出，即可证明； （3）根据“平等变换”的定义可得，利用得到，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，设，，利用相似三角形的性质得到，代入数据得出方程，再结合，转化为关于的方程，解出的值，即可解答． 【小问1详解】 解：①如图2，设经过“平等变换”后得到，则，， 由题意得，， ，， ， ， ， ， ， “平等变换”规则是． 故答案为：； ②如图3，设经过“平等变换”后得到，则，， 作于点，则， 在中，，， ，， ， ， 在中，， ， 由题意得，， ，， ， ， ， ， ， “平等变换”规则是． 故答案为：． 【小问2详解】 证明：如图4，取的中点，连接、， ，， ， 设，则， ， 经过“平等变换”后得到， ，，， 在中，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， 、、三点共线． 【小问3详解】 解：经过“平等变换”后得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 设，， 则， ，， 四边形是平行四边形， ， 由题意得，， ，即， ， ， ， 解得：，（舍去负值）， “平等变换”规则是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义、旋转的性质、位似变换、解直角三角形、等边三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，弄清“平等变换”的规则是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期江阴市初三学业水平调研测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列4个数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 0 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年江阴市国内生产总值超过5100亿元，其中数据5100用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 有5位学生参加志愿服务，次数分别为：7，8，8，9，13，这5个数据的极差为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中有一首古诗，其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6杆，多14杆；每人分8杆，恰好分完、问牧童有多少人，竹竿有多少杆？设有牧童人，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，是假命题是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 平行四边形的对角线相等 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 菱形对角线互相垂直平分 9. 反比例函数（为常数）的图像上有两点．下列选项正确的是（ ） A 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形边始终经过轴正半轴上一定点为的中点，经过点且垂直于轴的直线与边分别交于点，与对角线、分别交于点与轴交于点．下面4个结论： ①的长度不变；②始终等于；③经过一个定点；④．其中正确的有（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 计算：___________． 12. 若分式有意义，则的取值范围是 ____． 13. 不等式的正整数解为___________． 14. 试写出一个含a的代数式，使a不论取什么值，这个代数式的值总是正数_____． 15. 若圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为___________． 16. 如图，已知零件外径为，现用一个交叉卡钳测量零件的内孔直径．如果，且量得，则零件的厚度等于___________． 17. 如图，利用无人机测量雕像的高度，在点处测得雕像底部点的俯角为，水平前行9米到达点，在点处测得雕像顶部点和底部点的俯角分别为和，若点、与雕像均在同一平面内，则雕像的高约为___________米．（参考数据：，） 18. 整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为___________；现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出问题说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，点在的边上，经过边的中点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 某校举办演讲比赛，共设有“时代”“北斗卫星”“高铁速度”“绿色低碳”四大主题，分别写在四张背面一模一样的卡片上． （1）若小丽随机抽取一张卡片，则她选中主题是“北斗卫星”的概率是___________； （2）若小英从卡片中随机抽取一张卡片确定主题后，将卡片放回洗匀，小亮再随机从中抽取一张卡片确定主题，求他们抽到不同主题的概率． （请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 某班以小组为单位开展知识竞赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．有甲、乙两组同学，每组各8人，按照号进行编号，他们的成绩统计图如下： 小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7 乙组 7 请阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________；___________； （2）根据所学的统计知识，请你利用数据，从不同角度对甲、乙两组的成绩进行比较与评价． 24. 已知：是射线上一点，四边形是正方形． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作中点；在射线上作一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）中所作的图形中，连接交于点交于点．当时，直接写出线段的长为___________．（如需画草图，请使用图2） 25. 如图，为的直径，点是上一点，过点的切线交的延长线于点，作交切线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 26. 如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． （1）计算桥拱圆弧所在圆的半径； （2）图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 27. 已知：二次函数的图像与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点，且． （1）求二次函数表达式； （2）若抛物线上有两点、，当时，求的取值范围； （3）设是二次函数位于第一象限图像上一点，作于点轴于点．当最大时，求点的横坐标． 28. 将先绕点逆时针旋转角，再以点为位似中心，以为相似比进行缩放，得到，且，，我们称这种变换为“平等变换”，规则记作，其中是旋转角大小，． 例如，图1中，，，到的“平等变换”规则是． （1）直接写出下列条件中的“平等变换”规则： ①如图2，，：___________； ②如图3，，，：___________ （2）如图4，，， 求证：经过“平等变换”后，、、三点共线． （3）如图5，，经过“平等变换”后，若点在延长线上，且，请直接写出该变换的规则．___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$